sistema dual

En matemáticas , un sistema dual , un par dual o una dualidad sobre un campo es un triple que consta de dos espacios vectoriales y más y un mapa bilineal no degenerado . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$

La teoría matemática de la dualidad , el estudio de sistemas duales, tiene un lugar importante en el análisis funcional y tiene amplias aplicaciones en la mecánica cuántica a través de la teoría de los espacios de Hilbert .

Definición, notación y convenciones.

Maridajes

AEl emparejamiento oparsobre un campoes un tripleque también se puede denotar porestar formado por dos espacios vectorialesymásy unmapa bilineal, llamadomapa bilineal asociado con el emparejamiento^[1]mapadel emparejamientoo su forma bilineal . Para simplificar, este artículo solo cubre ejemplos dondese encuentran losnúmeros realeso losnúmeros complejos. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle b(X,Y),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Para cada , defina ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle y\in Y,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$

funcional lineal ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}$$

Es una práctica común escribir en lugar de , en cuyo caso el emparejamiento a menudo puede denotarse por en lugar de . Sin embargo, este artículo se reservará el uso de para el mapa de evaluación canónico (definido a continuación) para evitar confusiones a los lectores que no estén familiarizados con este tema. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle b(x,y)}$ ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Emparejamientos duales

Una pareja se llama ${\displaystyle (X,Y,b)}$sistema dual , unpar dual , ^[2] o undualidad sobresi la forma bilineal es no degenerada , lo que significa que satisface los siguientes dos axiomas de separación: ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle Y}$ separa (distingue) puntos de : si es tal que entonces ; o de manera equivalente, para todos los distintos de cero , el mapa no es idéntico (es decir, existe un tal que para cada uno ); ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
2. ${\displaystyle X}$ separa (distingue) puntos de : si es tal que entonces ; o de manera equivalente, para todos los distintos de cero el mapa no es idéntico (es decir, existe tal que para cada uno ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$ ${\displaystyle y\in Y}$

En este caso es no degenerado , y se puede decir que sitúa a y en la dualidad (o, de forma redundante pero explícita, en la dualidad separada ), y se denomina dualidad del emparejamiento del triple . ^{[1] [2]} ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$

Subconjuntos totales

Un subconjunto de se llama ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$total si por cada, ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}$$

^{[nota 1]} ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ortogonalidad

Los vectores y se llaman ortogonales. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$, escrito , si . Dos subconjuntos y son ortogonales , escritos , si ; es decir, si para todos y . La definición de un subconjunto ortogonal a un vector se define de manera análoga. ${\displaystyle x\perp y}$ ${\displaystyle b(x,y)=0}$ ${\displaystyle R\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle R\perp S}$ ${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$ ${\displaystyle b(r,s)=0}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$

El complemento ortogonalo aniquilador de un subconjunto es ${\displaystyle R\subseteq X}$

$${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R^{\perp }}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Conjuntos polares

Dado un triple que define un emparejamiento sobre , el conjunto polar absoluto o conjunto polar de un subconjunto de es el conjunto: ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$

$${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}}$$

Para utilizar la contabilidad que ayuda a realizar un seguimiento de la antisimetría de los dos lados de la dualidad, el polar absoluto de un subconjunto de también puede denominarse prepolar absoluto o prepolar de y luego puede denotarse por ^[3] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}^{\circ }B.}$

El polar es necesariamente un conjunto convexo que contiene donde si está equilibrado entonces también lo es y si es un subespacio vectorial de entonces también lo es un subespacio vectorial de ^[4] ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle 0\in Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es un subespacio vectorial de entonces y este también es igual al polar real de Si entonces el bipolar de , denotado , es el polar del complemento ortogonal de , es decir, el conjunto De manera similar, si entonces el bipolar de es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

Definiciones y resultados duales

Dado un emparejamiento, defina un nuevo emparejamiento donde para todos y . ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Hay un tema constante en la teoría de la dualidad de que cualquier definición de un emparejamiento tiene una definición dual correspondiente para el emparejamiento. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d).}$

Convención y definición : Dada cualquier definición de un emparejamiento, se obtiene una definición dual aplicándola al emparejamiento. Estas convenciones también se aplican a los teoremas. ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,d).}$

Por ejemplo, si " distingue puntos de " (resp, " es un subconjunto total de ") se define como anteriormente, entonces esta convención produce inmediatamente la definición dual de " distingue puntos de " (resp, " es un subconjunto total de ") . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

