Teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel

Sistema de teoría de conjuntos matemáticos

En los fundamentos de las matemáticas , la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel ( NBG ) es una teoría de conjuntos axiomática que es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de elección de Zermelo–Fraenkel (ZFC). NBG introduce la noción de clase , que es una colección de conjuntos definidos por una fórmula cuyos cuantificadores abarcan solo conjuntos. NBG puede definir clases que son más grandes que los conjuntos, como la clase de todos los conjuntos y la clase de todos los ordinales . La teoría de conjuntos de Morse–Kelley (MK) permite definir clases mediante fórmulas cuyos cuantificadores abarcan clases. NBG es finitamente axiomatizable, mientras que ZFC y MK no lo son.

Un teorema clave de NBG es el teorema de existencia de clases, que establece que para cada fórmula cuyos cuantificadores abarcan solo conjuntos, existe una clase que consiste en los conjuntos que satisfacen la fórmula. Esta clase se construye reflejando la construcción paso a paso de la fórmula con clases. Dado que todas las fórmulas de teoría de conjuntos se construyen a partir de dos tipos de fórmulas atómicas ( pertenencia e igualdad ) y un número finito de símbolos lógicos , solo se necesitan un número finito de axiomas para construir las clases que las satisfacen. Es por esto que NBG es finitamente axiomatizable. Las clases también se utilizan para otras construcciones, para manejar las paradojas de la teoría de conjuntos y para enunciar el axioma de elección global , que es más fuerte que el axioma de elección de ZFC .

John von Neumann introdujo las clases en la teoría de conjuntos en 1925. Las nociones primitivas de su teoría eran función y argumento . Utilizando estas nociones, definió clase y conjunto. ^[1] Paul Bernays reformuló la teoría de von Neumann tomando clase y conjunto como nociones primitivas. ^[2] Kurt Gödel simplificó la teoría de Bernays para su prueba de consistencia relativa del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado . ^[3]

Clases en teoría de conjuntos

Los usos de las clases

Las clases tienen varios usos en NBG:

• Producen una axiomatización finita de la teoría de conjuntos. ^[4]
• Se utilizan para enunciar una "forma muy fuerte del axioma de elección " ^[5] —a saber, el axioma de elección global : Existe una función de elección global definida en la clase de todos los conjuntos no vacíos tales que para cada conjunto no vacío Esto es más fuerte que el axioma de elección de ZFC: Para cada conjunto de conjuntos no vacíos, existe una función de elección definida en tal que para todo ^[a] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(x)\in x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(x)\in x}$ ${\displaystyle x\in s.}$
• Las paradojas de la teoría de conjuntos se manejan reconociendo que algunas clases no pueden ser conjuntos. Por ejemplo, supongamos que la clase de todos los ordinales es un conjunto. Entonces es un conjunto transitivo bien ordenado por . Por lo tanto, por definición, es un ordinal. Por lo tanto, , lo que contradice ser un buen ordenamiento de Por lo tanto, no es un conjunto. Una clase que no es un conjunto se llama clase propia ; es una clase propia. ^[6] ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord\in Ord}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Ord.}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord}$
• Las clases propias son útiles en las construcciones. En su prueba de la consistencia relativa del axioma de elección global y la hipótesis generalizada del continuo , Gödel utilizó clases propias para construir el universo construible . Construyó una función sobre la clase de todos los ordinales que, para cada ordinal, construye un conjunto construible aplicando una operación de construcción de conjuntos a conjuntos previamente construidos. El universo construible es la imagen de esta función. ^[7]

Esquema axiomático versus teorema de existencia de clases

Una vez que se añaden clases al lenguaje de ZFC, es fácil transformar ZFC en una teoría de conjuntos con clases. En primer lugar, se añade el esquema axiomático de comprensión de clases. Este esquema axiomático establece: Para cada fórmula que cuantifica sólo sobre conjuntos, existe una clase que consiste en las - tuplas que satisfacen la fórmula, es decir, Luego, el esquema axiomático de reemplazo se reemplaza por un único axioma que utiliza una clase. Finalmente, el axioma de extensionalidad de ZFC se modifica para manejar clases: Si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticas. Los otros axiomas de ZFC no se modifican. ^[8] ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})].}$

Esta teoría no está axiomatizada de manera finita. El esquema de reemplazo de ZFC ha sido reemplazado por un único axioma, pero se ha introducido el esquema axiomático de comprensión de clases.

Para producir una teoría con un número finito de axiomas, el esquema axiomático de comprensión de clases se reemplaza primero por un número finito de axiomas de existencia de clases. Luego, estos axiomas se utilizan para demostrar el teorema de existencia de clases, que implica cada instancia del esquema axiomático. ^[8] La demostración de este teorema requiere solo siete axiomas de existencia de clases, que se utilizan para convertir la construcción de una fórmula en la construcción de una clase que satisface la fórmula.

Axiomatización de NBG

Clases y conjuntos

NBG tiene dos tipos de objetos: clases y conjuntos. Intuitivamente, cada conjunto es también una clase. Hay dos formas de axiomatizar esto. Bernays utilizó lógica multiordenada con dos ordenaciones: clases y conjuntos. ^[2] Gödel evitó las ordenaciones introduciendo predicados primitivos: para " es una clase" y para " es un conjunto" (en alemán, "conjunto" es Menge ). También introdujo axiomas que establecen que cada conjunto es una clase y que si la clase es miembro de una clase, entonces es un conjunto. ^[9] El uso de predicados es la forma estándar de eliminar las ordenaciones. Elliott Mendelson modificó el enfoque de Gödel al hacer que todo sea una clase y definir el predicado del conjunto como ^[10] Esta modificación elimina el predicado de clase de Gödel y sus dos axiomas. ${\displaystyle {\mathfrak {Cls}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C).}$

El enfoque de dos tipos de Bernays puede parecer más natural a primera vista, pero crea una teoría más compleja. ^[b] En la teoría de Bernays, cada conjunto tiene dos representaciones: una como un conjunto y la otra como una clase. Además, hay dos relaciones de pertenencia : la primera, denotada por "∈", es entre dos conjuntos; la segunda, denotada por "η", es entre un conjunto y una clase. ^[2] Esta redundancia es requerida por la lógica de múltiples tipos porque las variables de diferentes tipos se extienden sobre subdominios disjuntos del dominio del discurso .

Las diferencias entre estos dos enfoques no afectan lo que se puede demostrar, pero sí afectan la forma en que se escriben los enunciados. En el enfoque de Gödel, donde y son clases es un enunciado válido. En el enfoque de Bernays este enunciado no tiene sentido. Sin embargo, si es un conjunto, hay un enunciado equivalente: Defina "el conjunto representa la clase " si tienen los mismos conjuntos como miembros, es decir, El enunciado donde el conjunto representa la clase es equivalente al de Gödel ^[2]. ${\displaystyle A\in C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall x(x\in a\iff x\;\eta \;A).}$ ${\displaystyle a\;\eta \;C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\in C.}$

El enfoque adoptado en este artículo es el de Gödel con la modificación de Mendelson. Esto significa que NBG es un sistema axiomático en lógica de predicados de primer orden con igualdad , y sus únicas nociones primitivas son la clase y la relación de pertenencia.

Definiciones y axiomas de extensionalidad y emparejamiento

Un conjunto es una clase que pertenece al menos a una clase: es un conjunto si y solo si . Una clase que no es un conjunto se llama clase propia: es una clase propia si y solo si . ^[12] Por lo tanto, cada clase es un conjunto o una clase propia, y ninguna clase es ambas cosas. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall C(A\notin C)}$

Gödel introdujo la convención de que las variables en mayúsculas abarcan las clases, mientras que las variables en minúsculas abarcan los conjuntos. ^[9] Gödel también utilizó nombres que comienzan con una letra mayúscula para denotar clases particulares, incluidas funciones y relaciones definidas en la clase de todos los conjuntos. La convención de Gödel se utiliza en este artículo. Nos permite escribir:

• ${\displaystyle \exists x\,\phi (x)}$en lugar de ${\displaystyle \exists x{\bigl (}\exists C(x\in C)\land \phi (x){\bigr )}}$
• ${\displaystyle \forall x\,\phi (x)}$en lugar de ${\displaystyle \forall x{\bigl (}\exists C(x\in C)\implies \phi (x){\bigr )}}$

Los siguientes axiomas y definiciones son necesarios para la prueba del teorema de existencia de clases.

Axioma de extensionalidad.  Si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticas.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,[\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B]}$ ^[13]

Este axioma generaliza el axioma de extensionalidad de ZFC a las clases.

