Función (matemáticas)

En matemáticas , una función de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ asigna a cada elemento de $X$ exactamente un elemento de $Y.$ ^[1] El conjunto $X$ se llama dominio de la función ^[2] y el conjunto $Y$ se llama codominio de la función. ^[3]

Las funciones fueron originalmente la idealización de cómo una cantidad variable depende de otra cantidad. Por ejemplo, la posición de un planeta es función del tiempo. Históricamente , el concepto fue elaborado con el cálculo infinitesimal a finales del siglo XVII, y, hasta el siglo XIX, las funciones que se consideraban eran diferenciables (es decir, tenían un alto grado de regularidad). El concepto de función se formalizó a finales del siglo XIX en términos de teoría de conjuntos , y esto amplió enormemente los dominios de aplicación del concepto.

Una función suele denotarse con letras como $f$ , $g$ y $h$ , y el valor de una función $f$ en un elemento $x$ de su dominio se denota con $f (x)$ ; el valor numérico resultante de lala evaluación de la función en un valor de entrada particular se denota reemplazando $x$ con este valor; por ejemplo, el valor de $f$ en $x = 4$ se denota por $f (4)$ . Cuando la función no tiene nombre y está representada por unaexpresión $E$ , el valor de la función en, digamos, $x = 4$ puede denotarse por $E | x =4$ . Por ejemplo, el valor en $4$ de la función que asigna $x$ apuede denotarse por^[^{cita necesaria}^](que da como resultado $25).$ $(x+1)^{2}$ $\left.(x+1)^{2}\right\vert _{x=4}$

Una función está representada de forma única por el conjunto de todos los pares $(x, f (x))$ , llamado gráfica de la función , una forma popular de ilustrar la función. ^{[nota 1]}^[4] Cuando el dominio y el codominio son conjuntos de números reales, cada par puede considerarse como las coordenadas cartesianas de un punto en el plano.

Las funciones se utilizan ampliamente en ciencias , ingeniería y en la mayoría de los campos de las matemáticas. Se ha dicho que las funciones son "los objetos centrales de investigación" en la mayoría de los campos de las matemáticas. ^[5]

Definición

Una función $f$ de un conjunto $X$ a un conjunto Y $es$ una asignación de un elemento de $Y$ a cada elemento de $X.$ Al conjunto $X$ se le llama dominio de la función y al conjunto $Y$ se le llama codominio de la función.

Si el elemento $y$ en $Y$ es asignado a $x$ en $X$ mediante la función $f$ , se dice que $f$ asigna $x$ a $y$ , y esto comúnmente se escribe en esta notación, $x$ es el argumento o variable de la función. Un elemento específico $x$ de $X$ es un valor de la variable , y el elemento correspondiente de $Y$ es el valor de la función en $x$ , o la imagen de $x$ debajo de la función. $y=f(x).$

Una función $f$ , su dominio $X$ y su codominio $Y$ a menudo se especifican mediante la notación. En este caso, se puede escribir en lugar de Esto permite definir una función sin nombrarla. Por ejemplo, la función cuadrada es la función $f:X\to Y.$ $x\mapsto y$ $y=f(x).$ $x\mapsto x^{2}.$

El dominio y el codominio no siempre se dan explícitamente cuando se define una función. En particular, es común que uno sólo pueda saber, sin algún cálculo (posiblemente difícil), que el dominio de una función específica está contenido en un conjunto mayor. Por ejemplo, si es una función real , la determinación del dominio de la función requiere conocer los ceros de $f.$ Esta es una de las razones por las que, en análisis matemático , "una función de $X$ a $Y$ " puede referirse a una función que tiene un subconjunto propio de $X$ como dominio. ^{[nota 2]} Por ejemplo, una "función de reales a reales" puede referirse a una función con valor real de una variable real cuyo dominio es un subconjunto propio de los números reales , normalmente un subconjunto que contiene un número abierto no vacío. intervalo . A esta función se le llama entonces función parcial . $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $x\mapsto 1/f(x)$

El rango o imagen de una función es el conjunto de imágenes de todos los elementos del dominio. ^[6]^[7]^[8]^[9]

Una función $f$ en un conjunto $S$ significa una función del dominio $S$ , sin especificar un codominio. Sin embargo, algunos autores lo utilizan como abreviatura para decir que la función es $f : S \to S$ .

Definicion formal

La definición anterior de función es esencialmente la de los fundadores del cálculo , Leibniz , Newton y Euler . Sin embargo, no se puede formalizar , ya que no existe una definición matemática de "tarea". No fue hasta finales del siglo XIX que se pudo proporcionar la primera definición formal de función, en términos de teoría de conjuntos . Es esta definición de teoría de conjuntos la que se presenta aquí.

Una relación binaria entre dos conjuntos $X$ e $Y$ es un subconjunto del conjunto de todos los pares ordenados tales que y El conjunto de todos estos pares se denomina producto cartesiano de $X$ e $Y$ y se denota $(x,y)$ $x\in X$ $y\in Y.$ $X\times Y.$

Una función con dominio $X$ y codominio $Y$ es una relación binaria $R$ entre $X$ e $Y$ que satisface las dos condiciones siguientes:

Relación total : $\forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R$
Relación univalente : $(x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z$

Estas condiciones son exactamente la formalización de la definición anterior de función.

Funciones multivariadas

Una función multivariante , función multivariable o función de varias variables es una función que depende de varios argumentos. Este tipo de funciones se encuentran comúnmente. Por ejemplo, la posición de un automóvil en una carretera es función del tiempo recorrido y de su velocidad media.

Formalmente, una función de $n$ variables es una función cuyo dominio es un conjunto de $n$ -tuplas. ^{[nota 3]} Por ejemplo, la multiplicación de números enteros es una función de dos variables, o función bivariada , cuyo dominio es el conjunto de todos los pares ordenados (2-tuplas) de números enteros, y cuyo codominio es el conjunto de números enteros. Lo mismo ocurre con todas las operaciones binarias . Comúnmente, una $n$ -tupla se denota encerrada entre paréntesis, como en Cuando se usa notación funcional , generalmente se omiten los paréntesis que rodean las tuplas y se escribe en lugar de $(1,2,\ldots ,n).$ $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $f((x_{1},\ldots ,x_{n})).$

Dado $n$ establece el conjunto de todas $las n$ -tuplas tales que se denomina producto cartesiano de y se denota $X_{1},\ldots ,X_{n},$ $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}$ $X_{1},\ldots ,X_{n},$ $X_{1}\times \cdots \times X_{n}.$

Por tanto, una función multivariada es una función que tiene como dominio un producto cartesiano o un subconjunto propio de un producto cartesiano.

f:U\to Y,

donde el dominio $U$ tiene la forma

U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.