La siguiente notación es casi ubicua y nos permite evitar asignar un símbolo a ${\displaystyle d.}$

Convención y notación : si una definición y su notación para un emparejamiento depende del orden de y (por ejemplo, la definición de la topología Mackey en ), entonces al cambiar el orden de y entonces se entiende que la definición se aplicó a (continuando lo mismo Por ejemplo, la topología en realidad denotaría la topología ). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$

Para otro ejemplo, una vez definida la topología débil on , denotada por , entonces esta definición dual se aplicaría automáticamente al emparejamiento para obtener la definición de la topología débil on , y esta topología se denotaría por en lugar de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$

Identificación de con ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle (Y,X)}$

Aunque es técnicamente incorrecto y un abuso de notación, este artículo se adherirá a la convención casi omnipresente de tratar un emparejamiento de manera intercambiable con y también de denotar por ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,b).}$

Ejemplos

Restricción de un emparejamiento

Supongamos que es un par, es un subespacio vectorial de y es un subespacio vectorial de . Entonces la restricción de to es el emparejamiento. Si es una dualidad, entonces es posible que una restricción no sea una dualidad (por ejemplo, si y ). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y\neq \{0\}}$ ${\displaystyle N=\{0\}}$

Este artículo utilizará la práctica común de denotar la restricción por ${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$ ${\displaystyle (M,N,b).}$

Dualidad canónica en un espacio vectorial

Supongamos que es un espacio vectorial y denotemos el espacio dual algebraico de (es decir, el espacio de todos los funcionales lineales en ). Hay una dualidad canónica donde se llama mapa de evaluación o funcional bilineal natural o canónico. Tenga en cuenta en particular que para cualquiera es solo otra forma de denotar ; es decir ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle X\times X^{\#}.}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

Si es un subespacio vectorial de , entonces la restricción de to se llama emparejamiento canónico , donde si este emparejamiento es una dualidad, entonces se llama dualidad canónica . Claramente, siempre distingue puntos de , por lo que el emparejamiento canónico es un sistema dual si y sólo si separa puntos de. La siguiente notación es ahora casi ubicua en la teoría de la dualidad. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle X\times N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

El mapa de evaluación se indicará con (en lugar de ) y se escribirá en lugar de ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle }$ ${\displaystyle (X,N,c).}$

Supuesto : Como es práctica común, si es un espacio vectorial y es un espacio vectorial de funcionales lineales, entonces , a menos que se indique lo contrario, se asumirá que están asociados con el emparejamiento canónico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle .}$

Si es un subespacio vectorial de entonces distingue puntos de (o equivalentemente, es una dualidad) si y sólo si distingue puntos de o equivalentemente si es total (es decir, para todo implica ). ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (X,N,c)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n(x)=0}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle x=0}$

Dualidad canónica en un espacio vectorial topológico

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo. Entonces la restricción de la dualidad canónica a × define un emparejamiento para el cual separa puntos de If separa puntos de (lo cual es cierto si, por ejemplo, es un espacio de Hausdorff localmente convexo) entonces este emparejamiento forma una dualidad. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Supuesto : Como se hace comúnmente, siempre que sea un TVS, a menos que se indique lo contrario, se asumirá sin comentarios que está asociado con el emparejamiento canónico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

Polares y duales de TVS

El siguiente resultado muestra que los funcionales lineales continuos en un TVS son exactamente aquellos funcionales lineales que están acotados en una vecindad del origen.

Teorema ^[1]  -  Sea un TVS con dual algebraico y sea una base de vecindades en el origen. Bajo la dualidad canónica, el espacio dual continuo de es la unión de todos los rangos (donde se incluyen los polares ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N^{\circ }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Espacios de productos internos y espacios conjugados complejos

Un espacio anterior a Hilbert es un emparejamiento dual si y solo si es un espacio vectorial sobre o tiene dimensión. Aquí se supone que la forma sesquilineal es conjugada homogénea en su segunda coordenada y homogénea en su primera coordenada. ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

• Si es un espacio de Hilbert real entonces forma un sistema dual. ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$
• If es un espacio de Hilbert complejo , entonces forma un sistema dual si y solo si If no es trivial, entonces ni siquiera forma emparejamiento ya que el producto interno es sesquilineal en lugar de bilineal. ^[1] ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

Supongamos que es un espacio complejo anterior a Hilbert con multiplicación escalar denotada como de costumbre por yuxtaposición o por un punto. Defina el mapa. ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \cdot .}$

$${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$

espacio vectorial conjugado complejo ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle (H,+)}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$ ${\displaystyle H}$