Axioma de emparejamiento .  Siyson conjuntos, entonces existe un conjuntocuyos únicos miembros sony. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor \,z=y)]}$ ^[14]

Al igual que en ZFC, el axioma de extensionalidad implica la unicidad del conjunto , lo que nos permite introducir la notación ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{x,y\}.}$

Los pares ordenados se definen por:

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

Las tuplas se definen inductivamente utilizando pares ordenados:

${\displaystyle (x_{1})=x_{1},}$

${\displaystyle {\text{For }}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).}$^[do]

Axiomas de existencia de clases y axioma de regularidad

Los axiomas de existencia de clase se utilizarán para demostrar el teorema de existencia de clase: para cada fórmula en variables de conjunto libre que cuantifica solo sobre conjuntos, existe una clase de -tuplas que la satisfacen. El siguiente ejemplo comienza con dos clases que son funciones y construye una función compuesta . Este ejemplo ilustra las técnicas que se necesitan para demostrar el teorema de existencia de clase, que conducen a los axiomas de existencia de clase que se necesitan. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Los axiomas de existencia de clase se dividen en dos grupos: axiomas que manejan primitivos del lenguaje y axiomas que manejan tuplas. Hay cuatro axiomas en el primer grupo y tres axiomas en el segundo grupo. ^[d]

Axiomas para el manejo de primitivos del lenguaje:

Membresía.  Existe una clase que contiene todos los pares ordenados cuyo primer componente es miembro del segundo componente. ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \exists E\,\forall x\,\forall y\,[(x,y)\in E\iff x\in y]\!}$ ^[18]

Intersección (conjunción).  Para dos clases cualesquiera y , existe una clase que consiste precisamente en los conjuntos que pertenecen a ambas y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall x\,[x\in C\iff (x\in A\,\land \,x\in B)]}$ ^[19]

Complemento (negación).  Para cualquier clase, existe una claseque consiste precisamente en los conjuntos que no pertenecen a. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \neg (x\in A)]}$ ^[20]

Dominio (cuantificador existencial).  Para cualquier clase , existe una clase que consiste precisamente en los primeros componentes de los pares ordenados de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \exists y((x,y)\in A)]}$ ^[21]

Por el axioma de extensionalidad, la clase en el axioma de intersección y la clase en los axiomas de complemento y dominio son únicas. Se denotarán por: y respectivamente. ^[e] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B,}$ ${\displaystyle \complement A,}$ ${\displaystyle Dom(A),}$

Los tres primeros axiomas implican la existencia de la clase vacía y la clase de todos los conjuntos: El axioma de pertenencia implica la existencia de una clase Los axiomas de intersección y complemento implican la existencia de , que está vacío. Por el axioma de extensionalidad, esta clase es única; se denota por El complemento de es la clase de todos los conjuntos, que también es única por extensionalidad. El predicado de conjunto , que se definió como , ahora se redefine para evitar la cuantificación sobre clases. ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E\cap \complement E}$ ${\displaystyle \emptyset .}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C)}$ ${\displaystyle A\in V}$

Axiomas para manejar tuplas:

Producto de . ${\displaystyle V}$  Para cualquier clase, existe una claseque consta de los pares ordenados cuyo primer componente pertenece a. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A)]}$^[23]

Permutación circular .  Para cualquier clase, existe una clasecuyas 3-tuplas se obtienen aplicando la permutación circulara las 3-tuplas de. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (y,z,x)\mapsto (x,y,z)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in A]}$^[24]

Transposición .  Para cualquier clase, existe una clasecuyas 3-tuplas se obtienen transponiendo los dos últimos componentes de las 3-tuplas de. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in A]}$^[25]

Por extensionalidad, el producto por axioma implica la existencia de una clase única, que se denota por Este axioma se utiliza para definir la clase de todas las -tuplas : y Si es una clase, la extensionalidad implica que es la clase única que consiste en las -tuplas de Por ejemplo, el axioma de pertenencia produce una clase que puede contener elementos que no son pares ordenados, mientras que la intersección contiene solo los pares ordenados de . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\times V.}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{1}=V}$ ${\displaystyle V^{n+1}=V^{n}\times V.\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cap V^{2}}$ ${\displaystyle E}$

Los axiomas de permutación y transposición circulares no implican la existencia de clases únicas porque especifican solo las 3-tuplas de clase. Al especificar las 3-tuplas, estos axiomas también especifican las -tuplas para ya que: Los axiomas para manejar tuplas y el axioma de dominio implican el siguiente lema, que se utiliza en la prueba del teorema de existencia de clase. ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ $${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-2},x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-2}),x_{n-1},x_{n}).}$$

Lema de tupla  — 

1. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{1}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(z,x,y)\in B_{1}\iff (x,y)\in A]}$$
2. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{2}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,z,y)\in B_{2}\iff (x,y)\in A]}$$
3. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{3}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B_{3}\iff (x,y)\in A]}$$
4. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{4}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(y,x)\in B_{4}\iff (x,y)\in A]}$$

Prueba

• Clase : Aplicar producto por para producir ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{3}.}$
• Clase : Aplicar transposición para producir ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle B_{2}.}$
• Clase : Aplicar permutación circular para producir ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle B_{1}.}$
• Clase : Aplicar permutación circular a , luego aplicar dominio para producir ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{4}.}$

Se necesita un axioma más para demostrar el teorema de existencia de clases: el axioma de regularidad . Como se ha demostrado la existencia de la clase vacía, se da el enunciado habitual de este axioma. ^[f]

Axioma de regularidad .  Todo conjunto no vacío tiene al menos un elemento con el que no tiene ningún elemento en común. $${\displaystyle \forall a\,[a\neq \emptyset \implies \exists u(u\in a\land u\cap a=\emptyset )].}$$

Este axioma implica que un conjunto no puede pertenecer a sí mismo: Supongamos que y sea Entonces, dado que Esto contradice el axioma de regularidad porque es el único elemento en Por lo tanto, El axioma de regularidad también prohíbe secuencias de pertenencia descendentes infinitas de conjuntos: ${\displaystyle x\in x}$ ${\displaystyle a=\{x\}.}$ ${\displaystyle x\cap a\neq \emptyset }$ ${\displaystyle x\in x\cap a.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle x\notin x.}$ $${\displaystyle \cdots \in x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x_{0}.}$$

Gödel planteó la regularidad para clases en lugar de para conjuntos en su monografía de 1940, que se basaba en conferencias dictadas en 1938. ^[26] En 1939, demostró que la regularidad para conjuntos implica regularidad para clases. ^[27]

Teorema de existencia de clases

Teorema de existencia de clases  :  Sea una fórmula que cuantifique solo sobre conjuntos y no contenga variables libres distintas de (no necesariamente todas ellas). Entonces, para todos los , existe una clase única de -tuplas tales que: La clase se denota por ^[g] ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n}):\phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})\}.}$

La demostración del teorema se realizará en dos pasos:

1. Las reglas de transformación se utilizan para transformar la fórmula dada en una fórmula equivalente que simplifica la parte inductiva de la prueba. Por ejemplo, los únicos símbolos lógicos en la fórmula transformada son , , y , por lo que la inducción maneja símbolos lógicos con solo tres casos. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$
2. El teorema de existencia de clases se demuestra de forma inductiva para fórmulas transformadas. Guiados por la estructura de la fórmula transformada, los axiomas de existencia de clases se utilizan para producir la clase única de -tuplas que satisfacen la fórmula. ${\displaystyle n}$

Reglas de transformación.  En las reglas 1 y 2 que se indican a continuación, y denotan variables de conjunto o de clase. Estas dos reglas eliminan todas las apariciones de variables de clase antes de y todas las apariciones de igualdad. Cada vez que se aplica la regla 1 o 2 a una subfórmula, se elige de modo que sea diferente de las otras variables en la fórmula actual. Las tres reglas se repiten hasta que no haya subfórmulas a las que se puedan aplicar. Esto produce una fórmula que se crea solo con , , , , variables de conjunto y variables de clase donde no aparece antes de . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle \in }$

1. ${\displaystyle \,Y_{k}\in \Gamma }$se transforma en ${\displaystyle \exists z_{i}(z_{i}=Y_{k}\,\land \,z_{i}\in \Gamma ).}$
2. La extensionalidad se utiliza para transformar en ${\displaystyle \Delta =\Gamma }$ ${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$
3. Las identidades lógicas se utilizan para transformar subfórmulas que contienen y en subfórmulas que solo utilizan y ${\displaystyle \lor ,\implies ,\iff ,}$ ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \neg ,\land ,}$ ${\displaystyle \exists .}$

Reglas de transformación: variables ligadas .  Considere la fórmula de la función compuesta del ejemplo 1 con sus variables de conjunto libre reemplazadas por y : La prueba inductiva eliminará , lo que produce la fórmula Sin embargo, dado que el teorema de existencia de clase se establece para variables con subíndice, esta fórmula no tiene la forma esperada por la hipótesis de inducción . Este problema se resuelve reemplazando la variable con Las variables ligadas dentro de los cuantificadores anidados se manejan aumentando el subíndice en uno para cada cuantificador sucesivo. Esto conduce a la regla 4, que debe aplicarse después de las otras reglas, ya que las reglas 1 y 2 producen variables cuantificadas. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \exists t[(x_{1},t)\in F\,\land \,(t,x_{2})\in G].}$ ${\displaystyle \exists t}$ ${\displaystyle (x_{1},t)\in F\land (t,x_{2})\in G.}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{3}.}$

4. Si una fórmula no contiene variables de conjunto libre distintas de las variables enlazadas que están anidadas dentro de cuantificadores, se reemplazan por . Estas variables tienen una profundidad de anidamiento (cuantificador) . ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Demostración del teorema de existencia de clases.  La demostración comienza aplicando las reglas de transformación a la fórmula dada para producir una fórmula transformada. Como esta fórmula es equivalente a la fórmula dada, la demostración se completa demostrando el teorema de existencia de clases para fórmulas transformadas.

