La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al antiguo matemático griego Euclides , que describió en su libro de texto sobre geometría , Elementos . El enfoque de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas (postulados) intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones ( teoremas ) a partir de ellos. Aunque muchos de los resultados de Euclides se habían expuesto anteriormente, [1] Euclides fue el primero en organizar estas proposiciones en un sistema lógico en el que cada resultado se demuestra a partir de axiomas y teoremas previamente demostrados. [2]
Los Elementos comienza con la geometría plana , todavía enseñada en la escuela secundaria (high school) como primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostraciones matemáticas . Se pasa a la geometría sólida de tres dimensiones . Gran parte de los Elementos enuncian resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números , explicados en lenguaje geométrico. [1]
Durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado de las paralelas ) que los teoremas demostrados a partir de ellos se consideraban absolutamente verdaderos y, por lo tanto, no era posible ningún otro tipo de geometría. . Hoy en día, sin embargo, se conocen muchas otras geometrías no euclidianas autoconsistentes ; las primeras se descubrieron a principios del siglo XIX. Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que el espacio físico en sí no es euclidiano, y el espacio euclidiano es una buena aproximación sólo en distancias cortas (en relación con la fuerza del campo gravitacional ). [3]
La geometría euclidiana es un ejemplo de geometría sintética , en el sentido de que procede lógicamente desde axiomas que describen propiedades básicas de objetos geométricos, como puntos y líneas, hasta proposiciones sobre esos objetos. Esto contrasta con la geometría analítica , introducida casi 2.000 años después por René Descartes , que utiliza coordenadas para expresar propiedades geométricas mediante fórmulas algebraicas .
Los Elementos es principalmente una sistematización de conocimientos previos de geometría. Rápidamente se reconoció su mejora con respecto a los tratamientos anteriores, con el resultado de que hubo poco interés en preservar los anteriores y ahora están casi todos perdidos.
Hay 13 libros en los Elementos :
Los libros I a IV y VI analizan la geometría plana. Se demuestran muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo: "En cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos ángulos rectos". (Libro I proposición 17) y el teorema de Pitágoras "En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto". (Libro I, proposición 47)
Los libros V y VII-X tratan de la teoría de números , y los números se tratan geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones de superficie. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales. Está demostrado que existen infinitos números primos.
Los libros XI a XIII se refieren a la geometría sólida . Un resultado típico es la relación 1:3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base. Se construyen los sólidos platónicos .
La geometría euclidiana es un sistema axiomático , en el que todos los teoremas ("enunciados verdaderos") se derivan de un pequeño número de axiomas simples. Hasta el advenimiento de la geometría no euclidiana , estos axiomas se consideraban obviamente verdaderos en el mundo físico, de modo que todos los teoremas serían igualmente verdaderos. Sin embargo, el razonamiento de Euclides desde los supuestos hasta las conclusiones sigue siendo válido independientemente de la realidad física. [4]
Cerca del comienzo del primer libro de los Elementos , Euclides da cinco postulados (axiomas) para la geometría plana, expresados en términos de construcciones (traducidos por Thomas Heath): [5]
Aunque Euclides sólo afirma explícitamente la existencia de los objetos construidos, en su razonamiento también los supone implícitamente como únicos.
Los Elementos también incluyen las siguientes cinco "nociones comunes":
Los eruditos modernos coinciden en que los postulados de Euclides no proporcionan la base lógica completa que Euclides necesitaba para su presentación. [6] Los tratamientos modernos utilizan conjuntos de axiomas más extensos y completos.
Para los antiguos, el postulado paralelo parecía menos obvio que los demás. Aspiraban a crear un sistema de proposiciones absolutamente ciertas y les parecía que el postulado de las líneas paralelas requería prueba a partir de enunciados más simples. Ahora se sabe que tal prueba es imposible ya que se pueden construir sistemas geométricos consistentes (obedeciendo los otros axiomas) en los que el postulado de las paralelas es verdadero y otros en los que es falso. [7] El propio Euclides parece haberlo considerado cualitativamente diferente de los demás, como lo demuestra la organización de los Elementos : sus primeras 28 proposiciones son las que pueden demostrarse sin él.