El mapa definido por es lineal en ambas coordenadas ^{[nota 2]} y por lo tanto forma un par dual. ${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$

Otros ejemplos

• Supongamos y por todos dejar ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$
  $${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$
  Entonces es un emparejamiento tal que distingue puntos de pero no distingue puntos de Además, ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$
• Sea (donde es tal que ), y Entonces es un sistema dual. ${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$
• Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo. Entonces la forma bilineal coloca y en dualidad. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$
• Un espacio de secuencia y su beta dual con el mapa bilineal definido como para forman un sistema dual. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in X^{\beta }}$

Topología débil

Supongamos que es un par de espacios vectoriales sobre Si entonces la topología débil inducida por (y ) es la topología TVS más débil denotada por o simplemente haciendo que todos los mapas sean continuos como rangos sobre ^[1] Si no está claro por el contexto, entonces debería ser Se supone que es todo, en cuyo caso se denomina topología débil (inducida por ). La notación o (si no puede surgir confusión) simplemente se usa para denotar dotado con la topología débil . Es importante destacar que la topología débil depende completamente de la función de la topología habitual en la estructura del espacio vectorial de y , pero no de las estructuras algebraicas de ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sigma (X,S,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,S),}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,S,b).}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

De manera similar, si entonces la definición dual de la topología débil es inducida por (y ), que se denota por o simplemente (ver nota al pie para más detalles). ^{[nota 3]} ${\displaystyle R\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R)}$

Definición y notación : si " " se adjunta a una definición topológica (por ejemplo , -converge, -limitada, etc.), entonces significa esa definición cuando el primer espacio (es decir, ) lleva la topología. La mención de o incluso y puede omitirse si no surge confusión. Entonces, por ejemplo, si una secuencia en " -converge" o "convege débilmente", entonces esto significa que converge en mientras que si fuera una secuencia en , entonces esto significaría que converge en ). ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

La topología es localmente convexa ya que está determinada por la familia de seminormas definida por como rangos sobre ^[1] Si y es una red en entonces -converge con si converge con en ^[1] Una red -converge con si y solo si para todos converge a Si es una secuencia de vectores ortonormales en el espacio de Hilbert, entonces converge débilmente a 0 pero no converge en norma a 0 (ni a ningún otro vector). ^[1] ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}$ ${\displaystyle b(x,y).}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

Si es un par y es un subespacio vectorial propio de tal que es un par dual, entonces es estrictamente más aproximado que ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,N,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,N,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b).}$

Subconjuntos acotados

Un subconjunto de está acotado si y sólo si ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

$${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$

${\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}.}$

hausdorffness

Si es un emparejamiento, entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle (X,Y,b)}$

1. ${\displaystyle X}$distingue puntos de ; ${\displaystyle Y}$
2. El mapa define una inyección desde el espacio dual algebraico de ; ^[1] ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$es Hausdorff . ^[1]

Teorema de representación débil

El siguiente teorema es de fundamental importancia para la teoría de la dualidad porque caracteriza completamente el espacio dual continuo de ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Teorema de representación débil ^[1]  -  Sea un emparejamiento sobre el campo Entonces el espacio dual continuo de es ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

$${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}$$

Además,

1. Si es un funcional lineal continuo , entonces existe algo tal que ; si tal existe, entonces es único si y sólo si distingue puntos de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
   • Tenga en cuenta que distinguir o no puntos de no depende de la elección particular de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y.}$
2. El espacio dual continuo de puede identificarse con el espacio cociente donde ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle Y/X^{\perp },}$ ${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0{\text{ for all }}x\in X\}.}$
   • Esto es cierto independientemente de si distingue o no puntos de o distingue puntos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

En consecuencia, el espacio dual continuo de es ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

Con respecto al emparejamiento canónico, si es un TVS cuyo espacio dual continuo separa puntos en (es decir, tal que es Hausdorff, lo que implica que también es necesariamente Hausdorff), entonces el espacio dual continuo de es igual al conjunto de todas las "evaluaciones en un "punto " mapas como rangos superiores (es decir, el mapa al que se envía ) . Esto se escribe comúnmente como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$

topología dual fuertemás fina ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

$${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$

bidualespacios reflexivossemirreflexivoreflexivo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ortogonales, cocientes y subespacios

