Teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel

System of mathematical set theory

En los fundamentos de las matemáticas , la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel ( NBG ) es una teoría de conjuntos axiomática que es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de elección de Zermelo–Fraenkel (ZFC). NBG introduce la noción de clase , que es una colección de conjuntos definidos por una fórmula cuyos cuantificadores abarcan solo conjuntos. NBG puede definir clases que son más grandes que los conjuntos, como la clase de todos los conjuntos y la clase de todos los ordinales . La teoría de conjuntos de Morse–Kelley (MK) permite definir clases mediante fórmulas cuyos cuantificadores abarcan clases. NBG es finitamente axiomatizable, mientras que ZFC y MK no lo son.

Un teorema clave de NBG es el teorema de existencia de clases, que establece que para cada fórmula cuyos cuantificadores abarcan solo conjuntos, existe una clase que consiste en los conjuntos que satisfacen la fórmula. Esta clase se construye reflejando la construcción paso a paso de la fórmula con clases. Dado que todas las fórmulas de teoría de conjuntos se construyen a partir de dos tipos de fórmulas atómicas ( pertenencia e igualdad ) y un número finito de símbolos lógicos , solo se necesitan un número finito de axiomas para construir las clases que las satisfacen. Es por esto que NBG es finitamente axiomatizable. Las clases también se utilizan para otras construcciones, para manejar las paradojas de la teoría de conjuntos y para enunciar el axioma de elección global , que es más fuerte que el axioma de elección de ZFC .

John von Neumann introdujo las clases en la teoría de conjuntos en 1925. Las nociones primitivas de su teoría eran función y argumento . Utilizando estas nociones, definió clase y conjunto. ^[1] Paul Bernays reformuló la teoría de von Neumann tomando clase y conjunto como nociones primitivas. ^[2] Kurt Gödel simplificó la teoría de Bernays para su prueba de consistencia relativa del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado . ^[3]

Clases en teoría de conjuntos

Los usos de las clases

Las clases tienen varios usos en NBG:

• Producen una axiomatización finita de la teoría de conjuntos. ^[4]
• Se utilizan para enunciar una "forma muy fuerte del axioma de elección " ^[5] —a saber, el axioma de elección global : Existe una función de elección global definida en la clase de todos los conjuntos no vacíos tales que para cada conjunto no vacío Esto es más fuerte que el axioma de elección de ZFC: Para cada conjunto de conjuntos no vacíos, existe una función de elección definida en tal que para todo ^[a] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(x)\in x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(x)\in x}$ ${\displaystyle x\in s.}$
• Las paradojas de la teoría de conjuntos se manejan reconociendo que algunas clases no pueden ser conjuntos. Por ejemplo, supongamos que la clase de todos los ordinales es un conjunto. Entonces es un conjunto transitivo bien ordenado por . Por lo tanto, por definición, es un ordinal. Por lo tanto, , lo que contradice ser un buen ordenamiento de Por lo tanto, no es un conjunto. Una clase que no es un conjunto se llama clase propia ; es una clase propia. ^[6] ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord\in Ord}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Ord.}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord}$
• Las clases propias son útiles en las construcciones. En su prueba de la consistencia relativa del axioma de elección global y la hipótesis generalizada del continuo , Gödel utilizó clases propias para construir el universo construible . Construyó una función sobre la clase de todos los ordinales que, para cada ordinal, construye un conjunto construible aplicando una operación de construcción de conjuntos a conjuntos previamente construidos. El universo construible es la imagen de esta función. ^[7]

Esquema axiomático versus teorema de existencia de clases

Una vez que se añaden clases al lenguaje de ZFC, es fácil transformar ZFC en una teoría de conjuntos con clases. En primer lugar, se añade el esquema axiomático de comprensión de clases. Este esquema axiomático establece: Para cada fórmula que cuantifica sólo sobre conjuntos, existe una clase que consiste en las tuplas - que satisfacen la fórmula, es decir, Luego, el esquema axiomático de reemplazo se reemplaza por un único axioma que utiliza una clase. Finalmente, el axioma de extensionalidad de ZFC se modifica para manejar clases: Si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticas. Los otros axiomas de ZFC no se modifican. ^[8] ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})].}$

Esta teoría no está axiomatizada de manera finita. El esquema de reemplazo de ZFC ha sido reemplazado por un único axioma, pero se ha introducido el esquema axiomático de comprensión de clases.

Para producir una teoría con un número finito de axiomas, el esquema axiomático de comprensión de clases se reemplaza primero por un número finito de axiomas de existencia de clases. Luego, estos axiomas se utilizan para demostrar el teorema de existencia de clases, que implica cada instancia del esquema axiomático. ^[8] La prueba de este teorema requiere solo siete axiomas de existencia de clases, que se utilizan para convertir la construcción de una fórmula en la construcción de una clase que satisface la fórmula.

Axiomatización de NBG

Clases y conjuntos

NBG tiene dos tipos de objetos: clases y conjuntos. Intuitivamente, cada conjunto es también una clase. Hay dos formas de axiomatizar esto. Bernays utilizó lógica multiordenada con dos ordenaciones: clases y conjuntos. ^[2] Gödel evitó las ordenaciones introduciendo predicados primitivos: para " es una clase" y para " es un conjunto" (en alemán, "conjunto" es Menge ). También introdujo axiomas que establecen que cada conjunto es una clase y que si la clase es miembro de una clase, entonces es un conjunto. ^[9] El uso de predicados es la forma estándar de eliminar las ordenaciones. Elliott Mendelson modificó el enfoque de Gödel al hacer que todo sea una clase y definir el predicado del conjunto como ^[10] Esta modificación elimina el predicado de clase de Gödel y sus dos axiomas. ${\displaystyle {\mathfrak {Cls}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C).}$

El enfoque de dos tipos de Bernays puede parecer más natural a primera vista, pero crea una teoría más compleja. ^[b] En la teoría de Bernays, cada conjunto tiene dos representaciones: una como un conjunto y la otra como una clase. Además, hay dos relaciones de pertenencia : la primera, denotada por "∈", es entre dos conjuntos; la segunda, denotada por "η", es entre un conjunto y una clase. ^[2] Esta redundancia es requerida por la lógica de múltiples tipos porque las variables de diferentes tipos se extienden sobre subdominios disjuntos del dominio del discurso .

Las diferencias entre estos dos enfoques no afectan lo que se puede demostrar, pero sí afectan la forma en que se escriben los enunciados. En el enfoque de Gödel, donde y son clases es un enunciado válido. En el enfoque de Bernays este enunciado no tiene sentido. Sin embargo, si es un conjunto, hay un enunciado equivalente: Defina "el conjunto representa la clase " si tienen los mismos conjuntos como miembros, es decir, El enunciado donde el conjunto representa la clase es equivalente al de Gödel ^[2] ${\displaystyle A\in C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall x(x\in a\iff x\;\eta \;A).}$ ${\displaystyle a\;\eta \;C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\in C.}$

El enfoque adoptado en este artículo es el de Gödel con la modificación de Mendelson. Esto significa que NBG es un sistema axiomático en lógica de predicados de primer orden con igualdad , y sus únicas nociones primitivas son la clase y la relación de pertenencia.

Definiciones y axiomas de extensionalidad y emparejamiento

Un conjunto es una clase que pertenece al menos a una clase: es un conjunto si y solo si . Una clase que no es un conjunto se llama clase propia: es una clase propia si y solo si . ^[12] Por lo tanto, cada clase es un conjunto o una clase propia, y ninguna clase es ambas cosas. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall C(A\notin C)}$

Gödel introdujo la convención de que las variables en mayúsculas abarcan las clases, mientras que las variables en minúsculas abarcan los conjuntos. ^[9] Gödel también utilizó nombres que comienzan con una letra mayúscula para denotar clases particulares, incluidas funciones y relaciones definidas en la clase de todos los conjuntos. La convención de Gödel se utiliza en este artículo. Nos permite escribir:

• ${\displaystyle \exists x\,\phi (x)}$en lugar de ${\displaystyle \exists x{\bigl (}\exists C(x\in C)\land \phi (x){\bigr )}}$
• ${\displaystyle \forall x\,\phi (x)}$en lugar de ${\displaystyle \forall x{\bigl (}\exists C(x\in C)\implies \phi (x){\bigr )}}$

Los siguientes axiomas y definiciones son necesarios para la prueba del teorema de existencia de clases.