Se pueden formular muchos axiomas alternativos que sean lógicamente equivalentes al postulado de las paralelas (en el contexto de los otros axiomas). Por ejemplo, el axioma de Playfair establece:
La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que a partir de los axiomas restantes se puede demostrar que existe al menos una línea paralela.
La Geometría Euclidiana es constructiva . Los postulados 1, 2, 3 y 5 afirman la existencia y unicidad de ciertas figuras geométricas, y estas afirmaciones son de naturaleza constructiva: es decir, no sólo se nos dice que ciertas cosas existen, sino que también se nos dan métodos para crearlas con no más que un compás y una regla sin marcar . [8] En este sentido, la geometría euclidiana es más concreta que muchos sistemas axiomáticos modernos como la teoría de conjuntos , que a menudo afirman la existencia de objetos sin decir cómo construirlos, o incluso afirman la existencia de objetos que no pueden construirse dentro de la teoría. . [9] Estrictamente hablando, las líneas sobre el papel son modelos de los objetos definidos dentro del sistema formal, más que instancias de esos objetos. Por ejemplo, una línea recta euclidiana no tiene ancho, pero cualquier línea dibujada real sí la tendrá. Aunque casi todos los matemáticos modernos consideran que los métodos no constructivos son tan sólidos como los constructivos, las demostraciones constructivas de Euclides a menudo suplantaron a las falaces no constructivas; por ejemplo, algunas de las demostraciones de los pitagóricos que involucraban números irracionales, que generalmente requerían una declaración como "Encuentra la mayor medida común". de..." [10]
Euclides utilizó a menudo la prueba por contradicción . La geometría euclidiana también permite el método de superposición, en el que una figura se traslada a otro punto del espacio. Por ejemplo, la proposición I.4, congruencia lado-ángulo-lado de triángulos, se demuestra moviendo uno de los dos triángulos de modo que uno de sus lados coincida con el lado igual del otro triángulo, y luego demostrando que los otros lados también coinciden. . Algunos tratamientos modernos añaden un sexto postulado, la rigidez del triángulo, que puede utilizarse como alternativa a la superposición. [11]
Los puntos se denominan habitualmente utilizando letras mayúsculas del alfabeto. Otras figuras, como líneas, triángulos o círculos, se nombran enumerando un número suficiente de puntos para distinguirlos sin ambigüedades de la figura relevante; por ejemplo, el triángulo ABC normalmente sería un triángulo con vértices en los puntos A, B y C. .
Los ángulos cuya suma es un ángulo recto se llaman complementarios . Los ángulos complementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección intermedia entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto. El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.
Los ángulos cuya suma es un ángulo llano son suplementarios . Los ángulos suplementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección intermedia entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto (ángulo de 180 grados). El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.
En la terminología moderna, los ángulos normalmente se medirían en grados o radianes .
Los libros de texto escolares modernos a menudo definen figuras separadas llamadas líneas (infinitas), rayos (semiinfinitos) y segmentos de línea (de longitud finita). Euclides, en lugar de hablar de un rayo como un objeto que se extiende hasta el infinito en una dirección, normalmente usaría locuciones como "si la línea se extiende hasta una longitud suficiente", aunque ocasionalmente se refería a "líneas infinitas". Una "línea" en Euclides podía ser recta o curva, y utilizó el término más específico "línea recta" cuando era necesario.
