Espacio vectorial conveniente

En matemáticas, los espacios vectoriales convenientes son espacios vectoriales localmente convexos que satisfacen una condición de completitud muy leve .

El cálculo diferencial tradicional es eficaz en el análisis de espacios vectoriales de dimensión finita y para espacios de Banach . Más allá de los espacios de Banach, comienzan a surgir dificultades; en particular, la composición de aplicaciones lineales continuas deja de ser conjuntamente continua a nivel de espacios de Banach, ^{[Nota 1]} para cualquier topología compatible en los espacios de aplicaciones lineales continuas.

Las aplicaciones entre espacios vectoriales convenientes son suaves o si asignan curvas suaves a curvas suaves. Esto conduce a una categoría cartesiana cerrada de aplicaciones suaves entre subconjuntos -abiertos de espacios vectoriales convenientes (ver propiedad 6 a continuación). El cálculo correspondiente de aplicaciones suaves se llama cálculo conveniente . Es más débil que cualquier otra noción razonable de diferenciabilidad, es fácil de aplicar, pero hay aplicaciones suaves que no son continuas (ver Nota 1). Este tipo de cálculo por sí solo no es útil para resolver ecuaciones ^{[Nota 2]} . ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle c^{\infty }}$

La c∞-topología

Sea un espacio vectorial localmente convexo . Una curva se llama suave o si todas las derivadas existen y son continuas. Sea el espacio de curvas suaves. Se puede demostrar que el conjunto de curvas suaves no depende enteramente de la topología localmente convexa de sino de su bornología asociada (sistema de conjuntos acotados); véase [KM], 2.11. Las topologías finales con respecto a los siguientes conjuntos de aplicaciones en coinciden; véase [KM], 2.13. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to E}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle E}$

• ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,E).}$
• El conjunto de todas las curvas de Lipschitz (de modo que esté acotado para cada ). ${\displaystyle \left\{{\dfrac {c(t)-c(s)}{t-s}}:t\neq s{,}|t|,|s|\leq C\right\}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle C}$
• El conjunto de inyecciones donde recorre todos los subconjuntos absolutamente convexos acotados en y donde es el intervalo lineal de equipado con el funcional de Minkowski ${\displaystyle E_{B}\to E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle E_{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|x\|_{B}:=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda B\}.}$
• El conjunto de todas las secuencias convergentes de Mackey (existe una secuencia con acotado). ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ${\displaystyle 0<\lambda _{n}\to \infty }$ ${\displaystyle \lambda _{n}\left(x_{n}-x\right)}$

Esta topología se llama topología - en y escribimos para el espacio topológico resultante. En general (en el espacio de funciones suaves con soporte compacto en la línea real, por ejemplo) es más fina que la topología localmente convexa dada, no es una topología de espacio vectorial, ya que la adición ya no es conjuntamente continua. Es decir, incluso La más fina entre todas las topologías localmente convexas en las que son más burdas que es la bornologificación de la topología localmente convexa dada. Si es un espacio de Fréchet , entonces ${\displaystyle c^{\infty }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c^{\infty }E}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c^{\infty }(D\times D)\neq \left(c^{\infty }D\right)\times \left(c^{\infty }D\right).}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c^{\infty }E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c^{\infty }E=E.}$

Espacios vectoriales convenientes

Se dice que un espacio vectorial localmente convexo es un espacio vectorial conveniente si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes (llamada -completitud); véase [KM], 2.14. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c^{\infty }}$

• Para cualquier integral (de Riemann) existe en . ${\displaystyle c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}c(t)\,dt}$ ${\displaystyle E}$
• Cualquier curva de Lipschitz es integrable localmente según Riemann. ${\displaystyle E}$
• Cualquier curva escalar es : Una curva es suave si y solo si la composición está en para todos donde es el dual de todos los funcionales lineales continuos en . ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to E}$ ${\displaystyle \lambda \circ c:t\mapsto \lambda (c(t))}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \lambda \in E^{*}}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle E}$
  • De manera equivalente, para todo , el dual de todos los funcionales lineales acotados. ${\displaystyle \lambda \in E'}$
  • De manera equivalente, para todo , donde es un subconjunto de que reconoce subconjuntos acotados en ; véase [KM], 5.22. ${\displaystyle \lambda \in V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle E}$
• Cualquier secuencia de Mackey-Cauchy (es decir, para algunos en converge en . Esto es visiblemente un requisito de completitud leve. ${\displaystyle t_{nm}(x-x_{m})\to 0}$ ${\displaystyle t_{nm}\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E}$
• Si es acotado y absolutamente convexo, entonces es un espacio de Banach. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E_{B}}$
• Si es escalarmente , entonces es , para . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to E}$ ${\displaystyle {\text{Lip}}^{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\text{Lip}}^{k}}$ ${\displaystyle k>1}$
• Si es escalar entonces es diferenciable en . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to E}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$