Axioma de extensionalidad.  Si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticas.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,[\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B]}$ ^[13]

Este axioma generaliza el axioma de extensionalidad de ZFC a las clases.

Axioma de emparejamiento .  Siyson conjuntos, entonces existe un conjuntocuyos únicos miembros sony. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor \,z=y)]}$ ^[14]

Al igual que en ZFC, el axioma de extensionalidad implica la unicidad del conjunto , lo que nos permite introducir la notación ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{x,y\}.}$

Los pares ordenados se definen por:

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

Las tuplas se definen inductivamente utilizando pares ordenados:

${\displaystyle (x_{1})=x_{1},}$

${\displaystyle {\text{For }}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).}$^[do]

Axiomas de existencia de clases y axioma de regularidad

Los axiomas de existencia de clase se utilizarán para demostrar el teorema de existencia de clase: para cada fórmula en variables de conjunto libre que cuantifique solo sobre conjuntos, existe una clase de -tuplas que la satisfacen. El siguiente ejemplo comienza con dos clases que son funciones y construye una función compuesta . Este ejemplo ilustra las técnicas que se necesitan para demostrar el teorema de existencia de clase, que conducen a los axiomas de existencia de clase que se necesitan. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Los axiomas de existencia de clase se dividen en dos grupos: axiomas que manejan primitivos del lenguaje y axiomas que manejan tuplas. Hay cuatro axiomas en el primer grupo y tres axiomas en el segundo grupo. ^[d]

Axiomas para el manejo de primitivos del lenguaje:

Membresía.  Existe una clase que contiene todos los pares ordenados cuyo primer componente es miembro del segundo componente. ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \exists E\,\forall x\,\forall y\,[(x,y)\in E\iff x\in y]\!}$ ^[18]

Intersección (conjunción).  Para dos clases cualesquiera y , existe una clase que consiste precisamente en los conjuntos que pertenecen a ambas y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall x\,[x\in C\iff (x\in A\,\land \,x\in B)]}$ ^[19]

Complemento (negación).  Para cualquier clase, existe una claseque consiste precisamente en los conjuntos que no pertenecen a. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \neg (x\in A)]}$ ^[20]

Dominio (cuantificador existencial).  Para cualquier clase , existe una clase que consiste precisamente en los primeros componentes de los pares ordenados de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \exists y((x,y)\in A)]}$ ^[21]

Por el axioma de extensionalidad, la clase en el axioma de intersección y la clase en los axiomas de complemento y dominio son únicas. Se denotarán por: y respectivamente. ^[e] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B,}$ ${\displaystyle \complement A,}$ ${\displaystyle Dom(A),}$

Los tres primeros axiomas implican la existencia de la clase vacía y la clase de todos los conjuntos: El axioma de pertenencia implica la existencia de una clase Los axiomas de intersección y complemento implican la existencia de , que está vacío. Por el axioma de extensionalidad, esta clase es única; se denota por El complemento de es la clase de todos los conjuntos, que también es única por extensionalidad. El predicado de conjunto , que se definió como , ahora se redefine para evitar la cuantificación sobre clases. ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E\cap \complement E}$ ${\displaystyle \emptyset .}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C)}$ ${\displaystyle A\in V}$

Axiomas para manejar tuplas:

Producto de . ${\displaystyle V}$  Para cualquier clase, existe una claseque consta de los pares ordenados cuyo primer componente pertenece a. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A)]}$^[23]

Permutación circular .  Para cualquier clase, existe una clasecuyas 3-tuplas se obtienen aplicando la permutación circulara las 3-tuplas de. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (y,z,x)\mapsto (x,y,z)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in A]}$^[24]

Transposición .  Para cualquier clase, existe una clasecuyas 3-tuplas se obtienen transponiendo los dos últimos componentes de las 3-tuplas de. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in A]}$^[25]

Por extensionalidad, el producto por axioma implica la existencia de una clase única, que se denota por Este axioma se utiliza para definir la clase de todas las -tuplas : y Si es una clase, la extensionalidad implica que es la clase única que consiste en las -tuplas de Por ejemplo, el axioma de pertenencia produce una clase que puede contener elementos que no son pares ordenados, mientras que la intersección contiene solo los pares ordenados de . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\times V.}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{1}=V}$ ${\displaystyle V^{n+1}=V^{n}\times V.\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cap V^{2}}$ ${\displaystyle E}$

Los axiomas de permutación y transposición circulares no implican la existencia de clases únicas porque especifican solo las 3-tuplas de clase. Al especificar las 3-tuplas, estos axiomas también especifican las -tuplas para ya que: Los axiomas para manejar tuplas y el axioma de dominio implican el siguiente lema, que se utiliza en la prueba del teorema de existencia de clase. ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ $${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-2},x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-2}),x_{n-1},x_{n}).}$$

Lema de tupla  — 

1. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{1}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(z,x,y)\in B_{1}\iff (x,y)\in A]}$$
2. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{2}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,z,y)\in B_{2}\iff (x,y)\in A]}$$
3. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{3}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B_{3}\iff (x,y)\in A]}$$
4. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{4}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(y,x)\in B_{4}\iff (x,y)\in A]}$$

Prueba

• Clase : Aplicar producto por a para producir ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{3}.}$
• Clase : Aplicar transposición para producir ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle B_{2}.}$
• Clase : Aplicar permutación circular para producir ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle B_{1}.}$
• Clase : Aplicar permutación circular a , luego aplicar dominio para producir ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{4}.}$

Se necesita un axioma más para demostrar el teorema de existencia de clases: el axioma de regularidad . Como se ha demostrado la existencia de la clase vacía, se da el enunciado habitual de este axioma. ^[f]

Axioma de regularidad .  Todo conjunto no vacío tiene al menos un elemento con el que no tiene ningún elemento en común. $${\displaystyle \forall a\,[a\neq \emptyset \implies \exists u(u\in a\land u\cap a=\emptyset )].}$$

Este axioma implica que un conjunto no puede pertenecer a sí mismo: Supongamos que y sea Entonces, dado que Esto contradice el axioma de regularidad porque es el único elemento en Por lo tanto, El axioma de regularidad también prohíbe secuencias de pertenencia descendentes infinitas de conjuntos: ${\displaystyle x\in x}$ ${\displaystyle a=\{x\}.}$ ${\displaystyle x\cap a\neq \emptyset }$ ${\displaystyle x\in x\cap a.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle x\notin x.}$ $${\displaystyle \cdots \in x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x_{0}.}$$

Gödel planteó la regularidad para clases en lugar de para conjuntos en su monografía de 1940, que se basaba en conferencias dictadas en 1938. ^[26] En 1939, demostró que la regularidad para conjuntos implica regularidad para clases. ^[27]

Teorema de existencia de clases

Teorema de existencia de clases  :  Sea una fórmula que cuantifique solo sobre conjuntos y no contenga variables libres distintas de (no necesariamente todas ellas). Entonces, para todos los , existe una clase única de -tuplas tales que: La clase se denota por ^[g] ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n}):\phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})\}.}$

La demostración del teorema se realizará en dos pasos:

1. Las reglas de transformación se utilizan para transformar la fórmula dada en una fórmula equivalente que simplifica la parte inductiva de la prueba. Por ejemplo, los únicos símbolos lógicos en la fórmula transformada son , , y , por lo que la inducción maneja símbolos lógicos con solo tres casos. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$
2. El teorema de existencia de clases se demuestra de forma inductiva para fórmulas transformadas. Guiados por la estructura de la fórmula transformada, los axiomas de existencia de clases se utilizan para producir la clase única de -tuplas que satisfacen la fórmula. ${\displaystyle n}$

