Distribución (matemáticas)

Mathematical analysis term similar to generalized function

Las distribuciones , también conocidas como distribuciones de Schwartz o funciones generalizadas , son objetos que generalizan la noción clásica de funciones en el análisis matemático . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función localmente integrable tiene una derivada distribucional .

Las distribuciones se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , donde puede ser más fácil establecer la existencia de soluciones distribucionales ( soluciones débiles ) que de soluciones clásicas , o donde sea apropiado que las soluciones clásicas puedan no existir. Las distribuciones también son importantes en física e ingeniería , donde muchos problemas conducen naturalmente a ecuaciones diferenciales cuyas soluciones o condiciones iniciales son singulares, como la función delta de Dirac .

Normalmente se piensa que una función actúa sobre los puntos del dominio de la función "enviando" un punto del dominio al punto En lugar de actuar sobre puntos, la teoría de la distribución reinterpreta las funciones como si actuaran sobre funciones de prueba de una determinada manera. En aplicaciones a la física y la ingeniería, las funciones de prueba suelen ser funciones complejas (o de valor real ) infinitamente diferenciables con soporte compacto que se definen en algún subconjunto abierto no vacío dado . ( Las funciones de protuberancia son ejemplos de funciones de prueba). El conjunto de todas esas funciones de prueba forma un espacio vectorial que se denota por o ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

Las funciones más comúnmente encontradas, incluyendo todos los mapas continuos si se usan, pueden reinterpretarse canónicamente como actuando a través de " integración contra una función de prueba". Explícitamente, esto significa que dicha función "actúa sobre" una función de prueba "enviándola" al número que a menudo se denota por Esta nueva acción de define un mapa de valor escalar cuyo dominio es el espacio de funciones de prueba. Esta funcional resulta tener las dos propiedades definitorias de lo que se conoce como una distribución en : es lineal y también es continua cuando se da una cierta topología llamada topología LF canónica . La acción (la integración ) de esta distribución en una función de prueba puede interpretarse como un promedio ponderado de la distribución en el soporte de la función de prueba, incluso si los valores de la distribución en un solo punto no están bien definidos. Distribuciones como esa surgen de funciones de esta manera son ejemplos prototípicos de distribuciones, pero existen muchas distribuciones que no se pueden definir por integración contra ninguna función. Ejemplos de esto último incluyen la función delta de Dirac y distribuciones definidas para actuar mediante la integración de funciones de prueba contra ciertas medidas . No obstante, siempre es posible reducir cualquier distribución arbitraria a una familia más simple de distribuciones relacionadas que surgen a través de tales acciones de integración. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U:=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx,}$ ${\displaystyle D_{f}(\psi ).}$ ${\textstyle \psi \mapsto D_{f}(\psi )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \psi \mapsto \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\textstyle \psi \mapsto \int _{U}\psi d\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U.}$

En términos más generales, una distribución en ${\displaystyle U}$ es, por definición, una funcional lineal en que es continua cuando se le da una topología llamada topología LF canónica . Esto conduce al espacio de (todas) las distribuciones en , usualmente denotado por (nótese la prima ), que por definición es el espacio de todas las distribuciones en (es decir, es el espacio dual continuo de ); son estas distribuciones las que constituyen el foco principal de este artículo. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Las definiciones de las topologías adecuadas en los espacios de funciones de prueba y distribuciones se dan en el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones . Este artículo se ocupa principalmente de la definición de distribuciones, junto con sus propiedades y algunos ejemplos importantes.

Historia

El uso práctico de las distribuciones se remonta al uso de las funciones de Green en la década de 1830 para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, pero no se formalizó hasta mucho después. Según Kolmogorov y Fomin (1957), las funciones generalizadas se originaron en el trabajo de Sergei Sobolev  (1936) sobre ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas de segundo orden , y las ideas fueron desarrolladas en forma algo ampliada por Laurent Schwartz a fines de la década de 1940. Según su autobiografía, Schwartz introdujo el término "distribución" por analogía con una distribución de carga eléctrica, que posiblemente incluía no solo cargas puntuales sino también dipolos, etc. Gårding (1997) comenta que, aunque las ideas del libro transformador de Schwartz (1951) no eran completamente nuevas, fue el amplio ataque de Schwartz y la convicción de que las distribuciones serían útiles casi en todas partes en el análisis lo que marcó la diferencia.

Notación

A lo largo de este artículo se utilizará la siguiente notación:

• ${\displaystyle n}$es un entero positivo fijo y es un subconjunto abierto no vacío fijo del espacio euclidiano ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$denota los números naturales .
• ${\displaystyle k}$denotará un número entero no negativo o ${\displaystyle \infty .}$
• Si es una función entonces denotará su dominio y la ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}$El soporte dedenotado porse define como elcierredel conjuntoen ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle \{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f).}$
• Para dos funciones, la siguiente notación define un emparejamiento canónico : ${\displaystyle f,g:U\to \mathbb {C} ,}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}$$
• Un multiíndice de tamaño es un elemento en (dado que es fijo, si se omite el tamaño de los multiíndices, se debe asumir que el tamaño es ). La longitud de un multiíndice se define como y se denota por Los multiíndices son particularmente útiles cuando se trata con funciones de varias variables, en particular, introducimos las siguientes notaciones para un multiíndice dado : También introducimos un orden parcial de todos los multiíndices por si y solo si para todos Cuando definimos su coeficiente binomial de multiíndice como: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle |\alpha |.}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ $${\displaystyle {\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.}$$

Definiciones de funciones de prueba y distribuciones

En esta sección se presentan algunas nociones y definiciones básicas necesarias para definir distribuciones de valores reales en U. En el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones se ofrece un análisis más detallado de las topologías en los espacios de funciones de prueba y distribuciones .

Notación :

1. Dejar ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$
2. Sea el espacio vectorial de todas las funciones reales o complejas continuamente diferenciables k veces en U. ${\displaystyle C^{k}(U)}$
3. Para cualquier subconjunto compacto, sea y ambos denotan el espacio vectorial de todas aquellas funciones tales que ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K.}$
   • Si entonces el dominio de es U y no K . Por lo tanto, aunque depende tanto de K como de U , normalmente solo se indica K . La justificación de esta práctica común se detalla a continuación. La notación solo se utilizará cuando exista riesgo de ambigüedad. ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$
   • Cada contiene el mapa constante 0 , incluso si ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K=\varnothing .}$
4. Sea el conjunto de todos tales que para algún subconjunto compacto K de U . ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$
   • Equivalentemente, es el conjunto de todos los que tienen soporte compacto. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$
   • ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$es igual a la unión de todos los rangos sobre todos los subconjuntos compactos de ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle U.}$
   • Si es una función de valor real en , entonces es un elemento de si y solo si es una función de protuberancia . Toda función de prueba de valor real en es también una función de prueba de valor complejo en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$

La gráfica de la función bump donde y Esta función es una función de prueba en y es un elemento de El soporte de esta función es el disco unitario cerrado en No es cero en el disco unitario abierto y es igual a 0 en todas partes fuera de él. ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ ${\displaystyle r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Para todos y cualesquiera subconjuntos compactos de y , tenemos: ${\displaystyle j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}}$$

Definición : Los elementos de se denominan funciones de prueba en U y se denominan espacio de funciones de prueba en U. Usaremos tanto como para denotar este espacio. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Las distribuciones en U son funcionales lineales continuas en cuando este espacio vectorial está dotado de una topología particular llamada topología LF canónica . La siguiente proposición establece dos condiciones necesarias y suficientes para la continuidad de una función lineal en que a menudo son fáciles de verificar. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Proposición : Una función lineal T en es continua, y por lo tanto una distribución , si y sólo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. Para cada subconjunto compacto existen constantes y (dependientes de ) tales que para todos con soporte contenido en , ^{[1] [2]} ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}$$
2. Para cada subconjunto compacto y cada secuencia cuyos soportes estén contenidos en , si converge uniformemente a cero en para cada multiíndice , entonces ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0.}$

Topología endoa(tú)

Ahora presentamos las seminormas que definirán la topología. Diferentes autores a veces usan diferentes familias de seminormas, por lo que enumeramos las familias más comunes a continuación. Sin embargo, la topología resultante es la misma sin importar qué familia se use. ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Supongamos que y es un subconjunto compacto arbitrario de Supongamos que es un entero tal que ^{[nota 1]} y es un multiíndice con longitud Para y define: ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|\leq k.}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U),}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}}$$

mientras que para definir todas las funciones anteriores se utiliza el mapa constante 0 . ${\displaystyle K=\varnothing ,}$