Si es un emparejamiento, entonces para cualquier subconjunto de : ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$y este conjunto está cerrado; ^[1] ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$
• ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$; ^[1]
  • Por lo tanto, si es un subespacio vectorial cerrado de entonces ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$
• Si es una familia de subespacios vectoriales cerrados de entonces ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$
  ^[1]
• Si es una familia de subconjuntos de entonces ^[1] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$

Si es un espacio normado, entonces, bajo la dualidad canónica, la norma está cerrada y la norma está cerrada en ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\perp }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle S^{\perp \perp }}$ ${\displaystyle X.}$

Subespacios

Supongamos que es un subespacio vectorial de y denotamos la restricción de a. La topología débil de es idéntica a la topología del subespacio que hereda de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M\times Y.}$ ${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Además, es un espacio par (donde significa ) donde está definido por ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$ ${\displaystyle Y/M^{\perp }}$ ${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$ ${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$

$${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

La topología es igual a la topología subespacial que hereda de ^[5] Además, si es un sistema dual entonces también lo es ^[5] ${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}$

Cocientes

Supongamos que es un subespacio vectorial de Entonces es un espacio par donde está definido por ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$ ${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$

$${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

La topología es idéntica a la topología de cociente habitual inducida por en ^[5] ${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle X/M.}$

Polares y la topología débil

Si es un espacio localmente convexo y si es un subconjunto del espacio dual continuo entonces está acotado si y sólo si para algún barril en ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$

Los siguientes resultados son importantes para definir topologías polares.

Si es un emparejamiento y entonces: ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$

1. El polar de es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}$
2. Los polares de los siguientes conjuntos son idénticos: (a) ; (b) el casco convexo de ; (c) el casco equilibrado de ; (d) el cierre de ; (e) el cierre del casco equilibrado convexo de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A.}$
3. El teorema bipolar : El bipolar de denotado por es igual al cierre del casco equilibrado convexo de ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A.}$
   • El teorema bipolar en particular "es una herramienta indispensable para trabajar con dualidades". ^[4]
4. ${\displaystyle A}$está acotado si y sólo si es absorbente en ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$
5. Si además distingue puntos de entonces está acotado si y sólo si está totalmente acotado . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Si es un par y es una topología localmente convexa que es consistente con la dualidad, entonces un subconjunto de es un barril si y solo si es el polar de algún subconjunto acotado de ^[6] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

transpone

Transposiciones de un mapa lineal con respecto a emparejamientos.

Sean y pares y sea un mapa lineal. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F:X\to W}$

Para todos , sea el mapa definido por Se dice que la transpuesta o adjunta está bien definida si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto c(F(x),z).}$ ${\displaystyle F}$

1. ${\displaystyle X}$distingue puntos de (o equivalentemente, el mapa de dentro del dual algebraico es inyectivo ), y ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\#}}$
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}$dónde y . ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\}}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}$

En este caso, para cualquiera existe (por la condición 2) un único (por la condición 1) tal que ), donde este elemento de se denotará por Esto define un mapa lineal ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z).}$

$${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$$

llamado transpuesto o adjunto de con respecto a y ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ (esto no debe confundirse con el adjunto hermitiano ). Es fácil ver que las dos condiciones mencionadas anteriormente (es decir, "la transposición está bien definida") también son necesarias para que esté bien definida. Para cada la condición definitoria de es ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z)}$

$${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}$$

$${\displaystyle c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right)}$$

${\displaystyle x\in X.}$

Según las convenciones mencionadas al principio de este artículo, esto también define la transposición de aplicaciones lineales de la forma ^{[nota 4] [nota 5] [nota 6] [nota 7]} , etc. (ver nota al pie). ${\displaystyle Z\to Y,}$ ${\displaystyle X\to Z,}$ ${\displaystyle W\to Y,}$ ${\displaystyle Y\to W,}$

Propiedades de la transpuesta

A lo largo de, y se emparejarán con y será un mapa lineal cuya transposición está bien definida. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$es inyectivo (es decir ) si y sólo si el rango de es denso en ^[1] ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right).}$
• Si además de estar bien definida, la transpuesta de también lo está, entonces ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F.}$
• Supongamos que es un emparejamiento y es un mapa lineal cuya transpuesta está bien definida. Entonces la transpuesta de la cual está bien definida y ${\displaystyle (U,V,a)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle E:U\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}$ ${\displaystyle F\circ E:U\to W,}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V,}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}$
• Si es un isomorfismo en el espacio vectorial entonces es biyectivo, cuya transpuesta está bien definida, y ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$ ${\displaystyle F^{-1}:W\to X,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}$
• Let y let denota el polar absoluto de entonces: ^[1] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle A,}$
  1. ${\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}$;
  2. si para algunos entonces ; ${\displaystyle F(S)\subseteq T}$ ${\displaystyle T\subseteq W,}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$
  3. si es tal que entonces ; ${\displaystyle T\subseteq W}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ },}$ ${\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}$
  4. si y son discos débilmente cerrados entonces si y sólo si ; ${\displaystyle T\subseteq W}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$ ${\displaystyle F(S)\subseteq T}$
  5. ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}$