Reglas de transformación.  En las reglas 1 y 2 que se indican a continuación, y denotan variables de conjunto o de clase. Estas dos reglas eliminan todas las apariciones de variables de clase antes de y todas las apariciones de igualdad. Cada vez que se aplica la regla 1 o 2 a una subfórmula, se elige de modo que sea diferente de las otras variables en la fórmula actual. Las tres reglas se repiten hasta que no haya subfórmulas a las que se puedan aplicar. Esto produce una fórmula que se crea solo con , , , , variables de conjunto y variables de clase donde no aparece antes de . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle \in }$

1. ${\displaystyle \,Y_{k}\in \Gamma }$se transforma en ${\displaystyle \exists z_{i}(z_{i}=Y_{k}\,\land \,z_{i}\in \Gamma ).}$
2. La extensionalidad se utiliza para transformar en ${\displaystyle \Delta =\Gamma }$ ${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$
3. Las identidades lógicas se utilizan para transformar subfórmulas que contienen y en subfórmulas que solo utilizan y ${\displaystyle \lor ,\implies ,\iff ,}$ ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \neg ,\land ,}$ ${\displaystyle \exists .}$

Reglas de transformación: variables ligadas .  Considere la fórmula de la función compuesta del ejemplo 1 con sus variables de conjunto libre reemplazadas por y : La prueba inductiva eliminará , lo que produce la fórmula Sin embargo, dado que el teorema de existencia de clase se establece para variables con subíndice, esta fórmula no tiene la forma esperada por la hipótesis de inducción . Este problema se resuelve reemplazando la variable con Las variables ligadas dentro de los cuantificadores anidados se manejan aumentando el subíndice en uno para cada cuantificador sucesivo. Esto conduce a la regla 4, que debe aplicarse después de las otras reglas, ya que las reglas 1 y 2 producen variables cuantificadas. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \exists t[(x_{1},t)\in F\,\land \,(t,x_{2})\in G].}$ ${\displaystyle \exists t}$ ${\displaystyle (x_{1},t)\in F\land (t,x_{2})\in G.}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{3}.}$

4. Si una fórmula no contiene variables de conjunto libre distintas de las variables enlazadas que están anidadas dentro de cuantificadores, se reemplazan por . Estas variables tienen una profundidad de anidamiento (cuantificador) . ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Demostración del teorema de existencia de clases.  La demostración comienza aplicando las reglas de transformación a la fórmula dada para producir una fórmula transformada. Como esta fórmula es equivalente a la fórmula dada, la demostración se completa demostrando el teorema de existencia de clases para fórmulas transformadas.

Demostración del teorema de existencia de clases para fórmulas transformadas

El siguiente lema se utiliza en la prueba.

Lema de expansión  :  Sea y sea una clase que contiene todos los pares ordenados que satisfacen Es decir, Entonces se puede expandir en la clase única de -tuplas que satisfacen . Es decir, ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$ ${\displaystyle P\supseteq \{(x_{i},x_{j}):R(x_{i},x_{j})\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle Q=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):R(x_{i},x_{j})\}.}$

Prueba:

1. Si se deja ${\displaystyle i=1,}$ ${\displaystyle P_{1}=P.}$
   De lo contrario, los componentes se agregan delante de aplicar la declaración del lema de tupla 1 a con Esto produce una clase que contiene todas las -tuplas que satisfacen ${\displaystyle i>1,}$ ${\displaystyle x_{i}{\text{:}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z=(x_{1},\dots ,x_{i-1}).}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle (i+1)}$ $${\displaystyle ((x_{1},\dots ,x_{i-1}),x_{i},x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{j})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
2. Si se deja ${\displaystyle j=i+1,}$ ${\displaystyle P_{2}=P_{1}.}$
   De lo contrario, se agregan componentes entre y se agregan los componentes uno por uno utilizando la declaración 2 del lema de la tupla. Esto produce una clase que contiene todas las tuplas que satisfacen ${\displaystyle j>i+1,}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}{\text{:}}}$ ${\displaystyle x_{i+1},\dots ,x_{j-1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle (((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{i}),x_{i+1}),\cdots ),x_{j-1}),x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{j})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
3. Si se deja ${\displaystyle j=n,}$ ${\displaystyle P_{3}=P_{2}.}$
   De lo contrario, los componentes se agregan después de agregar los componentes uno por uno utilizando la declaración 3 del lema de tupla. Esto produce una clase que contiene todas las tuplas que satisfacen ${\displaystyle j<n,}$ ${\displaystyle x_{j}{\text{:}}}$ ${\displaystyle x_{j+1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle ((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{j}),x_{j+1}),\cdots ),x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
4. Dejemos que la extensionalidad implique que es la única clase de -tuplas que satisfacen ${\displaystyle Q=P_{3}\cap V^{n}.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$

Teorema de existencia de clase para fórmulas transformadas  —  Sea una fórmula que: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})}$

1. no contiene variables libres distintas de ; ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m}}$
2. contiene solo , , , , variables de conjunto y las variables de clase donde no aparece antes de un ; ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle \in }$ 
3. solo cuantifica variables de conjunto donde es la profundidad de anidamiento del cuantificador de la variable. ${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Entonces, para todos , existe una clase única de -tuplas tales que: ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].}$$

Demostración: Paso base: tiene 0 símbolos lógicos. La hipótesis del teorema implica que es una fórmula atómica de la forma o ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$

Caso 1: Si es , construimos la clase la única clase de -tuplas que satisface ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$

Caso a: es donde El axioma de pertenencia produce una clase que contiene todos los pares ordenados que satisfacen Aplicar el lema de expansión para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i<j.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.}$

Caso b: es donde El axioma de pertenencia produce una clase que contiene todos los pares ordenados que satisfacen Aplicar el enunciado 4 del lema de la tupla a para obtener que contiene todos los pares ordenados que satisfacen Aplicar el lema de expansión a para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i>j.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle (x_{j},x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.}$

Caso c: es donde Dado que esta fórmula es falsa por el axioma de regularidad, ninguna -tupla la satisface, por lo que ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i=j.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\emptyset .}$

Caso 2: Si es , construimos la clase la única clase de -tuplas que satisface ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$

Caso a: es donde Aplicar el axioma de producto por a para producir la clase Aplicar el lema de expansión a para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i<n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i+1}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$

Caso b: es donde Aplicar el axioma de producto por a para producir la clase Aplicar el enunciado 4 del lema de la tupla a para obtener Aplicar el lema de expansión a para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i=n>1.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i-1}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'=V\times Y_{k}=\{(x_{i-1},x_{i}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$

Caso c: es donde Entonces ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i=n=1.}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=Y_{k}.}$

Paso inductivo: tiene símbolos lógicos donde . Supongamos la hipótesis de inducción de que el teorema es verdadero para todos con menos de símbolos lógicos. Ahora demostramos el teorema para con símbolos lógicos. En esta demostración, la lista de variables de clase se abrevia con , por lo que una fórmula, como , se puede escribir como ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle {\vec {Y}}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$

Caso 1: Como tiene símbolos lógicos, la hipótesis de inducción implica que existe una clase única de -tuplas tales que: Por el axioma del complemento, existe una clase tal que Sin embargo, contiene elementos distintos de las -tuplas si Para eliminar estos elementos, utilice que es el complemento relativo a la clase de todas las -tuplas. ^[e] Entonces, por extensionalidad, es la clase única de -tuplas tales que: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$$ ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle \forall u\,[u\in \complement A\iff \neg (u\in A)].}$ ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>1.}$ ${\displaystyle \complement _{V^{n}}A=\,}$ ${\displaystyle \complement A\cap V^{n}=\,}$ ${\displaystyle V^{n}\setminus A,}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \complement _{V^{n}}A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \complement _{V^{n}}A&&\iff \neg [(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A]\\&&&\iff \neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Caso 2: Dado que tanto y tienen menos que símbolos lógicos, la hipótesis de inducción implica que hay clases únicas de -tuplas, y , tales que: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\\&(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\iff \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{aligned}}}$

Por los axiomas de intersección y extensionalidad, es la única clase de -tuplas tales que: ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\cap A_{2}&&\iff (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\land (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\\&&&\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Caso 3: La profundidad de anidamiento del cuantificador de es uno más que la de y la variable libre adicional es Dado que tiene símbolos lógicos, la hipótesis de inducción implica que existe una clase única de -tuplas tales que: Por los axiomas de dominio y extensionalidad, es la clase única de -tuplas tales que: ^[h] ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\exists x_{n+1}\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{n+1}.}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (n+1)}$ $${\displaystyle \quad (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).}$$ ${\displaystyle Dom(A)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Dom(A)&&\iff \exists x_{n+1}[((x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}[(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Gödel señaló que el teorema de existencia de clases "es un metateorema , es decir, un teorema acerca del sistema [NBG], no en el sistema..." ^[30] Es un teorema acerca de NBG porque se demuestra en la metateoría por inducción sobre fórmulas NBG. Además, su prueba—en lugar de invocar un número finito de axiomas NBG—describe inductivamente cómo usar los axiomas NBG para construir una clase que satisfaga una fórmula dada. Para cada fórmula, esta descripción se puede convertir en una prueba de existencia constructiva que está en NBG. Por lo tanto, este metateorema puede generar las pruebas NBG que reemplazan los usos del teorema de existencia de clases de NBG.