Demostración del teorema de existencia de clases para fórmulas transformadas

El siguiente lema se utiliza en la prueba.

Lema de expansión  :  Sea y sea una clase que contiene todos los pares ordenados que satisfacen Es decir, Entonces se puede expandir en la clase única de -tuplas que satisfacen . Es decir, ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$ ${\displaystyle P\supseteq \{(x_{i},x_{j}):R(x_{i},x_{j})\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle Q=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):R(x_{i},x_{j})\}.}$

Prueba:

1. Si se deja ${\displaystyle i=1,}$ ${\displaystyle P_{1}=P.}$
   De lo contrario, los componentes se agregan delante de aplicar la declaración del lema de tupla 1 a con Esto produce una clase que contiene todas las -tuplas que satisfacen ${\displaystyle i>1,}$ ${\displaystyle x_{i}{\text{:}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z=(x_{1},\dots ,x_{i-1}).}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle (i+1)}$ $${\displaystyle ((x_{1},\dots ,x_{i-1}),x_{i},x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{j})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
2. Si se deja ${\displaystyle j=i+1,}$ ${\displaystyle P_{2}=P_{1}.}$
   De lo contrario, se agregan componentes entre y se agregan los componentes uno por uno utilizando la declaración 2 del lema de la tupla. Esto produce una clase que contiene todas las tuplas que satisfacen ${\displaystyle j>i+1,}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}{\text{:}}}$ ${\displaystyle x_{i+1},\dots ,x_{j-1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle (((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{i}),x_{i+1}),\cdots ),x_{j-1}),x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{j})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
3. Si se deja ${\displaystyle j=n,}$ ${\displaystyle P_{3}=P_{2}.}$
   De lo contrario, los componentes se agregan después de agregar los componentes uno por uno utilizando la declaración 3 del lema de tupla. Esto produce una clase que contiene todas las tuplas que satisfacen ${\displaystyle j<n,}$ ${\displaystyle x_{j}{\text{:}}}$ ${\displaystyle x_{j+1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle ((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{j}),x_{j+1}),\cdots ),x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
4. Dejemos que la extensionalidad implique que es la única clase de -tuplas que satisfacen ${\displaystyle Q=P_{3}\cap V^{n}.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$

Teorema de existencia de clase para fórmulas transformadas  —  Sea una fórmula que: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})}$

1. no contiene variables libres distintas de ; ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m}}$
2. contiene solo , , , , variables de conjunto y las variables de clase donde no aparece antes de un ; ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle \in }$ 
3. solo cuantifica variables de conjunto donde es la profundidad de anidamiento del cuantificador de la variable. ${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Entonces, para todos , existe una clase única de -tuplas tales que: ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].}$$

Demostración: Paso base: tiene 0 símbolos lógicos. La hipótesis del teorema implica que es una fórmula atómica de la forma o ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$

Caso 1: Si es , construimos la clase la única clase de -tuplas que satisface ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$

Caso a: es donde El axioma de pertenencia produce una clase que contiene todos los pares ordenados que satisfacen Aplicar el lema de expansión para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i<j.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.}$

Caso b: es donde El axioma de pertenencia produce una clase que contiene todos los pares ordenados que satisfacen Aplicar el enunciado 4 del lema de la tupla a para obtener que contiene todos los pares ordenados que satisfacen Aplicar el lema de expansión a para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i>j.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle (x_{j},x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.}$

Caso c: es donde Dado que esta fórmula es falsa por el axioma de regularidad, ninguna -tupla la satisface, por lo que ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i=j.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\emptyset .}$

Caso 2: Si es , construimos la clase la única clase de -tuplas que satisface ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$

Caso a: es donde Aplicar el axioma de producto por a para producir la clase Aplicar el lema de expansión a para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i<n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i+1}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$

Caso b: es donde Aplicar el axioma de producto por a para producir la clase Aplicar el enunciado 4 del lema de la tupla a para obtener Aplicar el lema de expansión a para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i=n>1.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i-1}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'=V\times Y_{k}=\{(x_{i-1},x_{i}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$

Caso c: es donde Entonces ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i=n=1.}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=Y_{k}.}$

Paso inductivo: tiene símbolos lógicos donde . Supongamos la hipótesis de inducción de que el teorema es verdadero para todos con menos de símbolos lógicos. Ahora demostramos el teorema para con símbolos lógicos. En esta demostración, la lista de variables de clase se abrevia con , por lo que una fórmula, como , se puede escribir como ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle {\vec {Y}}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$

Caso 1: Como tiene símbolos lógicos, la hipótesis de inducción implica que existe una clase única de -tuplas tales que: Por el axioma del complemento, existe una clase tal que Sin embargo, contiene elementos distintos de las -tuplas si Para eliminar estos elementos, utilice que es el complemento relativo a la clase de todas las -tuplas. ^[e] Entonces, por extensionalidad, es la clase única de -tuplas tales que: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$$ ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle \forall u\,[u\in \complement A\iff \neg (u\in A)].}$ ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>1.}$ ${\displaystyle \complement _{V^{n}}A=\,}$ ${\displaystyle \complement A\cap V^{n}=\,}$ ${\displaystyle V^{n}\setminus A,}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \complement _{V^{n}}A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \complement _{V^{n}}A&&\iff \neg [(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A]\\&&&\iff \neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Caso 2: Dado que tanto y tienen menos que símbolos lógicos, la hipótesis de inducción implica que hay clases únicas de -tuplas, y , tales que: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\\&(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\iff \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{aligned}}}$

Por los axiomas de intersección y extensionalidad, es la única clase de -tuplas tales que: ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\cap A_{2}&&\iff (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\land (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\\&&&\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Caso 3: La profundidad de anidamiento del cuantificador de es uno más que la de y la variable libre adicional es Dado que tiene símbolos lógicos, la hipótesis de inducción implica que existe una clase única de -tuplas tales que: Por los axiomas de dominio y extensionalidad, es la clase única de -tuplas tales que: ^[h] ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\exists x_{n+1}\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{n+1}.}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (n+1)}$ $${\displaystyle \quad (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).}$$ ${\displaystyle Dom(A)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Dom(A)&&\iff \exists x_{n+1}[((x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}[(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Gödel señaló que el teorema de existencia de clases "es un metateorema , es decir, un teorema acerca del sistema [NBG], no en el sistema..." ^[30] Es un teorema acerca de NBG porque se demuestra en la metateoría por inducción sobre fórmulas NBG. Además, su prueba—en lugar de invocar un número finito de axiomas NBG—describe inductivamente cómo usar los axiomas NBG para construir una clase que satisfaga una fórmula dada. Para cada fórmula, esta descripción se puede convertir en una prueba de existencia constructiva que está en NBG. Por lo tanto, este metateorema puede generar las pruebas NBG que reemplazan los usos del teorema de existencia de clases de NBG.

