Concepto que no está definido en términos de conceptos previamente definidos
En matemáticas , lógica , filosofía y sistemas formales , una noción primitiva es un concepto que no está definido en términos de conceptos previamente definidos. A menudo está motivado de manera informal, normalmente apelando a la intuición y a la experiencia cotidiana. En una teoría axiomática , las relaciones entre nociones primitivas están restringidas por axiomas . [1] Algunos autores se refieren a estos últimos como "definidores" de nociones primitivas mediante uno o más axiomas, pero esto puede inducir a error. Las teorías formales no pueden prescindir de nociones primitivas, so pena de una regresión infinita (según el problema de la regresión ).
Por ejemplo, en geometría contemporánea, punto , línea y contiene son algunas nociones primitivas. En lugar de intentar definirlos, [2] su interacción se rige (en el sistema de axiomas de Hilbert ) por axiomas como "Por cada dos puntos existe una línea que los contiene a ambos". [3]
Detalles
Alfred Tarski explicó el papel de las nociones primitivas de la siguiente manera: [4]
- Cuando nos proponemos construir una determinada disciplina, distinguimos, en primer lugar, un cierto pequeño grupo de expresiones de esa disciplina que nos parecen inmediatamente comprensibles; A las expresiones de este grupo las llamamos TÉRMINOS PRIMITIVOS o TÉRMINOS INDEFINIDOS, y las empleamos sin explicar sus significados. Al mismo tiempo adoptamos el principio: no emplear ninguna de las otras expresiones de la disciplina bajo consideración, a menos que su significado haya sido previamente determinado con la ayuda de términos primitivos y de aquellas expresiones de la disciplina cuyos significados hayan sido explicados previamente. La oración que determina el significado de un término de esta manera se llama DEFINICIÓN,...
Gilbert de B. Robinson explicó una inevitable regresión a nociones primitivas en la teoría del conocimiento :
- Para alguien que no sea matemático, a menudo resulta sorprendente que sea imposible definir explícitamente todos los términos que se utilizan. Éste no es un problema superficial sino que se encuentra en la raíz de todo conocimiento; es necesario empezar por algún lado, y para avanzar hay que establecer claramente aquellos elementos y relaciones que no están definidos y aquellas propiedades que se dan por sentadas. [5]
Ejemplos
La necesidad de nociones primitivas se ilustra en varios fundamentos axiomáticos de las matemáticas:
- Teoría de conjuntos : El concepto de conjunto es un ejemplo de noción primitiva. Como escribe Mary Tiles : [6] [La] 'definición' de 'conjunto' es menos una definición que un intento de explicación de algo a lo que se le está dando el estatus de un término primitivo e indefinido. Como prueba, cita a Felix Hausdorff : "Un conjunto se forma a partir de la agrupación de objetos individuales en un todo. Un conjunto es una pluralidad considerada como una unidad".
- Teoría ingenua de conjuntos : el conjunto vacío es una noción primitiva. Afirmar que existe sería un axioma implícito .
- Aritmética de Peano : La función sucesora y el número cero son nociones primitivas. Dado que la aritmética de Peano es útil en lo que respecta a las propiedades de los números, es posible que los objetos que representan las nociones primitivas no importen estrictamente. [7]
- Aritmética de números reales : Normalmente, las nociones primitivas son: número real, dos operaciones binarias : suma y multiplicación , números 0 y 1, ordenamiento <.
- Sistemas axiomáticos : Las nociones primitivas dependerán del conjunto de axiomas elegidos para el sistema. Alessandro Padoa discutió esta selección en el Congreso Internacional de Filosofía en París en 1900. [8] Puede que no sea necesario enunciar las nociones en sí mismas; Susan Haack (1978) escribe: "A veces se dice que un conjunto de axiomas da una definición implícita de sus términos primitivos". [9]
- Geometría euclidiana : Bajo el sistema de axiomas de Hilbert las nociones primitivas son punto, línea, plano, congruencia, intermediación e incidencia .
- Geometría euclidiana : Bajo el sistema de axiomas de Peano las nociones primitivas son punto, segmento y movimiento .
Los primitivos de Russell
En su libro sobre filosofía de las matemáticas , Los principios de las matemáticas , Bertrand Russell utilizó las siguientes nociones: para el cálculo de clases ( teoría de conjuntos ), utilizó relaciones , tomando la pertenencia a conjuntos como una noción primitiva. Para establecer conjuntos, también establece funciones proposicionales como primitivas, así como la frase "tal que" tal como se usa en la notación constructora de conjuntos . (págs. 18,9) En cuanto a las relaciones, Russell toma como nociones primitivas la relación inversa y la relación complementaria de un xRy dado . Además, los productos lógicos de las relaciones y los productos relativos de las relaciones son primitivos. (p. 25) En cuanto a la denotación de objetos mediante descripción, Russell reconoce que se trata de una noción primitiva. (p. 27) La tesis del libro de Russell es "La matemática pura utiliza sólo unas pocas nociones, y éstas son constantes lógicas". (página xx)
Ver también
Referencias
- ^ De manera más general, en un sistema formal, las reglas restringen el uso de nociones primitivas. Véase, por ejemplo , rompecabezas MU para un sistema formal no lógico.
- ^ Euclides (300 a. C.) todavía dio definiciones en sus Elementos , como "Una línea tiene una longitud infinita".
- ^ Este axioma se puede formalizar en lógica de predicados como " ∀ x 1 , x 2 ∈ P. ∃ y ∈ L. C ( y , x 1 ) ∧ C ( y , x 2 )", donde P , L y C denotan el conjunto de puntos, de líneas y la relación "contiene", respectivamente.
- ^ Alfred Tarski (1946) Introducción a la lógica y la metodología de las ciencias deductivas , p. 118, prensa de la Universidad de Oxford .
- ^ Gilbert de B. Robinson (1959) Fundamentos de la geometría , 4ª ed., p. 8, Prensa de la Universidad de Toronto
- ^ Mary Tiles (2004) La filosofía de la teoría de conjuntos , p. 99
- ^ Phil Scott (2008). Mecanización de los fundamentos de la geometría de Hilbert en Isabelle (ver referencia 16, re: opinión de Hilbert) (tesis de maestría). Universidad de Edimburgo. CiteSeerX 10.1.1.218.9262 .
- ^ Alessandro Padoa (1900) "Introducción lógica a cualquier teoría deductiva" en Jean van Heijenoort (1967) Un libro de consulta en lógica matemática, 1879-1931 , Harvard University Press 118-23
- ^ Haack, Susan (1978), Filosofía de la lógica , Cambridge University Press , p. 245, ISBN 9780521293297