Aquí se llama a una función si todas las derivadas hasta el orden existen y son Lipschitz, localmente en . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to E}$ ${\displaystyle {\text{Lip}}^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Mapeos suaves

Sean y espacios vectoriales convenientes, y sean -abiertos . Una aplicación se llama suave o , si la composición para todo . Véase [KM], 3.11. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U\subseteq E}$ ${\displaystyle c^{\infty }}$ ${\displaystyle f:U\to F}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f\circ c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,F)}$ ${\displaystyle c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U)}$

Propiedades principales del cálculo suave

1. Para aplicaciones en espacios de Fréchet, esta noción de suavidad coincide con todas las demás definiciones razonables. En este caso, se trata de un teorema no trivial, demostrado por Boman (1967). Véase también [KM], 3.4. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

2. Las aplicaciones multilineales son suaves si y sólo si están acotadas ([KM], 5.5).

3. Si es suave, entonces la derivada es suave, y también es suave, donde denota el espacio de todas las aplicaciones lineales acotadas con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados; véase [KM], 3.18. ${\displaystyle f:E\supseteq U\to F}$ ${\displaystyle df:U\times E\to F}$ ${\displaystyle df:U\to L(E,F)}$ ${\displaystyle L(E,F)}$

4. La regla de la cadena se cumple ([KM], 3.18).

5. El espacio de todas las aplicaciones suaves es nuevamente un espacio vectorial conveniente donde la estructura está dada por la siguiente inyección, donde lleva la topología de convergencia compacta en cada derivada por separado; ver [KM], 3.11 y 3.7. ${\displaystyle C^{\infty }(U,F)}$ ${\displaystyle U\to F}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C^{\infty }(U,F)\to \prod _{c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U),\ell \in F^{*}}C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\quad f\mapsto (\ell \circ f\circ c)_{c,\ell }\,.}$

6. La ley exponencial se cumple ([KM], 3.12): Para -abierto la siguiente aplicación es un difeomorfismo lineal de espacios vectoriales convenientes. ${\displaystyle c^{\infty }}$ ${\displaystyle V\subseteq F}$

${\displaystyle C^{\infty }(U,C^{\infty }(V,G))\cong C^{\infty }(U\times V,G),\qquad f\mapsto g,\qquad f(u)(v)=g(u,v).}$

Éste es el supuesto principal del cálculo variacional. En este caso, se trata de un teorema. Esta propiedad es la fuente del nombre " conveniente" , que fue tomado de (Steenrod 1967).

7. Teorema de acotación uniforme y suave ([KM], teorema 5.26). Una aplicación lineal es suave (por (2) equivalente a acotada) si y solo si es suave para cada . ${\displaystyle f:E\to C^{\infty }(V,G)}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{v}\circ f:V\to G}$ ${\displaystyle v\in V}$

8. Las siguientes aplicaciones canónicas son suaves. Esto se deduce de la ley exponencial mediante razonamientos categóricos simples, véase [KM], 3.13.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {ev} :C^{\infty }(E,F)\times E\to F,\quad {\text{ev}}(f,x)=f(x)\\[6pt]&\operatorname {ins} :E\to C^{\infty }(F,E\times F),\quad {\text{ins}}(x)(y)=(x,y)\\[6pt]&(\quad )^{\wedge }:C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\to C^{\infty }(E\times F,G)\\[6pt]&(\quad )^{\vee }:C^{\infty }(E\times F,G)\to C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\\[6pt]&\operatorname {comp} :C^{\infty }(F,G)\times C^{\infty }(E,F)\to C^{\infty }(E,G)\\[6pt]&C^{\infty }(\quad ,\quad ):C^{\infty }(F,F_{1})\times C^{\infty }(E_{1},E)\to C^{\infty }(C^{\infty }(E,F),C^{\infty }(E_{1},F_{1})),\quad (f,g)\mapsto (h\mapsto f\circ h\circ g)\\[6pt]&\prod :\prod C^{\infty }(E_{i},F_{i})\to C^{\infty }\left(\prod E_{i},\prod F_{i}\right)\end{aligned}}}$