Un programa informático recursivo captura de forma sucinta la construcción de una clase a partir de una fórmula dada. La definición de este programa no depende de la prueba del teorema de existencia de clases. Sin embargo, la prueba es necesaria para demostrar que la clase construida por el programa satisface la fórmula dada y se construye utilizando los axiomas. Este programa está escrito en pseudocódigo que utiliza una declaración case de estilo Pascal . ^[i] $${\displaystyle {\begin{array}{l}\mathbf {function} \;{\text{Class}}(\phi ,\,n)\\\quad {\begin{array}{rl}\mathbf {input} \!:\;\,&\phi {\text{ is a transformed formula of the form }}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m});\\&n{\text{ specifies that a class of }}n{\text{-tuples is returned.}}\\\;\;\;\;\mathbf {output} \!:\;\,&{\text{class }}A{\text{ of }}n{\text{-tuples satisfying }}\\&\,\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].\end{array}}\\\mathbf {begin} \\\quad \mathbf {case} \;\phi \;\mathbf {of} \\\qquad {\begin{alignedat}{2}x_{i}\in x_{j}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,j,n};&&{\text{// }}E_{i,j,n}\;\,=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}\\x_{i}\in Y_{k}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,Y_{k},n};&&{\text{// }}E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}\\\neg \psi :\;\;&\mathbf {return} \;\,\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n);&&{\text{// }}\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n)=V^{n}\setminus {\text{Class}}(\psi ,\,n)\\\psi _{1}\land \psi _{2}:\;\;&\mathbf {return} \;\,{\text{Class}}(\psi _{1},\,n)\cap {\text{Class}}(\psi _{2},\,n);&&\\\;\;\;\;\,\exists x_{n+1}(\psi ):\;\;&\mathbf {return} \;\,Dom({\text{Class}}(\psi ,\,n+1));&&{\text{// }}x_{n+1}{\text{ is free in }}\psi ;{\text{ Class}}(\psi ,\,n+1)\\&\ &&{\text{// returns a class of }}(n+1){\text{-tuples}}\end{alignedat}}\\\quad \mathbf {end} \\\mathbf {end} \end{array}}}$$

Sea la fórmula del ejemplo 2. La llamada a la función genera la clase que se compara a continuación con Esto muestra que la construcción de la clase refleja la construcción de su fórmula definitoria. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A=Class(\phi ,1)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \phi .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi .}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\phi \;&&=\;\;\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{3}\;(x_{3}\!\in \!x_{2}))\,\land \;\;\,\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\,\exists x_{3}\,(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{4}\;(x_{4}\!\in \!x_{3})))\\&A\;&&=Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \;\complement _{V^{2}}\,Dom\,(\;E_{3,2,3}\;))\,\cap \,Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \,Dom\,(\;\,E_{3,2,3}\;\cap \;\complement _{V^{3}}\,Dom\,(\;E_{4,3,4}\;)))\end{alignedat}}}$$

Ampliación del teorema de existencia de clases

Gödel extendió el teorema de existencia de clases a fórmulas que contienen relaciones sobre clases (como y la relación unaria ), clases especiales (como ) y operaciones (como y ). ^[32] Para extender el teorema de existencia de clases, las fórmulas que definen relaciones, clases especiales y operaciones deben cuantificar solo sobre conjuntos. Luego pueden transformarse en una fórmula equivalente que satisfaga la hipótesis del teorema de existencia de clases. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}}$ ${\displaystyle M(Y_{1})}$ ${\displaystyle Ord}$  ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}\cap Y_{1}}$ ${\displaystyle \phi }$

Las siguientes definiciones especifican cómo las fórmulas definen relaciones, clases especiales y operaciones:

1. Una relación se define por: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Una clase especial se define mediante: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u\in C\iff \psi _{C}(u).}$
3. Una operación se define por: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u\in P(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$

Un término se define por:

1. Las variables y clases especiales son términos.
2. Si es una operación con argumentos y son términos, entonces es un término. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}}$ ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$

Las siguientes reglas de transformación eliminan relaciones, clases especiales y operaciones. Cada vez que se aplica la regla 2b, 3b o 4 a una subfórmula, se elige de forma que sea diferente de las demás variables de la fórmula actual. Las reglas se repiten hasta que no haya subfórmulas a las que se puedan aplicar. y denotan términos. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k},\Gamma ,}$ ${\displaystyle \Delta }$

1. Una relación se reemplaza por su fórmula definitoria ${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ ${\displaystyle \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Sea la fórmula definitoria de la clase especial ${\displaystyle \psi _{C}(u)}$ ${\displaystyle C.}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in C}$se reemplaza por ${\displaystyle \psi _{C}(\Delta ).}$
   2. ${\displaystyle C\in \Delta }$se reemplaza por ${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=C\land z_{i}\in \Delta ].}$
3. Sea la fórmula definitoria de la operación ${\displaystyle \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ ${\displaystyle P(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$se reemplaza por ${\displaystyle \psi _{P}(\Delta ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}).}$
   2. ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\in \Delta }$se reemplaza por ${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\land z_{i}\in \Delta ].}$
4. La extensionalidad se utiliza para transformar en ${\displaystyle \Delta =\Gamma }$ ${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$

Teorema de existencia de clases (versión extendida)  —  Sea una fórmula que cuantifica solo sobre conjuntos, no contiene variables libres distintas de , y puede contener relaciones, clases especiales y operaciones definidas por fórmulas que cuantifican solo sobre conjuntos. Entonces, para todos existe una clase única de -tuplas tales que ^[j] ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

Prueba

Aplique las reglas de transformación para producir una fórmula equivalente que no contenga relaciones, clases especiales ni operaciones. Esta fórmula satisface la hipótesis del teorema de existencia de clases. Por lo tanto, para todos existe una clase única de -tuplas que satisfacen ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

Conjunto de axiomas

Los axiomas de emparejamiento y regularidad, necesarios para la demostración del teorema de existencia de clases, se han dado anteriormente. NBG contiene otros cuatro axiomas de conjuntos. Tres de estos axiomas tratan de operaciones de clases que se aplican a conjuntos.

Definición.  es una función si ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F\subseteq V^{2}\land \forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y)\in F\,\land \,(x,z)\in F\implies y=z].}$$

En la teoría de conjuntos, la definición de una función no requiere especificar el dominio o codominio de la función (ver Función (teoría de conjuntos) ). La definición de función de NBG generaliza la definición de ZFC de un conjunto de pares ordenados a una clase de pares ordenados.

Las definiciones de ZFC de las operaciones de conjunto de imagen , unión y conjunto potencia también se generalizan a las operaciones de clase. La imagen de la clase bajo la función es Esta definición no requiere que La unión de la clase sea La clase potencia de sea La versión extendida del teorema de existencia de clases implica la existencia de estas clases. Los axiomas de reemplazo, unión y conjunto potencia implican que cuando estas operaciones se aplican a conjuntos, producen conjuntos. ^[34] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land \,(x,y)\in F)\}.}$ ${\displaystyle A\subseteq Dom(F).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cup A=\{x:\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{x:x\subseteq A\}.}$

Axioma de reemplazo.  Si es una función y es un conjunto, entonces , la imagen de bajo , es un conjunto. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F[a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \forall F\,\forall a\,[F{\text{ is a function}}\implies \exists b\,\forall y\,(y\in b\iff \exists x(x\in a\,\land \,(x,y)\in F))].}$$

Al no tener el requisito en la definición se produce un axioma de reemplazo más fuerte, que se utiliza en la siguiente prueba. ${\displaystyle A\subseteq Dom(F)}$ ${\displaystyle F[A]}$

Teorema ( axioma de separación de NBG )  :  Si es un conjunto y es una subclase de, entonces es un conjunto. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle B}$

Prueba

El teorema de existencia de clase construye la restricción de la función identidad a : Dado que la imagen de bajo es , el axioma de reemplazo implica que es un conjunto. Esta prueba depende de que la definición de imagen no tenga el requisito ya que en lugar de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}=\{(x_{1},x_{2}):x_{1}\in B\land x_{2}=x_{1}\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a\subseteq Dom(F)}$ ${\displaystyle Dom(I{\upharpoonright _{B}})=B\subseteq a}$ ${\displaystyle a\subseteq Dom(I{\upharpoonright _{B}}).}$

Axioma de unión.  Si es un conjunto, entonces existe un conjunto que lo contiene. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup a.}$ $${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,[\,\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in a)\implies x\in b\,].}$$

Axioma de conjunto potencia.  Si es un conjunto, entonces hay un conjunto que lo contiene. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a).}$

${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,(x\subseteq a\implies x\in b).}$^[k]

Teorema  —  Si es un conjunto, entonces y son conjuntos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$

Prueba

El axioma de unión establece que es una subclase de un conjunto , por lo que el axioma de separación implica que es un conjunto. Asimismo, el axioma de conjunto potencia establece que es una subclase de un conjunto , por lo que el axioma de separación implica que es un conjunto. ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$

Axioma de infinito.  Existe un conjunto no vacío tal que para todo en , existe un en tal que es un subconjunto propio de . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \exists a\,[\exists u(u\in a)\,\land \,\forall x(x\in a\implies \exists y(y\in a\,\land \,x\subset y))].}$$

Los axiomas de infinito y de reemplazo prueban la existencia del conjunto vacío . En la discusión de los axiomas de existencia de clase, se demostró la existencia de la clase vacía. Ahora demostramos que es un conjunto. Sea función y sea el conjunto dado por el axioma de infinito. Por reemplazo, la imagen de bajo , que es igual a , es un conjunto. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle F=\emptyset }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \emptyset }$