El puente asinorum ( puente de asnos ) establece que en los triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si las líneas rectas iguales se producen más adelante, entonces los ángulos debajo de la base son iguales . [12] Su nombre puede atribuirse a su papel frecuente como primera prueba real en los Elementos de la inteligencia del lector y como puente hacia las proposiciones más difíciles que siguieron. También podría llamarse así por el parecido de la figura geométrica con un puente empinado que sólo un burro con paso seguro podría cruzar. [13]
Los triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales (SSS), dos lados y el ángulo entre ellos iguales (SAS), o dos ángulos y un lado iguales (ASA) (Libro I, proposiciones 4, 8 y 26). Los triángulos con tres ángulos iguales (AAA) son semejantes, pero no necesariamente congruentes. Además, los triángulos con dos lados iguales y un ángulo adyacente no son necesariamente iguales ni congruentes.
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a un ángulo llano (180 grados). [14] Esto hace que un triángulo equilátero tenga tres ángulos interiores de 60 grados. Además, hace que todo triángulo tenga al menos dos ángulos agudos y hasta un ángulo obtuso o recto .
El célebre teorema de Pitágoras (libro I, proposición 47) establece que en cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son las dos patas (los dos lados que se encuentran en ángulo recto).
El teorema de Tales , que lleva el nombre de Tales de Mileto, establece que si A, B y C son puntos en un círculo donde la línea AC es un diámetro del círculo, entonces el ángulo ABC es un ángulo recto. Cantor supuso que Tales demostró su teorema mediante Euclides Libro I, Proposición 32 a la manera de Euclides Libro III, Proposición 31. [15] [16]
En terminología moderna, el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales, y el volumen de un sólido al cubo ,. Euclides demostró estos resultados en varios casos especiales, como el área de un círculo [17] y el volumen de un sólido paralelepipédico. [18] Euclides determinó algunas, pero no todas, las constantes de proporcionalidad relevantes. Por ejemplo, fue su sucesor Arquímedes quien demostró que una esfera tiene 2/3 del volumen del cilindro que la circunda. [19]
La geometría euclidiana tiene dos tipos fundamentales de medidas: ángulo y distancia . La escala de ángulos es absoluta y Euclides utiliza el ángulo recto como unidad básica, de modo que, por ejemplo, un ángulo de 45 grados se denominaría la mitad de un ángulo recto. La escala de distancia es relativa; uno elige arbitrariamente un segmento de línea con una cierta longitud distinta de cero como unidad, y otras distancias se expresan en relación con él. La suma de distancias se representa mediante una construcción en la que un segmento de línea se copia al final de otro segmento de línea para extender su longitud, y de manera similar para la resta.
Las medidas de área y volumen se derivan de distancias. Por ejemplo, un rectángulo con un ancho de 3 y un largo de 4 tiene un área que representa el producto, 12. Debido a que esta interpretación geométrica de la multiplicación se limitaba a tres dimensiones, no había una forma directa de interpretar el producto de cuatro o más. números, y Euclides evitó tales productos, aunque están implícitos, por ejemplo en la prueba del libro IX, proposición 20.
Euclides se refiere a un par de líneas, o un par de figuras planas o sólidas, como "iguales" (ἴσος) si sus longitudes, áreas o volúmenes son iguales respectivamente, y de manera similar para los ángulos. El término más fuerte " congruente " se refiere a la idea de que una figura entera tiene el mismo tamaño y forma que otra figura. Alternativamente, dos figuras son congruentes si una se puede colocar encima de la otra para que coincida exactamente con ella. (Se permite darle la vuelta.) Así, por ejemplo, un rectángulo de 2x6 y un rectángulo de 3x4 son iguales pero no congruentes, y la letra R es congruente con su imagen especular. Las figuras que serían congruentes excepto por sus diferentes tamaños se denominan similares . Los ángulos correspondientes en un par de formas similares son iguales y los lados correspondientes son proporcionales entre sí.
Debido al estatus fundamental de la geometría euclidiana en matemáticas, no es práctico dar aquí más que una muestra representativa de sus aplicaciones.