Cálculos convenientes relacionados

El cálculo conveniente de aplicaciones suaves apareció por primera vez en [Frölicher, 1981], [Kriegl 1982, 1983]. El cálculo conveniente (que tiene las propiedades 6 y 7) también existe para:

• Aplicaciones analíticas reales (Kriegl, Michor, 1990; ver también [KM], capítulo II).
• Aplicaciones holomorfas (Kriegl, Nel, 1985; véase también [KM], capítulo II). La noción de holomorfía es la de [Fantappié, 1930-33].
• Muchas clases de funciones ultradiferenciables de Denjoy-Carleman, tanto de tipo Beurling como de tipo Roumieu [Kriegl, Michor, Rainer, 2009, 2011, 2015].
• Con algunas adaptaciones, , [FK]. ${\displaystyle \operatorname {Lip} ^{k}}$
• Con más adaptaciones, incluso (es decir, la derivada -ésima es Hölder-continua con índice ) ([Faure, 1989], [Faure, These Geneve, 1991]). ${\displaystyle C^{k,\alpha }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$

La noción correspondiente de espacio vectorial conveniente es la misma (para su espacio vectorial real subyacente en el caso complejo) para todas estas teorías.

Aplicación: Variedades de aplicaciones entre variedades de dimensión finita

La ley exponencial 6 del cálculo conveniente permite demostraciones muy simples de los hechos básicos sobre las variedades de aplicaciones. Sean y variedades lisas de dimensión finita donde es compacta . Usamos una métrica auxiliar de Riemann en . La aplicación exponencial de Riemann de se describe en el siguiente diagrama: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\bar {g}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\bar {g}}}$

Se genera un atlas de gráficos en el espacio de todas las aplicaciones suaves de la siguiente manera. Un gráfico centrado en , es: ${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M,N)}$

${\displaystyle u_{f}:C^{\infty }(M,N)\supset U_{f}=\{g:(f,g)(M)\subset V^{N\times N}\}\to {\tilde {U}}_{f}\subset \Gamma (f^{*}TN),}$

${\displaystyle u_{f}(g)=(\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})^{-1}\circ (f,g),\quad u_{f}(g)(x)=(\exp _{f(x)}^{\bar {g}})^{-1}(g(x)),}$

${\displaystyle (u_{f})^{-1}(s)=\exp _{f}^{\bar {g}}\circ s,\qquad \quad (u_{f})^{-1}(s)(x)=\exp _{f(x)}^{\bar {g}}(s(x)).}$

Ahora los hechos básicos se comprenden fácilmente. La trivialización del fibrado vectorial pull-back y la aplicación de la ley exponencial 6 conducen al difeomorfismo. ${\displaystyle f^{*}TN}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\Gamma (M;f^{*}TN))=\Gamma (\mathbb {R} \times M;\operatorname {pr_{2}} ^{*}f^{*}TN).}$

Todas las asignaciones de cambios de gráficos son suaves ( ) ya que asignan curvas suaves a curvas suaves: ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\tilde {U}}_{f_{1}}\ni s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ (f_{2},\exp _{f_{1}}^{\bar {g}}\circ s).}$

De esta manera , se modela una variedad suave a partir de espacios de Fréchet. El espacio de todas las curvas suaves en esta variedad está dado por ${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,C^{\infty }(M,N))\cong C^{\infty }(\mathbb {R} \times M,N).}$

Dado que mapea visiblemente curvas suaves a curvas suaves, la composición

${\displaystyle C^{\infty }(P,M)\times C^{\infty }(M,N)\to C^{\infty }(P,N),\qquad (f,g)\mapsto g\circ f,}$

es suave. Como consecuencia de la estructura del gráfico, el fibrado tangente de la variedad de aplicaciones está dado por

${\displaystyle \pi _{C^{\infty }(M,N)}=C^{\infty }(M,\pi _{N}):TC^{\infty }(M,N)=C^{\infty }(M,TN)\to C^{\infty }(M,N).}$

Grupos de mentiras regulares

Sea un grupo de Lie suave y conexo modelado sobre espacios vectoriales convenientes, con álgebra de Lie . La multiplicación y la inversión se denotan por: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$

${\displaystyle \mu :G\times G\to G,\quad \mu (x,y)=x.y=\mu _{x}(y)=\mu ^{y}(x),\qquad \nu :G\to G,\nu (x)=x^{-1}.}$

La noción de grupo de Lie regular se debe originalmente a Omori et al. para los grupos de Lie de Fréchet, fue debilitada y hecha más transparente por J. Milnor, y luego fue trasladada a los grupos de Lie convenientes; ver [KM], 38.4.