Un programa informático recursivo captura de forma sucinta la construcción de una clase a partir de una fórmula dada. La definición de este programa no depende de la prueba del teorema de existencia de clases. Sin embargo, la prueba es necesaria para demostrar que la clase construida por el programa satisface la fórmula dada y se construye utilizando los axiomas. Este programa está escrito en pseudocódigo que utiliza una declaración case de estilo Pascal . ^[i] $${\displaystyle {\begin{array}{l}\mathbf {function} \;{\text{Class}}(\phi ,\,n)\\\quad {\begin{array}{rl}\mathbf {input} \!:\;\,&\phi {\text{ is a transformed formula of the form }}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m});\\&n{\text{ specifies that a class of }}n{\text{-tuples is returned.}}\\\;\;\;\;\mathbf {output} \!:\;\,&{\text{class }}A{\text{ of }}n{\text{-tuples satisfying }}\\&\,\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].\end{array}}\\\mathbf {begin} \\\quad \mathbf {case} \;\phi \;\mathbf {of} \\\qquad {\begin{alignedat}{2}x_{i}\in x_{j}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,j,n};&&{\text{// }}E_{i,j,n}\;\,=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}\\x_{i}\in Y_{k}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,Y_{k},n};&&{\text{// }}E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}\\\neg \psi :\;\;&\mathbf {return} \;\,\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n);&&{\text{// }}\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n)=V^{n}\setminus {\text{Class}}(\psi ,\,n)\\\psi _{1}\land \psi _{2}:\;\;&\mathbf {return} \;\,{\text{Class}}(\psi _{1},\,n)\cap {\text{Class}}(\psi _{2},\,n);&&\\\;\;\;\;\,\exists x_{n+1}(\psi ):\;\;&\mathbf {return} \;\,Dom({\text{Class}}(\psi ,\,n+1));&&{\text{// }}x_{n+1}{\text{ is free in }}\psi ;{\text{ Class}}(\psi ,\,n+1)\\&\ &&{\text{// returns a class of }}(n+1){\text{-tuples}}\end{alignedat}}\\\quad \mathbf {end} \\\mathbf {end} \end{array}}}$$

Sea la fórmula del ejemplo 2. La llamada a la función genera la clase que se compara a continuación con Esto muestra que la construcción de la clase refleja la construcción de su fórmula definitoria. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A=Class(\phi ,1)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \phi .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi .}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\phi \;&&=\;\;\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{3}\;(x_{3}\!\in \!x_{2}))\,\land \;\;\,\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\,\exists x_{3}\,(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{4}\;(x_{4}\!\in \!x_{3})))\\&A\;&&=Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \;\complement _{V^{2}}\,Dom\,(\;E_{3,2,3}\;))\,\cap \,Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \,Dom\,(\;\,E_{3,2,3}\;\cap \;\complement _{V^{3}}\,Dom\,(\;E_{4,3,4}\;)))\end{alignedat}}}$$

Ampliación del teorema de existencia de clases

Gödel extendió el teorema de existencia de clases a fórmulas que contienen relaciones sobre clases (como y la relación unaria ), clases especiales (como ) y operaciones (como y ). ^[32] Para extender el teorema de existencia de clases, las fórmulas que definen relaciones, clases especiales y operaciones deben cuantificar solo sobre conjuntos. Luego pueden transformarse en una fórmula equivalente que satisfaga la hipótesis del teorema de existencia de clases. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}}$ ${\displaystyle M(Y_{1})}$ ${\displaystyle Ord}$  ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}\cap Y_{1}}$ ${\displaystyle \phi }$

Las siguientes definiciones especifican cómo las fórmulas definen relaciones, clases especiales y operaciones:

1. Una relación se define por: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Una clase especial se define mediante: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u\in C\iff \psi _{C}(u).}$
3. Una operación se define por: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u\in P(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$

Un término se define por:

1. Las variables y clases especiales son términos.
2. Si es una operación con argumentos y son términos, entonces es un término. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}}$ ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$

Las siguientes reglas de transformación eliminan relaciones, clases especiales y operaciones. Cada vez que se aplica la regla 2b, 3b o 4 a una subfórmula, se elige de forma que sea diferente de las demás variables de la fórmula actual. Las reglas se repiten hasta que no haya subfórmulas a las que se puedan aplicar. y denotan términos. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k},\Gamma ,}$ ${\displaystyle \Delta }$

1. Una relación se reemplaza por su fórmula definitoria ${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ ${\displaystyle \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Sea la fórmula definitoria de la clase especial ${\displaystyle \psi _{C}(u)}$ ${\displaystyle C.}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in C}$se reemplaza por ${\displaystyle \psi _{C}(\Delta ).}$
   2. ${\displaystyle C\in \Delta }$se reemplaza por ${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=C\land z_{i}\in \Delta ].}$
3. Sea la fórmula definitoria de la operación ${\displaystyle \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ ${\displaystyle P(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$se reemplaza por ${\displaystyle \psi _{P}(\Delta ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}).}$
   2. ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\in \Delta }$se reemplaza por ${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\land z_{i}\in \Delta ].}$
4. La extensionalidad se utiliza para transformar en ${\displaystyle \Delta =\Gamma }$ ${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$

Teorema de existencia de clases (versión extendida)  —  Sea una fórmula que cuantifica solo sobre conjuntos, no contiene variables libres distintas de , y puede contener relaciones, clases especiales y operaciones definidas por fórmulas que cuantifican solo sobre conjuntos. Entonces, para todos existe una clase única de -tuplas tales que ^[j] ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

Prueba

Aplique las reglas de transformación para producir una fórmula equivalente que no contenga relaciones, clases especiales ni operaciones. Esta fórmula satisface la hipótesis del teorema de existencia de clases. Por lo tanto, para todos existe una clase única de -tuplas que satisfacen ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

Conjunto de axiomas

Los axiomas de emparejamiento y regularidad, necesarios para la demostración del teorema de existencia de clases, se han dado anteriormente. NBG contiene otros cuatro axiomas de conjuntos. Tres de estos axiomas tratan de operaciones de clases que se aplican a conjuntos.

Definición.  es una función si ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F\subseteq V^{2}\land \forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y)\in F\,\land \,(x,z)\in F\implies y=z].}$$

En la teoría de conjuntos, la definición de una función no requiere especificar el dominio o codominio de la función (ver Función (teoría de conjuntos) ). La definición de función de NBG generaliza la definición de ZFC de un conjunto de pares ordenados a una clase de pares ordenados.