Todas las funciones anteriores son seminormas de valor no negativo ^{[nota 2]} en Como se explica en este artículo , cada conjunto de seminormas en un espacio vectorial induce una topología vectorial localmente convexa . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Cada uno de los siguientes conjuntos de seminormas genera la misma topología vectorial localmente convexa en (por ejemplo, la topología generada por las seminormas en es igual a la topología generada por las de en ). $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

El espacio vectorial está dotado de la topología localmente convexa inducida por cualquiera de las cuatro familias de seminormas descritas anteriormente. Esta topología también es igual a la topología vectorial inducida por todas las seminormas en ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D.}$

Con esta topología, se convierte en un espacio de Fréchet localmente convexo que no es normable . Cada elemento de es una seminorma continua en Bajo esta topología, una red en converge a si y solo si para cada multiíndice con y cada compacto la red de derivadas parciales converge uniformemente a en ^[3] Para cualquier subconjunto acotado (von Neumann) de es un subconjunto relativamente compacto de ^[4] En particular, un subconjunto de está acotado si y solo si está acotado en para todo ^[4] El espacio es un espacio de Montel si y solo si ^[5] ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|<k+1}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \partial ^{p}f}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle C^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle k=\infty .}$

Un subconjunto de está abierto en esta topología si y sólo si existe tal que está abierto cuando está dotado de la topología de subespacio inducida en él por ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U).}$

Topología endo^a(K)

Como antes, arregle Recuerde que si es cualquier subconjunto compacto de entonces ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).}$

Suposición : Para cualquier subconjunto compacto supondremos de ahora en adelante que está dotado de la topología de subespacio que hereda del espacio de Fréchet. ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Si es finito entonces es un espacio de Banach ^[6] con una topología que puede definirse por la norma Y cuando entonces es par un espacio de Hilbert ^[6] . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ $${\displaystyle r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).}$$ ${\displaystyle k=2,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

Extensiones triviales e independencia dedo^a(K) de la topologíatú

Supongamos que es un subconjunto abierto de y es un subconjunto compacto. Por definición, los elementos de son funciones con dominio (en símbolos, ), por lo que el espacio y su topología dependen de para dejar clara esta dependencia del conjunto abierto , denotemos temporalmente por Es importante destacar que, al cambiar el conjunto a un subconjunto abierto diferente (con ) cambiará el conjunto de a ^{[nota 3]} de modo que los elementos de serán funciones con dominio en lugar de A pesar de depender del conjunto abierto ( ), la notación estándar para no lo menciona. Esto se justifica porque, como explicará ahora esta subsección, el espacio se identifica canónicamente como un subespacio de (tanto algebraica como topológicamente). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle K\subseteq U'}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U'),}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U{\text{ or }}U'}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$

Es suficiente explicar cómo identificar canónicamente con cuando uno de y es un subconjunto del otro. La razón es que si y son subconjuntos abiertos arbitrarios de que contienen entonces el conjunto abierto también contiene de modo que cada uno de y se identifica canónicamente con y ahora por transitividad, se identifica por lo tanto con Así que supongamos que son subconjuntos abiertos de que contienen ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U:=V\cap W}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;W)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V\cap W)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;W).}$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K.}$

Dada su extensión trivial a es la función definida por: Esta extensión trivial pertenece a (porque tiene soporte compacto) y se denotará por (es decir, ). La asignación induce entonces una función que envía una función en a su extensión trivial en Esta función es una inyección lineal y para cada subconjunto compacto (donde es también un subconjunto compacto de ya que ), Si está restringida a entonces la siguiente función lineal inducida es un homeomorfismo (los homeomorfismos lineales se denominan isomorfismos TVS ): y por lo tanto la siguiente función es una incrustación topológica : Usando la inyección, el espacio vectorial se identifica canónicamente con su imagen en Porque a través de esta identificación, también puede considerarse como un subconjunto de Por lo tanto, la topología en es independiente del subconjunto abierto de que contiene ^[7] lo que justifica la práctica de escribir en lugar de ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F:V\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle I(f)}$ ${\displaystyle I(f):=F}$ ${\displaystyle f\mapsto I(f)}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K\subseteq U\subseteq V}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{c}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V).\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f).\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$

Topología LF canónica

Recordemos que denota todas las funciones en que tienen soporte compacto en donde note que es la unión de todos como rangos sobre todos los subconjuntos compactos de Además, para cada uno es un subconjunto denso de El caso especial cuando nos da el espacio de funciones de prueba. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle k,\,C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle k=\infty }$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$se llama espacio de funciones de prueba en ${\displaystyle U}$ y también puede denotarse por A menos que se indique lo contrario, está dotado de una topología llamada topología LF canónica , cuya definición se da en el artículo: Espacios de funciones de prueba y distribuciones . ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

La topología LF canónica no es metrizable y, lo que es más importante, es estrictamente más fina que la topología de subespacio que induce en Sin embargo, la topología LF canónica se convierte en un espacio de Mackey en barril bornológico nuclear ^[8] de Montel ^[9] reflexivo completo ; lo mismo es cierto de su espacio dual fuerte (es decir, el espacio de todas las distribuciones con su topología habitual). La topología LF canónica se puede definir de varias maneras. ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Distribuciones

Como se discutió anteriormente, las funcionales lineales continuas en a se conocen como distribuciones en Otras definiciones equivalentes se describen a continuación. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U.}$

Por definición, una distribución en ${\displaystyle U}$ es una funcional lineal continua en Dicho de otra manera, una distribución en es un elemento del espacio dual continuo de cuando está dotado de su topología LF canónica. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Existe un emparejamiento de dualidad canónica entre una distribución y una función de prueba que se denota mediante corchetes angulares por ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}}$$

Se interpreta esta notación como la distribución que actúa sobre la función de prueba para dar un escalar, o simétricamente como la función de prueba que actúa sobre la distribución. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T.}$

Caracterizaciones de distribuciones

Proposición. Si es una función lineal en entonces las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. T es una distribución;
2. T es continua ;
3. T es continua en el origen;
4. T es uniformemente continua ;
5. T es un operador acotado ;
6. T es secuencialmente continua ;
   • explícitamente, para cada secuencia en que converge en algún ^{[nota 4]} ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. T es secuencialmente continua en el origen; en otras palabras, T asigna secuencias nulas ^{[nota 5]} a secuencias nulas;
   • explícitamente, para cada secuencia en que converge al origen (tal secuencia se llama secuencia nula ), ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;}$
   • Una secuencia nula es por definición cualquier secuencia que converge al origen;
8. T asigna secuencias nulas a subconjuntos acotados;
   • explícitamente, para cada secuencia que converge al origen, la secuencia está acotada; ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
9. T mapea las secuencias nulas convergentes de Mackey a subconjuntos acotados;
   • explícitamente, para cada secuencia nula convergente de Mackey en la secuencia está acotada; ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
   • Se dice que una secuencia es convergente de Mackey al origen si existe una secuencia divergente de números reales positivos tal que la secuencia está acotada; toda secuencia que es convergente de Mackey al origen necesariamente converge al origen (en el sentido habitual); ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
10. El núcleo de T es un subespacio cerrado de ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U);}$
11. La gráfica de T es cerrada;
12. Existe una seminorma continua tal que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq g;}$
13. Existe una constante y un subconjunto finito (donde es cualquier colección de seminormas continuas que define la topología LF canónica en ) tales que ^{[nota 6]} ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq C(g_{1}+\cdots +g_{m});}$
14. Para cada subconjunto compacto existen constantes y tales que para todo ^[1] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};}$$
15. Para cada subconjunto compacto existen constantes y tales que para todos con soporte contenido en ^[10] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C_{K}>0}$ ${\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};}$$
16. Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en si converge uniformemente a cero para todos los multiíndices entonces ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0;}$

Topología en el espacio de distribuciones y su relación con la topología débil-*

El conjunto de todas las distribuciones en es el espacio dual continuo de , que cuando está dotado de la topología dual fuerte se denota por Es importante destacar que, a menos que se indique lo contrario, la topología en es la topología dual fuerte ; si la topología es, en cambio, la topología débil-* , se indicará así. Ninguna topología es metrizable, aunque a diferencia de la topología débil-*, la topología dual fuerte se convierte en un espacio nuclear completo , por nombrar solo algunas de sus propiedades deseables. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Ni su dual fuerte ni su dualidad fuerte son espacios secuenciales y, por lo tanto, ninguna de sus topologías puede describirse completamente mediante secuencias (en otras palabras, definir solo qué secuencias convergen en estos espacios no es suficiente para definir completa/correctamente sus topologías). Sin embargo, una secuencia en converge en la topología dual fuerte si y solo si converge en la topología débil-* (esto lleva a muchos autores a usar la convergencia puntual para definir la convergencia de una secuencia de distribuciones; esto está bien para las secuencias, pero no se garantiza que se extienda a la convergencia de redes de distribuciones porque una red puede converger puntualmente pero no converger en la topología dual fuerte). Se puede encontrar más información sobre la topología con la que está dotada en el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones y en los artículos sobre topologías polares y sistemas duales . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Una función lineal de en otro espacio vectorial topológico localmente convexo (como cualquier espacio normado ) es continua si y solo si es secuencialmente continua en el origen. Sin embargo, esto ya no está garantizado si la función no es lineal o para funciones que tienen valores en espacios topológicos más generales (por ejemplo, que no sean también espacios vectoriales topológicos localmente convexos ). Lo mismo es cierto para las funciones de (de manera más general, esto es cierto para las funciones de cualquier espacio bornológico localmente convexo ). ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Localización de distribuciones