Un grupo de Lie se denomina regular si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle G}$

• Para cada curva suave del álgebra de Lie existe una curva suave del grupo de Lie cuya derivada logarítmica derecha es . Resulta que está determinada únicamente por su valor inicial , si existe. Es decir, ${\displaystyle X\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,G)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(0)}$

${\displaystyle g(0)=e,\qquad \partial _{t}g(t)=T_{e}(\mu ^{g(t)})X(t)=X(t).g(t).}$

Si es la única solución para la curva requerida anteriormente, denotamos ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=g(1),\quad \operatorname {Evol} _{G}^{r}(X)(t):=g(t)=\operatorname {evol} _{G}^{r}(tX).}$

• Es necesario que el siguiente mapeo sea suave:

${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}:C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})\to G.}$

Si es una curva constante en el álgebra de Lie, entonces es la función exponencial del grupo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=\exp ^{G}(X)}$

Teorema. Para cada variedad compacta , el grupo de difeomorfismos es un grupo de Lie regular. Su álgebra de Lie es el espacio de todos los campos vectoriales lisos en , con el negativo del corchete habitual como corchete de Lie. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Demostración: El grupo de difeomorfismos es una variedad suave ya que es un subconjunto abierto en . La composición es suave por restricción. La inversión es suave: Si es una curva suave en , entonces f ( t , ) ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,M)}$ ${\displaystyle t\to f(t,\ )}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$^-1
${\displaystyle f(t,\ )^{-1}(x)}$satisface la ecuación implícita , por lo que, según el teorema de la función implícita de dimensión finita, es suave. Por lo tanto, la inversión asigna curvas suaves a curvas suaves y, por lo tanto, la inversión es suave. Sea un campo vectorial dependiente del tiempo en (en ). Entonces, el operador de flujo del campo vectorial autónomo correspondiente en induce el operador de evolución mediante ${\displaystyle f(t,f(t,\quad )^{-1}(x))=x}$ ${\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,\ )^{-1}(x)}$ ${\displaystyle X(t,x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {X}}(M))}$ ${\displaystyle \operatorname {Fl} }$ ${\displaystyle \partial _{t}\times X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$

${\displaystyle \operatorname {Fl} _{s}(t,x)=(t+s,\operatorname {Evol} (X)(t,x))}$

que satisface la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle \partial _{t}\operatorname {Evol} (X)(t,x)=X(t,\operatorname {Evol} (X)(t,x)).}$

Dada una curva suave en el álgebra de Lie, , entonces la solución de la ecuación diferencial ordinaria depende suavemente también de la variable adicional , por lo tanto asigna curvas suaves de campos vectoriales dependientes del tiempo a curvas suaves de difeomorfismo. QED. ${\displaystyle X(s,t,x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2},{\mathfrak {X}}(M))}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {evol} _{\operatorname {Diff} (M)}^{r}}$

El paquete principal de incrustaciones

Para variedades de dimensión finita y con compactibilidad, el espacio de todas las incrustaciones suaves de en , está abierto en , por lo que es una variedad suave. El grupo de difeomorfismos actúa libremente y suavemente desde la derecha en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)}$

Teorema: es un haz principal de fibras con grupo de estructura . ${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)\to \operatorname {Emb} (M,N)/\operatorname {Diff} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$

Demostración: Se utiliza nuevamente una métrica auxiliar de Riemann en . Dado , se considera como una subvariedad de , y se divide la restricción del fibrado tangente a en el subfibrado normal a y tangencial a como . Elija un entorno tubular ${\displaystyle {\bar {g}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Emb} (M,N)}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle TN|_{f(M)}=\operatorname {Nor} (f(M))\oplus Tf(M)}$