Si todos son iguales al conjunto de los números reales o al conjunto de los números complejos , se habla respectivamente de una función de varias variables reales o de una función de varias variables complejas . $X_{i}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Notación

Hay varias formas estándar de denotar funciones. La notación más utilizada es la notación funcional, que es la primera notación que se describe a continuación.

Notación funcional

La notación funcional requiere que se le dé un nombre a la función, que, en el caso de una función no especificada, suele ser la letra $f$ . Luego, la aplicación de la función a un argumento se denota por su nombre seguido de su argumento (o, en el caso de funciones multivariadas, sus argumentos) entre paréntesis, como en

f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{or}}\quad f(x^{2}+1).

El argumento entre paréntesis puede ser una variable , a menudo $x$ , que representa un elemento arbitrario del dominio de la función, un elemento específico del dominio ( $3$ en el ejemplo anterior) o una expresión que puede evaluarse como un elemento de el dominio ( en el ejemplo anterior). El uso de una variable no especificada entre paréntesis es útil para definir una función explícitamente, como en "let ". $x^{2}+1$ $f(x)=\sin(x^{2}+1)$

Cuando el símbolo que denota la función consta de varios caracteres y no puede surgir ambigüedad, se podrán omitir los paréntesis de notación funcional. Por ejemplo, es común escribir $sin x$ en lugar de $sin(x)$ .

La notación funcional fue utilizada por primera vez por Leonhard Euler en 1734. ^[10] Algunas funciones ampliamente utilizadas están representadas por un símbolo que consta de varias letras (generalmente dos o tres, generalmente una abreviatura de su nombre). En este caso, se suele utilizar una fuente romana , como " $sin$ " para la función seno , a diferencia de la cursiva para los símbolos de una sola letra.

La notación funcional se usa a menudo de manera coloquial para referirse a una función y nombrar simultáneamente su argumento, como en "sea una función". Se trata de un abuso de notación que resulta útil para una formulación más sencilla. $f(x)$

Notación de flecha

La notación de flecha define la regla de una función en línea, sin requerir que se le dé un nombre a la función. Por ejemplo, es la función que toma un número real como entrada y genera ese número más 1. Nuevamente, se implica un dominio y un codominio de. $x\mapsto x+1$ $\mathbb {R}$

El dominio y el codominio también se pueden indicar explícitamente, por ejemplo:

{\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}

Esto define una función $sqr$ de números enteros a números enteros que devuelve el cuadrado de su entrada.

Como aplicación común de la notación de flechas, supongamos que es una función con dos variables y queremos referirnos a una función parcialmente aplicada que se produce fijando el segundo argumento al valor $t$ $0$ sin introducir un nuevo nombre de función. El mapa en cuestión podría indicarse mediante la notación de flechas. La expresión (léase: "el mapa que lleva $x$ a $f$ de $x$ coma $t$ cero") representa esta nueva función con un solo argumento, mientras que la expresión $f$ $($ $x$ $0$ $,$ $t$ $0$ $)$ se refiere al valor de la función $f$ en el punto $($ $x$ $0$ $,$ $t$ $0$ $)$ . $f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)$ $X\to Y$ $x\mapsto f(x,t_{0})$ $x\mapsto f(x,t_{0})$

Notación de índice

Se puede utilizar la notación de índice en lugar de la notación funcional. Es decir, en lugar de escribir $f (x)$ , se escribe $f_{x}.$

Este suele ser el caso de funciones cuyo dominio es el conjunto de los números naturales . Tal función se llama secuencia y, en este caso, el elemento se llama $enésimo$ elemento de la secuencia. $f_{n}$

La notación de índice también se puede utilizar para distinguir algunas variables llamadas parámetros de las "variables verdaderas". De hecho, los parámetros son variables específicas que se consideran fijas durante el estudio de un problema. Por ejemplo, el mapa (ver arriba) se denotaría usando notación de índice, si definimos la colección de mapas mediante la fórmula para todos . $x\mapsto f(x,t)$ $f_{t}$ $f_{t}$ $f_{t}(x)=f(x,t)$ $x,t\in X$

Notación de puntos

En la notación el símbolo $x$ no representa ningún valor; es simplemente un marcador de posición , lo que significa que, si $x$ se reemplaza por cualquier valor a la izquierda de la flecha, debe reemplazarse por el mismo valor a la derecha de la flecha. Por lo tanto, $x$ puede reemplazarse por cualquier símbolo, a menudo un punto intermedio " $\cdot$ ". Esto puede resultar útil para distinguir la función $f$ $(\cdot)$ de su valor $f$ $($ $x$ $)$ en $x$ . $x\mapsto f(x),$

Por ejemplo, puede representar la función y puede representar una función definida por una integral con límite superior variable: . $a(\cdot )^{2}$ $x\mapsto ax^{2}$ ${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$ ${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$

Notaciones especializadas

Existen otras notaciones especializadas para funciones en subdisciplinas de las matemáticas. Por ejemplo, en álgebra lineal y análisis funcional , las formas lineales y los vectores sobre los que actúan se denotan mediante un par dual para mostrar la dualidad subyacente . Esto es similar al uso de la notación bracket en mecánica cuántica. En lógica y teoría de la computación , la notación de funciones del cálculo lambda se utiliza para expresar explícitamente las nociones básicas de abstracción y aplicación de funciones . En teoría de categorías y álgebra homológica , las redes de funciones se describen en términos de cómo ellas y sus composiciones conmutan entre sí mediante diagramas conmutativos que extienden y generalizan la notación de flechas para funciones descritas anteriormente.

Funciones de más de una variable.