Las definiciones de ZFC de las operaciones de conjunto de imagen , unión y conjunto potencia también se generalizan a las operaciones de clase. La imagen de la clase bajo la función es Esta definición no requiere que La unión de la clase sea La clase potencia de sea La versión extendida del teorema de existencia de clases implica la existencia de estas clases. Los axiomas de reemplazo, unión y conjunto potencia implican que cuando estas operaciones se aplican a conjuntos, producen conjuntos. ^[34] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land \,(x,y)\in F)\}.}$ ${\displaystyle A\subseteq Dom(F).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cup A=\{x:\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{x:x\subseteq A\}.}$

Axioma de reemplazo.  Si es una función y es un conjunto, entonces , la imagen de bajo , es un conjunto. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F[a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \forall F\,\forall a\,[F{\text{ is a function}}\implies \exists b\,\forall y\,(y\in b\iff \exists x(x\in a\,\land \,(x,y)\in F))].}$$

Al no tener el requisito en la definición se produce un axioma de reemplazo más fuerte, que se utiliza en la siguiente prueba. ${\displaystyle A\subseteq Dom(F)}$ ${\displaystyle F[A]}$

Teorema ( axioma de separación de NBG )  :  Si es un conjunto y es una subclase de, entonces es un conjunto. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle B}$

Prueba

El teorema de existencia de clase construye la restricción de la función identidad a : Dado que la imagen de bajo es , el axioma de reemplazo implica que es un conjunto. Esta prueba depende de que la definición de imagen no tenga el requisito ya que en lugar de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}=\{(x_{1},x_{2}):x_{1}\in B\land x_{2}=x_{1}\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a\subseteq Dom(F)}$ ${\displaystyle Dom(I{\upharpoonright _{B}})=B\subseteq a}$ ${\displaystyle a\subseteq Dom(I{\upharpoonright _{B}}).}$

Axioma de unión.  Si es un conjunto, entonces existe un conjunto que lo contiene. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup a.}$ $${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,[\,\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in a)\implies x\in b\,].}$$

Axioma de conjunto potencia.  Si es un conjunto, entonces hay un conjunto que lo contiene. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a).}$

${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,(x\subseteq a\implies x\in b).}$^[k]

Teorema  —  Si es un conjunto, entonces y son conjuntos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$

Prueba

El axioma de unión establece que es una subclase de un conjunto , por lo que el axioma de separación implica que es un conjunto. Asimismo, el axioma de potencia establece que es una subclase de un conjunto , por lo que el axioma de separación implica que es un conjunto. ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$

Axioma de infinito.  Existe un conjunto no vacío tal que para todo en , existe un en tal que es un subconjunto propio de . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \exists a\,[\exists u(u\in a)\,\land \,\forall x(x\in a\implies \exists y(y\in a\,\land \,x\subset y))].}$$

Los axiomas de infinito y de reemplazo prueban la existencia del conjunto vacío . En la discusión de los axiomas de existencia de clase, se demostró la existencia de la clase vacía. Ahora demostramos que es un conjunto. Sea función y sea el conjunto dado por el axioma de infinito. Por reemplazo, la imagen de bajo , que es igual a , es un conjunto. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle F=\emptyset }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \emptyset }$

El axioma de infinito de NBG está implícito en el axioma de infinito de ZFC : El primer conjuntivo del axioma de ZFC, , implica el primer conjuntivo del axioma de NBG. El segundo conjuntivo del axioma de ZFC, , implica el segundo conjuntivo del axioma de NBG, ya que Para demostrar el axioma de infinito de ZFC a partir del axioma de infinito de NBG se requieren algunos de los otros axiomas de NBG (véase Axioma débil de infinito ). ^[l] ${\displaystyle \,\exists a\,[\emptyset \in a\,\land \,\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)].\,}$ ${\displaystyle \emptyset \in a}$ ${\displaystyle \forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)}$ ${\displaystyle x\subset x\cup \{x\}.}$

Axioma de elección global

El concepto de clase permite a NBG tener un axioma de elección más fuerte que ZFC. Una función de elección es una función definida en un conjunto de conjuntos no vacíos tal que para todos los estados del axioma de elección de ZFC existe una función de elección para cada conjunto de conjuntos no vacíos. Una función de elección global es una función definida en la clase de todos los conjuntos no vacíos tal que para cada conjunto no vacío El axioma de elección global establece que existe una función de elección global. Este axioma implica el axioma de elección de ZFC ya que para cada conjunto de conjuntos no vacíos, (la restricción de a ) es una función de elección para En 1964, William B. Easton demostró que la elección global es más fuerte que el axioma de elección al usar forzamiento para construir un modelo que satisface el axioma de elección y todos los axiomas de NBG excepto el axioma de elección global. ^[38] El axioma de elección global es equivalente a que cada clase tenga un buen ordenamiento, mientras que el axioma de elección de ZFC es equivalente a que cada conjunto tenga un buen ordenamiento. ^[m] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(x)\in x}$ ${\displaystyle x\in s.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(x)\in x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G\vert _{s}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s.}$

Axioma de elección global.  Existe una función que elige un elemento de cada conjunto no vacío.

${\displaystyle \exists G\,[G{\text{ is a function}}\,\land \forall x(x\neq \emptyset \implies \exists y(y\in x\land (x,y)\in G))].}$

Historia

Historia de los enfoques que condujeron a la teoría de conjuntos NBG

Sistema de axiomas de Von Neumann de 1925

Von Neumann publicó un artículo introductorio sobre su sistema de axiomas en 1925. En 1928, proporcionó un tratamiento detallado de su sistema. ^[39] Von Neumann basó su sistema de axiomas en dos dominios de objetos primitivos : funciones y argumentos. Estos dominios se superponen: los objetos que están en ambos dominios se denominan funciones de argumento. Las funciones corresponden a clases en NBG, y las funciones de argumento corresponden a conjuntos. La operación primitiva de Von Neumann es la aplicación de función , denotada por [ a ,  x ] en lugar de a ( x ) donde a es una función y x es un argumento. Esta operación produce un argumento. Von Neumann definió clases y conjuntos utilizando funciones y funciones de argumento que toman solo dos valores, A y B . Definió x  ∈  a si [ a ,  x ] ≠  A . ^[1]

El trabajo de von Neumann en teoría de conjuntos estuvo influenciado por los artículos de Georg Cantor , los axiomas de Ernst Zermelo de 1908 para la teoría de conjuntos y las críticas de 1922 a la teoría de conjuntos de Zermelo que fueron dadas independientemente por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem . Tanto Fraenkel como Skolem señalaron que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} donde Z ₀ es el conjunto de números naturales y Z _{n +1} es el conjunto potencia de Z _n . Luego introdujeron el axioma de reemplazo, que garantizaría la existencia de tales conjuntos. ^{[40] [n]} Sin embargo, eran reacios a adoptar este axioma: Fraenkel afirmó "que el reemplazo era un axioma demasiado fuerte para la 'teoría general de conjuntos'", mientras que "Skolem solo escribió que 'podríamos introducir' el reemplazo". ^[42]

Von Neumann trabajó en los problemas de la teoría de conjuntos de Zermelo y proporcionó soluciones para algunos de ellos:

