Si X es un espacio vectorial topológico sobre los números reales o complejos, entonces el cono dual de un subconjunto C ⊆ X es el siguiente conjunto de funcionales lineales continuos en X :
, [1]
que es la polar del conjunto - C . [1]
No importa lo que sea C , será un cono convexo. Si C ⊆ {0} entonces .
En un espacio de Hilbert (cono dual interno)
Alternativamente, muchos autores definen el cono dual en el contexto de un espacio de Hilbert real (tal como R n equipado con el producto interno euclidiano) como lo que a veces se llama el cono dual interno .
Propiedades
Usando esta última definición para C * , tenemos que cuando C es un cono, se cumplen las siguientes propiedades: [2]
Un vector y distinto de cero está en C * si y solo si se cumplen ambas condiciones siguientes:
Un cono C en un espacio vectorial X se dice que es autodual si X puede ser equipado con un producto interno ⟨⋅,⋅⟩ tal que el cono dual interno relativo a este producto interno es igual a C . [3]
Aquellos autores que definen el cono dual como el cono dual interno en un espacio de Hilbert real suelen decir que un cono es autodual si es igual a su dual interno. Esto es ligeramente diferente de la definición anterior, que permite un cambio de producto interno. Por ejemplo, la definición anterior hace que un cono en R n con base elipsoidal sea autodual, porque el producto interno puede cambiarse para hacer que la base sea esférica, y un cono con base esférica en R n es igual a su dual interno.
El ortante no negativo de R n y el espacio de todas las matrices semidefinidas positivas son autoduales, como lo son los conos con base elipsoidal (a menudo llamados "conos esféricos", "conos de Lorentz" o, a veces, "conos de helado"). También lo son todos los conos en R 3 cuya base es la envoltura convexa de un polígono regular con un número impar de vértices. Un ejemplo menos regular es el cono en R 3 cuya base es la "casa": la envoltura convexa de un cuadrado y un punto fuera del cuadrado que forma un triángulo equilátero (de la altura adecuada) con uno de los lados del cuadrado.
Cono polar
Para un conjunto C en X , el cono polar de C es el conjunto [4]
Se puede observar que el cono polar es igual al negativo del cono dual, es decir C o = − C * .
Para un cono convexo cerrado C en X , el cono polar es equivalente al conjunto polar para C. [ 5]
^ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Cambridge University Press. págs. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3. Recuperado el 15 de octubre de 2011 .
^ Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.
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Bibliografía
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