Como sugiere la etimología de la palabra, una de las primeras razones de interés y también uno de los usos actuales más comunes de la geometría es la topografía . [20] Además, se ha utilizado en los enfoques cognitivos y computacionales de la percepción visual de objetos . Ciertos resultados prácticos de la geometría euclidiana (como la propiedad del ángulo recto del triángulo 3-4-5) se utilizaron mucho antes de que se demostraran formalmente. [21] Los tipos fundamentales de mediciones en la geometría euclidiana son las distancias y los ángulos, los cuales pueden ser medidos directamente por un topógrafo. Históricamente, las distancias se medían a menudo mediante cadenas, como la cadena de Gunter , y los ángulos mediante círculos graduados y, más tarde, el teodolito .
Una aplicación de la geometría sólida euclidiana es la determinación de disposiciones de empaquetamiento , como el problema de encontrar el empaquetamiento más eficiente de esferas en n dimensiones. Este problema tiene aplicaciones en la detección y corrección de errores .
La geometría se utiliza ampliamente en arquitectura .
La geometría se puede utilizar para diseñar origami . Algunos problemas de construcción clásicos de geometría son imposibles usando compás y regla , pero se pueden resolver usando origami . [22]
Arquímedes ( c. 287 a. C. – c. 212 a. C. ), una figura colorida sobre la cual se registran muchas anécdotas históricas, es recordado junto con Euclides como uno de los más grandes matemáticos antiguos. Aunque Euclides sentó las bases de su obra, se cree que su obra, a diferencia de la de Euclides, fue completamente original. [23] Demostró ecuaciones para los volúmenes y áreas de varias figuras en dos y tres dimensiones, y enunció la propiedad de Arquímedes de los números finitos.
Apolonio de Perga ( c. 240 a. C. - c. 190 a. C. ) es conocido principalmente por su investigación de las secciones cónicas.
René Descartes (1596-1650) desarrolló la geometría analítica , un método alternativo para formalizar la geometría que se centró en convertir la geometría en álgebra. [24]
En este enfoque, un punto en un plano se representa por sus coordenadas cartesianas ( x , y ), una recta se representa por su ecuación, y así sucesivamente.
En el enfoque original de Euclides, el teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de Euclides. En el enfoque cartesiano, los axiomas son los axiomas del álgebra, y la ecuación que expresa el teorema de Pitágoras es entonces una definición de uno de los términos de los axiomas de Euclides, que ahora se consideran teoremas.
La ecuacion
definir la distancia entre dos puntos P = ( p x , p y ) y Q = ( q x , q y ) se conoce entonces como métrica euclidiana , y otras métricas definen geometrías no euclidianas .
En términos de geometría analítica, la restricción de la geometría clásica a construcciones con compás y regla significa una restricción a ecuaciones de primer y segundo orden, por ejemplo, y = 2 x + 1 (una línea), o x 2 + y 2 = 7 ( un circulo).
También en el siglo XVII, Girard Desargues , motivado por la teoría de la perspectiva , introdujo el concepto de puntos, líneas y planos idealizados en el infinito. El resultado puede considerarse como un tipo de geometría generalizada, geometría proyectiva , pero también puede usarse para producir demostraciones en geometría euclidiana ordinaria en las que se reduce el número de casos especiales. [25]
Los geómetras del siglo XVIII lucharon por definir los límites del sistema euclidiano. Muchos intentaron en vano probar el quinto postulado de los cuatro primeros. En 1763, se habían publicado al menos 28 pruebas diferentes, pero todas resultaron incorrectas. [26]
Antes de este período, los geómetras también intentaron determinar qué construcciones podrían realizarse en la geometría euclidiana. Por ejemplo, el problema de trisecar un ángulo con compás y regla es uno que ocurre naturalmente dentro de la teoría, ya que los axiomas se refieren a operaciones constructivas que se pueden realizar con esas herramientas. Sin embargo, siglos de esfuerzos no lograron encontrar una solución a este problema, hasta que Pierre Wantzel publicó en 1837 una prueba de que tal construcción era imposible. Otras construcciones que resultaron imposibles incluyen duplicar el cubo y cuadrar el círculo . En el caso de duplicar el cubo, la imposibilidad de la construcción se origina en que el método del compás y la regla involucran ecuaciones cuyo orden es una potencia integral de dos, [27] mientras que duplicar un cubo requiere la solución de una ecuación de tercer orden. .
