Operador lineal continuo

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un operador lineal continuo o mapeo lineal continuo es una transformación lineal continua entre espacios vectoriales topológicos .

Un operador entre dos espacios normados es un operador lineal acotado si y sólo si es un operador lineal continuo.

Operadores lineales continuos

Caracterizaciones de la continuidad

Supongamos que es un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS). Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$es continuo.
2. ${\displaystyle F}$es continuo en algún punto ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle F}$es continua en el origen en ${\displaystyle X.}$

Si es localmente convexo , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle Y}$

4. para cada seminorma continua existe una seminorma continua tal que ^[1] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ F\leq p.}$

Si y son espacios localmente convexos de Hausdorff , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

5. ${\displaystyle F}$es débilmente continuo y su transposición asigna subconjuntos equicontinuos de a subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle {}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Si es un espacio secuencial (como un espacio pseudometrizable ), entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle F}$es secuencialmente continuo en algún (o equivalentemente, en cada) punto de su dominio.

Si es pseudometrizable o metrizable (como un espacio normado o de Banach ), entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle F}$es un operador lineal acotado (es decir, asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de ). ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Si es un espacio seminormable (como un espacio normado ), entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$asigna alguna vecindad de 0 a un subconjunto acotado de ^[3] ${\displaystyle Y.}$

Si y son espacios normados o seminormados (con ambos seminormas indicados por ), esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

9. por cada existe alguno tal que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$
   $${\displaystyle {\text{ for all }}x,y\in X,{\text{ if }}\|x-y\|<\delta {\text{ then }}\|Fx-Fy\|<r.}$$

Si y son espacios de Hausdorff localmente convexos con dimensión finita, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

10. la gráfica de está cerrada en ^[4] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Continuidad y limitación

En todo momento, hay un mapa lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS). ${\displaystyle F:X\to Y}$

Subconjunto acotado

La noción de "conjunto acotado" para un espacio vectorial topológico es la de ser un conjunto acotado de von Neumann . Si el espacio también es un espacio normado (o un espacio seminormado ), entonces un subconjunto está acotado por von Neumann si y sólo si está acotado por normas , lo que significa que un subconjunto de un espacio normado (o seminormado) se llama acotado si es acotado por normas (o equivalentemente, acotado por von Neumann). Por ejemplo, el campo escalar ( o ) con valor absoluto es un espacio normado, por lo que un subconjunto está acotado si y sólo si es finito, lo que ocurre si y sólo si está contenido en alguna bola abierta (o cerrada) centrada en el origen. (cero). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}\|s\|<\infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}|s|}$ ${\displaystyle S}$

Cualquier traslación, múltiplo escalar y subconjunto de un conjunto acotado vuelve a estar acotado.

Función acotada en un conjunto

Si es un conjunto entonces se dice que es ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$acotado en ${\displaystyle S}$ sies unsubconjunto acotadodelcual ifes un espacio normado (o seminormado) ocurre si y solo si Un mapa linealestá acotado en un conjuntosi y solo si está acotadopara cada(porquey cualquier traducción de un conjunto acotado está nuevamente acotado) si y solo si está acotadopara cada escalar distinto de cero(porquey cualquier múltiplo escalar de un conjunto acotado está nuevamente acotado). En consecuencia, sies un espacio normado o seminormado, entonces una aplicación linealestá acotada por alguna (equivalentemente, por cada) bola abierta o cerrada no degenerada (no necesariamente centrada en el origen y de cualquier radio) si y sólo si es acotada en la bola unitaria cerrada centrada en el origen ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}\|F(s)\|<\infty .}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S:=\{x+s:s\in S\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F(x+S)=F(x)+F(S)}$ ${\displaystyle cS:=\{cs:s\in S\}}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle F(cS)=cF(S)}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|\leq 1\}.}$