• Una teoría de los ordinales
  • Problema: La teoría de los números ordinales de Cantor no se puede desarrollar en la teoría de conjuntos de Zermelo porque carece del axioma de reemplazo. ^[o]
  • Solución: von Neumann recuperó la teoría de Cantor definiendo los ordinales usando conjuntos que están bien ordenados por la ∈-relación, ^[p] y usando el axioma de reemplazo para probar teoremas clave sobre los ordinales, como que todo conjunto bien ordenado es isomorfo en orden con un ordinal. ^[o] En contraste con Fraenkel y Skolem, von Neumann enfatizó cuán importante es el axioma de reemplazo para la teoría de conjuntos: "De hecho, creo que ninguna teoría de ordinales es posible sin este axioma". ^[45]
• Un criterio que identifica clases que son demasiado grandes para ser conjuntos
  • Problema: Zermelo no proporcionó tal criterio. Su teoría de conjuntos evita las grandes clases que conducen a las paradojas , pero deja fuera muchos conjuntos, como el mencionado por Fraenkel y Skolem. ^[q]
  • Solución: Von Neumann introdujo el criterio: Una clase es demasiado grande para ser un conjunto si y sólo si puede ser mapeada sobre la clase V de todos los conjuntos. Von Neumann se dio cuenta de que las paradojas de la teoría de conjuntos podían evitarse al no permitir que clases tan grandes fueran miembros de ninguna clase. Combinando esta restricción con su criterio, obtuvo su axioma de limitación de tamaño : Una clase C no es miembro de ninguna clase si y sólo si C puede ser mapeada sobre V. ^{[48] [r} ]
• Axiomatización finita
  • Problema: Zermelo había utilizado el concepto impreciso de " función proposicional definida " en su axioma de separación .
  • Soluciones: Skolem introdujo el esquema axiomático de separación que se utilizó posteriormente en ZFC, y Fraenkel introdujo una solución equivalente. ^[50] Sin embargo, Zermelo rechazó ambos enfoques "particularmente porque implican implícitamente el concepto de número natural que, en opinión de Zermelo, debería basarse en la teoría de conjuntos". ^[s] Von Neumann evitó los esquemas axiomáticos al formalizar el concepto de "función proposicional definida" con sus funciones, cuya construcción requiere sólo un número finito de axiomas. Esto llevó a que su teoría de conjuntos tuviera un número finito de axiomas. ^[51] En 1961, Richard Montague demostró que ZFC no puede axiomatizarse de forma finita. ^[52]
• El axioma de regularidad
  • Problema: La teoría de conjuntos de Zermelo comienza con el conjunto vacío y un conjunto infinito, e itera los axiomas de emparejamiento, unión, conjunto potencia, separación y elección para generar nuevos conjuntos. Sin embargo, no restringe los conjuntos a estos. Por ejemplo, permite conjuntos que no están bien fundados , como un conjunto x que satisface x  ∈  x . ^[t]
  • Soluciones: Fraenkel introdujo un axioma para excluir estos conjuntos. Von Neumann analizó el axioma de Fraenkel y afirmó que no estaba "formulado con precisión", pero diría aproximadamente: "Además de los conjuntos... cuya existencia es absolutamente requerida por los axiomas, no hay otros conjuntos". ^[54] Von Neumann propuso el axioma de regularidad como una forma de excluir conjuntos no bien fundados, pero no lo incluyó en su sistema de axiomas. En 1930, Zermelo se convirtió en el primero en publicar un sistema de axiomas que incluía la regularidad. ^[u]

Sistema de axiomas de Von Neumann de 1929

Juan von Neumann

En 1929, von Neumann publicó un artículo que contenía los axiomas que conducirían a NBG.Este artículo fue motivado por su preocupación acerca de la consistencia del axioma de limitación de tamaño. Afirmó que este axioma "hace mucho, en realidad demasiado". Además de implicar los axiomas de separación y reemplazo, y el teorema de buen orden , también implica que cualquier clase cuya cardinalidad sea menor que la de V es un conjunto. Von Neumann pensó que esta última implicación iba más allá de la teoría de conjuntos cantoriana y concluyó: "Debemos, por lo tanto, discutir si su consistencia [del axioma] no es aún más problemática que una axiomatización de la teoría de conjuntos que no vaya más allá del marco cantoriano necesario". ^[57]

Von Neumann comenzó su investigación sobre la consistencia introduciendo su sistema de axiomas de 1929, que contiene todos los axiomas de su sistema de axiomas de 1925 excepto el axioma de limitación de tamaño. Reemplazó este axioma con dos de sus consecuencias, el axioma de reemplazo y un axioma de elección. El axioma de elección de Von Neumann establece: "Toda relación R tiene una subclase que es una función con el mismo dominio que R ". ^[58]

Sea S el sistema de axiomas de von Neumann de 1929. Von Neumann introdujo el sistema de axiomas S + Regularidad (que consta de S y el axioma de regularidad) para demostrar que su sistema de 1925 es consistente en relación con S. Demostró:

1. Si S es consistente, entonces S + Regularidad es consistente.
2. S + Regularidad implica el axioma de limitación de tamaño. Puesto que este es el único axioma de su sistema de axiomas de 1925 que S + Regularidad no tiene, S + Regularidad implica todos los axiomas de su sistema de 1925.

Estos resultados implican: Si S es consistente, entonces el sistema de axiomas de 1925 de von Neumann es consistente. Demostración: Si S es consistente, entonces S + Regularidad es consistente (resultado 1). Usando la demostración por contradicción , suponga que el sistema de axiomas de 1925 es inconsistente, o equivalentemente: el sistema de axiomas de 1925 implica una contradicción. Dado que S + Regularidad implica los axiomas del sistema de 1925 (resultado 2), S + Regularidad también implica una contradicción. Sin embargo, esto contradice la consistencia de S + Regularidad. Por lo tanto, si S es consistente, entonces el sistema de axiomas de 1925 de von Neumann es consistente.

Dado que S es su sistema de axiomas de 1929, el sistema de axiomas de 1925 de von Neumann es consistente en relación con su sistema de axiomas de 1929, que es más cercano a la teoría de conjuntos de Cantoria. Las principales diferencias entre la teoría de conjuntos de Cantoria y el sistema de axiomas de 1929 son las clases y el axioma de elección de von Neumann. El sistema de axiomas S + Regularidad fue modificado por Bernays y Gödel para producir el sistema de axiomas NBG equivalente.

El sistema de axiomas de Bernays

Pablo Bernays

En 1929, Paul Bernays comenzó a modificar el nuevo sistema de axiomas de von Neumann tomando clases y conjuntos como primitivos. Publicó su trabajo en una serie de artículos que aparecieron entre 1937 y 1954. ^[59] Bernays afirmó que:

El objetivo de modificar el sistema de von Neumann es permanecer más cercano a la estructura del sistema original de Zermelo y utilizar al mismo tiempo algunos de los conceptos de teoría de conjuntos de la lógica de Schröder y de los Principia Mathematica que se han vuelto familiares para los lógicos. Como se verá, de esta disposición se deriva una simplificación considerable. ^[60]

Bernays manejó conjuntos y clases en una lógica de dos ordenaciones e introdujo dos primitivas de pertenencia: una para la pertenencia a conjuntos y otra para la pertenencia a clases. Con estas primitivas, reescribió y simplificó los axiomas de von Neumann de 1929. Bernays también incluyó el axioma de regularidad en su sistema de axiomas. ^[61]

Sistema de axiomas de Gödel (NBG)

Kurt Gödel, hacia 1926    

En 1931, Bernays envió una carta con su teoría de conjuntos a Kurt Gödel . ^[36] Gödel simplificó la teoría de Bernays al convertir cada conjunto en una clase, lo que le permitió utilizar solo una clase y un primitivo de pertenencia. También debilitó algunos de los axiomas de Bernays y reemplazó el axioma de elección de von Neumann con el axioma equivalente de elección global. ^{[62] [v]} Gödel utilizó sus axiomas en su monografía de 1940 sobre la consistencia relativa de la elección global y la hipótesis del continuo generalizado. ^[63]

Se han dado varias razones por las que Gödel eligió NBG para su monografía: ^[w]

• Gödel dio una razón matemática: la elección global de NBG produce un teorema de consistencia más fuerte: "Esta forma más fuerte del axioma [de elección], si es consistente con los otros axiomas, implica, por supuesto, que una forma más débil también es consistente". ^[5]
• Robert Solovay conjeturó: "Supongo que él [Gödel] deseaba evitar una discusión de los tecnicismos involucrados en el desarrollo de los rudimentos de la teoría de modelos dentro de la teoría de conjuntos axiomáticos". ^{[67] [x]}
• Kenneth Kunen dio una razón para que Gödel evitara esta discusión: "También hay un enfoque mucho más combinatorio de L [el universo construible ], desarrollado por... [Gödel en su monografía de 1940] en un intento de explicar su trabajo a los no lógicos. ... Este enfoque tiene el mérito de eliminar todos los vestigios de lógica del tratamiento de L ". ^[68]
• Charles Parsons proporcionó una razón filosófica para la elección de Gödel: "Esta visión [de que la 'propiedad del conjunto' es un primitivo de la teoría de conjuntos] puede reflejarse en la elección de Gödel de una teoría con variables de clase como marco para... [su monografía]". ^[69]

El logro de Gödel junto con los detalles de su presentación llevaron a la prominencia que NBG disfrutaría durante las siguientes dos décadas. ^[70] En 1963, Paul Cohen demostró sus pruebas de independencia para ZF con la ayuda de algunas herramientas que Gödel había desarrollado para sus pruebas de consistencia relativa para NBG. ^[71] Más tarde, ZFC se volvió más popular que NBG. Esto fue causado por varios factores, incluido el trabajo adicional requerido para manejar el forzamiento en NBG, ^[72] la presentación de Cohen de 1966 del forzamiento, que utilizó ZF, ^{[73] [y]} y la prueba de que NBG es una extensión conservadora de ZFC. ^[z]