Euler discutió una generalización de la geometría euclidiana llamada geometría afín , que retiene el quinto postulado sin modificar mientras debilita los postulados tres y cuatro de una manera que elimina las nociones de ángulo (de donde los triángulos rectángulos pierden sentido) y de igualdad de longitud de los segmentos de línea en general ( de donde los círculos pierden sentido) manteniendo al mismo tiempo las nociones de paralelismo como relación de equivalencia entre líneas e igualdad de longitud de segmentos de línea paralelos (por lo que los segmentos de línea continúan teniendo un punto medio).
A principios del siglo XIX, Carnot y Möbius desarrollaron sistemáticamente el uso de ángulos con signo y segmentos de recta como forma de simplificar y unificar resultados. [28]
En la década de 1840, William Rowan Hamilton desarrolló los cuaterniones y John T. Graves y Arthur Cayley los octoniones . Éstas son álgebras normadas que amplían los números complejos . Posteriormente se entendió que los cuaterniones son también un sistema geométrico euclidiano con cuatro coordenadas cartesianas reales. [29] Cayley utilizó cuaterniones para estudiar rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones . [30]
A mediados de siglo Ludwig Schläfli desarrolló el concepto general de espacio euclidiano , extendiendo la geometría euclidiana a dimensiones superiores . Definió poliesquemas , más tarde llamados politopos , que son análogos de dimensiones superiores de los polígonos y poliedros . Desarrolló su teoría y descubrió todos los politopos regulares, es decir, los análogos dimensionales de los polígonos regulares y los sólidos platónicos . Encontró que hay seis politopos convexos regulares en la dimensión cuatro y tres en todas las dimensiones superiores.
Schläfli realizó este trabajo en relativa oscuridad y no se publicó en su totalidad sólo de forma póstuma en 1901. Tuvo poca influencia hasta que fue redescubierto y completamente documentado en 1948 por HSM Coxeter .
En 1878 William Kingdon Clifford introdujo lo que hoy se denomina álgebra geométrica , unificando los cuaterniones de Hamilton con el álgebra de Hermann Grassmann y revelando la naturaleza geométrica de estos sistemas, especialmente en cuatro dimensiones. Las operaciones del álgebra geométrica tienen el efecto de reflejar, rotar, trasladar y mapear los objetos geométricos que se están modelando en nuevas posiciones. El toro de Clifford en la superficie de las 3 esferas es la incrustación plana más simple y simétrica del producto cartesiano de dos círculos (en el mismo sentido en que la superficie de un cilindro es "plana").
El desarrollo más influyente del siglo en geometría se produjo cuando, alrededor de 1830, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaron por separado un trabajo sobre geometría no euclidiana , en el que el postulado de las paralelas no es válido. [31] Dado que la geometría no euclidiana es demostrablemente relativamente consistente con la geometría euclidiana, el postulado de las paralelas no puede demostrarse a partir de los otros postulados.
En el siglo XIX, también se comprendió que los diez axiomas y las nociones comunes de Euclides no eran suficientes para demostrar todos los teoremas enunciados en los Elementos . Por ejemplo, Euclides asumió implícitamente que cualquier línea contiene al menos dos puntos, pero esta suposición no puede demostrarse a partir de los otros axiomas y, por lo tanto, debe ser un axioma en sí mismo. La primera prueba geométrica de los Elementos, que se muestra en la figura anterior, es que cualquier segmento de línea es parte de un triángulo; Euclides construye esto de la forma habitual, dibujando círculos alrededor de ambos puntos finales y tomando su intersección como tercer vértice. Sus axiomas, sin embargo, no garantizan que los círculos realmente se intersequen, porque no afirman la propiedad geométrica de continuidad, que en términos cartesianos equivale a la propiedad de completitud de los números reales. A partir de Moritz Pasch en 1882, se han propuesto muchos sistemas axiomáticos mejorados para la geometría, siendo los más conocidos los de Hilbert , [32] George Birkhoff , [33] y Tarski . [34]
La teoría de la relatividad especial de Einstein implica un espacio-tiempo de cuatro dimensiones , el espacio de Minkowski , que es no euclidiano . Esto muestra que las geometrías no euclidianas, que se habían introducido unos años antes para demostrar que el postulado de las paralelas no se puede demostrar, también son útiles para describir el mundo físico.