Mapas lineales acotados

Por definición, se dice que un mapa lineal entre TVS está acotado y se llama ${\displaystyle F:X\to Y}$operador lineal acotado si para cadasubconjunto acotado (von Neumann) de su dominio,es un subconjunto acotado de su codominio; o dicho más brevemente, si está acotado en cada subconjunto acotado de su dominio. Cuando el dominioes un espacio normado (o seminormado), basta con comprobar esta condición para la bola unitaria abierta o cerrada centrada en el origen. Explícitamente, sidenota esta bola, entonceses un operador lineal acotado si y solo sies un subconjunto acotado desitambién es un espacio (semi)normado, entonces esto sucede si y solo si lanorma del operadores finita. Todooperador linealsecuencialmente continuo^[5] ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F\left(B_{1}\right)}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|F\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\|F(x)\|<\infty }$

Función acotada a un barrio y acotación local

Por el contrario, se dice que un mapa es ${\displaystyle F:X\to Y}$delimitado por una vecindad de un puntoo ${\displaystyle x\in X}$acotado localmente en si existe unavecindadde este puntotal quesea unsubconjunto acotadode Es " ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y.}$acotado en una vecindad " (de algún punto) si existealgúnpuntoen su dominio en el que está acotado localmente, en cuyo caso este mapa linealestá necesariamente acotado localmente encadapunto de su dominio. El término " ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$" limitado localmente " se utiliza a veces para referirse a un mapa que está delimitado localmente en cada punto de su dominio, pero algunos autores de análisis funcional definen "limitado localmente" como sinónimo de "operador lineal acotado", que están relacionados peronoson equivalentes. Por esta razón, este artículo evitará el término "limitado localmente" y en su lugar dirá "limitado localmente en cada punto" (no hay desacuerdo sobre la definición de "limitado localmenteen un punto").

Acotado en una vecindad implica continuo implica acotado

Un mapa lineal está "acotado por una vecindad" (de algún punto) si y sólo si está acotado localmente en cada punto de su dominio, en cuyo caso es necesariamente continuo ^[2] (incluso si su dominio no es un espacio normado ) y por tanto también acotado (porque un operador lineal continuo es siempre un operador lineal acotado ). ^[6]

Para cualquier mapa lineal, si está acotado en una vecindad entonces es continuo, ^{[2] [7]} y si es continuo entonces está acotado . ^[6] Las afirmaciones inversas no son ciertas en general, pero ambas son verdaderas cuando el dominio del mapa lineal es un espacio normado . A continuación se proporcionan ejemplos y detalles adicionales.

Continuo y acotado pero no acotado en una vecindad

El siguiente ejemplo muestra que es posible que un mapa lineal sea continuo (y por lo tanto también acotado) pero no acotado en ninguna vecindad. En particular, demuestra que estar "limitado a un barrio" no siempre es sinónimo de estar " limitado ".

Ejemplo : un mapa lineal continuo y acotado que no está acotado en ninguna vecindad : siel mapa de identidad está en algún espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces este mapa lineal es siempre continuo (de hecho, incluso un isomorfismo TVS ) y acotado , peroestá acotadoen una vecindad si y sólo si existe una vecindad acotada del origen enla que equivale a ser un espacio seminormable (que sies Hausdorff, es lo mismo que ser un espacio normable ). Esto muestra que es posible que un mapa lineal sea continuo pero no esté limitado por ningún vecindario. De hecho, este ejemplo muestra que todo espacio localmente convexo que no es seminormable tiene un automorfismo TVS lineal que no está acotado por ninguna vecindad de ningún punto. Así, aunque todo mapa lineal delimitado por una vecindad es necesariamente continuo, en general no se garantiza lo contrario. ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Garantizar converses

Para resumir la discusión a continuación, para un mapa lineal en un espacio normado (o seminormado), ser continuo, estar acotado y estar acotado en una vecindad son todos equivalentes . Un mapa lineal cuyo dominio o codominio es normal (o seminormable) es continuo si y sólo si está limitado por una vecindad. Y un operador lineal acotado valorado en un espacio localmente convexo será continuo si su dominio es (pseudo)metrizable ^[2] o bornológico . ^[6]