El axioma de infinito de NBG está implícito en el axioma de infinito de ZFC : El primer conjuntivo del axioma de ZFC, , implica el primer conjuntivo del axioma de NBG. El segundo conjuntivo del axioma de ZFC, , implica el segundo conjuntivo del axioma de NBG, ya que Para demostrar el axioma de infinito de ZFC a partir del axioma de infinito de NBG se requieren algunos de los otros axiomas de NBG (véase Axioma débil de infinito ). ^[l] ${\displaystyle \,\exists a\,[\emptyset \in a\,\land \,\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)].\,}$ ${\displaystyle \emptyset \in a}$ ${\displaystyle \forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)}$ ${\displaystyle x\subset x\cup \{x\}.}$

Axioma de elección global

El concepto de clase permite a NBG tener un axioma de elección más fuerte que ZFC. Una función de elección es una función definida en un conjunto de conjuntos no vacíos tal que para todos los estados del axioma de elección de ZFC existe una función de elección para cada conjunto de conjuntos no vacíos. Una función de elección global es una función definida en la clase de todos los conjuntos no vacíos tal que para cada conjunto no vacío El axioma de elección global establece que existe una función de elección global. Este axioma implica el axioma de elección de ZFC ya que para cada conjunto de conjuntos no vacíos, (la restricción de a ) es una función de elección para En 1964, William B. Easton demostró que la elección global es más fuerte que el axioma de elección al usar forzamiento para construir un modelo que satisface el axioma de elección y todos los axiomas de NBG excepto el axioma de elección global. ^[38] El axioma de elección global es equivalente a que cada clase tenga un buen orden, mientras que el axioma de elección de ZFC es equivalente a que cada conjunto tenga un buen orden. ^[m] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(x)\in x}$ ${\displaystyle x\in s.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(x)\in x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G\vert _{s}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s.}$

Axioma de elección global.  Existe una función que elige un elemento de cada conjunto no vacío.

${\displaystyle \exists G\,[G{\text{ is a function}}\,\land \forall x(x\neq \emptyset \implies \exists y(y\in x\land (x,y)\in G))].}$

Historia

Historia de los enfoques que condujeron a la teoría de conjuntos NBG

Sistema de axiomas de Von Neumann de 1925

Von Neumann publicó un artículo introductorio sobre su sistema de axiomas en 1925. En 1928, proporcionó un tratamiento detallado de su sistema. ^[39] Von Neumann basó su sistema de axiomas en dos dominios de objetos primitivos : funciones y argumentos. Estos dominios se superponen: los objetos que están en ambos dominios se denominan funciones de argumento. Las funciones corresponden a clases en NBG, y las funciones de argumento corresponden a conjuntos. La operación primitiva de Von Neumann es la función de aplicación , denotada por [ a ,  x ] en lugar de a ( x ) donde a es una función y x es un argumento. Esta operación produce un argumento. Von Neumann definió clases y conjuntos utilizando funciones y funciones de argumento que toman solo dos valores, A y B . Definió x  ∈  a si [ a ,  x ] ≠  A . ^[1]

El trabajo de von Neumann en teoría de conjuntos estuvo influenciado por los artículos de Georg Cantor , los axiomas de Ernst Zermelo de 1908 para la teoría de conjuntos y las críticas de 1922 a la teoría de conjuntos de Zermelo que fueron dadas independientemente por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem . Tanto Fraenkel como Skolem señalaron que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} donde Z ₀ es el conjunto de números naturales y Z _{n +1} es el conjunto potencia de Z _n . Luego introdujeron el axioma de reemplazo, que garantizaría la existencia de tales conjuntos. ^{[40] [n]} Sin embargo, eran reacios a adoptar este axioma: Fraenkel afirmó "que el reemplazo era un axioma demasiado fuerte para la 'teoría general de conjuntos'", mientras que "Skolem solo escribió que 'podríamos introducir' el reemplazo". ^[42]

Von Neumann trabajó en los problemas de la teoría de conjuntos de Zermelo y proporcionó soluciones para algunos de ellos:

• Una teoría de los ordinales
  • Problema: La teoría de los números ordinales de Cantor no se puede desarrollar en la teoría de conjuntos de Zermelo porque carece del axioma de reemplazo. ^[o]
  • Solución: von Neumann recuperó la teoría de Cantor definiendo los ordinales usando conjuntos que están bien ordenados por la ∈-relación, ^[p] y usando el axioma de reemplazo para probar teoremas clave sobre los ordinales, como que todo conjunto bien ordenado es isomorfo en orden con un ordinal. ^[o] En contraste con Fraenkel y Skolem, von Neumann enfatizó cuán importante es el axioma de reemplazo para la teoría de conjuntos: "De hecho, creo que ninguna teoría de ordinales es posible sin este axioma". ^[45]
• Un criterio que identifica clases que son demasiado grandes para ser conjuntos
  • Problema: Zermelo no proporcionó tal criterio. Su teoría de conjuntos evita las grandes clases que conducen a las paradojas , pero deja fuera muchos conjuntos, como el mencionado por Fraenkel y Skolem. ^[q]
  • Solución: Von Neumann introdujo el criterio: Una clase es demasiado grande para ser un conjunto si y sólo si puede ser mapeada sobre la clase V de todos los conjuntos. Von Neumann se dio cuenta de que las paradojas de la teoría de conjuntos podían evitarse al no permitir que clases tan grandes fueran miembros de ninguna clase. Combinando esta restricción con su criterio, obtuvo su axioma de limitación de tamaño : Una clase C no es miembro de ninguna clase si y sólo si C puede ser mapeada sobre V. ^{[48] [r} ]
• Axiomatización finita
  • Problema: Zermelo había utilizado el concepto impreciso de " función proposicional definida " en su axioma de separación .
  • Soluciones: Skolem introdujo el esquema axiomático de separación que se utilizó posteriormente en ZFC, y Fraenkel introdujo una solución equivalente. ^[50] Sin embargo, Zermelo rechazó ambos enfoques "particularmente porque implican implícitamente el concepto de número natural que, en opinión de Zermelo, debería basarse en la teoría de conjuntos". ^[s] Von Neumann evitó los esquemas axiomáticos al formalizar el concepto de "función proposicional definida" con sus funciones, cuya construcción requiere sólo un número finito de axiomas. Esto llevó a que su teoría de conjuntos tuviera un número finito de axiomas. ^[51] En 1961, Richard Montague demostró que ZFC no puede axiomatizarse de forma finita. ^[52]
• El axioma de regularidad
  • Problema: La teoría de conjuntos de Zermelo comienza con el conjunto vacío y un conjunto infinito, e itera los axiomas de emparejamiento, unión, conjunto potencia, separación y elección para generar nuevos conjuntos. Sin embargo, no restringe los conjuntos a estos. Por ejemplo, permite conjuntos que no están bien fundados , como un conjunto x que satisface x  ∈  x . ^[t]
  • Soluciones: Fraenkel introdujo un axioma para excluir estos conjuntos. Von Neumann analizó el axioma de Fraenkel y afirmó que no estaba "formulado con precisión", pero diría aproximadamente: "Además de los conjuntos... cuya existencia es absolutamente requerida por los axiomas, no hay otros conjuntos". ^[54] Von Neumann propuso el axioma de regularidad como una forma de excluir conjuntos no bien fundados, pero no lo incluyó en su sistema de axiomas. En 1930, Zermelo se convirtió en el primero en publicar un sistema de axiomas que incluía la regularidad. ^[u]

Sistema de axiomas de Von Neumann de 1929

Juan von Neumann

En 1929, von Neumann publicó un artículo que contenía los axiomas que conducirían a NBG.Este artículo fue motivado por su preocupación acerca de la consistencia del axioma de limitación de tamaño. Afirmó que este axioma "hace mucho, en realidad demasiado". Además de implicar los axiomas de separación y reemplazo, y el teorema de buen ordenamiento , también implica que cualquier clase cuya cardinalidad sea menor que la de V es un conjunto. Von Neumann pensó que esta última implicación iba más allá de la teoría de conjuntos cantoriana y concluyó: "Debemos, por lo tanto, discutir si su consistencia [del axioma] no es aún más problemática que una axiomatización de la teoría de conjuntos que no vaya más allá del marco cantoriano necesario". ^[57]

Von Neumann comenzó su investigación sobre la consistencia introduciendo su sistema de axiomas de 1929, que contiene todos los axiomas de su sistema de axiomas de 1925 excepto el axioma de limitación de tamaño. Reemplazó este axioma con dos de sus consecuencias, el axioma de reemplazo y un axioma de elección. El axioma de elección de Von Neumann establece: "Toda relación R tiene una subclase que es una función con el mismo dominio que R ". ^[58]

Sea S el sistema de axiomas de von Neumann de 1929. Von Neumann introdujo el sistema de axiomas S + Regularidad (que consta de S y el axioma de regularidad) para demostrar que su sistema de 1925 es consistente en relación con S. Demostró:

1. Si S es consistente, entonces S + Regularidad es consistente.
2. S + Regularidad implica el axioma de limitación de tamaño. Puesto que este es el único axioma de su sistema de axiomas de 1925 que S + Regularidad no tiene, S + Regularidad implica todos los axiomas de su sistema de 1925.

