Espacio cociente (álgebra lineal)

Espacio vectorial que consta de subconjuntos afines.

En álgebra lineal , el cociente de un espacio vectorial por un subespacio es un espacio vectorial obtenido "colapsando" a cero. El espacio obtenido se llama espacio cociente y se denota (léase " mod " o " by "). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$

Definición

Formalmente, la construcción es la siguiente. ^[1] Sea un espacio vectorial sobre un campo y sea un subespacio de . Definimos una relación de equivalencia en afirmando que si . Es decir, está relacionado con si uno se puede obtener del otro añadiendo un elemento de . De esta definición se puede deducir que cualquier elemento de está relacionado con el vector cero; más precisamente, todos los vectores se asignan a la clase de equivalencia del vector cero. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y\in N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

La clase de equivalencia (o, en este caso, la clase lateral ) de a menudo se denota ${\displaystyle x}$

${\displaystyle [x]=x+N}$

ya que esta dado por

${\displaystyle [x]=\{x+n:n\in N\}}$

El espacio cociente se define entonces como el conjunto de todas las clases de equivalencia inducidas por on . La multiplicación y suma escalar se definen en las clases de equivalencia por ^{[2] [3]} ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V/_{\sim }}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle V}$

• ${\displaystyle \alpha [x]=[\alpha x]}$para todos , y ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$
• ${\displaystyle [x]+[y]=[x+y]}$.

No es difícil comprobar que estas operaciones están bien definidas (es decir, no dependen de la elección de los representantes ). Estas operaciones convierten el espacio cociente en un espacio vectorial siendo la clase cero . ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [0]}$

El mapeo que asocia a la clase de equivalencia se conoce como mapeo de cociente . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle [v]}$

En otras palabras, el espacio cociente es el conjunto de todos los subconjuntos afines de los cuales son paralelos a . ^[4] ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$

Ejemplos

Rectas en plano cartesiano

Sea X = R ² el plano cartesiano estándar y sea Y una recta que pasa por el origen en X. Entonces el espacio cociente X / Y se puede identificar con el espacio de todas las rectas en X que son paralelas a Y. Es decir, los elementos del conjunto X / Y son rectas en X paralelas a Y. Tenga en cuenta que los puntos a lo largo de cualquiera de esas líneas satisfarán la relación de equivalencia porque sus vectores de diferencia pertenecen a Y. Esto proporciona una manera de visualizar espacios cocientes geométricamente. (Al volver a parametrizar estas líneas, el espacio cociente se puede representar de manera más convencional como el espacio de todos los puntos a lo largo de una línea que pasa por el origen que no es paralela a Y. De manera similar, el espacio cociente para R ³ por una línea que pasa por el origen puede nuevamente representarse como el conjunto de todas las líneas co-paralelas, o alternativamente representarse como el espacio vectorial que consiste en un plano que solo intersecta la línea en el origen.)

Subespacios del espacio cartesiano

Otro ejemplo es el cociente de R ⁿ por el subespacio abarcado por los primeros m vectores de base estándar . El espacio R ⁿ consta de todas las n -tuplas de números reales ( x ₁ , ..., x _n ) . El subespacio, identificado con R ^m , consta de todas las n -tuplas tales que las últimas n − m entradas son cero: ( x ₁ , ..., x _m , 0, 0, ..., 0) . Dos vectores de R ⁿ están en la misma clase de equivalencia módulo el subespacio si y solo si son idénticos en las últimas n − m coordenadas. El espacio cociente R ⁿ / R ^m es isomorfo a R ^{n − m} de manera obvia.

Espacio vectorial polinomial

Sea el espacio vectorial de todos los polinomios cúbicos sobre los números reales. Entonces es un espacio cociente, donde cada elemento es el conjunto correspondiente a polinomios que difieren solo por un término cuadrático. Por ejemplo, un elemento del espacio cociente es , mientras que otro elemento del espacio cociente es . ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )/\langle x^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \{x^{3}+ax^{2}-2x+3:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \{ax^{2}+2.7x:a\in \mathbb {R} \}}$

Subespacios generales

De manera más general, si V es una suma directa (interna) de los subespacios U y W,

${\displaystyle V=U\oplus W}$

entonces el espacio cociente V / U es naturalmente isomorfo a W. ^[5]

Integrales de Lebesgue

Un ejemplo importante de un espacio cociente funcional es un espacio L p .