En algunos casos, el argumento de una función puede ser un par ordenado de elementos tomados de algún conjunto o conjuntos. Por ejemplo, una función $f$ se puede definir como la aplicación de cualquier par de números reales a la suma de sus cuadrados, . Esta función se escribe comúnmente y se denomina "función de dos variables". Asimismo se puede tener una función de tres o más variables, con notaciones como , . $(x,y)$ $x^{2}+y^{2}$ $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ $f(w,x,y)$ $f(w,x,y,z)$

Otros terminos

Una función también puede denominarse mapa o mapeo , pero algunos autores hacen una distinción entre el término "mapa" y "función". Por ejemplo, el término "mapa" a menudo se reserva para una "función" con algún tipo de estructura especial (por ejemplo, mapas de variedades ). En particular, se puede utilizar mapa en lugar de homomorfismo en aras de la concisión (por ejemplo, mapa lineal o mapa de $G$ a $H$ en lugar de homomorfismo de grupo de $G$ a $H$ ). Algunos autores ^[13] reservan la palabra mapeo para el caso en que la estructura del codominio pertenece explícitamente a la definición de la función.

Algunos autores, como Serge Lang , ^[12] usan "función" sólo para referirse a mapas para los cuales el codominio es un subconjunto de números reales o complejos , y usan el término mapeo para funciones más generales.

En la teoría de sistemas dinámicos , un mapa denota una función de evolución utilizada para crear sistemas dinámicos discretos . Véase también el mapa de Poincaré .

Cualquiera que sea la definición de mapa que se utilice, los términos relacionados como dominio , codominio , inyectivo y continuo tienen el mismo significado que para una función.

Especificación de una función

Dada una función , por definición, a cada elemento del dominio de la función , hay un único elemento asociado a él, el valor de at . Hay varias formas de especificar o describir cómo se relaciona con , tanto explícita como implícitamente. A veces, un teorema o un axioma afirma la existencia de una función que tiene algunas propiedades, sin describirla con mayor precisión. A menudo, la especificación o descripción se denomina definición de la función . $f$ $x$ $f$ $f(x)$ $f$ $x$ $x$ $f(x)$ $f$

Al enumerar los valores de las funciones

En un conjunto finito, una función se puede definir enumerando los elementos del codominio que están asociados a los elementos del dominio. Por ejemplo, si , entonces se puede definir una función mediante $A=\{1,2,3\}$ $f:A\to \mathbb {R}$ $f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.$

Por una fórmula

Las funciones suelen definirse mediante una expresión que describe una combinación de operaciones aritméticas y funciones previamente definidas; dicha fórmula permite calcular el valor de la función a partir del valor de cualquier elemento del dominio. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, se puede definir mediante la fórmula , para . $f$ $f(n)=n+1$ $n\in \{1,2,3\}$

Cuando una función se define de esta manera, a veces resulta difícil determinar su dominio. Si la fórmula que define la función contiene divisiones, los valores de la variable cuyo denominador es cero deben excluirse del dominio; así, para una función complicada, la determinación del dominio pasa por el cálculo de los ceros de las funciones auxiliares. De manera similar, si aparecen raíces cuadradas en la definición de una función, el dominio de a se incluye en el conjunto de valores de la variable para los cuales los argumentos de las raíces cuadradas no son negativos. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ,$

Por ejemplo, define una función cuyo dominio es porque siempre es positiva si $x$ es un número real. Por otro lado, define una función de reales a reales cuyo dominio se reduce al intervalo $[-1, 1]$ . (En textos antiguos, dicho dominio se denominaba dominio de definición de la función). $f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R} ,$ $1+x^{2}$ $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

Las funciones se pueden clasificar por la naturaleza de las fórmulas que las definen:

Una función cuadrática es una función que se puede escribir donde $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ son constantes . $f(x)=ax^{2}+bx+c,$
De manera más general, una función polinómica es una función que se puede definir mediante una fórmula que involucra solo sumas, restas, multiplicaciones y exponenciación a potencias enteras no negativas. Por ejemplo, y son funciones polinómicas de . $f(x)=x^{3}-3x-1$ $f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1$ $x$
Una función racional es la misma, aunque también se permiten divisiones, como y $f(x)={\frac {x-1}{x+1}},$ $f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.$
Una función algebraica es la misma, pero también se permiten raíces $n$ -ésimas y raíces de polinomios .
Una función elemental ^{[nota 4]} es la misma, permitiéndose logaritmos y funciones exponenciales .

Funciones inversas e implícitas

Una función con dominio $X$ y codominio $Y$ , es biyectiva , si para cada $y$ en $Y$ , existe un y sólo un elemento $x$ en $X$ tal que $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ . En este caso, la función inversa de $f$ es la función que se asigna al elemento tal que $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ . Por ejemplo, el logaritmo natural es una función biyectiva de los números reales positivos a los números reales. Por lo tanto, tiene una inversa, llamada función exponencial , que asigna los números reales a los números positivos. $f:X\to Y,$ $f^{-1}:Y\to X$ $y\in Y$ $x\in X$

Si una función no es biyectiva, puede ocurrir que se puedan seleccionar subconjuntos tales que la restricción de $f$ a $E$ sea una biyección de $E$ a $F$ y, por tanto, tenga una inversa. Las funciones trigonométricas inversas se definen de esta manera. Por ejemplo, la función coseno induce, por restricción, una biyección del intervalo $[0,$ $π$ $]$ al intervalo $[-1, 1]$ , y su función inversa, llamada arcocoseno , mapea $[-1, 1]$ sobre $[0,$ $π$ $]$ . Las otras funciones trigonométricas inversas se definen de manera similar. $f:X\to Y$ $E\subseteq X$ $F\subseteq Y$

De manera más general, dada una relación binaria $R$ entre dos conjuntos $X$ e $Y$ , sea $E$ un subconjunto de $X$ tal que, para cada uno, hay algo tal que $x R y$ . Si uno tiene un criterio que permite seleccionar tal $y$ para cada, esto define una función llamada función implícita , porque está implícitamente definida por la relación $R.$ $x\in E,$ $y\in Y$ $x\in E,$ $f:E\to Y,$

Por ejemplo, la ecuación del círculo unitario define una relación entre números reales. Si $-1 <$ $x$ $< 1$ hay dos valores posibles de $y$ , uno positivo y otro negativo. Para $x$ $= \pm 1$ , estos dos valores se vuelven ambos iguales a 0. De lo contrario, no hay ningún valor posible de $y$ . Esto significa que la ecuación define dos funciones implícitas con dominio $[-1, 1]$ y respectivos codominios $[0, +\infty)$ y $(-\infty, 0]$ . $x^{2}+y^{2}=1$

En este ejemplo, la ecuación se puede resolver en $y$ , pero, en ejemplos más complicados, esto es imposible. Por ejemplo, la relación define $y$ como una función implícita de $x$ , llamada radical Bring , que tiene como dominio y rango. El radical Bring no se puede expresar en términos de las cuatro operaciones aritméticas y las raíces n -ésimas . $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},$ $y^{5}+y+x=0$ $\mathbb {R}$

El teorema de la función implícita proporciona condiciones leves de diferenciabilidad para la existencia y unicidad de una función implícita en la vecindad de un punto.

