conjunto polar

Subconjunto de todos los puntos que está limitado por algún punto dado de un dual (en un par dual)

En análisis funcional y convexo , y disciplinas matemáticas relacionadas , el conjunto polar es un conjunto convexo especial asociado a cualquier subconjunto de un espacio vectorial que se encuentra en el espacio dual. El bipolar de un subconjunto es el polar de pero se encuentra en (no ). ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle A^{\circ },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$

Definiciones

Hay al menos tres definiciones en competencia de la polar de un conjunto, que se originan en la geometría proyectiva y el análisis convexo. ^{[1] [ cita necesaria ]} En cada caso, la definición describe una dualidad entre ciertos subconjuntos de un par de espacios vectoriales sobre números reales o complejos ( y, a menudo, son espacios vectoriales topológicos (TVS)). ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Si es un espacio vectorial sobre el campo, entonces, a menos que se indique lo contrario, generalmente, pero no siempre, será algún espacio vectorial de funcionales lineales y el emparejamiento dual será el mapa de evaluación bilineal ( en un punto ) definido por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times Y\to \mathbb {K} }$

$${\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x).}$$

espacio vectorial topológico,espacio dual continuo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$

Denotemos la bola cerrada de radio centrada en el origen en el campo escalar subyacente de por ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.}$$

Definición analítica funcional

polar absoluto

Supongamos que es una pareja . El polar o polar absoluto de un subconjunto de es el conjunto: ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

donde denota la imagen del conjunto bajo el mapa definido por If denota el casco balanceado convexo del cual, por definición, es el subconjunto convexo y balanceado más pequeño que contiene entonces ${\displaystyle \langle A,y\rangle :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.}$

Este es un cambio afín de la definición geométrica; tiene la útil caracterización de que el polar funcional-analítico de la bola unitaria (en ) es precisamente la bola unitaria (en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

El prepolar o prepolar absoluto de un subconjunto de es el conjunto: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}}$$

Muy a menudo, el prepolar de un subconjunto de también se denomina polar o polar absoluto de y se denota por ; en la práctica, esta reutilización de la notación y de la palabra "polar" rara vez causa problemas (como ambigüedad) y muchos autores ni siquiera utilizan la palabra "prepolar". ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$

El bipolar de un subconjunto de a menudo denotado por es el conjunto ; eso es, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)}$

$${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.}$$

verdaderos polares

El verdadero polar de un subconjunto de es el conjunto: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}}$$

prepolar real ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.}$$

Al igual que con el prepolar absoluto, el prepolar real generalmente se llama polar real y también se denota por ^[2] . Es importante señalar que algunos autores (por ejemplo, [Schaefer 1999]) definen "polar" como "polar real" (en lugar de "polar absoluto", como se hace en este artículo) y utilizar la notación correspondiente (en lugar de la notación que se utiliza en este artículo y en [Narici 2011]). ${\displaystyle B^{r}.}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A^{r}}$

El bipolar real de un subconjunto de a veces denotado por es el conjunto ; es igual al cierre del casco convexo de ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{rr},}$ ${\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}.}$

Para un subconjunto de es convexo, cerrado y contiene ^[2] En general, es posible que pero la igualdad se mantenga si está equilibrada . Además, donde denota el casco equilibrado de ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle A^{\circ }.}$ ${\displaystyle A^{\circ }\neq A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \left(A^{r}\right)}$ ${\displaystyle A^{r}.}$

Definiciones en competencia

La definición de "polar" de un conjunto no está universalmente aceptada. Aunque este artículo definió "polar" como "polar absoluto", algunos autores definen "polar" como "polar real" y otros autores utilizan otras definiciones. No importa cómo un autor defina "polar", la notación casi siempre representa su elección de la definición (por lo que el significado de la notación puede variar de una fuente a otra). En particular, la polar de a veces se define como: ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}}$$

no ${\displaystyle A^{|r|}}$

Ahora discutiremos brevemente cómo se relacionan estas diversas definiciones entre sí y cuándo son equivalentes.