No hay forma de definir el valor de una distribución en un punto particular de U . Sin embargo, como es el caso con las funciones, las distribuciones en U se restringen para dar distribuciones en subconjuntos abiertos de U . Además, las distribuciones se determinan localmente en el sentido de que una distribución en todo U se puede ensamblar a partir de una distribución en una cubierta abierta de U que satisface algunas condiciones de compatibilidad en las superposiciones. Tal estructura se conoce como haz . ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Extensiones y restricciones a un subconjunto abierto

Sean subconjuntos abiertos de Toda función puede extenderse por cero desde su dominio V a una función en U fijándola igual a en el complemento Esta extensión es una función suave y compacta llamada extensión trivial de a y se denotará por Esta asignación define el operador de extensión trivial que es una función lineal inyectiva continua. Se utiliza para identificar canónicamente como un subespacio vectorial de (aunque no como un subespacio topológico ). Su transpuesta (explicada aquí) se llama ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\setminus V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E_{VU}(f).}$ ${\displaystyle f\mapsto E_{VU}(f)}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ $${\displaystyle \rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),}$$restricción a de distribuciones en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ^[11]y como sugiere el nombre, la imagende una distribuciónbajo este mapa es una distribución enllamadarestricción deaLa condición definitoria de la restricciónes: Sientonces el mapa de extensión trivial (lineal inyectivo continuo)noesuna incrustación topológica (en otras palabras, si esta inyección lineal se usara para identificarcomo un subconjunto deentoncesla topología de seríaestrictamente más finaque latopología del subespacioqueinduce en él; lo que es importante,nosería unsubespacio topológicoya que eso requiere igualdad de topologías) y su rango tampoco esdensoen sucodominio^[11]En consecuencia, sientonces el mapa de restricción no es ni inyectivo ni sobreyectivo.^[11]una distribuciónesextensible a U si pertenece al rango de la transpuesta dey se llamaextensiblesi es extensible a^[11] ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ $${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).}$$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle E_{VU}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

A menos que la restricción a V no sea ni inyectiva ni sobreyectiva . La falta de sobreyectividad se deduce de ello, ya que las distribuciones pueden expandirse hacia el límite de V. Por ejemplo, si y entonces la distribución está en pero no admite extensión a ${\displaystyle U=V,}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle V=(0,2),}$ $${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

Pegados y distribuciones que desaparecen en un conjunto

Teorema ^[12]  —  Sea una colección de subconjuntos abiertos de Para cada sea y supongamos que para todos la restricción de a es igual a la restricción de a (nótese que ambas restricciones son elementos de ). Entonces existe un único tal que para todos la restricción de T a es igual a ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle T_{i}\in {\mathcal {D}}'(U_{i})}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle T_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U_{i}\cap U_{j})}$ ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i})}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}.}$

Sea V un subconjunto abierto de U. se dice que se desvanece en V si para todos tales que tenemos T se desvanece en V si y solo si la restricción de T a V es igual a 0, o equivalentemente, si y solo si T se encuentra en el núcleo de la función de restricción. ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq V}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}.}$

Corolario ^[12]  —  Sea una colección de subconjuntos abiertos de y sea si y solo si para cada una la restricción de T a es igual a 0. ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i}).}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Corolario ^[12]  —  La unión de todos los subconjuntos abiertos de U en los que una distribución T se desvanece es un subconjunto abierto de U en el que T se desvanece.

Soporte de una distribución

Este último corolario implica que para cada distribución T en U , existe un único subconjunto máximo V de U tal que T se anula en V (y no se anula en ningún subconjunto abierto de U que no esté contenido en V ) ; el complemento en U de este único subconjunto máximo abierto se llama soporte de T . ^[12] Por lo tanto $${\displaystyle \operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.}$$

Si es una función localmente integrable en U y si es su distribución asociada, entonces el soporte de es el subconjunto cerrado más pequeño de U en cuyo complemento es casi en todas partes igual a 0. ^[12] Si es continua, entonces el soporte de es igual a la clausura del conjunto de puntos en U en el que no se anula. ^[12] El soporte de la distribución asociada con la medida de Dirac en un punto es el conjunto ^[12] Si el soporte de una función de prueba no interseca el soporte de una distribución T entonces Una distribución T es 0 si y solo si su soporte está vacío. Si es idénticamente 1 en algún conjunto abierto que contenga el soporte de una distribución T entonces Si el soporte de una distribución T es compacto entonces tiene orden finito y hay una constante y un entero no negativo tales que: ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle fT=T.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle |T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Si T tiene soporte compacto, entonces tiene una extensión única a una funcional lineal continua en ; esta función puede definirse por donde es cualquier función que sea idénticamente 1 en un conjunto abierto que contenga el soporte de T . ^[7] ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\widehat {T}}(f):=T(\psi f),}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U)}$

Si y entonces y Por lo tanto, las distribuciones con soporte en un subconjunto dado forman un subespacio vectorial de ^[13] Además, si es un operador diferencial en U , entonces para todas las distribuciones T en U y todas tenemos y ^[13] ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle A\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (P(x,\partial )T)\subseteq \operatorname {supp} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T).}$

Distribuciones con soporte compacto

Apoyo en un conjunto de puntos y medidas de Dirac

Para cualquier sea la distribución inducida por la medida de Dirac en Para cualquier distribución y el soporte de T está contenido en si y sólo si T es una combinación lineal finita de derivadas de la medida de Dirac en ^[14] Si además el orden de T es entonces existen constantes tales que: ^[15] ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ $${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\alpha _{p}\partial ^{p}\delta _{x_{0}}.}$$

Dicho de otra manera, si T tiene soporte en un único punto , entonces T es de hecho una combinación lineal finita de derivadas distribucionales de la función en P. Es decir, existe un entero m y constantes complejas tales que donde es el operador de traslación. ${\displaystyle \{P\},}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$ $${\displaystyle T=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$$ ${\displaystyle \tau _{P}}$

Distribución con soporte compacto

Teorema ^[7]  —  Supóngase que T es una distribución en U con soporte compacto K . Existe una función continua definida en U y un multiíndice p tal que donde las derivadas se entienden en el sentido de distribuciones. Es decir, para todas las funciones de prueba en U , ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle T=\partial ^{p}f,}$$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle T\phi =(-1)^{|p|}\int _{U}f(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$$

Distribuciones de orden finito con soporte en un subconjunto abierto

Teorema ^[7]  —  Supóngase que T es una distribución en U con soporte compacto K y sea V un subconjunto abierto de U que contiene a K . Puesto que toda distribución con soporte compacto tiene orden finito, tomemos N como el orden de T y definamos Existe una familia de funciones continuas definidas en U con soporte en V tales que donde las derivadas se entienden en el sentido de distribuciones. Es decir, para todas las funciones de prueba en U , ${\displaystyle P:=\{0,1,\ldots ,N+2\}^{n}.}$ ${\displaystyle (f_{p})_{p\in P}}$ $${\displaystyle T=\sum _{p\in P}\partial ^{p}f_{p},}$$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle T\phi =\sum _{p\in P}(-1)^{|p|}\int _{U}f_{p}(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$$

Estructura global de distribuciones

La definición formal de distribuciones las muestra como un subespacio de un espacio muy grande, a saber, el dual topológico de (o el espacio de Schwartz para distribuciones templadas). La definición no deja claro de inmediato cuán exótica puede ser una distribución. Para responder a esta pregunta, es instructivo ver distribuciones construidas a partir de un espacio más pequeño, a saber, el espacio de funciones continuas. En términos generales, cualquier distribución es localmente una derivada (múltiple) de una función continua. Una versión precisa de este resultado, que se da a continuación, se aplica a distribuciones de soporte compacto, distribuciones templadas y distribuciones generales. En términos generales, ningún subconjunto propio del espacio de distribuciones contiene todas las funciones continuas y está cerrado bajo diferenciación. Esto dice que las distribuciones no son objetos particularmente exóticos; son tan complicadas como sea necesario. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