Garantizar que "continuo" implica "limitado a un vecindario"

Se dice que un TVS está acotado localmente si existe una vecindad que también es un conjunto acotado . ^[8] Por ejemplo, cada espacio normado o seminormado es un TVS localmente acotado ya que la bola unitaria centrada en el origen es una vecindad acotada del origen. Si es una vecindad acotada del origen en un TVS (localmente acotado), entonces su imagen bajo cualquier mapa lineal continuo será un conjunto acotado (por lo que este mapa está acotado en esta vecindad ). En consecuencia, un mapa lineal desde un TVS localmente delimitado hacia cualquier otro TVS es continuo si y sólo si está limitado por una vecindad. Además, cualquier TVS con esta propiedad debe ser un TVS limitado localmente. Explícitamente, si es un TVS tal que cada mapa lineal continuo (en cualquier TVS) cuyo dominio está necesariamente acotado en una vecindad, entonces debe ser un TVS acotado localmente (porque la función de identidad es siempre un mapa lineal continuo). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X}$

Cualquier mapa lineal de un TVS a un TVS localmente delimitado (como cualquier funcional lineal) es continuo si y sólo si está delimitado por una vecindad. ^[8] Por el contrario, si un TVS es tal que cada mapa lineal continuo (de cualquier TVS) con codominio está necesariamente acotado en una vecindad, entonces debe ser un TVS acotado localmente. ^[8] En particular, un funcional lineal en un TVS arbitrario es continuo si y sólo si está acotado en una vecindad. ^[8] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Así, cuando el dominio o codominio de una aplicación lineal es normal o seminormable, entonces la continuidad será equivalente a estar acotada por una vecindad.

Garantizar que "limitado" implica "continuo"

Un operador lineal continuo es siempre un operador lineal acotado . ^[6] Pero lo más importante es que, en el entorno más general de un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos arbitrarios, es posible que un operador lineal esté acotado pero no sea continuo.

Un mapa lineal cuyo dominio es pseudometrizable (como cualquier espacio normado ) está acotado si y sólo si es continuo. ^[2] Lo mismo ocurre con una aplicación lineal desde un espacio bornológico a un espacio localmente convexo . ^[6]

Garantizar que "limitado" implica "limitado a un barrio"

En general, sin información adicional sobre el mapa lineal o su dominio o codominio, el hecho de que el mapa esté "limitado" no equivale a que esté "limitado por una vecindad". Si es un operador lineal acotado desde un espacio normado hacia algún TVS, entonces es necesariamente continuo; esto se debe a que cualquier bola abierta centrada en el origen en es a la vez un subconjunto acotado (lo que implica que está acotado ya que es un mapa lineal acotado) y una vecindad del origen en de modo que está acotada en esta vecindad del origen, que ( como se mencionó anteriormente) garantiza la continuidad. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$

Funcionales lineales continuos

Cada funcional lineal en un espacio vectorial topológico (TVS) es un operador lineal, por lo que se les aplican todas las propiedades descritas anteriormente para los operadores lineales continuos. Sin embargo, debido a su naturaleza especializada, podemos decir aún más sobre los funcionales lineales continuos que sobre los operadores lineales continuos más generales.

Caracterización de funcionales lineales continuos.