Siempre es el caso que

$${\displaystyle A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}}$$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}.}$

Si es un conjunto simétrico (es decir, o equivalentemente, ) entonces , si además tiene valor real, entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -A=A}$ ${\displaystyle -A\subseteq A}$ ${\displaystyle A^{|r|}=A^{r}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.}$

Si y son espacios vectoriales encima (por lo que tiene valores complejos) y si (donde tenga en cuenta que esto implica y ), entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle iA\subseteq A}$ ${\displaystyle -A=A}$ ${\displaystyle iA=A}$

$${\displaystyle A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }}$$

${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$

Por lo tanto, para que todas estas definiciones del conjunto polar de concuerden, es suficiente que para todos los escalares de longitud unitaria ^{[nota 1]} (donde esto equivale a para todos los escalares de longitud unitaria ). En particular, todas las definiciones del polar de concuerdan cuando se trata de un conjunto equilibrado (lo que suele ser el caso, pero no siempre), de modo que a menudo cuál de estas definiciones en competencia se utiliza es irrelevante. Sin embargo, estas diferencias en las definiciones de lo "polar" de un conjunto a veces introducen diferencias técnicas sutiles o importantes cuando no necesariamente están equilibradas. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle sA=A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Especialización para la dualidad canónica

Espacio dual algebraico

Si es cualquier espacio vectorial, entonces denotemos el espacio dual algebraico del cual es el conjunto de todos los funcionales lineales en El espacio vectorial es siempre un subconjunto cerrado del espacio de funciones con todos los valores en bajo la topología de convergencia puntual, por lo que cuando está dotado de la topología del subespacio, luego se convierte en un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) completo de Hausdorff . Para cualquier subconjunto , dejemos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Si hay subconjuntos, entonces y donde denota el casco equilibrado convexo de Para cualquier subespacio vectorial de dimensión finita de , denotemos la topología euclidiana en la que se encuentra la topología única que se convierte en un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS). If denota la unión de todos los cierres que varían en todos los subespacios vectoriales de dimensión finita de then (consulte esta nota al pie ^{[nota 2]} para obtener una explicación). Si es un subconjunto absorbente de entonces, según el teorema de Banach-Alaoglu , es un subconjunto compacto débil-* de ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\#}\subseteq A^{\#}}$ ${\displaystyle A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau _{Y}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$

Si es cualquier subconjunto no vacío de un espacio vectorial y si es cualquier espacio vectorial de funcionales lineales (es decir, un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de ), entonces el mapa de valores reales ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle |\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R} }$     definido por     ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|}$

es una seminorma en If entonces por definición de supremum , de modo que el mapa definido anteriormente no tendría valor real y, en consecuencia, no sería una seminorma. ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle \,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,}$ ${\displaystyle \,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,}$

Espacio dual continuo

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo. El caso especial importante donde y los corchetes representan el mapa canónico: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle Y:=X^{\prime }}$

$${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$$

emparejamiento canónico ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X.}$

La polar de un subconjunto con respecto a este emparejamiento canónico es: ${\displaystyle A\subseteq X}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ because }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Para cualquier subconjunto donde denota el cierre de en ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

El teorema de Banach-Alaoglu establece que si es una vecindad del origen en entonces y este conjunto polar es un subconjunto compacto del espacio dual continuo cuando está dotado de la topología débil-* (también conocida como topología de convergencia puntual). ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Si satisface para todos los escalares de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto por (el operador de parte real) de modo que: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

El prepolar de un subconjunto de es: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y=X^{\prime }}$

$${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}}$$

Si satisface para todos los escalares de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos del valor absoluto con lo que: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle sB\subseteq B}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$

$${\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}}$$

${\displaystyle B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.}$

El teorema bipolar caracteriza el bipolar de un subconjunto de un espacio vectorial topológico.

Si es un espacio normado y está la bola unitaria abierta o cerrada (o incluso cualquier subconjunto de la bola unitaria cerrada que contiene la bola unitaria abierta), entonces la bola unitaria cerrada está en el espacio dual continuo cuando está dotada de su norma dual canónica. . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Definición geométrica de conos

El cono polar de un cono convexo es el conjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$

$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}}$$

Esta definición da una dualidad en puntos e hiperplanos, escribiendo este último como la intersección de dos semiespacios orientados de manera opuesta. El hiperplano polar de un punto es el lugar geométrico ; la relación dual para un hiperplano produce el punto polar de ese hiperplano. ^{[3] [ cita necesaria ]} ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{y~:~\langle y,x\rangle =0\}}$

Algunos autores (confusamente) llaman a un cono dual cono polar; No seguiremos esa convención en este artículo. ^[4]

Propiedades

Salvo que se indique lo contrario, será un emparejamiento . La topología es la topología débil-* en mientras que es la topología débil en Para cualquier conjunto denota el polar real de y denota el polar absoluto de El término "polar" se referirá al polar absoluto . ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A.}$