Propiedades

Existe un epimorfismo natural de V al espacio cociente V / U dado al enviar x a su clase de equivalencia [ x ]. El núcleo (o espacio nulo) de este epimorfismo es el subespacio U. Esta relación se resume claramente en la breve secuencia exacta

${\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0.\,}$

Si U es un subespacio de V , la dimensión de V / U se llama codimensión de U en V. Dado que una base de V se puede construir a partir de una base A de U y una base B de V / U agregando un representante de cada elemento de B a A , la dimensión de V es la suma de las dimensiones de U y V / U. . Si V es de dimensión finita , se deduce que la codimensión de U en V es la diferencia entre las dimensiones de V y U : ^{[6] [7]}

${\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).}$

Sea T  : V → W un operador lineal . El núcleo de T , denotado ker( T ), es el conjunto de todos los x en V tal que Tx = 0. El núcleo es un subespacio de V. El primer teorema de isomorfismo para espacios vectoriales dice que el espacio cociente V /ker( T ) es isomorfo a la imagen de V en W. Un corolario inmediato , para espacios de dimensión finita, es el teorema de rango-nulidad : la dimensión de V es igual a la dimensión del núcleo (la nulidad de T ) más la dimensión de la imagen (el rango de T ).

El cokernel de un operador lineal T  : V → W se define como el espacio cociente W /im( T ).

Cociente de un espacio de Banach por un subespacio

Si X es un espacio de Banach y M es un subespacio cerrado de X , entonces el cociente X / M es nuevamente un espacio de Banach. El espacio cociente ya está dotado de una estructura de espacio vectorial mediante la construcción de la sección anterior. Definimos una norma sobre X / M por

${\displaystyle \|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}=\inf _{m\in M}\|x+m\|_{X}=\inf _{y\in [x]}\|y\|_{X}.}$

Ejemplos

Sea C [0,1] el espacio de Banach de funciones continuas de valores reales en el intervalo [0,1] con la norma sup . Denota el subespacio de todas las funciones f ∈ C [0,1] con f (0) = 0 por M . Entonces la clase de equivalencia de alguna función g está determinada por su valor en 0, y el espacio cociente C [0,1]/ M es isomorfo a R .

Si X es un espacio de Hilbert , entonces el espacio cociente X / M es isomorfo al complemento ortogonal de M.

Generalización a espacios localmente convexos.

El cociente de un espacio localmente convexo por un subespacio cerrado es nuevamente localmente convexo. ^[8] De hecho, supongamos que X es localmente convexo, de modo que la topología de X es generada por una familia de seminormas { p _α  | α ∈  A } donde A es un conjunto de índices. Sea M un subespacio cerrado y defina las seminormas q _α en X / M por

${\displaystyle q_{\alpha }([x])=\inf _{v\in [x]}p_{\alpha }(v).}$

Entonces X / M es un espacio localmente convexo y su topología es la topología del cociente .

Si, además, X es metrizable , entonces también lo es X / M . Si X es un espacio de Fréchet , entonces también lo es X / M . ^[9]

Ver también

• grupo cociente
• módulo cociente
• conjunto de cocientes
• Espacio cociente (topología)

Referencias

1. Halmos (1974) págs. 33-34 §§ 21-22
2. Katznelson y Katznelson (2008) pág. 9 § 1.2.4
3. Romano (2005) pág. 75-76, cap. 3
4. Axler (2015) pág. 95, § 3.83
5. Halmos (1974) pág. 34, § 22, Teorema 1
6. Axler (2015) pág. 97, § 3.89
7. Halmos (1974) pág. 34, § 22, Teorema 2
8. Dieudonné (1976) pág. 65, § 12.14.8
9. Dieudonné (1976) pág. 54, § 12.11.3

Fuentes

• Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de Pregrado en Matemáticas (3ª ed.). Saltador . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Dieudonné, Jean (1976), Tratado de análisis , vol. 2, Prensa académica , ISBN 978-0122155024
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensiones finitas . Textos de Pregrado en Matemáticas (2ª ed.). Saltador . ISBN 0-387-90093-4.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Romano, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada . Textos de Posgrado en Matemáticas (2ª ed.). Saltador . ISBN 0-387-24766-1.