Sea un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo ( no necesita ser Hausdorff o localmente convexo ) y sea un funcional lineal en. Los siguientes son equivalentes: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle f}$es continuo.
2. ${\displaystyle f}$es uniformemente continuo en ${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle f}$es continua en algún punto de ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle f}$es continua en el origen.
   • Por definición, se dice que es continua en el origen si para cada bola abierta (o cerrada) de radio centrada en en el codominio existe alguna vecindad del origen de tal manera que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}.}$
   • Si es una bola cerrada entonces la condición se cumple si y sólo si ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r.}$
     • Es importante que sea un balón cerrado en esta caracterización suprema . Suponiendo que, en cambio, se trata de una pelota abierta, entonces es una condición suficiente pero no necesaria para que sea verdadera (considere, por ejemplo, cuándo está el mapa de identidad en y ), mientras que la desigualdad no estricta es, en cambio, una condición necesaria pero no suficiente para que sea cierta. verdadero (considere, por ejemplo, y el vecindario cerrado ). Esta es una de varias razones por las que muchas definiciones que involucran funcionales lineales, como conjuntos polares , por ejemplo, involucran vecindades cerradas (en lugar de abiertas) y desigualdades no estrictas (en lugar de estrictas ). ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<r}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle f=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {F} }$ ${\displaystyle U=B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id} ,}$ ${\displaystyle U=[-r,r]}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,}$
5. ${\displaystyle f}$está delimitado por un vecindario (de algún punto). Dicho de otra manera, es un objeto acotado localmente en algún punto de su dominio. ${\displaystyle f}$
   • Explícitamente, esto significa que existe alguna vecindad de algún punto tal que sea un subconjunto acotado de ^[2], es decir, tal que Este supremo sobre la vecindad es igual a si y sólo si ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ;}$ ${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f=0.}$
   • Es importante destacar que un funcional lineal "limitado por una vecindad" en general no es equivalente a ser un " funcional lineal acotado " porque (como se describió anteriormente) es posible que un mapa lineal sea acotado pero no continuo. Sin embargo, la continuidad y la acotación son equivalentes si el dominio es un espacio normado o seminormado ; es decir, para un funcional lineal en un espacio normado, estar "delimitado" equivale a estar "delimitado por una vecindad".
6. ${\displaystyle f}$está delimitado por una vecindad del origen. Dicho de otra manera, es un límite local en el origen. ${\displaystyle f}$
   • La igualdad es válida para todos los escalares y entonces será vecina del origen. Entonces, en particular, si es un número real positivo, entonces para cada real positivo el conjunto es una vecindad del origen y el uso demuestra la siguiente afirmación cuando ${\displaystyle \sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle sU}$ ${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U}$ ${\displaystyle \displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r.}$ ${\displaystyle r:=1}$ ${\displaystyle R\neq 0.}$
7. Existe alguna vecindad del origen tal que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$
   • Esta desigualdad se cumple si y sólo si para todo real que muestre que los múltiplos escalares positivos de esta única vecindad satisfarán la definición de continuidad en el origen dada en (4) arriba. ${\displaystyle \sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle \{rU:r>0\}}$ ${\displaystyle U}$
   • Por definición del conjunto, lo que se llama polar (absoluto) de la desigualdad se cumple si y sólo si los conjuntos polares, y por tanto también esta desigualdad particular, desempeñan papeles importantes en la teoría de la dualidad . ${\displaystyle U^{\circ },}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ${\displaystyle f\in U^{\circ }.}$
8. ${\displaystyle f}$es un acotado localmente en cada punto de su dominio.
9. El núcleo de está cerrado en ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$
10. O bien el núcleo de no es denso en ^[2] ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$
11. Existe una seminorma continua tal que ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$
    • En particular, es continua si y sólo si la seminorma es continua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:=|f|}$
12. La gráfica de está cerrada. ^[9] ${\displaystyle f}$
13. ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$es continua, donde denota la parte real de ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f.}$

Si y son espacios vectoriales complejos, esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

14. La parte imaginaria de es continua. ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle f}$

Si el dominio es un espacio secuencial , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

15. ${\displaystyle f}$es secuencialmente continuo en algún (o equivalentemente, en cada) punto de su dominio. ^[2]

Si el dominio es metrizable o pseudometrizable (por ejemplo, un espacio de Fréchet o un espacio normado ), entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

16. ${\displaystyle f}$es un operador lineal acotado (es decir, asigna subconjuntos acotados de su dominio a subconjuntos acotados de su codominio). ^[2]

Si el dominio es un espacio bornológico (por ejemplo, un TVS pseudometrizable ) y es localmente convexo , entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

17. ${\displaystyle f}$es un operador lineal acotado . ^[2]
18. ${\displaystyle f}$es secuencialmente continuo en algún (o equivalentemente, en cada) punto de su dominio. ^[10]
19. ${\displaystyle f}$es secuencialmente continuo en el origen.