NBG, ZFC y MK

NBG no es lógicamente equivalente a ZFC porque su lenguaje es más expresivo: puede hacer afirmaciones sobre clases, que no se pueden hacer en ZFC. Sin embargo, NBG y ZFC implican las mismas afirmaciones sobre conjuntos. Por lo tanto, NBG es una extensión conservadora de ZFC. NBG implica teoremas que ZFC no implica, pero como NBG es una extensión conservadora, estos teoremas deben involucrar clases propias. Por ejemplo, es un teorema de NBG que el axioma global de elección implica que la clase propia V puede estar bien ordenada y que cada clase propia puede ponerse en correspondencia biunívoca con V . ^[aa]

One consequence of conservative extension is that ZFC and NBG are equiconsistent. Proving this uses the principle of explosion: from a contradiction, everything is provable. Assume that either ZFC or NBG is inconsistent. Then the inconsistent theory implies the contradictory statements ∅ = ∅ and ∅ ≠ ∅, which are statements about sets. By the conservative extension property, the other theory also implies these statements. Therefore, it is also inconsistent. So although NBG is more expressive, it is equiconsistent with ZFC. This result together with von Neumann's 1929 relative consistency proof implies that his 1925 axiom system with the axiom of limitation of size is equiconsistent with ZFC. This completely resolves von Neumann's concern about the relative consistency of this powerful axiom since ZFC is within the Cantorian framework.

Even though NBG is a conservative extension of ZFC, a theorem may have a shorter and more elegant proof in NBG than in ZFC (or vice versa). For a survey of known results of this nature, see Pudlák 1998.

Morse–Kelley set theory has an axiom schema of class comprehension that includes formulas whose quantifiers range over classes. MK is a stronger theory than NBG because MK proves the consistency of NBG,^[76] while Gödel's second incompleteness theorem implies that NBG cannot prove the consistency of NBG.

For a discussion of some ontological and other philosophical issues posed by NBG, especially when contrasted with ZFC and MK, see Appendix C of Potter 2004.

Models

ZFC, NBG, and MK have models describable in terms of the cumulative hierarchy V_α  and the constructible hierarchy L_α . Let V include an inaccessible cardinal κ, let X ⊆ V_κ, and let Def(X) denote the class of first-order definable subsets of X with parameters. In symbols where " ${\displaystyle (X,\in )}$" denotes the model with domain ${\displaystyle X}$ and relation ${\displaystyle \in }$, and " ${\displaystyle \models }$" denotes the satisfaction relation: $${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{x\mid x\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\}:\phi {\text{ is a first-order formula and }}y_{1},\ldots ,y_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

Then:

• ${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$ and ${\displaystyle (L_{\kappa },\in )}$ are models of ZFC.^[77]
• (V_κ, V_κ+1, ∈) is a model of MK where V_κ consists of the sets of the model and V_κ+1 consists of the classes of the model.^[78] Since a model of MK is a model of NBG, this model is also a model of NBG.
• (V_κ, Def(V_κ), ∈) is a model of Mendelson's version of NBG, which replaces NBG's axiom of global choice with ZFC's axiom of choice.^[79] The axioms of ZFC are true in this model because (V_κ, ∈) is a model of ZFC. In particular, ZFC's axiom of choice holds, but NBG's global choice may fail.^[ab] NBG's class existence axioms are true in this model because the classes whose existence they assert can be defined by first-order definitions. For example, the membership axiom holds since the class ${\displaystyle E}$ is defined by: $${\displaystyle E=\{x\in V_{\kappa }:(V_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}$$
• (L_κ, L_κ⁺, ∈), where κ⁺ is the successor cardinal of κ, is a model of NBG.^[ac] NBG's class existence axioms are true in (L_κ, L_κ⁺, ∈). For example, the membership axiom holds since the class ${\displaystyle E}$ is defined by: $${\displaystyle E=\{x\in L_{\kappa }:(L_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}$$ So E ∈ 𝒫(L_κ). In his proof that GCH is true in L, Gödel proved that 𝒫(L_κ) ⊆ L_κ⁺.^[81] Therefore, E ∈ L_κ⁺, so the membership axiom is true in (L_κ, L_κ⁺, ∈). Likewise, the other class existence axioms are true. The axiom of global choice is true because L_κ is well-ordered by the restriction of Gödel's function (which maps the class of ordinals to the constructible sets) to the ordinals less than κ. Therefore, (L_κ, L_κ⁺, ∈) is a model of NBG.
• If ${\displaystyle M}$ is a nonstandard model of ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$, then ${\displaystyle (M,\mathrm {Def} (M))\vDash \mathrm {GB} +\Delta _{1}^{1}{\text{-CA}}}$ is equivalent to "there exists an ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle (M,X)\vDash \mathrm {GB} +\Delta _{1}^{1}{\text{-CA}}}$", where ${\displaystyle \mathrm {Def} (M)}$ is the set of subsets of ${\displaystyle M}$ that are definable over ${\displaystyle M}$.^[82] This provides a second-order part for extending a given first-order nonstandard model of ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ to a nonstandard model of ${\displaystyle \mathrm {GB} }$, if there is such an extension at all.

Category theory

The ontology of NBG provides scaffolding for speaking about "large objects" without risking paradox. For instance, in some developments of category theory, a "large category" is defined as one whose objects and morphisms make up a proper class. On the other hand, a "small category" is one whose objects and morphisms are members of a set. Thus, we can speak of the "category of all sets" or "category of all small categories" without risking paradox since NBG supports large categories.

However, NBG does not support a "category of all categories" since large categories would be members of it and NBG does not allow proper classes to be members of anything. An ontological extension that enables us to talk formally about such a "category" is the conglomerate, which is a collection of classes. Then the "category of all categories" is defined by its objects: the conglomerate of all categories; and its morphisms: the conglomerate of all morphisms from A to B where A and B are objects.^[83] On whether an ontology including classes as well as sets is adequate for category theory, see Muller 2001.