Estos resultados se mantienen cuando se utiliza el polar real en lugar del polar absoluto.

Si y son espacios normados bajo sus dualidades canónicas y si es un mapa lineal continuo, entonces ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}$

Continuidad débil

Un mapa lineal es débilmente continuo (con respecto a y ) si es continuo. ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$

El siguiente resultado muestra que la existencia del mapa transpuesto está íntimamente ligada a la topología débil.

Proposición  :  suponga que distingue puntos de y es un mapa lineal. Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F}$es débilmente continuo (es decir, es continuo); ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}$;
3. la transpuesta de está bien definida. ${\displaystyle F}$

Si es débilmente continuo entonces ${\displaystyle F}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$es débilmente continuo, lo que significa que es continuo; ${\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}$
• la transpuesta de está bien definida si y sólo si distingue puntos de en cuyo caso ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F.}$

Topología débil y dualidad canónica

Supongamos que es un espacio vectorial y que es el dual algebraico. Entonces cada subconjunto acotado de está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita y cada subespacio vectorial de está cerrado. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$

Completitud débil

Si es un espacio vectorial topológico completo, digamos que es completo o (si no puede surgir ambigüedad) débilmente completo . Existen espacios de Banach que no son débilmente completos (a pesar de ser completos en su topología normal). ^[1] ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Si es un espacio vectorial entonces, bajo la dualidad canónica, está completo. ^[1] Por el contrario, si es un TVS localmente convexo de Hausdorff con espacio dual continuo , entonces está completo si y solo si ; es decir, si y sólo si el mapa definido mediante el envío al mapa de evaluación en (es decir ) es una biyección. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{\prime },}$ ${\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$ ${\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}$

En particular, con respecto a la dualidad canónica, si hay un subespacio vectorial propio de tal que sea de Hausdorff y esté completo en el débil -* topología (es decir, la topología de convergencia puntual). En consecuencia, cuando el espacio dual continuo de un TVS localmente convexo de Hausdorff está dotado de la topología débil-* , entonces es completo si y solo si (es decir, si y solo si cada funcional lineal on es continuo). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}$ ${\displaystyle Y=X^{\#}.}$ ${\displaystyle Y\neq X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$

Identificación de Y con un subespacio del dual algebraico

Si distingue puntos de y si denota el rango de la inyección, entonces es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de y el emparejamiento se identifica canónicamente con el emparejamiento canónico (donde está el mapa de evaluación natural). En particular, en esta situación se asumirá sin pérdida de generalidad que es un subespacio vectorial del dual algebraico de y es el mapa de evaluación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \langle X,Z\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b}$

Convención : A menudo, siempre que sea inyectivo (especialmente cuando forma un par dual), es una práctica común asumir sin pérdida de generalidad que es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de ese es el mapa de evaluación natural, y también denotar por ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

De manera completamente análoga, si se distinguen puntos de entonces es posible identificarlo como un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de . ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Adjunto algebraico

En el caso especial donde las dualidades son las dualidades canónicas y la transpuesta de un mapa lineal siempre está bien definida. Esta transpuesta se llama adjunto algebraico de y se denotará por ; es decir, en este caso, para todo ^{[1] [7]} donde la condición definitoria es: ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}$ ${\displaystyle w^{\prime }\in W^{\#},}$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}$

$${\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}>x\in X,}$$

${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad {\text{ for all }}x\in X.}$

Si para algún número entero es una base para con base dual es un operador lineal, y la representación matricial de con respecto a es entonces la transpuesta de es la representación matricial con respecto a de ${\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},}$ ${\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right),}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}$ ${\displaystyle F^{\#}.}$

Continuidad y apertura débiles

Supongamos que y son pares canónicos (so y ) que son sistemas duales y sean un mapa lineal. Entonces es débilmente continua si y sólo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^[1] ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$ ${\displaystyle Y\subseteq X^{\#}}$ ${\displaystyle Z\subseteq W^{\#}}$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$es continuo;
2. ${\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}$
3. la transpuesta de F , con respecto a y está bien definida. ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y,}$ ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$