Sin embargo, la "parte espacial" tridimensional del espacio de Minkowski sigue siendo el espacio de la geometría euclidiana. Este no es el caso de la relatividad general , para la cual la geometría de la parte espacial del espacio-tiempo no es geometría euclidiana. [35] Por ejemplo, si un triángulo se construye a partir de tres rayos de luz, entonces, en general, los ángulos interiores no suman 180 grados debido a la gravedad. Un campo gravitacional relativamente débil, como el de la Tierra o el Sol, se representa mediante una métrica que es aproximadamente, pero no exactamente, euclidiana. Hasta el siglo XX no existía ninguna tecnología capaz de detectar estas desviaciones en los rayos de luz de la geometría euclidiana, pero Einstein predijo que tales desviaciones existirían. Posteriormente fueron verificados mediante observaciones como la ligera desviación de la luz de las estrellas por el Sol durante un eclipse solar en 1919, y tales consideraciones son ahora una parte integral del software que ejecuta el sistema GPS . [36]
Euclides creía que sus axiomas eran afirmaciones evidentes sobre la realidad física. Las pruebas de Euclides dependen de suposiciones que quizás no sean obvias en los axiomas fundamentales de Euclides, [37] en particular que ciertos movimientos de figuras no cambian sus propiedades geométricas, como las longitudes de los lados y los ángulos interiores, los llamados movimientos euclidianos , que incluyen traslaciones, Reflexiones y rotaciones de figuras. [38] Tomado como una descripción física del espacio, el postulado 2 (extender una línea) afirma que el espacio no tiene agujeros ni límites; el postulado 4 (igualdad de ángulos rectos) dice que el espacio es isotrópico y las figuras pueden moverse a cualquier lugar manteniendo la congruencia ; y el postulado 5 (el postulado de las paralelas ) de que el espacio es plano (no tiene curvatura intrínseca ). [39]
Como se analizó anteriormente, la teoría de la relatividad de Albert Einstein modifica significativamente este punto de vista.
El carácter ambiguo de los axiomas tal como los formuló originalmente Euclides hace posible que diferentes comentaristas no estén de acuerdo sobre algunas de sus otras implicaciones para la estructura del espacio, como por ejemplo si es infinito o no [40] (ver más abajo) y cuál es su topología. es. Las reformulaciones modernas y más rigurosas del sistema [41] suelen apuntar a una separación más clara de estas cuestiones. Al interpretar los axiomas de Euclides en el espíritu de este enfoque más moderno, los axiomas 1 a 4 son consistentes con un espacio infinito o finito (como en la geometría elíptica ), y los cinco axiomas son consistentes con una variedad de topologías (por ejemplo, un plano, un cilindro , o un toro para la geometría euclidiana bidimensional).
