Arco arrugado

En matemáticas , y en particular en el estudio de los espacios de Hilbert , un arco ondulado es un tipo de curva continua . El concepto suele atribuirse a Paul Halmos .

En concreto, considere dónde es un espacio de Hilbert con producto interno Decimos que es un arco arrugado si es continuo y posee la propiedad de arrugarse : si entonces es decir, las cuerdas y son ortogonales siempre que los intervalos y no se superpongan . ${\displaystyle f\colon [0,1]\to X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0\leq a<b\leq c<d\leq 1}$ ${\displaystyle \langle f(b)-f(a),f(d)-f(c)\rangle =0,}$ ${\displaystyle f(b)-f(a)}$ ${\displaystyle f(d)-f(c)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [c,d]}$

Halmos señala que si dos cuerdas que no se superponen son ortogonales, entonces "la curva hace un giro en ángulo recto durante el paso entre los puntos extremos de las cuerdas" y observa que una curva de este tipo "parecería estar haciendo un giro repentino en ángulo recto en cada punto", lo que justificaría la elección de la terminología. Halmos deduce que una curva de este tipo no podría tener una tangente en ningún punto, y utiliza el concepto para justificar su afirmación de que un espacio de Hilbert de dimensión infinita es "incluso más espacioso de lo que parece".

En 1975, Richard Vitale analiza la observación empírica de Halmos de que todo intento de construir un arco arrugado da como resultado esencialmente la misma solución y demuestra que es un arco arrugado si y solo si , después de las normalizaciones apropiadas, donde es un conjunto ortonormal . Las normalizaciones que se deben permitir son las siguientes: a) Reemplazar el espacio de Hilbert H por su subespacio cerrado más pequeño que contenga todos los valores del arco arrugado; b) escalas uniformes; c) traslaciones; d) reparametrizaciones. Ahora use estas normalizaciones para definir una relación de equivalencia en arcos arrugados si dos de ellos se vuelven idénticos después de cualquier secuencia de tales normalizaciones. Entonces solo hay una clase de equivalencia, y la fórmula de Vitale describe un ejemplo canónico. ${\displaystyle f(t)}$ $${\displaystyle f(t)={\sqrt {2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\frac {\sin(n-1/2)\pi t}{(n-1/2)\pi }}}$$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}}$

Véase también

• Función vectorial de dimensión infinita#Arcos arrugados  : función cuyos valores se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinitaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

• Halmos, Paul R. (8 de noviembre de 1982). Un libro de problemas del espacio de Hilbert . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 19 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90685-0.OCLC 8169781  .
• Halmos, Paul R. (1982), Un libro de problemas del espacio de Hilbert , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 19, Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4615-9976-0, ISBN 978-1-4615-9978-4
• Vitale, Richard A. (1975), "Representación de un arco arrugado", Actas de la American Mathematical Society , 52 : 303–304, doi : 10.1090/S0002-9939-1975-0388056-1