Distribuciones comogavillas

Teorema ^[16]  —  Sea T una distribución en U . Existe una secuencia en tal que cada T _i tiene soporte compacto y cada subconjunto compacto interseca el soporte de solo un número finito y la secuencia de sumas parciales definida por converge en en T ; en otras palabras, tenemos: Recordemos que una secuencia converge en (con su topología dual fuerte) si y solo si converge puntualmente. ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle T_{i},}$ ${\displaystyle (S_{j})_{j=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle S_{j}:=T_{1}+\cdots +T_{j},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }T_{i}.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Descomposición de distribuciones como sumas de derivadas de funciones continuas

Combinando los resultados anteriores, se puede expresar cualquier distribución en U como la suma de una serie de distribuciones con soporte compacto, donde cada una de estas distribuciones puede a su vez escribirse como una suma finita de derivadas distribucionales de funciones continuas en U. En otras palabras, para arbitrario podemos escribir: donde son conjuntos finitos de multiíndices y las funciones son continuas. ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},}$$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots }$ ${\displaystyle f_{ip}}$

Teorema ^[17]  —  Sea T una distribución en U . Para cada p multiíndice existe una función continua en U tal que ${\displaystyle g_{p}}$

1. cualquier subconjunto compacto K de U interseca el soporte de sólo un número finito de y ${\displaystyle g_{p},}$
2. ${\displaystyle T=\sum \nolimits _{p}\partial ^{p}g_{p}.}$

Además, si T tiene orden finito, entonces uno puede elegir de tal manera que sólo un número finito de ellos sean distintos de cero. ${\displaystyle g_{p}}$

Nótese que la suma infinita anterior está bien definida como una distribución. El valor de T para un determinado número puede calcularse utilizando el número finito de que intersecan el soporte de ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle g_{\alpha }}$ ${\displaystyle f.}$

Operaciones sobre distribuciones

Muchas operaciones que se definen en funciones suaves con soporte compacto también se pueden definir para distribuciones. En general, si es una función lineal que es continua con respecto a la topología débil , entonces no siempre es posible extenderla a una función mediante teoremas de extensión clásicos de topología o análisis funcional lineal. ^{[nota 7]} La ​​extensión “distribucional” del operador lineal continuo A anterior es posible si y solo si A admite un adjunto de Schwartz, es decir, otro operador lineal continuo B del mismo tipo tal que , para cada par de funciones de prueba. En esa condición, B es único y la extensión A' es la transpuesta del adjunto de Schwartz B. ^{[ cita requerida ] [18] [ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A':{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \langle Af,g\rangle =\langle f,Bg\rangle }$

Preliminares: Transposición de un operador lineal

Las operaciones sobre distribuciones y espacios de distribuciones se definen a menudo utilizando la transpuesta de un operador lineal. Esto se debe a que la transpuesta permite una presentación unificada de las muchas definiciones en la teoría de distribuciones y también porque sus propiedades son bien conocidas en el análisis funcional . ^{[19] Por ejemplo, el} adjunto hermítico bien conocido de un operador lineal entre espacios de Hilbert es simplemente la transpuesta del operador (pero con el teorema de representación de Riesz utilizado para identificar cada espacio de Hilbert con su espacio dual continuo ). En general, la transpuesta de una función lineal continua es la función lineal o, equivalentemente, es la única función que satisface para todos y cada uno (el símbolo primo en no denota una derivada de ningún tipo; simplemente indica que es un elemento del espacio dual continuo ). Dado que es continua, la transpuesta también es continua cuando ambos duales están dotados de sus respectivas topologías duales fuertes ; también es continua cuando ambos duales están dotados de sus respectivas topologías débiles* (consulte los artículos topología polar y sistema dual para obtener más detalles). ${\displaystyle A:X\to Y}$ $${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,}$$ ${\displaystyle \langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y'\in Y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'}$

En el contexto de las distribuciones, la caracterización de la transpuesta se puede refinar ligeramente. Sea una función lineal continua. Entonces, por definición, la transpuesta de es el único operador lineal que satisface: ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle \langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).}$$

Dado que es denso en (aquí, en realidad se refiere al conjunto de distribuciones ), es suficiente que la igualdad definitoria se cumpla para todas las distribuciones de la forma donde Explícitamente, esto significa que una función lineal continua es igual a si y solo si se cumple la condición siguiente: donde el lado derecho es igual a ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}}$ ${\displaystyle T=D_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}A}$ $${\displaystyle \langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)}$$ ${\displaystyle \langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.}$

Operadores diferenciales

Diferenciación de distribuciones

Sea el operador de derivada parcial. Para extender calculamos su transpuesta: ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle &=\int _{U}\psi (A\phi )\,dx&&{\text{(See above.)}}\\&=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]&=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx&&{\text{(integration by parts)}}\\[4pt]&=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]&=-\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle -A\psi ,\phi \rangle \end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la derivada parcial de con respecto a la coordenada se define por la fórmula ${\displaystyle {}^{t}A=-A.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{k}}$ $${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Con esta definición, cada distribución es infinitamente diferenciable y la derivada en la dirección es un operador lineal en ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

De manera más general, si es un multiíndice arbitrario , entonces la derivada parcial de la distribución se define por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }T}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle \langle \partial ^{\alpha }T,\phi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle T,\partial ^{\alpha }\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

La diferenciación de distribuciones es un operador continuo; esta es una propiedad importante y deseable que no comparten la mayoría de las otras nociones de diferenciación. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U);}$

Si es una distribución en entonces donde es la derivada de y es una traducción por por lo tanto la derivada de puede verse como un límite de cocientes. ^[20] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ),}$$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau _{x}}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle T}$

Operadores diferenciales que actúan sobre funciones suaves

Un operador diferencial lineal en con coeficientes suaves actúa sobre el espacio de funciones suaves en Dado tal operador, nos gustaría definir una función lineal continua, que extiende la acción de en a distribuciones en En otras palabras, nos gustaría definir tal que el siguiente diagrama conmuta : donde las funciones verticales se dan asignando su distribución canónica que se define por: Con esta notación, la conmutación del diagrama es equivalente a: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\textstyle P:=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha },}$ ${\displaystyle D_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle D_{P}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U)&{\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {D}}'(U)\\[2pt]\uparrow &&\uparrow \\[2pt]C^{\infty }(U)&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&C^{\infty }(U)\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U),}$ $${\displaystyle D_{f}(\phi )=\langle f,\phi \rangle :=\int _{U}f(x)\phi (x)\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$ $${\displaystyle D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).}$$

Para hallar la transpuesta de la función inducida continua definida por se considera en el lema siguiente. Esto conduce a la siguiente definición del operador diferencial en llamado la transpuesta formal de la cual se denotará por para evitar confusiones con la función transpuesta, que se define por ${\displaystyle D_{P},}$ ${\displaystyle {}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P(\phi )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P_{*}}$ $${\displaystyle P_{*}:=\sum _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\quad {\text{ where }}\quad b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }.}$$

Lema  —  Sea un operador diferencial lineal con coeficientes suaves en Entonces para todo tenemos que es equivalente a: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$ $${\displaystyle \left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle =\left\langle D_{P_{*}(f)},\phi \right\rangle ,}$$ $${\displaystyle {}^{t}P(D_{f})=D_{P_{*}(f)}.}$$

El Lema combinado con el hecho de que la transpuesta formal de la transpuesta formal es el operador diferencial original, es decir, ^[21] nos permite llegar a la definición correcta: la transpuesta formal induce al operador lineal canónico (continuo) definido por Afirmamos que la transpuesta de esta función, puede tomarse como Para ver esto, para cada calcule su acción sobre una distribución de la forma con : ${\displaystyle P_{**}=P,}$ ${\displaystyle P_{*}:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P_{*}(\phi ).}$ ${\displaystyle {}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle D_{P}.}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P_{*}\left(D_{f}\right),\phi \right\rangle &=\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle &&{\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\&=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle &&P_{**}=P\end{aligned}}}$$

Llamamos operador lineal continuo al operador diferencial en distribuciones que extienden . ^[21] Su acción sobre una distribución arbitraria se define mediante: ${\displaystyle D_{P}:={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle D_{P}(S)(\phi )=S\left(P_{*}(\phi )\right)\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Si converge a entonces para cada multiíndice converge a ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \alpha ,(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Multiplicación de distribuciones por funciones suaves

Un operador diferencial de orden 0 es simplemente la multiplicación por una función suavizada. Y a la inversa, si es una función suavizada entonces es un operador diferencial de orden 0, cuya transpuesta formal es ella misma (es decir, ). El operador diferencial inducido asigna una distribución a una distribución denotada por Hemos definido así la multiplicación de una distribución por una función suavizada. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P:=f(x)}$ ${\displaystyle P_{*}=P}$ ${\displaystyle D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle fT:=D_{P}(T).}$