Estos resultados implican: Si S es consistente, entonces el sistema de axiomas de 1925 de von Neumann es consistente. Demostración: Si S es consistente, entonces S + Regularidad es consistente (resultado 1). Usando la demostración por contradicción , suponga que el sistema de axiomas de 1925 es inconsistente, o equivalentemente: el sistema de axiomas de 1925 implica una contradicción. Dado que S + Regularidad implica los axiomas del sistema de 1925 (resultado 2), S + Regularidad también implica una contradicción. Sin embargo, esto contradice la consistencia de S + Regularidad. Por lo tanto, si S es consistente, entonces el sistema de axiomas de 1925 de von Neumann es consistente.

Dado que S es su sistema de axiomas de 1929, el sistema de axiomas de 1925 de von Neumann es consistente con su sistema de axiomas de 1929, que es más cercano a la teoría de conjuntos de Cantoria. Las principales diferencias entre la teoría de conjuntos de Cantoria y el sistema de axiomas de 1929 son las clases y el axioma de elección de von Neumann. El sistema de axiomas S + Regularidad fue modificado por Bernays y Gödel para producir el sistema de axiomas NBG equivalente.

El sistema de axiomas de Bernays

Pablo Bernays

En 1929, Paul Bernays comenzó a modificar el nuevo sistema de axiomas de von Neumann tomando clases y conjuntos como primitivos. Publicó su trabajo en una serie de artículos que aparecieron entre 1937 y 1954. ^[59] Bernays afirmó que:

El objetivo de modificar el sistema de von Neumann es permanecer más cercano a la estructura del sistema original de Zermelo y utilizar al mismo tiempo algunos de los conceptos de teoría de conjuntos de la lógica de Schröder y de los Principia Mathematica que se han vuelto familiares para los lógicos. Como se verá, de esta disposición se deriva una simplificación considerable. ^[60]

Bernays manejó conjuntos y clases en una lógica de dos ordenaciones e introdujo dos primitivas de pertenencia: una para la pertenencia a conjuntos y otra para la pertenencia a clases. Con estas primitivas, reescribió y simplificó los axiomas de von Neumann de 1929. Bernays también incluyó el axioma de regularidad en su sistema de axiomas. ^[61]

Sistema de axiomas de Gödel (NBG)

Kurt Gödel, hacia 1926    

En 1931, Bernays envió una carta con su teoría de conjuntos a Kurt Gödel . ^[36] Gödel simplificó la teoría de Bernays al convertir cada conjunto en una clase, lo que le permitió utilizar solo una clase y un primitivo de pertenencia. También debilitó algunos de los axiomas de Bernays y reemplazó el axioma de elección de von Neumann con el axioma equivalente de elección global. ^{[62] [v]} Gödel utilizó sus axiomas en su monografía de 1940 sobre la consistencia relativa de la elección global y la hipótesis del continuo generalizado. ^[63]

Se han dado varias razones por las que Gödel eligió NBG para su monografía: ^[w]

• Gödel dio una razón matemática: la elección global de NBG produce un teorema de consistencia más fuerte: "Esta forma más fuerte del axioma [de elección], si es consistente con los otros axiomas, implica, por supuesto, que una forma más débil también es consistente". ^[5]
• Robert Solovay conjeturó: "Supongo que él [Gödel] deseaba evitar una discusión de los tecnicismos involucrados en el desarrollo de los rudimentos de la teoría de modelos dentro de la teoría de conjuntos axiomáticos". ^{[67] [x]}
• Kenneth Kunen dio una razón para que Gödel evitara esta discusión: "También hay un enfoque mucho más combinatorio de L [el universo construible ], desarrollado por... [Gödel en su monografía de 1940] en un intento de explicar su trabajo a los no lógicos. ... Este enfoque tiene el mérito de eliminar todos los vestigios de lógica del tratamiento de L ". ^[68]
• Charles Parsons proporcionó una razón filosófica para la elección de Gödel: "Esta visión [de que la 'propiedad del conjunto' es un primitivo de la teoría de conjuntos] puede reflejarse en la elección de Gödel de una teoría con variables de clase como marco para... [su monografía]". ^[69]

El logro de Gödel junto con los detalles de su presentación llevaron a la prominencia que NBG disfrutaría durante las siguientes dos décadas. ^[70] En 1963, Paul Cohen demostró sus pruebas de independencia para ZF con la ayuda de algunas herramientas que Gödel había desarrollado para sus pruebas de consistencia relativa para NBG. ^[71] Más tarde, ZFC se volvió más popular que NBG. Esto fue causado por varios factores, incluido el trabajo adicional requerido para manejar el forzamiento en NBG, ^[72] la presentación de Cohen de 1966 del forzamiento, que utilizó ZF, ^{[73] [y]} y la prueba de que NBG es una extensión conservadora de ZFC. ^[z]

NBG, ZFC y MK

NBG no es lógicamente equivalente a ZFC porque su lenguaje es más expresivo: puede hacer afirmaciones sobre clases, que no se pueden hacer en ZFC. Sin embargo, NBG y ZFC implican las mismas afirmaciones sobre conjuntos. Por lo tanto, NBG es una extensión conservadora de ZFC. NBG implica teoremas que ZFC no implica, pero como NBG es una extensión conservadora, estos teoremas deben involucrar clases propias. Por ejemplo, es un teorema de NBG que el axioma global de elección implica que la clase propia V puede estar bien ordenada y que cada clase propia puede ponerse en correspondencia biunívoca con V . ^[aa]

Una consecuencia de la extensión conservadora es que ZFC y NBG son equiconsistentes . Para demostrar esto se utiliza el principio de explosión : a partir de una contradicción , todo es demostrable. Supongamos que ZFC o NBG son inconsistentes. Entonces, la teoría inconsistente implica las afirmaciones contradictorias ∅ = ∅ y ∅ ≠ ∅, que son afirmaciones sobre conjuntos. Por la propiedad de extensión conservadora, la otra teoría también implica estas afirmaciones. Por lo tanto, también es inconsistente. Entonces, aunque NBG es más expresiva, es equiconsistente con ZFC. Este resultado, junto con la prueba de consistencia relativa de von Neumann de 1929, implica que su sistema de axiomas de 1925 con el axioma de limitación de tamaño es equiconsistente con ZFC. Esto resuelve por completo la preocupación de von Neumann sobre la consistencia relativa de este poderoso axioma, ya que ZFC está dentro del marco cantoriano.

Aunque NBG es una extensión conservadora de ZFC, un teorema puede tener una demostración más breve y elegante en NBG que en ZFC (o viceversa). Para un estudio de los resultados conocidos de esta naturaleza, véase Pudlák 1998.

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley tiene un esquema axiomático de comprensión de clases que incluye fórmulas cuyos cuantificadores abarcan varias clases. MK es una teoría más sólida que NBG porque MK demuestra la consistencia de NBG, ^[76] mientras que el segundo teorema de incompletitud de Gödel implica que NBG no puede demostrar la consistencia de NBG.

Para una discusión de algunas cuestiones ontológicas y filosóficas planteadas por NBG, especialmente en contraste con ZFC y MK, véase el Apéndice C de Potter 2004.