Si es débilmente continuo entonces será continuo y además, ^[7] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F}$

Un mapa entre espacios topológicos es relativamente abierto si es un mapeo abierto , donde está el rango de ^[1] ${\displaystyle g:A\to B}$ ${\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} g}$ ${\displaystyle g.}$

Supongamos que y son sistemas duales y es un mapa lineal débilmente continuo. Entonces los siguientes son equivalentes: ^[1] ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$es relativamente abierto;
2. El rango de está cerrado en ; ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}$

Además,

• ${\displaystyle F:X\to W}$es inyectivo (resp. biyectivo) si y sólo si es sobreyectivo (resp. biyectivo); ${\displaystyle {}^{t}F}$
• ${\displaystyle F:X\to W}$es sobreyectivo si y sólo si es relativamente abierto e inyectivo. ${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$

Transposición de un mapa entre TVS

La transposición del mapa entre dos TVS se define si y solo si es débilmente continua. ${\displaystyle F}$

Si es un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos localmente convexos de Hausdorff, entonces: ^[1] ${\displaystyle F:X\to Y}$

• Si es continuo, entonces es débilmente continuo y es tanto continuo de Mackey como fuertemente continuo. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$
• Si es débilmente continuo, entonces es continuo de Mackey y fuertemente continuo (definido a continuación). ${\displaystyle F}$
• Si es débilmente continuo, entonces es continuo si y sólo si asigna subconjuntos equicontinuos de a subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• Si y son espacios normados entonces es continuo si y sólo si es débilmente continuo, en cuyo caso ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}$
• Si es continuo entonces es relativamente abierto si y sólo si es relativamente abierto débilmente (es decir, es relativamente abierto) y todo subconjunto equicontinuo de es la imagen de algunos subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$
• Si es una inyección continua, entonces hay una incrustación TVS (o equivalentemente, una incrustación topológica ) si y solo si cada subconjunto equicontinuo de es la imagen de algunos subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$

Metrizabilidad y separabilidad

Sea un espacio localmente convexo con espacio dual continuo y sea ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle K\subseteq X^{\prime }.}$

1. Si es equicontinuo o compacto, y si es tal que es denso, entonces la topología subespacial que hereda es idéntica a la topología subespacial que hereda de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}$
2. Si es separable y equicontinuo, entonces cuando está dotado de la topología subespacial inducida por es metrizable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}$
3. Si es separable y metrizable , entonces es separable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$
4. Si es un espacio normado entonces es separable si y sólo si la unidad cerrada llamada espacio dual continuo de es metrizable cuando se le da la topología del subespacio inducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}$
5. Si es un espacio normado cuyo espacio dual continuo es separable (cuando se le da la topología normal habitual), entonces es separable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Topologías polares y topologías compatibles con emparejamiento

Comenzando sólo con la topología débil, el uso de conjuntos polares produce una variedad de topologías localmente convexas. Estas topologías se denominan topologías polares . La topología débil es la topología más débil de este rango.

En todo momento, habrá un emparejamiento terminado y será una colección no vacía de subconjuntos acotados de ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

Topologías polares

Dada una colección de subconjuntos de , la topología polar determinada por (y ) o la topología es la topología única del espacio vectorial topológico (TVS) para la cual ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}$$

subbase^[1]Y. localmente convexa^[1]conjunto dirigidobase de vecindad^[1] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ _{${\displaystyle {\mathcal {G}}}$} ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G,K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$

La siguiente tabla enumera algunas de las topologías polares más importantes.

Notación : si denota una topología polar, entonces dotado de esta topología se denotará por o simplemente (por ejemplo, tendríamos que y todos denotaremos dotado de ). ${\displaystyle \Delta (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Definiciones que involucran topologías polares

Continuidad

Un mapa lineal es continuo de Mackey (con respecto a y ) si es continuo. ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}$

Un mapa lineal es fuertemente continuo (con respecto a y ) si es continuo. ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}$

Subconjuntos acotados

Un subconjunto de está débilmente acotado (resp. Mackey acotado , fuertemente acotado ) si está acotado en (resp. acotado en acotado en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle (X,\tau (X,Y,b)),}$ ${\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}$

Topologías compatibles con un par.