Ahora damos una presentación alternativa de la multiplicación de una distribución en por una función suave. El producto está definido por ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m:U\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle mT}$ $${\displaystyle \langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Esta definición coincide con la definición de transposición ya que si es el operador de multiplicación por la función (es decir, ), entonces para que ${\displaystyle M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (M\phi )(x)=m(x)\phi (x)}$ $${\displaystyle \int _{U}(M\phi )(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi )(x)\,dx,}$$ ${\displaystyle {}^{t}M=M.}$

En la multiplicación por funciones suavizadas, es un módulo sobre el anillo Con esta definición de multiplicación por una función suavizada, la regla del producto ordinaria del cálculo sigue siendo válida. Sin embargo, también surgen algunas identidades inusuales. Por ejemplo, si es la distribución delta de Dirac en entonces y si es la derivada de la distribución delta, entonces ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle m\delta =m(0)\delta ,}$ ${\displaystyle \delta ^{'}}$ $${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .}$$

El mapa de multiplicación bilineal dado por no es continuo; sin embargo, es hipocontinuo . ^[22] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto fT}$

Ejemplo. El producto de cualquier distribución con la función que es idénticamente 1 en es igual a ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T.}$

Ejemplo. Supongamos que es una secuencia de funciones de prueba en que converge a la función constante Para cualquier distribución en la secuencia converge a ^[23] ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1\in C^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle (f_{i}T)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Si converge a y converge a entonces converge a ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle (f_{i}T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle fT\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Problema de multiplicación de distribuciones

Es fácil definir el producto de una distribución con una función suave, o más generalmente el producto de dos distribuciones cuyos soportes singulares son disjuntos. ^[24] Con más esfuerzo, es posible definir un producto de buen comportamiento de varias distribuciones siempre que sus conjuntos de frentes de onda en cada punto sean compatibles. Una limitación de la teoría de distribuciones (y de hiperfunciones) es que no existe un producto asociativo de dos distribuciones que extienda el producto de una distribución por una función suave, como lo demostró Laurent Schwartz en la década de 1950. Por ejemplo, si es la distribución obtenida por el valor principal de Cauchy ${\displaystyle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}}$ $${\displaystyle \left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi )=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$$

Si es la distribución delta de Dirac, entonces pero, por lo que el producto de una distribución por una función suave (que siempre está bien definida) no puede extenderse a un producto asociativo en el espacio de distribuciones. ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle (\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0}$$ $${\displaystyle \delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta }$$

Por lo tanto, los problemas no lineales no se pueden plantear en general y, por lo tanto, no se resuelven solo con la teoría de la distribución. Sin embargo, en el contexto de la teoría cuántica de campos , se pueden encontrar soluciones. En más de dos dimensiones del espacio-tiempo, el problema está relacionado con la regularización de las divergencias . Aquí Henri Epstein y Vladimir Glaser desarrollaron la teoría de perturbación causal matemáticamente rigurosa (pero extremadamente técnica) . Esto no resuelve el problema en otras situaciones. Muchas otras teorías interesantes son no lineales, como por ejemplo las ecuaciones de Navier-Stokes de dinámica de fluidos .

Se han desarrollado varias teorías no enteramente satisfactorias ^{[ cita requerida ] de} álgebras de funciones generalizadas , entre las cuales el álgebra (simplificada) de Colombeau es quizás la más popular en uso hoy en día.

Inspirado por la teoría de trayectorias aproximadas de Lyons , ^[25] Martin Hairer propuso una forma consistente de multiplicar distribuciones con ciertas estructuras ( estructuras de regularidad ^[26] ), disponibles en muchos ejemplos del análisis estocástico, en particular las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas. Véase también Gubinelli–Imkeller–Perkowski (2015) para un desarrollo relacionado basado en el paraproducto de Bony del análisis de Fourier.

Composición con función suave.

Sea una distribución en Sea un conjunto abierto en y Si es una inmersión entonces es posible definir ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F:V\to U.}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).}$$

Esta es la composición de la distribución con ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ , y también se llama retroceso de a lo largo ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ de , a veces escrito $${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$$

El retroceso se denota a menudo, aunque esta notación no debe confundirse con el uso de '*' para denotar el adjunto de una aplicación lineal. ${\displaystyle F^{*},}$

La condición de que sea una inmersión es equivalente al requisito de que la derivada jacobiana de sea una aplicación lineal sobreyectiva para cada Una condición necesaria (pero no suficiente) para extender a distribuciones es que sea una aplicación abierta . ^[27] El teorema de la función inversa asegura que una inmersión satisface esta condición. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle dF(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F}$

Si es una inmersión, entonces se define en distribuciones al encontrar la función transpuesta. La unicidad de esta extensión está garantizada ya que es un operador lineal continuo en Existencia, sin embargo, requiere el uso de la fórmula de cambio de variables , el teorema de la función inversa (localmente) y un argumento de partición de la unidad . ^[28] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

En el caso especial cuando un difeomorfismo es de un subconjunto abierto de a un subconjunto abierto de, el cambio de variables bajo la integral da: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$$

En este caso particular, entonces, se define mediante la fórmula de transposición: ${\displaystyle F^{\#}}$ $${\displaystyle \left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle .}$$

Circunvolución

En algunas circunstancias, es posible definir la convolución de una función con una distribución, o incluso la convolución de dos distribuciones. Recordemos que si y son funciones en entonces denotamos por la convolución de y definidas en como la integral siempre que la integral exista. Si son tales que entonces para cualquier función y tenemos y ^[29] Si y son funciones continuas en al menos una de las cuales tiene soporte compacto, entonces y si entonces el valor de en no depende de los valores de fuera de la suma de Minkowski ^[29] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (f\ast g)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)g(x-y)\,dy}$$ ${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$ ${\textstyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-1}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \|f\ast g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}.}$

Es importante destacar que si tiene soporte compacto, entonces, para cualquier mapa de convolución, es continuo cuando se considera como el mapa o como el mapa ^[29]. ${\displaystyle g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$ ${\displaystyle f\mapsto f\ast g}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Traslación y simetría

Dado el operador de traducción envía a definido por Esto se puede extender mediante la transposición a distribuciones de la siguiente manera: dada una distribución la traducción de por es la distribución definida por ^{[30] [31]} ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \tau _{a}f(y)=f(y-a).}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{a}T(\phi ):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle .}$

Dada define la función por Dada una distribución sea la distribución definida por El operador se llama simetría con respecto al origen . ^[30] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=f(-x).}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {T}}(\phi ):=T\left({\tilde {\phi }}\right).}$ ${\displaystyle T\mapsto {\tilde {T}}}$

Convolución de una función de prueba con una distribución

La convolución con define un mapa lineal: que es continuo con respecto a la topología del espacio LF canónico en ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}C_{f}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&g&&\mapsto \,&&f\ast g\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

La convolución de con una distribución se puede definir tomando la transpuesta de relativa al emparejamiento de dualidad de con el espacio de distribuciones. ^[32] Si entonces por el teorema de Fubini ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),}$ $${\displaystyle \langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle .}$$

Extendiendo por continuidad, la convolución de con una distribución se define por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \langle f\ast T,\phi \rangle =\left\langle T,{\tilde {f}}\ast \phi \right\rangle ,\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

Una forma alternativa de definir la convolución de una función de prueba y una distribución es utilizar el operador de traducción. La convolución de la función con soporte compacto y la distribución es entonces la función definida para cada una por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau _{a}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle .}$$

Se puede demostrar que la convolución de una función suave y con soporte compacto y una distribución es una función suave. Si la distribución tiene soporte compacto, y si es un polinomio (resp. una función exponencial, una función analítica, la restricción de una función analítica completa a la restricción de una función completa de tipo exponencial en a ), entonces lo mismo es cierto para ^[30] Si la distribución también tiene soporte compacto, entonces es una función con soporte compacto, y el teorema de convolución de Titchmarsh Hörmander (1983, Teorema 4.3.3) implica que: donde denota la envoltura convexa y denota el soporte. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T\ast f.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\ast T}$ $${\displaystyle \operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))}$$ ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} }$

Convolución de una función suave con una distribución

Sea y y supongamos que al menos uno de y tiene soporte compacto. La convolución de y denotada por o por es la función suave: ^[30] que satisface para todos : ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f\ast T}$ ${\displaystyle T\ast f,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f\ast T:\,&\mathbb {R} ^{n}&&\to \,&&\mathbb {C} \\&x&&\mapsto \,&&\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]&{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f).\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Sea el mapa . Si es una distribución, entonces es continua como un mapa . Si también tiene soporte compacto, entonces es también continua como el mapa y continua como el mapa ^[30] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\mapsto T\ast f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Si es una función lineal continua tal que para todos y todos entonces existe una distribución tal que para todos ^[7] ${\displaystyle L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L\phi =T\circ \phi }$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Ejemplo. ^[7] Sea la función de Heaviside en Para cualquier ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ),}$ $${\displaystyle (H\ast \phi )(x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt.}$$