Euclides a veces distinguía explícitamente entre "líneas finitas" (por ejemplo, Postulado 2) y " líneas infinitas " (libro I, proposición 12). Sin embargo, normalmente no hacía tales distinciones a menos que fueran necesarias. Los postulados no se refieren explícitamente a líneas infinitas, aunque, por ejemplo, algunos comentaristas interpretan que el postulado 3, existencia de un círculo con cualquier radio, implica que el espacio es infinito. [40]
La noción de cantidades infinitesimales había sido previamente discutida extensamente por la Escuela Eleática , pero nadie había sido capaz de ponerlas sobre una base lógica firme, ocurriendo paradojas como la de Zenón que no se habían resuelto a satisfacción universal. Euclides utilizó el método del agotamiento en lugar de los infinitesimales. [42]
Los comentaristas antiguos posteriores, como Proclo (410–485 d.C.), trataron muchas cuestiones sobre el infinito como cuestiones que exigían prueba y, por ejemplo, Proclo afirmó probar la divisibilidad infinita de una línea, basándose en una prueba por contradicción en la que consideraba los casos. de números pares e impares de puntos que lo constituyen. [43]
A principios del siglo XX, Otto Stolz , Paul du Bois-Reymond , Giuseppe Veronese y otros produjeron trabajos controvertidos sobre modelos no arquimedianos de geometría euclidiana, en los que la distancia entre dos puntos puede ser infinita o infinitesimal, en Newton . – Sentido Leibniziano . [44] Cincuenta años después, Abraham Robinson proporcionó una base lógica rigurosa para el trabajo de Veronese. [45]
Es posible que los geómetras antiguos hayan considerado el postulado de las paralelas (que dos líneas paralelas nunca se cruzan) menos seguro que los demás porque hace una afirmación sobre regiones infinitamente remotas del espacio y, por lo tanto, no puede verificarse físicamente. [46]
La formulación moderna de la prueba por inducción no se desarrolló hasta el siglo XVII, pero algunos comentaristas posteriores la consideran implícita en algunas de las pruebas de Euclides, por ejemplo, la prueba de la infinitud de los números primos. [47]
Las supuestas paradojas que involucran series infinitas, como la paradoja de Zenón , son anteriores a Euclides. Euclides evitó tales discusiones, dando, por ejemplo, la expresión para las sumas parciales de la serie geométrica en IX.35 sin comentar sobre la posibilidad de dejar que el número de términos se vuelva infinito.
Euclides utilizó frecuentemente el método de prueba por contradicción , y por lo tanto la presentación tradicional de la geometría euclidiana asume la lógica clásica , en la que cada proposición es verdadera o falsa, es decir, para cualquier proposición P, la proposición "P o no P" es automáticamente verdadera. .
Situar la geometría euclidiana sobre una base axiomática sólida fue una preocupación de los matemáticos durante siglos. [48] El papel de las nociones primitivas , o conceptos indefinidos, fue claramente expuesto por Alessandro Padoa , de la delegación de Peano , en la conferencia de París de 1900: [48] [49]
...cuando empezamos a formular la teoría, podemos imaginar que los símbolos indefinidos carecen por completo de significado y que las proposiciones no demostradas son simplemente condiciones impuestas a los símbolos indefinidos.
Entonces, el sistema de ideas que hemos elegido inicialmente es simplemente una interpretación de los símbolos indefinidos; pero... esta interpretación puede ser ignorada por el lector, quien es libre de reemplazarla en su mente por otra interpretación ... que satisfaga las condiciones...
Las cuestiones lógicas se vuelven así completamente independientes de las cuestiones empíricas o psicológicas ...
El sistema de símbolos indefinidos puede entonces ser considerado como la abstracción obtenida de las teorías especializadas que resultan cuando... el sistema de símbolos indefinidos es sucesivamente reemplazado por cada una de las interpretaciones...
— Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, con una introducción lógica a una teoría deductiva quelconque
Es decir, las matemáticas son conocimientos independientes del contexto dentro de un marco jerárquico. Como dijo Bertrand Russell : [50]
Si nuestra hipótesis se refiere a algo , y no a una o más cosas en particular, entonces nuestras deducciones constituyen matemáticas. Así, las matemáticas pueden definirse como la materia en la que nunca sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad.
— Bertrand Russell, Las matemáticas y los metafísicos
Estos enfoques fundacionales oscilan entre el fundacionalismo y el formalismo .
La geometría es la ciencia del razonamiento correcto sobre figuras incorrectas.
— George Pólya , Cómo resolverlo , pág. 208
Consideramos elemental aquella parte de la geometría euclidiana que puede formularse y establecerse sin la ayuda de ningún recurso de teoría de conjuntos.