Usando cálculo diferencial

Muchas funciones se pueden definir como primitiva de otra función. Este es el caso del logaritmo natural , que es la antiderivada de $1/ x$ que es 0 para $x = 1$ . Otro ejemplo común es la función de error .

De manera más general, muchas funciones, incluida la mayoría de las funciones especiales , pueden definirse como soluciones de ecuaciones diferenciales . El ejemplo más simple es probablemente la función exponencial , que puede definirse como la función única que es igual a su derivada y toma el valor 1 para $x = 0$ .

Las series de potencias se pueden utilizar para definir funciones en el dominio en el que convergen. Por ejemplo, la función exponencial viene dada por . Sin embargo, como los coeficientes de una serie son bastante arbitrarios, una función que es la suma de una serie convergente generalmente se define de otra manera, y la secuencia de los coeficientes es el resultado de algún cálculo basado en otra definición. Luego, la serie de potencias se puede utilizar para ampliar el dominio de la función. Normalmente, si una función para una variable real es la suma de su serie de Taylor en algún intervalo, esta serie de potencias permite ampliar inmediatamente el dominio a un subconjunto de los números complejos , el disco de convergencia de la serie. Luego la continuación analítica permite ampliar aún más el dominio para incluir casi todo el plano complejo . Este proceso es el método que se utiliza generalmente para definir las funciones logaritmo , exponencial y trigonométrica de un número complejo. ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

Por recurrencia

Las funciones cuyo dominio son los números enteros no negativos, conocidas como secuencias , a veces se definen mediante relaciones de recurrencia .

La función factorial sobre números enteros no negativos ( ) es un ejemplo básico, ya que puede definirse mediante la relación de recurrencia $n\mapsto n!$

n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,

y la condición inicial

0!=1.

Representando una función

Una gráfica se usa comúnmente para dar una imagen intuitiva de una función. Como ejemplo de cómo una gráfica ayuda a comprender una función, es fácil ver en su gráfica si una función aumenta o disminuye. Algunas funciones también pueden representarse mediante gráficos de barras .

Gráficos y diagramas

Dada una función su gráfica es, formalmente, el conjunto $f:X\to Y,$

G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.

En el caso frecuente en el que $X$ e $Y$ son subconjuntos de números reales (o pueden identificarse con dichos subconjuntos, por ejemplo, intervalos ), un elemento puede identificarse con un punto que tiene coordenadas $x$ $,$ $y$ en un sistema de coordenadas bidimensional, por ejemplo, el Plano cartesiano . Partes de esto pueden crear un gráfico que represente (partes de) la función. El uso de gráficas es tan ubicuo que también se les llama gráfica de la función . También son posibles representaciones gráficas de funciones en otros sistemas de coordenadas. Por ejemplo, la gráfica de la función cuadrada. $(x,y)\in G$

x\mapsto x^{2},

que consta de todos los puntos con coordenadas produce , cuando se representa en coordenadas cartesianas, la conocida parábola . Si la misma función cuadrática con la misma gráfica formal, que consta de pares de números, se traza en coordenadas polares, la gráfica obtenida es la espiral de Fermat . $(x,x^{2})$ $x\in \mathbb {R} ,$ $x\mapsto x^{2},$ $(r,\theta )=(x,x^{2}),$

Mesas

Una función se puede representar como una tabla de valores. Si el dominio de una función es finito, entonces la función se puede especificar completamente de esta manera. Por ejemplo, la función de multiplicación definida como se puede representar mediante la conocida tabla de multiplicar. $f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R}$ $f(x,y)=xy$

Por otro lado, si el dominio de una función es continuo, una tabla puede dar los valores de la función en valores específicos del dominio. Si se necesita un valor intermedio, se puede utilizar la interpolación para estimar el valor de la función. Por ejemplo, una parte de una tabla para la función seno podría proporcionarse de la siguiente manera, con valores redondeados a 6 decimales:

Antes de la llegada de las calculadoras portátiles y las computadoras personales, estas tablas a menudo se compilaban y publicaban para funciones como logaritmos y funciones trigonométricas.

Gráfico de barras

Un gráfico de barras puede representar una función cuyo dominio sea un conjunto finito, los números naturales o los enteros . En este caso, un elemento $x$ del dominio está representado por un intervalo del eje $x$ , y el valor correspondiente de la función, $f (x)$ , está representado por un rectángulo cuya base es el intervalo correspondiente a $x$ y cuya altura es $f (x)$ (posiblemente negativo, en cuyo caso la barra se extiende por debajo del eje $x$ ).

Propiedades generales

Esta sección describe las propiedades generales de las funciones, que son independientes de las propiedades específicas del dominio y el codominio.

Funciones estándar

Hay una serie de funciones estándar que ocurren con frecuencia:

Para cada conjunto $X$ existe una función única, llamadafunción vacía , omapavacío, delconjunto vacíoa $X.$ La gráfica de una función vacía es el conjunto vacío. ^{[nota 5]}La existencia de funciones vacías es necesaria tanto para la coherencia de la teoría como para evitar excepciones relacionadas con el conjunto vacío en muchas declaraciones. Según la definición habitual de la teoría de conjuntos de una función como untriplete ordenado(o equivalentes), hay exactamente una función vacía para cada conjunto, por lo que la función vacíano es igual aif y solo if, aunque sus gráficas son ambasvacías colocar. $\varnothing \to X$ $\varnothing \to Y$ $X\neq Y$
Para cada conjunto $X$ y cada conjunto singleton ${s}$ , existe una función única de $X$ a ${s}$ , que asigna cada elemento de $X$ a $s$ . Esta es una sobreyección (ver más abajo) a menos que $X$ sea el conjunto vacío.
Dada una función, la sobreyección canónica de $f$ sobre su imagen es la función de $X$ a $f$ $($ $X$ $)$ que asigna $x$ a $f$ $($ $x$ $)$ . $f:X\to Y,$ $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$
Para cada subconjunto $A$ de un conjunto $X$ , la aplicación de inclusión de $A$ en $X$ es la función inyectiva (ver más abajo) que asigna cada elemento de $A$ a sí mismo.
La función de identidad en un conjunto $X$ , a menudo denotada por $id X$ , es la inclusión de $X$ en sí mismo.