Sea la medida de Dirac en 0 y sea su derivada como distribución. Entonces , y lo que es más importante, la ley asociativa no se cumple: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '\ast H=\delta }$ ${\displaystyle 1\ast \delta '=0.}$ $${\displaystyle 1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.}$$

Convolución de distribuciones

También es posible definir la convolución de dos distribuciones y siempre que una de ellas tenga soporte compacto. De manera informal, para definir dónde tiene soporte compacto, la idea es extender la definición de la convolución a una operación lineal sobre distribuciones de modo que la fórmula de asociatividad siga siendo válida para todas las funciones de prueba ^[33]. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle S\ast T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ $${\displaystyle S\ast (T\ast \phi )=(S\ast T)\ast \phi }$$ ${\displaystyle \phi .}$

También es posible proporcionar una caracterización más explícita de la convolución de distribuciones. ^[32] Supóngase que y son distribuciones y que tiene soporte compacto. Entonces las aplicaciones lineales son continuas. Las transpuestas de estas aplicaciones: son en consecuencia continuas y también se puede demostrar que ^[30] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\bullet \ast {\tilde {S}}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\quad {\text{ and }}\quad &&\bullet \ast {\tilde {T}}:\,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {S}}&&&&&&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {T}}\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$$ $${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right)(T)={}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right)(S).}$$

Este valor común se llama convolución de y ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ y es una distribución que se denota por o Satisface ^[30] Si y son dos distribuciones, al menos una de las cuales tiene soporte compacto, entonces para cualquier [ ^30] Si es una distribución en y si es una medida de Dirac entonces ; ^[30] por lo tanto es el elemento identidad de la operación de convolución. Además, si es una función entonces donde ahora la asociatividad de la convolución implica que para todas las funciones y ${\displaystyle S\ast T}$ ${\displaystyle T\ast S.}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle T\ast \delta =T=\delta \ast T}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\ast \delta ^{\prime }=f^{\prime }=\delta ^{\prime }\ast f}$ ${\displaystyle f^{\prime }\ast g=g^{\prime }\ast f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Supongamos que es que tiene soporte compacto. Para considerar la función ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle .}$$

Se puede demostrar fácilmente que esto define una función suave de que además tiene soporte compacto. La convolución de y está definida por ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle .}$$

Esto generaliza la noción clásica de convolución de funciones y es compatible con la diferenciación en el siguiente sentido: para cada multiíndice ${\displaystyle \alpha .}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).}$$

La convolución de un número finito de distribuciones, todas las cuales (excepto posiblemente una) tienen soporte compacto, es asociativa . ^[30]

Esta definición de convolución sigue siendo válida bajo supuestos menos restrictivos sobre y ^[34] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T.}$

La convolución de distribuciones con soporte compacto induce un mapa bilineal continuo definido por donde denota el espacio de distribuciones con soporte compacto. ^[22] Sin embargo, el mapa de convolución como función no es continuo ^[22] aunque es continuo por separado. ^[35] Los mapas de convolución y dados por ambos no son continuos. ^[22] Sin embargo, cada uno de estos mapas no continuos es, por separado, continuo e hipocontinuo . ^[22] ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle (S,T)\mapsto S*T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto f*T}$

Convolución versus multiplicación

En general, se requiere regularidad para los productos de multiplicación, y localidad para los productos de convolución. Esto se expresa en la siguiente extensión del Teorema de Convolución que garantiza la existencia tanto de productos de convolución como de multiplicación. Sea una distribución templada de rápida disminución o, equivalentemente, una función ordinaria (de crecimiento lento, suave) dentro del espacio de distribuciones templadas y sea la transformada de Fourier normalizada (unitaria, de frecuencia ordinaria) . ^[36] Entonces, según Schwartz (1951), se mantienen dentro del espacio de distribuciones templadas. ^{[37] [38] [39]} En particular, estas ecuaciones se convierten en la Fórmula de Suma de Poisson si es el Peine de Dirac . ^[40] El espacio de todas las distribuciones templadas de rápida disminución también se denomina espacio de operadores de convolución y el espacio de todas las funciones ordinarias dentro del espacio de distribuciones templadas también se denomina espacio de operadores de multiplicación. De manera más general, y ^{[41] [42]} Un caso particular es el teorema de Paley-Wiener-Schwartz que establece que y Esto se debe a que y En otras palabras, las distribuciones templadas con soporte compacto pertenecen al espacio de operadores de convolución y las funciones de Paley-Wiener, mejor conocidas como funciones de banda limitada , pertenecen al espacio de operadores de multiplicación. ^[43] ${\displaystyle F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(f*g)=F(f)\cdot F(g)\qquad {\text{ and }}\qquad F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)}$$ ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW} }$ ${\displaystyle F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'.}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {PW} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$

Por ejemplo, sea el peine de Dirac y sea el delta de Dirac ; entonces es la función que es constantemente uno y ambas ecuaciones dan como resultado la identidad del peine de Dirac . Otro ejemplo es dejar que sea el peine de Dirac y sea la función rectangular ; entonces es la función sinc y ambas ecuaciones dan como resultado el Teorema de muestreo clásico para funciones adecuadas . De manera más general, si es el peine de Dirac y es una función ventana suave ( función de Schwartz ), por ejemplo, la gaussiana , entonces es otra función ventana suave (función de Schwartz). Se conocen como suavizadores , especialmente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , o como regularizadores en física porque permiten convertir funciones generalizadas en funciones regulares . ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'}$ ${\displaystyle f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle \alpha \equiv 1\in \operatorname {PW} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle \alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW} }$ ${\displaystyle \operatorname {rect} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {S}}}$

Productos tensoriales de distribuciones

Sean y conjuntos abiertos. Supóngase que todos los espacios vectoriales están sobre el cuerpo donde o Para definir para cada y cada una de las siguientes funciones: ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle v\in V}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}}$$

Dadas y definamos las siguientes funciones: donde y Estas definiciones asocian cada y con el mapa lineal continuo (respectivo): ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V)}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&&f\ &\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&f\ &&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}}$$

Además, si alguno (resp. ) tiene soporte compacto, entonces también induce un mapa lineal continuo de (resp. ). ^[44] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)}$

Teorema de Fubini para distribuciones ^[44] — SeaySientonces ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V).}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ $${\displaystyle \langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

Elproducto tensorial dey ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V),}$denotado poroes la distribución endefinida por:^[44] ${\displaystyle S\otimes T}$ ${\displaystyle T\otimes S,}$ ${\displaystyle U\times V}$ $${\displaystyle (S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

Espacios de distribuciones

Para todos y cada uno de los siguientes mapas canónicos es continuo y tiene una imagen (también llamada rango) que es un subconjunto denso de su codominio: donde las topologías en ( ) se definen como límites directos de los espacios de una manera análoga a cómo se definieron las topologías en (por lo que, en particular, no son las topologías de norma habituales). El rango de cada uno de los mapas anteriores (y de cualquier composición de los mapas anteriores) es denso en su codominio. ^[45] ${\displaystyle 0<k<\infty }$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)\\{}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle L_{c}^{q}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$ ${\displaystyle L_{c}^{q}(K)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$

Supóngase que es uno de los espacios (para ) o (para ) o (para ). Como la inyección canónica es una inyección continua cuya imagen es densa en el codominio, la transpuesta de esta función es una inyección continua. Esta función transpuesta inyectiva permite, por tanto, que el espacio dual continuo de se identifique con un cierto subespacio vectorial del espacio de todas las distribuciones (en concreto, se identifica con la imagen de esta función transpuesta). Esta función transpuesta es continua, pero no es necesariamente una incrustación topológica . Un subespacio lineal de que lleva una topología localmente convexa que es más fina que la topología de subespacio inducida en él por se denomina espacio de distribuciones . ^[46] Casi todos los espacios de distribuciones mencionados en este artículo surgen de esta manera (por ejemplo, distribución templada, restricciones, distribuciones de orden algún entero, distribuciones inducidas por una medida de Radon positiva, distribuciones inducidas por una función , etc.) y cualquier teorema de representación sobre el espacio dual continuo de puede, a través de la transpuesta, transferirse directamente a elementos del espacio. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).}$

Medidas de radón

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición también es una inyección continua. ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$