Modelos

ZFC, NBG y MK tienen modelos que se pueden describir en términos de la jerarquía acumulativa V _α  y la jerarquía construible L _α  . Sea V un cardinal inaccesible κ , sea X ⊆ V _κ , y sea Def( X ) la clase de subconjuntos definibles de primer orden de X con parámetros. En símbolos donde " " denota el modelo con dominio y relación , y " " denota la relación de satisfacción : ${\displaystyle (X,\in )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \models }$ $${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{x\mid x\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\}:\phi {\text{ is a first-order formula and }}y_{1},\ldots ,y_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

Entonces:

• ${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$y son modelos de ZFC . ^[77] ${\displaystyle (L_{\kappa },\in )}$
• ( V _κ ,  V _κ+1 , ∈) es un modelo de MK donde V _κ consiste en los conjuntos del modelo y V _κ+1 consiste en las clases del modelo. ^[78] Dado que un modelo de MK es un modelo de NBG, este modelo también es un modelo de NBG.
• ( V _κ , Def( V _κ ), ∈) es un modelo de la versión de Mendelson de NBG, que reemplaza el axioma de elección global de NBG con el axioma de elección de ZFC. ^[79] Los axiomas de ZFC son verdaderos en este modelo porque ( V _κ , ∈) es un modelo de ZFC. En particular, el axioma de elección de ZFC se cumple, pero la elección global de NBG puede fallar. ^[ab] Los axiomas de existencia de clase de NBG son verdaderos en este modelo porque las clases cuya existencia afirman pueden definirse mediante definiciones de primer orden. Por ejemplo, el axioma de pertenencia se cumple ya que la clase está definida por: ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\{x\in V_{\kappa }:(V_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}$$
• ( L _κ , L _{κ ⁺} , ∈), donde κ ⁺ es el cardinal sucesor de κ, es un modelo de NBG. ^[ac] Los axiomas de existencia de clase de NBG son verdaderos en ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈). Por ejemplo, el axioma de pertenencia se cumple ya que la clase está definida por: Entonces E  ∈ 𝒫( L _κ ). En su prueba de que GCH es verdadero en L , Gödel demostró que 𝒫( L _κ ) ⊆  L _{κ ⁺} . ^[81] Por lo tanto, E  ∈  L _{κ ⁺} , por lo que el axioma de pertenencia es verdadero en ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈). Del mismo modo, los otros axiomas de existencia de clase son verdaderos. El axioma de elección global es verdadero porque L _κ está bien ordenado por la restricción de la función de Gödel (que asigna la clase de ordinales a los conjuntos construibles) a los ordinales menores que κ. Por lo tanto, ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈) es un modelo de NBG. ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\{x\in L_{\kappa }:(L_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}$$
• Si es un modelo no estándar de , entonces es equivalente a "existe un tal que ", donde es el conjunto de subconjuntos de que son definibles sobre . ^[82] Esto proporciona una parte de segundo orden para extender un modelo no estándar de primer orden dado de a un modelo no estándar de , si es que existe tal extensión. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ ${\displaystyle (M,\mathrm {Def} (M))\vDash \mathrm {GB} +\Delta _{1}^{1}{\text{-CA}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,X)\vDash \mathrm {GB} +\Delta _{1}^{1}{\text{-CA}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ ${\displaystyle \mathrm {GB} }$

Teoría de categorías

La ontología de NBG proporciona un andamiaje para hablar de "objetos grandes" sin correr el riesgo de caer en paradojas. Por ejemplo, en algunos desarrollos de la teoría de categorías , una " categoría grande " se define como aquella cuyos objetos y morfismos forman una clase propia. Por otro lado, una "categoría pequeña" es aquella cuyos objetos y morfismos son miembros de un conjunto. Por lo tanto, podemos hablar de la " categoría de todos los conjuntos " o de la " categoría de todas las categorías pequeñas " sin correr el riesgo de caer en paradojas, ya que NBG admite categorías grandes.

Sin embargo, NBG no admite una "categoría de todas las categorías" ya que las categorías grandes serían miembros de ella y NBG no permite que las clases propias sean miembros de nada. Una extensión ontológica que nos permite hablar formalmente sobre tal "categoría" es el conglomerado , que es una colección de clases. Entonces la "categoría de todas las categorías" se define por sus objetos: el conglomerado de todas las categorías; y sus morfismos: el conglomerado de todos los morfismos de A a B donde A y B son objetos. ^[83] Sobre si una ontología que incluya clases así como conjuntos es adecuada para la teoría de categorías, véase Muller 2001.