• El polar (absoluto) de un conjunto es convexo y equilibrado . ^[5]
• El polar real de un subconjunto de es convexo pero no necesariamente equilibrado; estará equilibrado si está equilibrado. ^[6] ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$
• Si para todos los escalares de longitud unitaria entonces ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$
• ${\displaystyle A^{\circ }}$está cerrado bajo la topología débil-* en . ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
• Un subconjunto de está débilmente acotado (es decir, acotado) si y sólo si es absorbente en . ^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle Y}$
• Para un par dual donde es un TVS y es su espacio dual continuo, si está acotado entonces es absorbente en ^[5] Si es localmente convexo y es absorbente entonces está acotado en Además, un subconjunto de está débilmente acotado si y sólo si es absorbiendo en ${\displaystyle \langle X,X^{\prime }\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• El bipolar de un conjunto es la - cáscara convexa cerrada de la cual es el conjunto cerrado y convexo más pequeño que contiene tanto y ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A\cup \{0\},}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0.}$
  • De manera similar, el cono bidual de un cono es la cáscara cónica cerrada de ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A.}$
• Si es una base en el origen de un TVS, entonces ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).}$
• Si es un TVS localmente convexo, entonces las polares (tomadas con respecto a ) de cualquier base de vecindad 0 forman una familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de (es decir, dado cualquier subconjunto acotado de existe una vecindad del origen tal que ). ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq S^{\circ }}$
  • Por el contrario, si es un TVS localmente convexo, entonces los polares (tomados con respecto a ) de cualquier familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de forman una base vecinal del origen en ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle X,X^{\#}\rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$
• Sea un TVS con una topología Entonces es una topología TVS localmente convexa si y solo si es la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Los dos últimos resultados explican por qué los subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo desempeñan un papel tan destacado en la teoría moderna del análisis funcional: porque los subconjuntos equicontinuos encapsulan toda la información sobre la topología original del espacio localmente convexo. ${\displaystyle X}$

Establecer relaciones

• ${\displaystyle X^{\circ }=X^{|r|}=X^{r}=\{0\}}$^[6] y ${\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.}$
• Para todos los escalares y para todos los reales y ${\displaystyle s\neq 0,}$ ${\displaystyle (sA)^{\circ }={\tfrac {1}{s}}\left(A^{\circ }\right)}$ ${\displaystyle t\neq 0,}$ ${\displaystyle (tA)^{|r|}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{|r|}\right)}$ ${\displaystyle (tA)^{r}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{r}\right).}$
• ${\displaystyle A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.}$Sin embargo, para el polar real tenemos ^[6] ${\displaystyle A^{rrr}\subseteq A^{r}.}$
• Para cualquier colección finita de conjuntos. ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$
  $${\displaystyle \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).}$$
• Si entonces y ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ },}$ ${\displaystyle B^{r}\subseteq A^{r},}$ ${\displaystyle B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.}$
  • Un corolario inmediato es que ; la igualdad necesariamente se cumple cuando es finita y puede no cumplirse si es infinita. ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$y ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.}$
• Si es un cono entonces [ ^5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\right\}.}$
• Si es una familia de subconjuntos cerrados de que contienen , entonces el polar real de es la cáscara convexa cerrada de ^[6] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in X,}$ ${\displaystyle \cap _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle \cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right).}$
• Si entonces ^[9] ${\displaystyle 0\in A\cap B}$ ${\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).}$
• Para un cono convexo cerrado en un espacio vectorial real, el cono polar es el polar de ; eso es, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$
  $${\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\},}$$
  donde ^[1] ${\displaystyle \sup _{}\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle .}$

Ver también

• Teorema de Banach-Alaoglu  – Teorema en análisis funcional
• Teorema bipolar  – Teorema en análisis convexo
• Cono polar  – Conceptos en análisis convexoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Topología polar  : topología de espacio dual de convergencia uniforme en alguna subcolección de subconjuntos acotados
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Notas

1. Dado que para que todas estas definiciones completas del conjunto polar concuerden, si tiene un valor real, entonces basta con que sea simétrico, mientras que si tiene un valor complejo, entonces basta con que para todo real ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$ ${\displaystyle s.}$
2. Para demostrar que let If es un subespacio vectorial de dimensión finita de then porque es continuo (como ocurre con todos los funcionales lineales en un TVS de Hausdorff de dimensión finita), se deduce de y siendo un conjunto cerrado que La unión de todos esos conjuntos en consecuencia, también es un subconjunto del cual demuestra que y por lo tanto , en general, si hay alguna topología TVS activada, entonces ${\displaystyle A^{\#}\subseteq \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#},}$ ${\displaystyle f\in A^{\#}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{Y}:\left(Y,\tau _{Y}\right)\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f(A)\subseteq B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)\right)=f{\big \vert }_{Y}\left(\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)\right)\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }(f(Y\cap A))\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }f(A)\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }B_{1}=B_{1}.}$ ${\displaystyle B_{1},}$ ${\displaystyle f\left(A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right)\subseteq B_{1}}$ ${\displaystyle f\in \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\subseteq \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A.}$

Referencias

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Bibliografía

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