Nótese que el espacio dual continuo puede identificarse como el espacio de medidas de Radon , donde existe una correspondencia biunívoca entre las funciones lineales continuas y la integral con respecto a una medida de Radon; es decir, ${\displaystyle (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ ${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$

• si entonces existe una medida de Radon en U tal que para todos y ${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\int _{U}f\,d\mu ,}$
• Si es una medida de radón en U entonces la funcional lineal definida al enviar a es continua. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$ ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U)}$ ${\textstyle \int _{U}f\,d\mu }$

A través de la inyección, cada medida de Radon se convierte en una distribución en U. Si es una función localmente integrable en U , entonces la distribución es una medida de Radon; por lo tanto, las medidas de Radon forman un espacio grande e importante de distribuciones. ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \phi \mapsto \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$

El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de medidas de Radon , que muestra que cada medida de Radon puede escribirse como una suma de derivadas de funciones locales en U : ${\displaystyle L^{\infty }}$

Teorema. ^[47]  —  Supóngaseque es una medida de Radon, dondeseaun entorno del soporte dey seaExiste una familiadefunciones locales en U tales quepara caday Además,es también igual a una suma finita de derivadas de funciones continuas endonde cada derivada tiene orden ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.}$ ${\displaystyle f=(f_{p})_{p\in I}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} f_{p}\subseteq V}$ ${\displaystyle p\in I,}$ $${\displaystyle T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \leq 2n.}$

Medidas positivas de radón

Una función lineal en un espacio de funciones se llama positiva si siempre que una función que pertenece al dominio de no es negativa (es decir, tiene valor real y ), entonces se puede demostrar que toda función lineal positiva en es necesariamente continua (es decir, necesariamente una medida de Radon). ^[48] La medida de Lebesgue es un ejemplo de una medida de Radon positiva. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle T(f)\geq 0.}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$

Funciones integrables localmente como distribuciones

Una clase particularmente importante de medidas de Radon son aquellas que son funciones integrables localmente inducidas. La función se llama localmente integrable si es integrable según Lebesgue sobre cada subconjunto compacto K de U. Esta es una clase grande de funciones que incluye todas las funciones continuas y todas las funciones del espacio Lp . La topología en se define de tal manera que cualquier función integrable localmente produce una función lineal continua en –es decir, un elemento de– denotado aquí por cuyo valor en la función de prueba está dado por la integral de Lebesgue: ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T_{f},}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.}$$

Convencionalmente, se abusa de la notación al identificar con siempre que no surja confusión, y por lo tanto, el emparejamiento entre y a menudo se escribe ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .}$$

Si y son dos funciones localmente integrables, entonces las distribuciones asociadas y son iguales al mismo elemento de si y solo si y son iguales casi en todas partes (ver, por ejemplo, Hörmander (1983, Teorema 1.2.5)). De manera similar, cada medida de Radon en define un elemento de cuyo valor en la función de prueba es Como se indicó anteriormente, es convencional abusar de la notación y escribir el emparejamiento entre una medida de Radon y una función de prueba como A la inversa, como se muestra en un teorema de Schwartz (similar al teorema de representación de Riesz ), cada distribución que no es negativa en funciones no negativas es de esta forma para alguna medida de Radon (positiva). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \int \phi \,d\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle \mu ,\phi \rangle .}$

Las funciones de prueba se consideran distribuciones

Las funciones de prueba son en sí mismas integrables localmente y, por lo tanto, definen distribuciones. El espacio de funciones de prueba es secuencialmente denso en con respecto a la topología fuerte en ^[49]. Esto significa que para cualquier hay una secuencia de funciones de prueba, que converge a (en su topología dual fuerte) cuando se considera como una secuencia de distribuciones. O equivalentemente, ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle (\phi _{i})_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle \langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Distribuciones con soporte compacto

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que el mapa de transposición también es una inyección continua. Así, la imagen de la transposición, denotada por forma un espacio de distribuciones. ^[13] ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U),}$

Los elementos de pueden identificarse como el espacio de distribuciones con soporte compacto. ^[13] Explícitamente, si es una distribución en U entonces las siguientes son equivalentes, ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}'(U).}$
• El soporte de es compacto. ${\displaystyle T}$
• La restricción de cuando ese espacio está equipado con la topología de subespacio heredada de (una topología más burda que la topología LF canónica), es continua. ^[13] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$
• Existe un subconjunto compacto K de U tal que para cada función de prueba cuyo soporte esté completamente fuera de K , tenemos ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T(\phi )=0.}$

Las distribuciones con soporte compacto definen funciones lineales continuas en el espacio ; recuerde que la topología en se define de modo que una secuencia de funciones de prueba converge a 0 si y solo si todas las derivadas de convergen uniformemente a 0 en cada subconjunto compacto de U . A la inversa, se puede demostrar que cada función lineal continua en este espacio define una distribución con soporte compacto. Por lo tanto, las distribuciones con soporte compacto se pueden identificar con aquellas distribuciones que se pueden extender de a ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Distribuciones de orden finito

Sea El mapa de inclusión una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. En consecuencia, la imagen de denotada por forma un espacio de distribuciones. Los elementos de son las distribuciones de orden ^[16] Las distribuciones de orden que también se denominan distribuciones de orden 0 son exactamente las distribuciones que son medidas de Radon (descritas anteriormente). ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)}$ ${\displaystyle \,\leq k.}$ ${\displaystyle \,\leq 0,}$

Para una distribución de orden k es una distribución de orden que no es una distribución de orden . ^[16] ${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \,\leq k}$ ${\displaystyle \,\leq k-1}$

A distribution is said to be of finite order if there is some integer ${\displaystyle k}$ such that it is a distribution of order ${\displaystyle \,\leq k,}$ and the set of distributions of finite order is denoted by ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U).}$ Note that if ${\displaystyle k\leq l}$ then ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)}$ so that ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U):=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal {D}}'^{n}(U)}$ is a vector subspace of ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$, and furthermore, if and only if ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U).}$^[16]

Structure of distributions of finite order

Every distribution with compact support in U is a distribution of finite order.^[16] Indeed, every distribution in U is locally a distribution of finite order, in the following sense:^[16] If V is an open and relatively compact subset of U and if ${\displaystyle \rho _{VU}}$ is the restriction mapping from U to V, then the image of ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ under ${\displaystyle \rho _{VU}}$ is contained in ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(V).}$

The following is the theorem of the structure of distributions of finite order, which shows that every distribution of finite order can be written as a sum of derivatives of Radon measures:

Theorem^[16] — Suppose ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ has finite order and ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.}$ Given any open subset V of U containing the support of ${\displaystyle T,}$ there is a family of Radon measures in U, ${\displaystyle (\mu _{p})_{p\in I},}$ such that for very ${\displaystyle p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V}$ and $${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.}$$

Example. (Distributions of infinite order) Let ${\displaystyle U:=(0,\infty )}$ and for every test function ${\displaystyle f,}$ let $${\displaystyle Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).}$$

Then ${\displaystyle S}$ is a distribution of infinite order on U. Moreover, ${\displaystyle S}$ can not be extended to a distribution on ${\displaystyle \mathbb {R} }$; that is, there exists no distribution ${\displaystyle T}$ on ${\displaystyle \mathbb {R} }$ such that the restriction of ${\displaystyle T}$ to U is equal to ${\displaystyle S.}$^[50]

Tempered distributions and Fourier transform

Defined below are the tempered distributions, which form a subspace of ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ the space of distributions on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ This is a proper subspace: while every tempered distribution is a distribution and an element of ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ the converse is not true. Tempered distributions are useful if one studies the Fourier transform since all tempered distributions have a Fourier transform, which is not true for an arbitrary distribution in ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).}$

Schwartz space

The Schwartz space ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ is the space of all smooth functions that are rapidly decreasing at infinity along with all partial derivatives. Thus ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ is in the Schwartz space provided that any derivative of ${\displaystyle \phi ,}$ multiplied with any power of ${\displaystyle |x|,}$ converges to 0 as ${\displaystyle |x|\to \infty .}$ These functions form a complete TVS with a suitably defined family of seminorms. More precisely, for any multi-indices ${\displaystyle \alpha }$ and ${\displaystyle \beta }$ define $${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.}$$

Then ${\displaystyle \phi }$ is in the Schwartz space if all the values satisfy $${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .}$$

The family of seminorms ${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }}$ defines a locally convex topology on the Schwartz space. For ${\displaystyle n=1,}$ the seminorms are, in fact, norms on the Schwartz space. One can also use the following family of seminorms to define the topology:^[51] $${\displaystyle |f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .}$$

Otherwise, one can define a norm on ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ via $${\displaystyle \|\phi \|_{k}=\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.}$$

The Schwartz space is a Fréchet space (that is, a complete metrizable locally convex space). Because the Fourier transform changes ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$ into multiplication by ${\displaystyle x^{\alpha }}$ and vice versa, this symmetry implies that the Fourier transform of a Schwartz function is also a Schwartz function.