Si es un emparejamiento y es una topología vectorial entonces es una topología del emparejamiento y es compatible (o consistente ) con el emparejamiento si es localmente convexo y si el espacio dual continuo de ^{[nota 8]} Si distingue puntos de luego, al identificarlo como un subespacio vectorial del dual algebraico de 's, la condición definitoria se convierte en: ^[1] Algunos autores (por ejemplo, [Trèves 2006] y [Schaefer 1999]) requieren que la topología de un par también sea Hausdorff, ^{[2] [ 8]} que tendría que ser si distingue los puntos de (que estos autores asumen). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)=b(\,\cdot \,,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

La topología débil es compatible con el emparejamiento (como se muestra en el teorema de representación débil) y, de hecho, es la topología más débil. Existe una topología más fuerte compatible con este emparejamiento y es la topología Mackey . Si es un espacio normado que no es reflexivo , entonces la topología normal habitual en su espacio dual continuo no es compatible con la dualidad ^[1] ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left(N^{\prime },N\right).}$

Teorema de Mackey-Arens

El siguiente es uno de los teoremas más importantes de la teoría de la dualidad.

Teorema I de Mackey-Arens ^[1]  -  Seaun emparejamiento tal quedistinga los puntos deysea una topología localmente convexa en(no necesariamente Hausdorff). Entonceses compatible con el emparejamientosi y sólo sihay una topología polar determinada por alguna colecciónde discos compactosque cubren ^{[nota 9]} ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

De ello se deduce que la topología de Mackey que recordamos es la topología polar generada por todos los discos compactos y es la topología localmente convexa más fuerte que es compatible con el emparejamiento. Un espacio localmente convexo cuya topología dada es idéntica a la topología de Mackey se denomina espacio de Mackey. . La siguiente consecuencia del teorema de Mackey-Arens anterior también se denomina teorema de Mackey-Arens. ${\displaystyle \tau (X,Y,b),}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b).}$

Teorema II de Mackey-Arens ^[1]  -  Sea un emparejamiento tal que distinga los puntos de y sea una topología localmente convexa en Entonces es compatible con el emparejamiento si y solo si ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b).}$

Teorema de Mackey, barriles y conjuntos convexos cerrados

Si es un TVS (sobre o ), entonces un medio espacio es un conjunto de la forma para algún funcional lineal real real y continuo en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema  :  si es un espacio localmente convexo (sobre o ) y si es un subconjunto cerrado y convexo no vacío de entonces es igual a la intersección de todos los semiespacios cerrados que lo contienen. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$

El teorema anterior implica que los subconjuntos cerrado y convexo de un espacio localmente convexo dependen completamente del espacio dual continuo. En consecuencia, los subconjuntos cerrado y convexo son los mismos en cualquier topología compatible con la dualidad; es decir, si y hay topologías localmente convexas con los mismos espacios duales continuos, entonces un subconjunto convexo de es cerrado en la topología si y sólo si está cerrado en la topología. Esto implica que el cierre de cualquier subconjunto convexo de es igual a su cierre y que para cualquier disco cerrado en ^[1] En particular, si es un subconjunto de entonces es un barril en si y solo si es un barril en ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A=A^{\circ \circ }.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}$

El siguiente teorema muestra que los barriles (es decir, los discos absorbentes cerrados ) son exactamente los polares de subconjuntos débilmente acotados.

Teorema ^[1]  -  Sea un emparejamiento tal que distinga los puntos de y sea una topología del par. Entonces un subconjunto de es un barril si y sólo si es igual a la polar de algún subconjunto acotado de ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es un espacio vectorial topológico entonces: ^{[1] [10]} ${\displaystyle X}$

1. Un subconjunto cerrado absorbente y equilibrado de absorbe cada subconjunto compacto convexo de (es decir, existe un tal real que contiene ese conjunto). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rB}$
2. Si es Hausdorff y localmente convexo, entonces cada barril absorbe cada subconjunto completo acotado convexo de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Todo esto lleva al teorema de Mackey, que es uno de los teoremas centrales de la teoría de sistemas duales. En resumen, establece que los subconjuntos acotados son los mismos para dos topologías localmente convexas de Hausdorff cualesquiera que sean compatibles con la misma dualidad.