y si además hay un espacio vectorial sobre los números reales (lo que en particular implica que tiene un valor real), entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

20. Existe una seminorma continua tal que ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p.}$
21. Para algunos reales, el semiespacio está cerrado. ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$
22. Para cualquier real el semiespacio está cerrado. ^[11] ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$

Si es complejo, entonces los tres de y son continuos (respectivamente, acotados ), o los tres son discontinuos (respectivamente, ilimitados). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$

Ejemplos

Todo mapa lineal cuyo dominio es un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS) de dimensión finita es continuo. Esto no es cierto si el TVS de dimensión finita no es Hausdorff.

Cada aplicación (constante) entre TVS que es idénticamente igual a cero es una aplicación lineal que es continua, acotada y acotada en la vecindad del origen. En particular, cada TVS tiene un espacio dual continuo no vacío (aunque es posible que el mapa cero constante sea su único funcional lineal continuo). ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

Supongamos que es cualquier televisor Hausdorff. Entonces toda funcional lineal on es necesariamente continua si y sólo si todo subespacio vectorial de es cerrado. ^[12] Cada funcional lineal on es necesariamente un funcional lineal acotado si y sólo si cada subconjunto acotado de está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es normal si y sólo si cada funcional lineal acotado en él es continuo.

Un operador lineal continuo transforma conjuntos acotados en conjuntos acotados.

La prueba utiliza el hecho de que la traslación de un conjunto abierto en un espacio topológico lineal es nuevamente un conjunto abierto, y la igualdad

$${\displaystyle F^{-1}(D)+x=F^{-1}(D+F(x))}$$

aditividad ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F.}$

Propiedades de los funcionales lineales continuos.

Si es un espacio normado complejo y es un funcional lineal en entonces ^[14] (donde en particular, un lado es infinito si y sólo si el otro lado es infinito). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|f\|=\|\operatorname {Re} f\|}$

Cada funcional lineal continua no trivial en un TVS es un mapa abierto . ^[1] If es un funcional lineal en un espacio vectorial real y if es una seminorma en entonces si y solo si ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f\leq p.}$

Si es un funcional lineal y es un subconjunto no vacío, entonces al definir los conjuntos ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle U\subseteq X}$

$${\displaystyle f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},}$$

${\displaystyle \,\sup _{u\in U}|f(u)|\,}$ ${\displaystyle \,\sup |f(U)|\,}$

$${\displaystyle \sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.}$$

${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|}$$

${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{\leq r}:=\{c\in \mathbb {F} :|c|\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$

1. ${\textstyle f(U)\subseteq B_{\leq 1}}$
2. ${\textstyle \sup |f(U)|\leq 1}$
3. ${\textstyle \sup |f(rU)|\leq r}$
4. ${\textstyle f(rU)\subseteq B_{\leq r}.}$

Ver también

• Operador lineal acotado  : transformación lineal entre espacios vectoriales topológicosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador compacto  – Tipo de operador lineal continuo
• Extensión lineal continua  – Método matemático en análisis funcional
• Contracción (teoría del operador)  : operadores acotados con norma de subunidad
• Mapa lineal discontinuo
• La mejor topología localmente convexa  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Funcionales lineales  : mapa lineal desde un espacio vectorial a su campo de escalaresPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Funcional lineal positivo  : espacio vectorial ordenado con orden parcialPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Topologías en espacios de mapas lineales.
• Operador ilimitado  : operador lineal definido en un subespacio lineal denso

Referencias

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2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
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4. Narici y Beckenstein 2011, pag. 476.
5. Wilansky 2013, págs. 47–50.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.
7. Wilansky 2013, págs. 54-55.
8. Wilansky 2013, págs. 53–55.
9. Wilansky 2013, pag. 63.
10. Narici y Beckenstein 2011, págs. 451–457.
11. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225-273.
12. Wilansky 2013, pag. 55.
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