A sequence ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ converges to 0 in ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ if and only if the functions ${\displaystyle (1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)}$ converge to 0 uniformly in the whole of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ which implies that such a sequence must converge to zero in ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$^[51]

${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ is dense in ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$ The subset of all analytic Schwartz functions is dense in ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ as well.^[52]

The Schwartz space is nuclear, and the tensor product of two maps induces a canonical surjective TVS-isomorphisms $${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),}$$where ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ represents the completion of the injective tensor product (which in this case is identical to the completion of the projective tensor product).^[53]

Tempered distributions

The inclusion map ${\displaystyle \operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ is a continuous injection whose image is dense in its codomain, so the transpose ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ is also a continuous injection. Thus, the image of the transpose map, denoted by ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ forms a space of distributions.

The space ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ is called the space of tempered distributions. It is the continuous dual space of the Schwartz space. Equivalently, a distribution ${\displaystyle T}$ is a tempered distribution if and only if $${\displaystyle \left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.}$$

The derivative of a tempered distribution is again a tempered distribution. Tempered distributions generalize the bounded (or slow-growing) locally integrable functions; all distributions with compact support and all square-integrable functions are tempered distributions. More generally, all functions that are products of polynomials with elements of Lp space ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ for ${\displaystyle p\geq 1}$ are tempered distributions.

The tempered distributions can also be characterized as slowly growing, meaning that each derivative of ${\displaystyle T}$ grows at most as fast as some polynomial. This characterization is dual to the rapidly falling behaviour of the derivatives of a function in the Schwartz space, where each derivative of ${\displaystyle \phi }$ decays faster than every inverse power of ${\displaystyle |x|.}$ An example of a rapidly falling function is ${\displaystyle |x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })}$ for any positive ${\displaystyle n,\lambda ,\beta .}$

Fourier transform

To study the Fourier transform, it is best to consider complex-valued test functions and complex-linear distributions. The ordinary continuous Fourier transform ${\displaystyle F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ is a TVS-automorphism of the Schwartz space, and the Fourier transform is defined to be its transpose ${\displaystyle {}^{t}F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ which (abusing notation) will again be denoted by ${\displaystyle F.}$ So the Fourier transform of the tempered distribution ${\displaystyle T}$ is defined by ${\displaystyle (FT)(\psi )=T(F\psi )}$ for every Schwartz function ${\displaystyle \psi .}$ ${\displaystyle FT}$ is thus again a tempered distribution. The Fourier transform is a TVS isomorphism from the space of tempered distributions onto itself. This operation is compatible with differentiation in the sense that $${\displaystyle F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT}$$and also with convolution: if ${\displaystyle T}$ is a tempered distribution and ${\displaystyle \psi }$ is a slowly increasing smooth function on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \psi T}$ is again a tempered distribution and $${\displaystyle F(\psi T)=F\psi *FT}$$is the convolution of ${\displaystyle FT}$ and ${\displaystyle F\psi .}$ In particular, the Fourier transform of the constant function equal to 1 is the ${\displaystyle \delta }$ distribution.

Expressing tempered distributions as sums of derivatives

If ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ is a tempered distribution, then there exists a constant ${\displaystyle C>0,}$ and positive integers ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ such that for all Schwartz functions ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).}$$

This estimate, along with some techniques from functional analysis, can be used to show that there is a continuous slowly increasing function ${\displaystyle F}$ and a multi-index ${\displaystyle \alpha }$ such that $${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F.}$$

Restriction of distributions to compact sets

If ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ then for any compact set ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ there exists a continuous function ${\displaystyle F}$compactly supported in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (possibly on a larger set than K itself) and a multi-index ${\displaystyle \alpha }$ such that ${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F}$ on ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K).}$

Using holomorphic functions as test functions

The success of the theory led to an investigation of the idea of hyperfunction, in which spaces of holomorphic functions are used as test functions. A refined theory has been developed, in particular Mikio Sato's algebraic analysis, using sheaf theory and several complex variables. This extends the range of symbolic methods that can be made into rigorous mathematics, for example, Feynman integrals.

See also

• Cauchy principal value – Method for assigning values to certain improper integrals which would otherwise be undefined
• Gelfand triple – Construction linking the study of "bound" and continuous eigenvalues in functional analysisPages displaying short descriptions of redirect targets
• Gelfand–Shilov space
• Generalized function – Objects extending the notion of functions
• Hilbert transform – Integral transform and linear operator
• Homogeneous distribution
• Laplacian of the indicator – Limit of sequence of smooth functions
• Limit of distributions
• Mollifier – Integration kernels for smoothing out sharp features
• Vague topology

Differential equations related

• Fundamental solution – Concept in the solution of linear partial differential equations
• Pseudo-differential operator – Type of differential operator
• Weak solution – Mathematical solution

Generalizations of distributions

• Colombeau algebra – commutative associative differential algebra of generalized functions into which smooth functions (but not arbitrary continuous ones) embed as a subalgebra and distributions embed as a subspacePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Current (mathematics) – Distributions on spaces of differential forms
• Distribution (number theory) – function on finite sets which is analogous to an integralPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Distribution on a linear algebraic group – Linear function satisfying a support condition
• Green's function – Impulse response of an inhomogeneous linear differential operator
• Hyperfunction – Type of generalized function
• Malgrange–Ehrenpreis theorem

Notes

1. Note that ${\displaystyle i}$ being an integer implies ${\displaystyle i\neq \infty .}$ This is sometimes expressed as ${\displaystyle 0\leq i<k+1.}$ Since ${\displaystyle \infty +1=\infty ,}$ the inequality " ${\displaystyle 0\leq i<k+1}$" means: ${\displaystyle 0\leq i<\infty }$ if ${\displaystyle k=\infty ,}$ while if ${\displaystyle k\neq \infty }$ then it means ${\displaystyle 0\leq i\leq k.}$
2. The image of the compact set ${\displaystyle K}$ under a continuous ${\displaystyle \mathbb {R} }$-valued map (for example, ${\displaystyle x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|}$ for ${\displaystyle x\in U}$) is itself a compact, and thus bounded, subset of ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ If ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ then this implies that each of the functions defined above is ${\displaystyle \mathbb {R} }$-valued (that is, none of the supremums above are ever equal to ${\displaystyle \infty }$).
3. Exactly as with ${\displaystyle C^{k}(K;U),}$ the space ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$ is defined to be the vector subspace of ${\displaystyle C^{k}(U')}$ consisting of maps with support contained in ${\displaystyle K}$ endowed with the subspace topology it inherits from ${\displaystyle C^{k}(U')}$.
4. Even though the topology of ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ is not metrizable, a linear functional on ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ is continuous if and only if it is sequentially continuous.
5. A null sequence is a sequence that converges to the origin.
6. If ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is also directed under the usual function comparison then we can take the finite collection to consist of a single element.
7. The extension theorem for mappings defined from a subspace S of a topological vector space E to the topological space E itself works for non-linear mappings as well, provided they are assumed to be uniformly continuous. But, unfortunately, this is not our case, we would desire to “extend” a linear continuous mapping A from a tvs E into another tvs F, in order to obtain a linear continuous mapping from the dual E’ to the dual F’ (note the order of spaces). In general, this is not even an extension problem, because (in general) E is not necessarily a subset of its own dual E’. Moreover, It is not a classic topological transpose problem, because the transpose of A goes from F’ to E’ and not from E’ to F’. Our case needs, indeed, a new order of ideas, involving the specific topological properties of the Laurent Schwartz spaces D(U) and D’(U), together with the fundamental concept of weak (or Schwartz) adjoint of the linear continuous operator A.
8. For example, let ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ and take ${\displaystyle P}$ to be the ordinary derivative for functions of one real variable and assume the support of ${\displaystyle \phi }$ to be contained in the finite interval ${\displaystyle (a,b),}$ then since ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi )\subseteq (a,b)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }\phi '(x)f(x)\,dx&=\int _{a}^{b}\phi '(x)f(x)\,dx\\&=\phi (x)f(x){\big \vert }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\phi (b)f(b)-\phi (a)f(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\end{aligned}}}$$where the last equality is because ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)=0.}$

References

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27. See for example Hörmander 1983, Theorem 6.1.1.
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31. See for example Rudin 1991, §6.29.
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Further reading

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• V.S. Vladimirov (2002). Methods of the theory of generalized functions. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized functions, space of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized function, derivative of a", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Vladimirov, V.S. (2001) [1994], "Generalized functions, product of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Oberguggenberger, Michael (2001) [1994], "Generalized function algebras", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.