Teorema de Mackey ^{[10] [1]}  -  Supongamos que es un espacio localmente convexo de Hausdorff con un espacio dual continuo y considere la dualidad canónica. Si hay alguna topología que sea compatible con la dualidad , entonces los subconjuntos acotados de son los mismos que los subconjuntos acotados de ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}$

Espacio de secuencias finitas

Denotemos el espacio de todas las secuencias de escalares tales que para todos lo suficientemente grandes. Seamos y definamos un mapa bilineal por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }$

$${\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}$$

^[1][1] ${\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b).}$ ${\displaystyle T\subseteq X}$ ${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$ ${\displaystyle \beta (X,X,b)}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i}}$ ${\displaystyle t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in X}$

De ello se deduce que hay subconjuntos débilmente acotados (es decir, acotados) de que no están fuertemente acotados (es decir, no acotados). ${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta (X,X,b)}$

Ver también

• Espacio beta-dual
• Sistema biortogonal
• Espacio dual  : en matemáticas, espacio vectorial de formas lineales.
• Topología dual
• Dualidad (matemáticas)  – Concepto general y funcionamiento en matemáticas
• Producto interno  : generalización del producto escalar; utilizado para definir espacios de HilbertPages displaying short descriptions of redirect targets
• Producto L-semi-interior  : generalización de productos interiores que se aplica a todos los espacios normados.
• Emparejamiento  – Mapa bilineal en matemáticas
• Conjunto polar  : subconjunto de todos los puntos que está delimitado por algún punto dado de un dual (en un emparejamiento dual)
• Topología polar  : topología de espacio dual de convergencia uniforme en alguna subcolección de subconjuntos acotados
• Par dual reductivo
• Espacio dual fuerte  : espacio dual continuo dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados
• Topología fuerte (topología polar)  : espacio dual continuo dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotadosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Topologías en espacios de mapas lineales.
• Topología débil  - Término matemático

Notas

1. Un subconjunto de es total si es para todos , ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in Y}$
   $${\displaystyle b(s,y)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}$$
   implica . ${\displaystyle y=0}$
2. Que sea lineal en su primera coordenada es obvio. Supongamos que es un escalar. Entonces lo que demuestra que es lineal en su segunda coordenada. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y),}$ ${\displaystyle b}$
3. La topología débil es la topología TVS más débil al hacer que todos los mapas sean continuos, ya que abarcan más . La notación dual de o simplemente también se puede usar para denotar que está dotado de la topología débil. Si no queda claro por el contexto, se debe suponer que es todo. en cuyo caso simplemente se llama topología débil (inducida por ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,R)),}$ ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R,b).}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
4. Si es un mapa lineal , entonces la transposición de está bien definida si y solo si distingue puntos de y En este caso, para cada uno, la condición definitoria de es: ${\displaystyle G:Z\to Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{t}G:X\to W,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {}^{t}G(x)}$ ${\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).}$
5. Si es un mapa lineal , entonces la transposición de está bien definida si y solo si distingue puntos de y En este caso, para cada uno, la condición definitoria de es: ${\displaystyle H:X\to Z}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y).}$ ${\displaystyle w\in W,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(w)}$ ${\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).}$
6. Si es un mapa lineal , entonces la transposición de está bien definida si y solo si distingue puntos de y En este caso, para cada uno, la condición definitoria de es: ${\displaystyle H:W\to Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(x)}$ ${\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).}$
7. Si es un mapa lineal , entonces la transposición de está bien definida si y solo si distingue puntos de y En este caso, para cada uno, la condición definitoria de es: ${\displaystyle H:Y\to W}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,).}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(z)}$ ${\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)}$
8. Por supuesto, existe una definición análoga para que las topologías sean "compatibles en un emparejamiento", pero este artículo solo tratará las topologías en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$
9. Recuerde que se dice que una colección de subconjuntos de un conjunto cubre si cada punto de está contenido en algún conjunto que pertenece a la colección. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Referencias

1. Narici & Beckenstein 2011, págs.
2. Schaefer y Wolff 1999, págs. 122-128.
3. Tréves 2006, pag. 195.
4. Schaefer y Wolff 1999, págs.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs. 251-253.
7. Schaefer y Wolff 1999, págs. 128-130.
8. Trèves 2006, págs. 368–377.
9. Narici y Beckenstein 2011, pag. 200.
10. Trèves 2006, págs. 371–372.

Bibliografía

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Michael Reed y Barry Simon, Métodos de la física matemática moderna, vol. 1, Análisis Funcional, Sección III.3. Prensa académica, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6 . 
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schmitt, Lothar M (1992). "Una versión equivalente del teorema de Hahn-Banach". Houston J. De Matemáticas . 18 : 429–447.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

enlaces externos

• Teoría de la dualidad