Composición de funciones

Dadas dos funciones y tales que el dominio de $g$ es el codominio de $f$ , su composición es la función definida por $f:X\to Y$ $g:Y\to Z$ $g\circ f:X\rightarrow Z$

(g\circ f)(x)=g(f(x)).

Es decir, el valor de se obtiene aplicando primero $f$ a $x$ para obtener $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ y luego aplicando $g$ al resultado $y$ para obtener $g$ $($ $y$ $) =$ $g$ $($ $f$ $($ $x$ $))$ . En la notación la función que se aplica primero siempre se escribe a la derecha. $g\circ f$

La composición es una operación sobre funciones que se define sólo si el codominio de la primera función es el dominio de la segunda. Incluso cuando ambas y satisfacen estas condiciones, la composición no es necesariamente conmutativa , es decir, las funciones y no necesitan ser iguales, sino que pueden entregar valores diferentes para un mismo argumento. Por ejemplo, sea $f$ $($ $x$ $) =$ $x$ $2$ y $g$ $($ $x$ $) =$ $x$ $+ 1$ , entonces y acepte solo por $g\circ f$ $g\circ f$ $f\circ g$ $g\circ f$ $f\circ g$ $g(f(x))=x^{2}+1$ $f(g(x))=(x+1)^{2}$ $x=0.$

La composición de la función es asociativa en el sentido de que, si uno de y está definido, entonces el otro también está definido y son iguales, es decir, por lo tanto, lo habitual es escribir simplemente $(h\circ g)\circ f$ $h\circ (g\circ f)$ $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).$ $h\circ g\circ f.$

Las funciones de identidad y son respectivamente una identidad derecha y una identidad izquierda para funciones de $X$ a $Y.$ Es decir, si $f$ es una función con dominio $X$ y codominio $Y$ , se tiene $\operatorname {id} _{X}$ $\operatorname {id} _{Y}$ $f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.$

Una función compuesta g ( f ( x )) se puede visualizar como la combinación de dos "máquinas".
Un ejemplo simple de composición de funciones.
Otra composición. En este ejemplo, $(g \circ f)(c) = #$ .

Imagen y preimagen

Sea la imagen bajo $f$ de un elemento $x$ del dominio $X$ es $f$ $($ $x$ $)$ . ^[6] Si $A$ es cualquier subconjunto de $X$ , entonces la imagen de $A$ bajo $f$ , denotada $f$ $($ $A$ $)$ , es el subconjunto del codominio $Y$ que consta de todas las imágenes de elementos de $A$ , ^[6] es decir, $f:X\to Y.$

f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.

La imagen de $f$ es la imagen de todo el dominio, es decir, $f (X)$ . ^[16] También se le llama rango de $f$ , ^[6]^[7]^[8]^[9] aunque el término rango también puede referirse al codominio. ^[9]^[16]^[17]

Por otro lado, la imagen inversa o preimagen bajo $f$ de un elemento $y$ del codominio $Y$ es el conjunto de todos los elementos del dominio $X$ cuyas imágenes bajo $f$ son iguales $a y$ . ^[6] En símbolos, la preimagen de $y$ se denota por y viene dada por la ecuación $f^{-1}(y)$

f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.

Asimismo, la preimagen de un subconjunto $B$ del codominio $Y$ es el conjunto de las preimágenes de los elementos de $B$ , es decir , es el subconjunto del dominio $X$ formado por todos los elementos de $X$ cuyas imágenes pertenecen a $B.$ ^[6] Se denota por y viene dado por la ecuación $f^{-1}(B)$

f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.

Por ejemplo, la preimagen de la función debajo del cuadrado es el conjunto . $\{4,9\}$ $\{-3,-2,2,3\}$

Por definición de función, la imagen de un elemento $x$ del dominio es siempre un único elemento del codominio. Sin embargo, la preimagen de un elemento $y$ del codominio puede estar vacía o contener cualquier número de elementos. Por ejemplo, si $f$ es la función de los números enteros a sí mismos que asigna cada número entero a 0, entonces . $f^{-1}(y)$ $f^{-1}(0)=\mathbb {Z}$

Si es una función, $A$ y $B$ son subconjuntos de $X$ , y $C$ y $D$ son subconjuntos de $Y$ , entonces tiene las siguientes propiedades: $f:X\to Y$

$A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)$
$C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)$
$A\subseteq f^{-1}(f(A))$
$C\supseteq f(f^{-1}(C))$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$
$f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)$

La preimagen por $f$ de un elemento $y$ del codominio a veces se denomina, en algunos contextos, la fibra de $y$ bajo $f$ .

Si una función $f$ tiene una inversa (ver más abajo), esta inversa se denota. En este caso puede denotar la imagen por o la preimagen por $f$ de $C.$ Esto no es un problema, ya que estos conjuntos son iguales. La notación y puede ser ambigua en el caso de conjuntos que contienen algunos subconjuntos como elementos, como En este caso, puede ser necesario tener cierto cuidado, por ejemplo, usando corchetes para imágenes y preimágenes de subconjuntos y paréntesis ordinarios para imágenes y preimágenes. de elementos. $f^{-1}.$ $f^{-1}(C)$ $f^{-1}$ $f(A)$ $f^{-1}(C)$ $\{x,\{x\}\}.$ $f[A],f^{-1}[C]$

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

Sea una función. $f:X\to Y$

La función $f$ es inyectiva (o uno a uno , o es una inyección ) si $f (a) \neq f (b)$ para dos elementos diferentes $a$ y $b$ de $X.$ ^[16]^[18] De manera equivalente, $f$ es inyectiva si y solo si, para cualquiera, la preimagen contiene como máximo un elemento. Una función vacía siempre es inyectiva. Si $X$ no es el conjunto vacío, entonces $f$ es inyectiva si y sólo si existe una función tal que , es decir, si $f$ tiene una inversa izquierda . ^[18]Prueba : si $f$ es inyectiva, para definir $g$ , se elige un elemento en $X$ (que existe ya que se supone que $X$ no está vacío), ^{[nota 6]} y se define $g$ por si y si Por el contrario, si y entonces y de este modo $y\in Y,$ $f^{-1}(y)$ $g:Y\to X$ $g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ $x_{0}$ $g(y)=x$ $y=f(x)$ $g(y)=x_{0}$ $y\not \in f(X).$ $g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ $y=f(x),$ $x=g(y),$ $f^{-1}(y)=\{x\}.$