${\displaystyle p_{f(M)}:\operatorname {Nor} (f(M))\supset W_{f(M)}\to f(M).}$

Si es -cerca de , entonces ${\displaystyle g:M\to N}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \phi (g):=f^{-1}\circ \,p_{f(M)}\circ \,g\in \operatorname {Diff} (M)\quad {\text{and}}\quad g\circ \,\phi (g)^{-1}\in \Gamma (f^{*}W_{f(M)})\subset \Gamma (f^{*}\operatorname {Nor} (f(M))).}$

Esta es la división local requerida. QED

Otras aplicaciones

Se puede encontrar una descripción general de las aplicaciones que utilizan geometría de espacios de formas y grupos de difeomorfismos en [Bauer, Bruveris, Michor, 2014].

Notas

1. Un ejemplo de una aplicación de composición es la aplicación de evaluación , donde es un espacio vectorial localmente convexo , y donde es su dual de funcionales lineales continuos equipados con cualquier topología localmente convexa tal que la aplicación de evaluación es continua por separado. Si se supone que la evaluación es conjuntamente continua, entonces hay vecindades y de cero tales que . Sin embargo, esto significa que está contenido en la polar del conjunto abierto ; por lo que está acotado en . Por lo tanto, admite una vecindad acotada de cero y, por lo tanto, es un espacio vectorial normado . ${\displaystyle {\text{ev}}:E\times E^{*}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle U\subseteq E}$ ${\displaystyle V\subseteq E^{*}}$ ${\displaystyle U\times V\subseteq [0,1]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$
2. Para que sea útil para resolver ecuaciones como EDP no lineales, el cálculo conveniente debe complementarse, por ejemplo, con estimaciones a priori que ayuden a crear una situación de espacio de Banach suficiente para permitir la convergencia de algún procedimiento de iteración; por ejemplo, véase el teorema de Nash-Moser , descrito en términos de cálculo conveniente en [KM], sección 51.

Referencias

• Bauer, M., Bruveris, M., Michor, PW: Descripción general de las geometrías de los espacios de formas y los grupos de difeomorfismo. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 50, 1-2, 60-97, 2014. (arXiv:1305.11500)
• Boman, J.: Diferenciabilidad de una función y de su composición con una función de una variable, Mathematica Scandinavia vol. 20 (1967), 249–268.
• Faure, C.-A.: Sur un théorème de Boman, CR Acad. Sci., París}, vol. 309 (1989), 1003–1006.
• Faure, C.-A.: Théorie de la différentiation dans les espaces convenables, These, Université de Genève, 1991.
• Frölicher, A.: Applications lisses entre espaces et variétés de Fréchet, CR Acad. Ciencia. París, vol. 293 (1981), 125-127.
• [FK] Frölicher, A., Kriegl, A.: Espacios lineales y teoría de la diferenciación. Matemáticas puras y aplicadas, J. Wiley, Chichester, 1988.
• Kriegl, A.: Die richtigen Räume für Analysis im Unendlich – Dimensionalen, Monatshefte für Mathematik vol. 94 (1982) 109–124.
• Kriegl, A.: Eine kartesisch abgeschlossene Kategorie glatter Abbildungen zwischen beliebigen lokalkonvexen Vektorräumen, Monatshefte für Mathematik vol. 95 (1983) 287–309.
• [KM] Kriegl, A., Michor, PW: El contexto conveniente del análisis global. Encuestas y monografías matemáticas, volumen: 53, American Mathematical Society, Providence, 1997. (pdf)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: El contexto conveniente para aplicaciones diferenciables de Denjoy-Carleman no cuasianalíticas, Journal of Functional Analysis, vol. 256 (2009), 3510–3544. (arXiv:0804.2995)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: El contexto conveniente para aplicaciones diferenciables cuasianalíticas de Denjoy-Carleman, Journal of Functional Analysis, vol. 261 (2011), 1799-1834. (arXiv:0909.5632)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: El marco conveniente para aplicaciones diferenciables de Denjoy-Carleman de tipo Beurling y Roumieu. Revista Matemática Complutense (2015). doi:10.1007/s13163-014-0167-1. (arXiv:1111.1819)
• Michor, PW: Variedades de aplicaciones y formas. (arXiv:1505.02359)
• Steenrod, NE: Una categoría conveniente para espacios topológicos, Michigan Mathematical Journal, vol. 14 (1967), 133–152.