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Espacio pseudométrico

En matemáticas , un espacio pseudométrico es una generalización de un espacio métrico en el que la distancia entre dos puntos distintos puede ser cero o negativa. Los espacios pseudométricos fueron introducidos por Đuro Kurepa [1] [2] en 1934. De la misma manera que todo espacio normado es un espacio métrico , todo espacio seminormado es un espacio pseudométrico. Debido a esta analogía, el término espacio semimétrico (que tiene un significado diferente en topología ) a veces se utiliza como sinónimo, especialmente en análisis funcional .

Cuando se genera una topología utilizando una familia de pseudometrías, el espacio se denomina espacio de calibre .

Definición

Un espacio pseudométrico es un conjunto junto con una función de valor real no negativo llamada pseudométrica , tal que para cada

  1. Simetría :
  2. Subaditividad / Desigualdad triangular :

A diferencia de un espacio métrico, los puntos en un espacio pseudométrico no necesitan ser distinguibles ; es decir, se pueden tener valores distintos

Ejemplos

Cualquier espacio métrico es un espacio pseudométrico. La pseudometría surge naturalmente en el análisis funcional . Consideremos el espacio de funciones de valor real junto con un punto especial. Este punto induce entonces una pseudometría en el espacio de funciones, dada por

Una seminorma induce la pseudométrica . Esta es una función convexa de una función afín de (en particular, una traslación ), y por lo tanto convexa en . (Lo mismo ocurre con .)

Por el contrario, una pseudometría homogénea e invariante a la traducción induce una seminorma.

La pseudometría también surge en la teoría de variedades complejas hiperbólicas : véase métrica de Kobayashi .

Cada espacio de medida puede verse como un espacio pseudométrico completo definiendo para todo donde el triángulo denota diferencia simétrica .

Si es una función y d 2 es una pseudométrica en X 2 , entonces da una pseudométrica en X 1 . Si d 2 es una métrica y f es inyectiva , entonces d 1 es una métrica.

Topología

ElLa topología pseudométrica es latopologíagenerada por lasbolas abiertasque forman unabasepara la topología.[3]Se dice que un espacio topológico es unespacio pseudometrizable [4]si al espacio se le puede dar una pseudometría tal que la topología pseudométrica coincida con la topología dada en el espacio.

La diferencia entre pseudometría y métrica es completamente topológica. Es decir, una pseudometría es una métrica si y solo si la topología que genera es T 0 (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles ).

Las definiciones de secuencias de Cauchy y completitud métrica para espacios métricos se trasladan sin cambios a los espacios pseudométricos. [5]

Identificación métrica

La desaparición de la pseudométrica induce una relación de equivalencia , llamada identificación métrica , que convierte el espacio pseudométrico en un espacio métrico completo . Esto se hace definiendo si . Sea el espacio cociente de por esta relación de equivalencia y defina Esto está bien definido porque para cualquier tenemos que y por lo tanto y viceversa. Entonces es una métrica en y es un espacio métrico bien definido, llamado espacio métrico inducido por el espacio pseudométrico . [6] [7]

La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto es abierto (o cerrado) en si y solo si es abierto (o cerrado) en y está saturado . La identificación topológica es el cociente de Kolmogorov .

Un ejemplo de esta construcción es la compleción de un espacio métrico mediante sus sucesiones de Cauchy .

Véase también

Notas

  1. ^ Kurepa, Đuro (1934). "Tableaux ramifiés d'ensembles, espaces pseudodistaciés". CR Acad. Ciencia. París . 198 (1934): 1563-1565.
  2. ^ Collatz, Lothar (1966). Análisis funcional y matemáticas numéricas . Nueva York, San Francisco, Londres: Academic Press . pág. 51.
  3. ^ "Topología pseudométrica". PlanetMath .
  4. ^ Willard, pág. 23
  5. ^ Cain, George (verano de 2000). «Capítulo 7: Espacios pseudométricos completos» (PDF) . Archivado (PDF) del original el 7 de octubre de 2020. Consultado el 7 de octubre de 2020 .
  6. ^ Howes, Norman R. (1995). Análisis y topología modernos. Nueva York, NY: Springer. pág. 27. ISBN 0-387-97986-7. Recuperado el 10 de septiembre de 2012. Sea un espacio pseudométrico y defina una relación de equivalencia en por si . Sea el espacio cociente y la proyección canónica que mapea cada punto de sobre la clase de equivalencia que lo contiene. Defina la métrica en por para cada par . Se demuestra fácilmente que es de hecho una métrica y define la topología cociente en .
  7. ^ Simon, Barry (2015). Un curso completo de análisis . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-1470410995.

Referencias