La función $f$ es sobreyectiva (o sobre , o es una sobreyección ) si su rango es igual a su codominio , es decir, si, para cada elemento del codominio, existe algún elemento del dominio tal que (en otras palabras, la preimagen de cada no está vacío). ^[16]^[19] Si, como es habitual en las matemáticas modernas, se supone el axioma de elección , entonces $f$ es sobreyectiva si y sólo si existe una función tal que es decir, si $f$ tiene una inversa derecha . ^[19] El axioma de elección es necesario porque, si $f$ es sobreyectiva, se define $g$ por donde es un elemento elegido arbitrariamente de $f(X)$ $Y$ $y$ $x$ $f(x)=y$ $f^{-1}(y)$ $y\in Y$ $g:Y\to X$ $f\circ g=\operatorname {id} _{Y},$ $g(y)=x,$ $x$ $f^{-1}(y).$

La función $f$ es biyectiva (o es una biyección o una correspondencia uno a uno ) si es tanto inyectiva como sobreyectiva. ^[16]^[20] Es decir, $f$ es biyectiva si, para cualquiera, la preimagen contiene exactamente un elemento. La función $f$ es biyectiva si y sólo si admite una función inversa , es decir, una función tal que y ^[20] (Al contrario que en el caso de las sobreyecciones, esto no requiere el axioma de elección; la demostración es sencilla). $y\in Y,$ $f^{-1}(y)$ $g:Y\to X$ $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.$

Cada función puede factorizarse como la composición de una sobreyección seguida de una inyección, donde $s$ es la sobreyección canónica de $X$ sobre $f$ $($ $X$ $)$ e $i$ es la inyección canónica de $f$ $($ $X$ $)$ en $Y$ . Esta es la factorización canónica de $f$ . $f:X\to Y$ $i\circ s$

"Uno a uno" y "sobre" son términos más comunes en la literatura en lengua inglesa más antigua; "inyectivo", "sobreyectivo" y "biyectivo" fueron acuñados originalmente como palabras francesas en el segundo cuarto del siglo XX por el grupo Bourbaki e importados al inglés. ^{[ cita necesaria ]} Como advertencia, "una función uno a uno" es aquella que es inyectiva, mientras que una "correspondencia uno a uno" se refiere a una función biyectiva. Además, la afirmación " $f$ asigna $X$ a $Y$ " difiere de " $f$ asigna $X$ a $B$ ", en que la primera implica que $f$ es sobreyectiva, mientras que la segunda no hace ninguna afirmación sobre la naturaleza de $f$ . En un razonamiento complicado, es fácil pasar por alto la diferencia de una letra. Debido a la naturaleza confusa de esta terminología antigua, estos términos han perdido popularidad en relación con los términos bourbakianos, que también tienen la ventaja de ser más simétricos.

Restricción y extensión

Si es una función y $S$ es un subconjunto de $X$ , entonces la restricción de a S , denotada , es la función de $S$ a $Y$ definida por $f:X\to Y$ $f$ $f|_{S}$

f|_{S}(x)=f(x)

para todo $x$ en $S$ . Se pueden usar restricciones para definir funciones inversas parciales : si hay un subconjunto $S$ del dominio de una función tal que es inyectiva, entonces la sobreyección canónica de sobre su imagen es una biyección y, por lo tanto, tiene una función inversa de a $S.$ Una aplicación es la definición de funciones trigonométricas inversas . Por ejemplo, la función coseno es inyectiva cuando se restringe al intervalo $[0,$ $π$ $]$ . La imagen de esta restricción es el intervalo $[-1, 1]$ y, por tanto, la restricción tiene una función inversa de $[-1, 1]$ a $[0,$ $π$ $]$ , que se llama arcocoseno y se denota $arccos$ . $f$ $f|_{S}$ $f|_{S}$ $f|_{S}(S)=f(S)$ $f(S)$

La restricción de funciones también se puede utilizar para "pegar" funciones. Sea la descomposición de $X$ como una unión de subconjuntos, y supongamos que se define una función en cada uno de modo que para cada par de índices, las restricciones de y to son iguales. Entonces esto define una función única tal que para todo $i$ . Esta es la forma en que se definen las funciones en variedades . ${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ $f_{i}:U_{i}\to Y$ $U_{i}$ $i,j$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f:X\to Y$ $f|_{U_{i}}=f_{i}$

Una extensión de una función $f$ es una función $g$ tal que $f$ es una restricción de $g$ . Un uso típico de este concepto es el proceso de continuación analítica , que permite extender funciones cuyo dominio es una pequeña parte del plano complejo a funciones cuyo dominio es casi todo el plano complejo.

Aquí hay otro ejemplo clásico de una extensión de función que se encuentra al estudiar homografías de la recta real . Una homografía es una función tal que $ad$ $-$ $bc$ $\neq 0$ . Su dominio es el conjunto de todos los números reales diferentes de y su imagen es el conjunto de todos los números reales diferentes de Si se extiende la línea real a la línea real proyectivamente extendida incluyendo $\infty$ , se puede extender $h$ a una biyección del real extendido línea a sí misma configurando y . $h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ $-d/c,$ $a/c.$ $h(\infty )=a/c$ $h(-d/c)=\infty$

en calculo

La idea de función, a partir del siglo XVII, fue fundamental para el nuevo cálculo infinitesimal . En ese momento, solo se consideraban funciones con valores reales de una variable real y se suponía que todas las funciones eran suaves . Pero la definición pronto se extendió a funciones de varias variables y a funciones de una variable compleja . En la segunda mitad del siglo XIX, se introdujo la definición matemática rigurosa de función y se definieron funciones con dominios y codominios arbitrarios.

Las funciones ahora se utilizan en todas las áreas de las matemáticas. En cálculo introductorio , cuando la palabra función se usa sin calificación, significa una función con valor real de una sola variable real. La definición más general de función generalmente se presenta a los estudiantes universitarios de segundo o tercer año con especialización en STEM , y en su último año se les presenta el cálculo en un entorno más amplio y riguroso en cursos como análisis real y análisis complejo .

función real

Gráfica de una función polinómica, aquí una función cuadrática.

Una función real es una función con valor real de una variable real , es decir, una función cuyo codominio es el cuerpo de números reales y cuyo dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo . En esta sección, estas funciones se denominan simplemente funciones .