Notes

1. Axiom of global choice explains why it is provably stronger.
2. The historical development suggests that the two-sorted approach does appear more natural at first. In introducing his theory, Bernays stated: "According to the leading idea of von Neumann set theory we have to deal with two kinds of individuals, which we may distinguish as sets and classes."^[11]
3. Gödel defined ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$ .^[15] This affects the statements of some of his definitions, axioms, and theorems. This article uses Mendelson's definition.^[16]
4. Bernays' class existence axioms specify unique classes. Gödel weakened all but three of Bernays' axioms (intersection, complement, domain) by replacing biconditionals with implications, which means they specify only the ordered pairs or the 3-tuples of the class. The axioms in this section are Gödel's except for Bernays' stronger product by V axiom, which specifies a unique class of ordered pairs. Bernays' axiom simplifies the proof of the class existence theorem. Gödel's axiom B6 appears as the fourth statement of the tuple lemma. Bernays later realized that one of his axioms is redundant, which implies that one of Gödel's axioms is redundant. Using the other axioms, axiom B6 can be proved from axiom B8, and B8 can be proved from B6, so either axiom can be considered the redundant axiom.^[17] The names for the tuple-handling axioms are from the French Wikipédia article: Théorie des ensembles de von Neumann.
5. This article uses Bourbaki's complement notation ${\displaystyle \complement A}$ and relative complement notation ${\displaystyle \complement _{X}A=\complement A\cap X}$.^[22] This prefix relative complement notation is used by the class existence theorem to mirror the prefix logical not ( ${\displaystyle \neg }$).
6. Since Gödel states this axiom before he proves the existence of the empty class, he states it without using the empty class.^[5]
7. The proofs in this and the next section come from Gödel's proofs, which he gave at the Institute for Advanced Study where he "could count upon an audience well versed in mathematical logic".^[28] To make Gödel's proofs more accessible to Wikipedia readers, a few modifications have been made. The goal in this and the next section is to prove Gödel's M4, his fourth class existence theorem. The proof in this section mostly follows the M1 proof,^[29] but it also uses techniques from the M3 and M4 proofs. The theorem is stated with class variables rather than M1's symbols for special classes (universal quantification over the class variables is equivalent to being true for any instantiation of the class variables). The major differences from the M1 proof are: unique classes of ${\displaystyle n}$-tuples are generated at the end of the basis and inductive steps (which require Bernays' stronger product by ${\displaystyle V}$ axiom), and bound variables are replaced by subscripted variables that continue the numbering of the free set variables. Since bound variables are free for part of the induction, this guarantees that, when they are free, they are treated the same as the original free variables. One of the benefits of this proof is the example output of the function Class, which shows that a class's construction mirrors its defining formula's construction.
8. One detail has been left out of this proof. Gödel's convention is being used, so ${\displaystyle \exists x\,\phi (x)}$ is defined to be ${\displaystyle \exists x[\exists C(x\in C)\land \phi (x)].}$ Since this formula quantifies over classes, it must be replaced with the equivalent ${\displaystyle \exists x[x\in V\land \phi (x)].}$ Then the three formulas in the proof having the form ${\displaystyle \exists x_{n+1}[x_{n+1}\land \dots ]}$ become ${\displaystyle \exists x_{n+1}[x_{n+1}\in V\land \dots ],}$ which produces a valid proof.
9. Recursive computer programs written in pseudocode have been used elsewhere in pure mathematics. For example, they have been used to prove the Heine-Borel theorem and other theorems of analysis.^[31]
10. This theorem is Gödel's theorem M4. He proved it by first proving M1, a class existence theorem that uses symbols for special classes rather than free class variables. M1 produces a class containing all the ${\displaystyle n}$-tuples satisfying ${\displaystyle \phi }$, but which may contain elements that are not ${\displaystyle n}$-tuples. Theorem M2 extends this theorem to formulas containing relations, special classes, and operations. Theorem M3 is obtained from M2 by replacing the symbols for special classes with free variables. Gödel used M3 to define $${\displaystyle A\times B=\{x:\exists y\exists z[x=(y,z)\land y\in A\land z\in B]\},}$$ which is unique by extensionality. He used ${\displaystyle A\times B}$ to define ${\displaystyle V^{n}.}$ Theorem M4 is obtained from M3 by intersecting the class produced by M3 with ${\displaystyle V^{n}}$ to produce the unique class of ${\displaystyle n}$-tuples satisfying the given formula. Gödel's approach, especially his use of M3 to define ${\displaystyle A\times B}$, eliminates the need for Bernays' stronger form of the product by ${\displaystyle V}$ axiom.^[33]
11. Gödel weakened Bernays' axioms of union and power set, which state the existence of these sets, to the above axioms that state there is a set containing the union and a set containing the power set.^[35] Bernays published his axioms after Gödel, but had sent them to Gödel in 1931.^[36]
12. Since ZFC's axiom requires the existence of the empty set, an advantage of NBG's axiom is that the axiom of the empty set is not needed. Mendelson's axiom system uses the ZFC's axiom of infinity and also has the axiom of the empty set.^[37]
13. For ${\displaystyle V}$ having a well-ordering implying global choice, see Implications of the axiom of limitation of size. For global choice implying the well-ordering of any class, see Kanamori 2009, p. 53.
14. In 1917, Dmitry Mirimanoff published a form of replacement based on cardinal equivalence.^[41]
15. In 1928, von Neumann stated: "A treatment of ordinal number closely related to mine was known to Zermelo in 1916, as I learned subsequently from a personal communication. Nevertheless, the fundamental theorem, according to which to each well-ordered set there is a similar ordinal, could not be rigorously proved because the replacement axiom was unknown."^[43]
16. von Neumann 1923. Von Neumann's definition also used the theory of well-ordered sets. Later, his definition was simplified to the current one: An ordinal is a transitive set that is well-ordered by ∈.^[44]
17. After introducing the cumulative hierarchy, von Neumann could show that Zermelo's axioms do not prove the existence of ordinals α ≥ ω + ω, which include uncountably many hereditarily countable sets. This follows from Skolem's result that V_ω+ω satisfies Zermelo's axioms^[46] and from α ∈ V_β implying α < β.^[47]
18. Von Neumann stated his axiom in an equivalent functional form.^[49]
19. Skolem's approach implicitly involves natural numbers because the formulas of an axiom schema are built using structural recursion, which is a generalization of mathematical recursion over the natural numbers.
20. Mirimanoff defined well-founded sets in 1917.^[53]
21. Akihiro Kanamori points out that Bernays lectured on his axiom system in 1929-1930 and states that "… he and Zermelo must have arrived at the idea of incorporating Foundation [regularity] almost at the same time."^[55] However, Bernays did not publish the part of his axiom system containing regularity until 1941.^[56]
22. Proof that von Neumann's axiom implies global choice: Let ${\displaystyle R=\{(x,y):x\neq \emptyset \land y\in x\}.}$ Von Neumann's axiom implies there is a function ${\displaystyle G\subseteq R}$ such that ${\displaystyle Dom(G)=Dom(R).}$ The function ${\displaystyle G}$ is a global choice function since for all nonempty sets ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle G(x)\in x.}$
    Proof that global choice implies von Neumann's axiom: Let ${\displaystyle G}$ be a global choice function, and let ${\displaystyle R}$ be a relation. For ${\displaystyle x\in Dom(R),}$ let ${\displaystyle \alpha (x)={\text{least}}\,\{\alpha :\exists y[(x,y)\in R\cap V_{\alpha }]\}}$ where ${\displaystyle V_{\alpha }}$ is the set of all sets having rank less than ${\displaystyle \alpha .}$ Let ${\displaystyle z_{x}=\{y:(x,y)\in R\cap V_{\alpha (x)}\}.}$ Then ${\displaystyle F=\{(x,G(z_{x})):x\in Dom(R)\}}$ is a function that satisfies von Neumann's axiom since ${\displaystyle F\subseteq R}$ and ${\displaystyle Dom(F)=Dom(R).}$
23. Gödel used von Neumann's 1929 axioms in his 1938 announcement of his relative consistency theorem and stated "A corresponding theorem holds if T denotes the system of Principia mathematica".^[64] His 1939 sketch of his proof is for Zermelo set theory and ZF.^[65] Proving a theorem in multiple formal systems was not unusual for Gödel. For example, he proved his incompleteness theorem for the system of Principia mathematica, but pointed out that it "holds for a wide class of formal systems ...".^[66]
24. Gödel's consistency proof builds the constructible universe. To build this in ZF requires some model theory. Gödel built it in NBG without model theory. For Gödel's construction, see Gödel 1940, pp. 35–46 or Cohen 1966, pp. 99–103.
25. Cohen also gave a detailed proof of Gödel's relative consistency theorems using ZF.^[74]
26. In the 1960s, this conservative extension theorem was proved independently by Paul Cohen, Saul Kripke, and Robert Solovay. In his 1966 book, Cohen mentioned this theorem and stated that its proof requires forcing. It was also proved independently by Ronald Jensen and Ulrich Felgner, who published his proof in 1971.^[75]
27. Both conclusions follow from the conclusion that every proper class can be put into one-to-one correspondence with the class of all ordinals. A proof of this is outlined in Kanamori 2009, p. 53.
28. Easton built a model of Mendelson's version of NBG in which ZFC's axiom of choice holds but global choice fails.
29. In the cumulative hierarchy V_κ, the subsets of V_κ are in V_κ+1. The constructible hierarchy L_κ produces subsets more slowly, which is why the subsets of L_κ are in L_κ⁺ rather than L_κ+1.^[80]

References

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26. Gödel 1940, p. 6; Kanamori 2012, p. 70.
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69. Gödel 1990, p. 108, footnote i. The paragraph containing this footnote discusses why Gödel considered "property of set" a primitive of set theory and how it fit into his ontology. "Property of set" corresponds to the "class" primitive in NBG.
70. Kanamori 2009, p. 57.
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77. Kanamori 2009b, pp. 18, 29.
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External links

• "von Neumann-Bernays-Gödel set theory". PlanetMath.
• Szudzik, Matthew. "von Neumann-Bernays-Gödel Set Theory". MathWorld.