En el campo matemático de la teoría de la representación , un par dual reductivo es un par de subgrupos ( G , G ′) del grupo de isometría Sp( W ) de un espacio vectorial simpléctico W , tal que G es el centralizador de G ′ en Sp( W ) y viceversa, y estos grupos actúan reductivamente sobre W. De manera algo más laxa, se habla de un par dual siempre que dos grupos sean los centralizadores mutuos en un grupo más grande, que frecuentemente es un grupo lineal general . El concepto fue introducido por Roger Howe en Howe (1979). Sus fuertes vínculos con la teoría clásica de invariantes se discuten en Howe (1989a).
La noción de un par dual reductivo tiene sentido sobre cualquier cuerpo F , que suponemos fijo en todo su perímetro. Por lo tanto, W es un espacio vectorial simpléctico sobre F .
Si W 1 y W 2 son dos espacios vectoriales simplécticos y ( G 1 , G ′ 1 ), ( G 2 , G ′ 2 ) son dos pares duales reductivos en los grupos simplécticos correspondientes, entonces podemos formar un nuevo espacio vectorial simpléctico W = W 1 ⊕ W 2 y un par de grupos G = G 1 × G 2 , G ′ = G ′ 1 × G ′, 2 que actúen sobre W por isometrías. Resulta que ( G , G ′) es un par dual reductivo. Un par dual reductivo se llama reducible si se puede obtener de esta manera a partir de grupos más pequeños, e irreducible en caso contrario. Un par reducible se puede descomponer en un producto directo de irreducibles, y para muchos propósitos, es suficiente restringir la atención al caso irreducible.
Varias clases de pares duales reductivos habían aparecido anteriormente en el trabajo de André Weil . Roger Howe demostró un teorema de clasificación que establece que en el caso irreducible, esos pares agotan todas las posibilidades. Se dice que un par dual reductivo irreducible ( G , G ′) en Sp( W ) es de tipo II si hay un subespacio lagrangiano X en W que es invariante tanto bajo G como bajo G ′, y de tipo I en caso contrario.
Un par dual reductivo irreducible arquetípico de tipo II consiste en un par de grupos lineales generales y surge de la siguiente manera. Sean U y V dos espacios vectoriales sobre F , X = U ⊗ F V su producto tensorial, e Y = Hom F ( X , F ) su dual . Entonces la suma directa W = X ⊕ Y puede ser dotada de una forma simpléctica tal que X e Y son subespacios lagrangianos, y la restricción de la forma simpléctica a X × Y ⊂ W × W coincide con el emparejamiento entre el espacio vectorial X y su dual Y . Si G = GL( U ) y G ′ = GL( V ), entonces ambos grupos actúan linealmente sobre X e Y , las acciones preservan la forma simpléctica sobre W , y ( G , G ′) es un par dual reducible irreducible. Nótese que X es un subespacio lagrangiano invariante, por lo tanto este par dual es de tipo II.
Un par dual reductivo irreducible arquetípico de tipo I consiste en un grupo ortogonal y un grupo simpléctico y se construye de manera análoga. Sea U un espacio vectorial ortogonal y V un espacio vectorial simpléctico sobre F , y W = U ⊗ F V su producto tensorial. La observación clave es que W es un espacio vectorial simpléctico cuya forma bilineal se obtiene del producto de las formas sobre los factores tensoriales. Además, si G = O( U ) y G ′ = Sp( V ) son los grupos de isometría de U y V , entonces actúan sobre W de manera natural, estas acciones son simplécticas y ( G , G ′) es un par dual reductivo irreducible de tipo I.
Estas dos construcciones producen todos los pares duales reductivos irreducibles sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F , tal como el cuerpo C de números complejos . En general, se pueden reemplazar espacios vectoriales sobre F por espacios vectoriales sobre un álgebra de división D sobre F , y proceder de manera similar a lo anterior para construir un par dual reducible irreducible de tipo II. Para el tipo I, se comienza con un álgebra de división D con involución τ, una forma hermítica sobre U , y una forma antihermítica sobre V (ambas no degeneradas), y se forma su producto tensorial sobre D , W = U ⊗ D V . Entonces W está naturalmente dotado de una estructura de un espacio vectorial simpléctico sobre F , los grupos de isometría de U y V actúan simplécticamente sobre W y forman un par dual reducible irreducible de tipo I. Roger Howe demostró que, hasta un isomorfismo, cualquier par dual irreducible surge de esta manera. Una lista explícita para el caso F = R aparece en Howe (1989b).