Las funciones que más comúnmente se consideran en matemáticas y sus aplicaciones tienen cierta regularidad, es decir, son continuas , diferenciables e incluso analíticas . Esta regularidad asegura que estas funciones puedan visualizarse mediante sus gráficas. En esta sección, todas las funciones son diferenciables en algún intervalo.

Las funciones disfrutan de operaciones puntuales , es decir, si $f$ y $g$ son funciones, su suma, diferencia y producto son funciones definidas por

{\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.

Los dominios de las funciones resultantes son la intersección de los dominios de $f$ y $g$ . El cociente de dos funciones se define de manera similar por

{\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},

pero el dominio de la función resultante se obtiene eliminando los ceros de $g$ de la intersección de los dominios de $f$ y $g$ .

Las funciones polinómicas están definidas por polinomios y su dominio es el conjunto completo de los números reales. Incluyen funciones constantes , funciones lineales y funciones cuadráticas . Las funciones racionales son cocientes de dos funciones polinómicas, y su dominio son los números reales de los que se elimina un número finito de ellos para evitar la división por cero . La función racional más simple es la función cuya gráfica es una hipérbola y cuyo dominio es toda la recta real excepto 0. $x\mapsto {\frac {1}{x}},$

La derivada de una función real derivable es una función real. Una primitiva de una función real continua es una función real que tiene la función original como derivada. Por ejemplo, la función es continua, e incluso derivable, en los números reales positivos. Así, una antiderivada, que toma el valor cero para $x$ $= 1$ , es una función diferenciable llamada logaritmo natural . ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

Una función real $f$ es monótona $en$ un intervalo si el signo de no depende de la elección de xey $en$ el intervalo. Si la función es derivable en el intervalo, es monótona si el signo de la derivada es constante en el intervalo. Si una función real f $es$ monótona en un intervalo $I$ , tiene una función inversa , que es una función real con dominio $f$ $($ $I$ $)$ e imagen $I.$ Así se definen las funciones trigonométricas inversas en términos de funciones trigonométricas , donde las funciones trigonométricas son monótonas. Otro ejemplo: el logaritmo natural es monótono en los números reales positivos, y su imagen es la recta real completa; por tanto tiene una función inversa que es una biyección entre los números reales y los números reales positivos. Esta inversa es la función exponencial . ${\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}$

Muchas otras funciones reales se definen mediante el teorema de la función implícita (la función inversa es un caso particular) o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Por ejemplo, las funciones seno y coseno son las soluciones de la ecuación diferencial lineal.

y''+y=0

tal que

\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.

Función con valores vectoriales

Cuando los elementos del codominio de una función son vectores , se dice que la función es una función valorada por un vector. Estas funciones son particularmente útiles en aplicaciones, por ejemplo, modelado de propiedades físicas. Por ejemplo, la función que asocia a cada punto de un fluido su vector velocidad es una función valorada por un vector.

Algunas funciones con valores vectoriales se definen en un subconjunto de u otros espacios que comparten propiedades geométricas o topológicas de , como las variedades . Estas funciones con valores vectoriales reciben el nombre de campos vectoriales . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Espacio funcional

En análisis matemático , y más específicamente en análisis funcional , un espacio funcional es un conjunto de funciones con valores escalares o vectoriales , que comparten una propiedad específica y forman un espacio vectorial topológico . Por ejemplo, las funciones reales suaves con un soporte compacto (es decir, son cero fuera de algún conjunto compacto ) forman un espacio funcional que está en la base de la teoría de distribuciones .

Los espacios funcionales juegan un papel fundamental en el análisis matemático avanzado, al permitir el uso de sus propiedades algebraicas y topológicas para estudiar propiedades de funciones. Por ejemplo, todos los teoremas de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales son resultado del estudio de espacios funcionales.

Funciones multivalor

Varios métodos para especificar funciones de variables reales o complejas parten de una definición local de la función en un punto o en una vecindad de un punto, y luego extienden por continuidad la función a un dominio mucho más grande. Con frecuencia, para un punto de partida existen varios valores iniciales posibles para la función. $x_{0},$

Por ejemplo, al definir la raíz cuadrada como la función inversa de la función cuadrada, para cualquier número real positivo hay dos opciones para el valor de la raíz cuadrada, una de las cuales es positiva y se denota y otra que es negativa y se denota. Estas opciones defina dos funciones continuas, ambas teniendo los números reales no negativos como dominio y teniendo los números reales no negativos o no positivos como imágenes. Al observar las gráficas de estas funciones, se puede ver que, juntas, forman una única curva suave . Por lo tanto, suele ser útil considerar estas dos funciones de raíz cuadrada como una función única que tiene dos valores para $x$ positivo , un valor para 0 y ningún valor para $x$ negativo . $x_{0},$ ${\sqrt {x_{0}}},$ $-{\sqrt {x_{0}}}.$

En el ejemplo anterior, una opción, la raíz cuadrada positiva, es más natural que la otra. Este no es el caso en general. Por ejemplo, consideremos la función implícita que asigna $y$ a una raíz $x$ de (ver la figura de la derecha). Para $y$ $= 0$ se puede elegir cualquiera de los dos para $x$ . Según el teorema de la función implícita , cada elección define una función; para el primero, el dominio (máximo) es el intervalo $[-2, 2]$ y la imagen es $[-1, 1]$ ; para el segundo, el dominio es $[-2, \infty)$ y la imagen es $[1, \infty)$ ; para la última, el dominio es $(-\infty, 2]$ y la imagen es $(-\infty, -1]$ . Como las tres gráficas juntas forman una curva suave y no hay razón para preferir una opción, estas tres funciones son a menudo se considera como una función única multivaluada de $y$ que tiene tres valores para $-2 <$ $y$ $< 2$ , y solo un valor para $y$ $\leq -2$ e $y$ $\geq -2$ . $x^{3}-3x-y=0$ $0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}$

La utilidad del concepto de funciones multivaluadas es más clara cuando se consideran funciones complejas, típicamente funciones analíticas . El dominio al que se puede extender una función compleja mediante continuación analítica generalmente consiste en casi todo el plano complejo . Sin embargo, cuando se extiende el dominio a través de dos caminos diferentes, a menudo se obtienen valores diferentes. Por ejemplo, al extender el dominio de la función de raíz cuadrada, a lo largo de un camino de números complejos con partes imaginarias positivas, se obtiene $i$ para la raíz cuadrada de −1; $mientras que, al extender a través de$ números complejos con partes imaginarias negativas, se obtiene $-i$ . Generalmente existen dos formas de resolver el problema. Se puede definir una función que no es continua a lo largo de alguna curva, llamada corte de rama . Esta función se llama valor principal de la función. La otra forma es considerar que uno tiene una función multivaluada , que es analítica en todas partes excepto en singularidades aisladas, pero cuyo valor puede "saltar" si se sigue un circuito cerrado alrededor de una singularidad. Este salto se llama monodromía .