Notas

1. El axioma de elección global explica por qué es demostrablemente más fuerte.
2. El desarrollo histórico sugiere que el enfoque de dos tipos de individuos parece más natural al principio. Al presentar su teoría, Bernays afirmó: "De acuerdo con la idea principal de la teoría de conjuntos de von Neumann, tenemos que tratar con dos tipos de individuos, que podemos distinguir como conjuntos y clases ". ^[11]
3. Gödel definió . ^[15] Esto afecta los enunciados de algunas de sus definiciones, axiomas y teoremas. Este artículo utiliza la definición de Mendelson. ^[16] ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$ 
4. Los axiomas de existencia de clases de Bernays especifican clases únicas. Gödel debilitó todos menos tres de los axiomas de Bernays (intersección, complemento, dominio) al reemplazar los bicondicionales con implicaciones , lo que significa que especifican solo los pares ordenados o las 3-tuplas de la clase. Los axiomas en esta sección son de Gödel excepto por el axioma de producto por V más fuerte de Bernays, que especifica una clase única de pares ordenados. El axioma de Bernays simplifica la prueba del teorema de existencia de clases. El axioma B6 de Gödel aparece como el cuarto enunciado del lema de la tupla. Bernays se dio cuenta más tarde de que uno de sus axiomas es redundante, lo que implica que uno de los axiomas de Gödel es redundante. Usando los otros axiomas, el axioma B6 puede probarse a partir del axioma B8, y B8 puede probarse a partir del B6, por lo que cualquiera de los axiomas puede considerarse el axioma redundante. ^[17] Los nombres de los axiomas de manejo de tuplas provienen del artículo de Wikipedia en francés: Théorie des ensembles de von Neumann.
5. Este artículo utiliza la notación de complemento de Bourbaki y la notación de complemento relativo . ^[22] Esta notación de complemento relativo de prefijo es utilizada por el teorema de existencia de clase para reflejar el prefijo no lógico ( ). ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle \complement _{X}A=\complement A\cap X}$ ${\displaystyle \neg }$
6. Dado que Gödel enuncia este axioma antes de probar la existencia de la clase vacía, lo enuncia sin utilizar la clase vacía. ^[5]
7. Las pruebas de esta sección y la siguiente provienen de las pruebas de Gödel, que dio en el Instituto de Estudios Avanzados , donde "podía contar con una audiencia versada en lógica matemática ". ^[28] Para hacer que las pruebas de Gödel sean más accesibles para los lectores de Wikipedia, se han realizado algunas modificaciones. El objetivo de esta sección y la siguiente es demostrar el M4 de Gödel, su cuarto teorema de existencia de clases. La prueba de esta sección sigue en su mayor parte la prueba M1, ^[29] pero también utiliza técnicas de las pruebas M3 y M4. El teorema se enuncia con variables de clase en lugar de los símbolos de M1 para clases especiales (la cuantificación universal sobre las variables de clase es equivalente a ser verdadera para cualquier instanciación de las variables de clase). Las principales diferencias con la prueba M1 son: las clases únicas de -tuplas se generan al final de la base y los pasos inductivos (que requieren el producto más fuerte de Bernays por axioma), y las variables ligadas se reemplazan por variables con subíndice que continúan la numeración de las variables del conjunto libre. Dado que las variables ligadas son libres durante una parte de la inducción, esto garantiza que, cuando son libres, se las trata de la misma manera que a las variables libres originales. Uno de los beneficios de esta prueba es el resultado de ejemplo de la función Class, que muestra que la construcción de una clase refleja la construcción de su fórmula definitoria. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$
8. Se ha omitido un detalle de esta prueba. Se está utilizando la convención de Gödel, por lo que se define como Dado que esta fórmula cuantifica sobre clases, debe reemplazarse con el equivalente Entonces las tres fórmulas en la prueba que tienen la forma se convierten en lo que produce una prueba válida. ${\displaystyle \exists x\,\phi (x)}$ ${\displaystyle \exists x[\exists C(x\in C)\land \phi (x)].}$ ${\displaystyle \exists x[x\in V\land \phi (x)].}$ ${\displaystyle \exists x_{n+1}[x_{n+1}\land \dots ]}$ ${\displaystyle \exists x_{n+1}[x_{n+1}\in V\land \dots ],}$
9. Los programas informáticos recursivos escritos en pseudocódigo se han utilizado en otros campos de la matemática pura . Por ejemplo, se han utilizado para demostrar el teorema de Heine-Borel y otros teoremas de análisis . ^[31]
10. Este teorema es el teorema M4 de Gödel. Lo demostró primero demostrando M1, un teorema de existencia de clases que usa símbolos para clases especiales en lugar de variables de clase libres. M1 produce una clase que contiene todas las -tuplas que satisfacen , pero que puede contener elementos que no son -tuplas . El teorema M2 extiende este teorema a fórmulas que contienen relaciones, clases especiales y operaciones. El teorema M3 se obtiene de M2 ​​reemplazando los símbolos para clases especiales con variables libres. Gödel usó M3 para definir cuál es único por extensionalidad. Solía ​​definir El teorema M4 se obtiene de M3 intersectando la clase producida por M3 con para producir la clase única de -tuplas que satisfacen la fórmula dada. El enfoque de Gödel, especialmente su uso de M3 para definir , elimina la necesidad de la forma más fuerte de Bernays del producto por axioma. ^[33] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle A\times B=\{x:\exists y\exists z[x=(y,z)\land y\in A\land z\in B]\},}$$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle V^{n}.}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle V}$
11. Gödel debilitó los axiomas de Bernays de unión y conjunto potencia, que establecen la existencia de estos conjuntos, a los axiomas anteriores que establecen que hay un conjunto que contiene la unión y un conjunto que contiene el conjunto potencia. ^[35] Bernays publicó sus axiomas después de Gödel, pero se los había enviado a Gödel en 1931. ^[36]
12. Dado que el axioma de ZFC requiere la existencia del conjunto vacío, una ventaja del axioma de NBG es que no se necesita el axioma del conjunto vacío. El sistema de axiomas de Mendelson utiliza el axioma de infinito de ZFC y también tiene el axioma del conjunto vacío. ^[37]
13. Para una elección global que implique un buen ordenamiento, véase Implicaciones del axioma de limitación de tamaño . Para una elección global que implique un buen ordenamiento de cualquier clase, véase Kanamori 2009, p. 53. ${\displaystyle V}$
14. En 1917, Dmitry Mirimanoff publicó una forma de reemplazo basada en la equivalencia cardinal. ^[41]
15. En 1928, von Neumann afirmó: "Zermelo conocía en 1916 un tratamiento del número ordinal estrechamente relacionado con el mío, como supe posteriormente a través de una comunicación personal. Sin embargo, el teorema fundamental, según el cual para cada conjunto bien ordenado existe un ordinal similar, no podía demostrarse rigurosamente porque se desconocía el axioma de reemplazo". ^[43]
16. von Neumann 1923. La definición de von Neumann también utilizó la teoría de conjuntos bien ordenados. Más tarde, su definición se simplificó a la actual: Un ordinal es un conjunto transitivo que está bien ordenado por ∈. ^[44]
17. Después de introducir la jerarquía acumulativa , von Neumann pudo demostrar que los axiomas de Zermelo no prueban la existencia de ordinales α ≥ ω + ω, que incluyen una cantidad incontable de conjuntos contables hereditariamente . Esto se deduce del resultado de Skolem de que V _ω+ω satisface los axiomas de Zermelo ^[46] y de α ∈ V _β , lo que implica α < β. ^[47]
18. Von Neumann enunció su axioma en una forma funcional equivalente. ^[49]
19. El enfoque de Skolem involucra implícitamente números naturales porque las fórmulas de un esquema axiomático se construyen utilizando recursión estructural , que es una generalización de la recursión matemática sobre los números naturales.
20. Mirimanoff definió los conjuntos bien fundados en 1917. ^[53]
21. Akihiro Kanamori señala que Bernays dio una conferencia sobre su sistema de axiomas en 1929-1930 y afirma que "... él y Zermelo deben haber llegado a la idea de incorporar la base [la regularidad] casi al mismo tiempo". ^[55] Sin embargo, Bernays no publicó la parte de su sistema de axiomas que contenía la regularidad hasta 1941. ^[56]
22. Prueba de que el axioma de von Neumann implica una elección global: Sea El axioma de von Neumann implica que existe una función tal que La función es una función de elección global ya que para todos los conjuntos no vacíos Prueba de que la elección global implica el axioma de von Neumann: Sea una función de elección global, y sea una relación. Para sea donde es el conjunto de todos los conjuntos que tienen rango menor que Sea Entonces es una función que satisface el axioma de von Neumann ya que y ${\displaystyle R=\{(x,y):x\neq \emptyset \land y\in x\}.}$ ${\displaystyle G\subseteq R}$ ${\displaystyle Dom(G)=Dom(R).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle G(x)\in x.}$
    ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in Dom(R),}$ ${\displaystyle \alpha (x)={\text{least}}\,\{\alpha :\exists y[(x,y)\in R\cap V_{\alpha }]\}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle z_{x}=\{y:(x,y)\in R\cap V_{\alpha (x)}\}.}$ ${\displaystyle F=\{(x,G(z_{x})):x\in Dom(R)\}}$ ${\displaystyle F\subseteq R}$ ${\displaystyle Dom(F)=Dom(R).}$
23. Gödel utilizó los axiomas de von Neumann de 1929 en su anuncio de 1938 de su teorema de consistencia relativa y afirmó que "Un teorema correspondiente se cumple si T denota el sistema de Principia mathematica ". ^[64] Su bosquejo de 1939 de su prueba es para la teoría de conjuntos de Zermelo y ZF. ^[65] Probar un teorema en múltiples sistemas formales no era inusual para Gödel. Por ejemplo, demostró su teorema de incompletitud para el sistema de Principia mathematica , pero señaló que "se cumple para una amplia clase de sistemas formales...". ^[66]
24. La prueba de consistencia de Gödel construye el universo construible . Para construir esto en ZF se requiere cierta teoría de modelos. Gödel lo construyó en NBG sin teoría de modelos. Para la construcción de Gödel, véase Gödel 1940, pp. 35-46 o Cohen 1966, pp. 99-103.
25. Cohen también dio una prueba detallada de los teoremas de consistencia relativa de Gödel usando ZF. ^[74]
26. En la década de 1960, este teorema de extensión conservadora fue demostrado independientemente por Paul Cohen, Saul Kripke y Robert Solovay. En su libro de 1966, Cohen mencionó este teorema y afirmó que su demostración requiere forzamiento. También fue demostrado independientemente por Ronald Jensen y Ulrich Felgner, quien publicó su demostración en 1971. ^[75]
27. Ambas conclusiones se derivan de la conclusión de que cada clase propia puede ponerse en correspondencia biunívoca con la clase de todos los ordinales. Una prueba de esto se describe en Kanamori 2009, p. 53.
28. Easton construyó un modelo de la versión de Mendelson de NBG en el que el axioma de elección de ZFC se cumple pero la elección global falla.
29. En la jerarquía acumulativa V _κ , los subconjuntos de V _κ están en V _κ+1 . La jerarquía construible L _κ produce subconjuntos más lentamente, por lo que los subconjuntos de L _κ están en L _{κ ⁺} en lugar de L _κ+1 . ^[80]

Referencias

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14. Axioma A4 de Gödel (Gödel 1940, p. 3).
15. Gödel 1940, pág. 4).
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18. Axioma B1 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
19. Axioma B2 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
20. Axioma B3 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
21. Axioma B4 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
22. Bourbaki 2004, pág. 71.
23. Axioma b(3) de Bernays (Bernays 1937, p. 5).
24. Axioma B7 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
25. Axioma B8 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
26. Gödel 1940, pag. 6; Kanamori 2012, pág. 70.
27. Kanamori 2009, p. 57; Gödel 2003, p. 121. Ambas referencias contienen la prueba de Gödel, pero la de Kanamori es más fácil de seguir porque utiliza terminología moderna.
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45. von Neumann 1925, pag. 223 (nota a pie de página); Traducción al inglés: van Heijenoort 2002b, p. 398 (nota al pie).
46. Kanamori 2012, pág. 61
47. Kunen 1980, págs. 95-96. Utiliza la notación R(β) en lugar de V _β .
48. Hallett 1984, págs. 288-290.
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59. Kanamori 2009, págs. 48, 58. Los artículos de Bernays están reimpresos en Müller 1976, págs. 1–117.
60. Bernays 1937, pág. 65.
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63. Kanamori 2009, págs. 56–58; Gödel 1940, Capítulo I: Los axiomas de la teoría de conjuntos abstractos, págs. 3–7.
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68. Kunen 1980, pág. 176.
69. Gödel 1990, p. 108, nota al pie i. El párrafo que contiene esta nota al pie analiza por qué Gödel consideró que la "propiedad del conjunto" era un primitivo de la teoría de conjuntos y cómo encajaba en su ontología . "Propiedad del conjunto" corresponde al primitivo "clase" en NBG.
70. Kanamori 2009, pág. 57.
71. Cohen 1963.
72. Kanamori 2009, p. 65: "La propia imposición contribuyó en gran medida a degradar cualquier teoría formal de clases debido al engorro añadido de tener que especificar las clases de extensiones genéricas".
73. Cohen 1966, págs. 107-147.
74. Cohen 1966, págs. 85–99.
75. Ferreirós 2007, págs. 381–382; Cohen 1966, pág. 77; Felgner 1971.
76. Mostowski 1950, p. 113, nota al pie 11. La nota al pie hace referencia a la teoría de conjuntos NQ de Wang , que más tarde evolucionó a MK.
77. Kanamori 2009b, págs. 18, 29.
78. Chuaqui 1981, p. 313 demuestra que ( V _κ ,  V _κ+1 , ∈) es un modelo de MKTR + AxC. MKT son los axiomas de Tarski para MK sin elección ni reemplazo. MKTR + AxC es MKT con reemplazo y elección (Chuaqui 1981, pp. 4, 125), que es equivalente a MK.
79. Mendelson 1997, pág. 275.
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Bibliografía

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Enlaces externos

• "Teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel". PlanetMath .
• Szudzik, Mateo. "Teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel". MundoMatemático .