En los fundamentos de las matemáticas.

La definición de función que se da en este artículo requiere del concepto de conjunto , ya que el dominio y el codominio de una función deben ser un conjunto. Esto no es un problema en matemáticas habituales, ya que generalmente no es difícil considerar sólo funciones cuyo dominio y codominio sean conjuntos, que estén bien definidos, incluso si el dominio no está definido explícitamente. Sin embargo, a veces resulta útil considerar funciones más generales.

Por ejemplo, el conjunto singleton puede considerarse como una función. Su dominio incluiría todos los conjuntos y, por tanto, no sería un conjunto. En matemáticas habituales, se evita este tipo de problema especificando un dominio, lo que significa que se tienen muchas funciones singleton. Sin embargo, al establecer los fundamentos de las matemáticas, es posible que haya que utilizar funciones cuyo dominio, codominio o ambos no estén especificados, y algunos autores, a menudo lógicos, dan definiciones precisas de estas funciones débilmente especificadas. ^[21] $x\mapsto \{x\}.$

Estas funciones generalizadas pueden ser críticas en el desarrollo de una formalización de los fundamentos de las matemáticas . Por ejemplo, la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel es una extensión de la teoría de conjuntos en la que la colección de todos los conjuntos es una clase . Esta teoría incluye el axioma de sustitución , que puede expresarse como: Si $X$ es un conjunto y $F$ es una función, entonces $F [X]$ es un conjunto.

En formulaciones alternativas de los fundamentos de las matemáticas que utilizan la teoría de tipos en lugar de la teoría de conjuntos, las funciones se toman como nociones primitivas en lugar de definirse a partir de otros tipos de objetos. Son habitantes de tipos de funciones y pueden construirse utilizando expresiones del cálculo lambda . ^[22]

en informática

En programación de computadoras , una función es, en general, una parte de un programa de computadora , que implementa el concepto abstracto de función. Es decir, es una unidad de programa que produce una salida para cada entrada. Sin embargo, en muchos lenguajes de programación a cada subrutina se le llama función, incluso cuando no hay salida, y cuando la funcionalidad consiste simplemente en modificar algunos datos en la memoria del ordenador .

La programación funcional es el paradigma de programación que consiste en construir programas utilizando únicamente subrutinas que se comportan como funciones matemáticas. Por ejemplo, if_then_elsees una función que toma tres funciones como argumentos y, dependiendo del resultado de la primera función ( verdadero o falso ), devuelve el resultado de la segunda o tercera función. Una ventaja importante de la programación funcional es que facilita las pruebas de programas , ya que se basan en una teoría bien fundada, el cálculo lambda (ver más abajo).

Excepto por la terminología del lenguaje informático, "función" tiene el significado matemático habitual en informática . En esta área, una propiedad de gran interés es la computabilidad de una función. Para dar un significado preciso a este concepto, y al concepto relacionado de algoritmo , se han introducido varios modelos de computación , siendo los más antiguos las funciones recursivas generales , el cálculo lambda y la máquina de Turing . El teorema fundamental de la teoría de la computabilidad es que estos tres modelos de computación definen el mismo conjunto de funciones computables, y que todos los demás modelos de computación que alguna vez se han propuesto definen el mismo conjunto de funciones computables o uno más pequeño. La tesis de Church-Turing es la afirmación de que toda definición filosóficamente aceptable de una función computable define también las mismas funciones.

Las funciones recursivas generales son funciones parciales de números enteros a números enteros que se pueden definir a partir de

a través de los operadores

Aunque se definen sólo para funciones de números enteros a enteros, pueden modelar cualquier función computable como consecuencia de las siguientes propiedades:

un cálculo es la manipulación de secuencias finitas de símbolos (dígitos de números, fórmulas, ...),
cada secuencia de símbolos puede codificarse como una secuencia de bits ,
una secuencia de bits se puede interpretar como la representación binaria de un número entero.

El cálculo lambda es una teoría que define funciones computables sin utilizar la teoría de conjuntos y es la base teórica de la programación funcional. Consta de términos que son variables, definiciones de funciones ( 𝜆 -términos) o aplicaciones de funciones a términos. Los términos se manipulan mediante algunas reglas (la $α$ -equivalencia, la $β$ -reducción y la $η$ -conversión), que son los axiomas de la teoría y pueden interpretarse como reglas de cálculo.

En su forma original, el cálculo lambda no incluye los conceptos de dominio y codominio de una función. En términos generales, se han introducido en la teoría con el nombre de tipo en el cálculo lambda tipificado . La mayoría de los tipos de cálculos lambda con tipo pueden definir menos funciones que los cálculos lambda sin tipo.

Ver también

Subpáginas

Generalizaciones

Temas relacionados

Notas

^ Esta definición de "gráfico" se refiere a un conjunto de pares de objetos. Las gráficas, en el sentido de diagramas , son más aplicables a funciones desde los números reales hasta ellos mismos. Todas las funciones pueden describirse mediante conjuntos de pares, pero puede no resultar práctico construir un diagrama para funciones entre otros conjuntos (como conjuntos de matrices).
^ El verdadero dominio de dicha función a menudo se denomina dominio de definición de la función.
^ $n$ también puede ser 1, subsumiendo así las funciones definidas anteriormente. Para $n = 0$ , cada constante es también un caso especial de función multivariada.
^ Aquí "elemental" no tiene exactamente su sentido común: aunque la mayoría de las funciones que se encuentran en los cursos elementales de matemáticas son elementales en este sentido, algunas funciones elementales no son elementales para el sentido común, por ejemplo, aquellas que involucran raíces de polinomios de alto grado.
^ Por definición, la gráfica de la función vacía de $X$ es un subconjunto del producto cartesiano $\emptyset \times X$ , y este producto está vacío.
^ El axioma de elección no es necesario aquí, ya que la elección se realiza en un solo conjunto.

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enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Funciones (matemáticas) .

The Wolfram Functions: sitio web que ofrece fórmulas y visualizaciones de muchas funciones matemáticas
Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST