Pons asinorum

Afirmación de que los ángulos opuestos a lados iguales de un triángulo isósceles son iguales en sí mismos

El pons asinorum en la edición de Byrne de los Elementos que muestra parte de la prueba de Euclides.

En geometría , la afirmación de que los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales en sí mismos se conoce como pons asinorum ( latín: [ˈpõːs asɪˈnoːrũː] , inglés: / ˈ p ɒ n z ˌ æ s ɪ ˈ n ɔːr ə m / PONZ ass-i- NOR -əm ), típicamente traducido como "puente de asnos ". Esta afirmación es la Proposición 5 del Libro 1 de los Elementos de Euclides y también se conoce como teorema del triángulo isósceles . Lo contrario también es cierto: si dos ángulos de un triángulo son iguales, entonces los lados opuestos a ellos también son iguales. El término también se aplica al teorema de Pitágoras . ^[1]

Pons asinorum también se usa metafóricamente para un problema o desafío que actúa como una prueba del pensamiento crítico , refiriéndose a la capacidad del "puente del asno" para separar a los razonadores capaces de los incapaces. Su primer uso conocido en este contexto fue en 1645. ^[2]

Un persistente folklore matemático afirma que un programa de inteligencia artificial descubrió una prueba original y más elegante de este teorema. ^{[3] [4]} De hecho, Marvin Minsky relata que había redescubierto la prueba de Pappus (de la cual no era consciente) simulando lo que podría hacer un demostrador de teoremas mecánico. ^{[5] [6]}

Pruebas

Euclides y Proclo

La afirmación de Euclides sobre el pons asinorum incluye una segunda conclusión: si los lados iguales del triángulo se extienden por debajo de la base, entonces los ángulos entre las extensiones y la base también son iguales. La prueba de Euclides implica trazar líneas auxiliares a estas extensiones. Pero, como señala Proclo , el comentarista de Euclides , Euclides nunca utiliza la segunda conclusión y su demostración se puede simplificar un poco trazando las líneas auxiliares a los lados del triángulo; el resto de la demostración procede más o menos de la misma manera.

Ha habido mucha especulación y debate sobre por qué Euclides añadió la segunda conclusión al teorema, dado que complica la demostración. Una explicación plausible, dada por Proclo, es que la segunda conclusión puede usarse en posibles objeciones a las pruebas de proposiciones posteriores donde Euclides no cubre todos los casos. ^[7] La ​​prueba se basa en gran medida en lo que hoy se llama lado-ángulo-lado , la proposición anterior en los Elementos .

La variación de Proclo de la prueba de Euclides procede de la siguiente manera: ^[8]

Sea ABC un triángulo isósceles con AB y AC como lados iguales. Elija un punto arbitrario D en el lado AB y construya E en AC de modo que AD  =  AE . Dibuja las líneas BE , DC y DE .

Considere los triángulos BAE y CAD ; BA  =  CA , AE  =  AD , y es igual a sí mismo, por lo que por lado-ángulo-lado, los triángulos son congruentes y los lados y ángulos correspondientes son iguales. ${\displaystyle \angle A}$

Por lo tanto y , y BE  =  CD . ${\displaystyle \angle ABE=\angle ACD}$ ${\displaystyle \angle ADC=\angle AEB}$

Como AB  =  AC y AD  =  AE , BD  =  CE por resta de partes iguales.

Consideremos ahora los triángulos DBE y ECD ; BD  =  CE , BE  =  CD , y se acaban de mostrar, por lo que aplicando lado-ángulo-lado nuevamente, los triángulos son congruentes. ${\displaystyle \angle DBE=\angle ECD}$

Por tanto y . ${\displaystyle \angle BDE=\angle CED}$ ${\displaystyle \angle BED=\angle CDE}$

Desde y , por resta de partes iguales. ${\displaystyle \angle BDE=\angle CED}$ ${\displaystyle \angle CDE=\angle BED}$ ${\displaystyle \angle BDC=\angle CEB}$

Considere un tercer par de triángulos, BDC y CEB ; DB  =  EC , DC  =  EB y , aplicando lado-ángulo-lado por tercera vez, los triángulos son congruentes. ${\displaystyle \angle BDC=\angle CEB}$

En particular, el ángulo CBD  =  BCE , que estaba por demostrar.

Pappo

Proclo da una prueba mucho más breve atribuida a Pappus de Alejandría . Esto no sólo es más sencillo sino que no requiere ninguna construcción adicional. El método de prueba consiste en aplicar lado-ángulo-lado al triángulo y su imagen especular. Autores más modernos, imitando el método de prueba dado para la proposición anterior, han descrito esto como tomar el triángulo, darle la vuelta y colocarlo sobre sí mismo. ^{[9] [6]} Este método es satirizado por Charles Lutwidge Dodgson en Euclid and his Modern Rivals , llamándolo " toro irlandés " porque aparentemente requiere que el triángulo esté en dos lugares a la vez. ^[10]

La prueba es la siguiente: ^[11]

Sea ABC un triángulo isósceles con AB y AC como lados iguales.

Considere los triángulos ABC y ACB , donde ACB se considera un segundo triángulo con los vértices A , C y B correspondientes respectivamente a A , B y C en el triángulo original.

${\displaystyle \angle A}$es igual a sí mismo, AB  =  AC y AC  =  AB , por lo que por lado-ángulo-lado, los triángulos ABC y ACB son congruentes.

En particular, . ^[12] ${\displaystyle \angle B=\angle C}$

Otros

Una prueba de libro de texto

Un método estándar de los libros de texto es construir la bisectriz del ángulo en A. ^[13] Esto es más simple que la prueba de Euclides, pero Euclides no presenta la construcción de una bisectriz de ángulo hasta la proposición 9. Por lo tanto, el orden de presentación de las proposiciones de Euclides tendría que cambiarse para evitar la posibilidad de un razonamiento circular.

La prueba procede de la siguiente manera: ^[14]

Como antes, sea el triángulo ABC con AB  =  AC .

Construya la bisectriz del ángulo de y extiéndala hasta encontrar a BC en X. ${\displaystyle \angle BAC}$

AB  =  AC y AX es igual a sí mismo.

Además, entonces, aplicando lado-ángulo-lado, el triángulo BAX y el triángulo CAX son congruentes. ${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX}$

Se deduce que los ángulos en B y C son iguales.

Legendre utiliza una construcción similar en Éléments de géométrie , pero tomando X como el punto medio de BC . ^[15] La prueba es similar, pero se debe usar lado-lado-lado en lugar de lado-ángulo-lado, y Euclides no da lado-lado-lado hasta más adelante en los Elementos .

En 1876, mientras era miembro del Congreso de los Estados Unidos , el futuro presidente James A. Garfield desarrolló una prueba utilizando el trapezoide, que se publicó en el New England Journal of Education . ^[16] El historiador de las matemáticas William Dunham escribió que el trabajo trapezoidal de Garfield era "realmente una prueba muy inteligente". ^[17] Según el Journal , Garfield llegó a la prueba "en entretenimientos matemáticos y discusiones con otros miembros del Congreso". ^[18]

En espacios interiores de productos.

El teorema del triángulo isósceles se cumple en espacios producto internos sobre números reales o complejos . En tales espacios, toma una forma que dice de los vectores x , y y z que si ^[19]

${\displaystyle x+y+z=0{\text{ and }}\|x\|=\|y\|,}$

entonces

${\displaystyle \|x-z\|=\|y-z\|.}$

Desde

${\displaystyle \|x-z\|^{2}=\|x\|^{2}-2x\cdot z+\|z\|^{2},}$

y

${\displaystyle x\cdot z=\|x\|\|z\|\cos \theta }$

donde θ es el ángulo entre los dos vectores, la conclusión de esta forma del teorema en el espacio interno del producto es equivalente a la afirmación sobre la igualdad de los ángulos.

Etimología y términos relacionados

Otro término medieval para el pons asinorum era Elefuga que, según Roger Bacon , proviene del griego elegia "miseria", y del latín fuga "vuelo", es decir "vuelo de los desgraciados". Aunque esta etimología es dudosa, se repite en el uso que hace Chaucer del término "flemyng of wreches" para el teorema. ^[20]

Hay dos posibles explicaciones para el nombre pons asinorum , la más simple es que el diagrama utilizado se asemeja a un puente real. Pero la explicación más popular es que es la primera prueba real de los Elementos de la inteligencia del lector y funciona como un "puente" hacia las proposiciones más difíciles que siguen. ^[21] Gauss supuestamente una vez abrazó una creencia similar en la necesidad de comprender inmediatamente la identidad de Euler como un punto de referencia para convertirse en un matemático de primera clase. ^[22]

De manera similar, se le dio el nombre de Dulcarnon a la proposición 47 del Libro I de Euclides, más conocida como el teorema de Pitágoras , en honor al árabe Dhū 'l qarnain ذُو ٱلْقَرْنَيْن, que significa "el dueño de los dos cuernos", porque los diagramas del teorema mostraban dos cuadrados más pequeños como cuernos en la parte superior de la figura. El término también se utiliza como metáfora de un dilema. ^[20] El teorema también fue llamado a veces "el molino de viento" por razones similares. ^[23]

Uso metafórico

Los usos del pons asinorum como metáfora de una prueba de pensamiento crítico incluyen:

• El Philobiblon del siglo XIV de Richard Aungerville contiene el pasaje "¡Quot Euclidis discipulos retrojecit Elefuga quasi scopulos eminens et abruptus, qui nullo scalarum suffragio scandi posset! Durus, inquiunt, est his sermo; quis potest eum audire?", que compara el teorema con un acantilado escarpado que ninguna escalera puede ayudar a escalar y pregunta cuántos aspirantes a geómetras han sido rechazados. ^[20]
• El término pons asinorum , en sus dos acepciones de puente y de prueba, se utiliza como metáfora para encontrar el término medio de un silogismo . ^[20]
• El poeta del siglo XVIII Thomas Campbell escribió un poema humorístico llamado "Pons asinorum", donde una clase de geometría ataca el teorema como una compañía de soldados podría cargar contra una fortaleza; la batalla no estuvo exenta de bajas. ^[24]
• El economista John Stuart Mill llamó a la Ley de la Renta de Ricardo el pons asinorum de la economía. ^[25]
• Pons Asinorum es el nombre que recibe una configuración particular ^[26] de un cubo de Rubik .
• Eric Raymond se refirió a la cuestión de los espacios en blanco sintácticamente significativos en el lenguaje de programación Python como su pons asinorum. ^[27]
• El finlandés aasinsilta y el sueco åsnebrygga es una técnica literaria en la que una conexión tenue, incluso artificial, entre dos argumentos o temas, que es casi, pero no del todo, un non sequitur , se utiliza como una transición incómoda entre ellos. ^[28] En textos serios, se considera un error estilístico, ya que pertenece propiamente a la corriente de la conciencia - o escritura de estilo causerie . Ejemplos típicos son terminar una sección contando de qué trata la siguiente, sin molestarse en explicar por qué los temas están relacionados, ampliar una mención casual a un tratamiento detallado o encontrar una conexión artificial entre los temas (por ejemplo, "Compramos vino tinto ; hablando de líquidos rojos, mañana es el Día Mundial del Donante de Sangre").
• En holandés , ezelsbruggetje ('pequeño puente de asnos') es la palabra para un mnemotécnico . Lo mismo ocurre con el Eselsbrücke alemán .
• En checo , oslí můstek tiene dos significados: puede describir una conexión artificial entre dos temas o una mnemónica.

Referencias

1. Smith, David Eugene (1925). Historia de las matemáticas. vol. II. Ginn y compañía. pp. 284. Se formó en un puente a través del cual los tontos no podían esperar pasar y, por lo tanto, se lo conocía como pons asinorum , o puente de los tontos.¹
   1. El término se aplica a veces al teorema de Pitágoras.
2. Pons asinorum: definición y más del Free Merriam
3. Jaakko Hintikka, "Sobre la creatividad en el razonamiento", en Ake E. Andersson, NE Sahlin, eds., La complejidad de la creatividad , 2013, ISBN 9401587884 , p. 72 
4. A. Battersby, Matemáticas en la gestión , 1966, citado en Deakin
5. Jeremy Bernstein, "Perfiles: AI" (entrevista con Marvin Minsky), The New Yorker 14 de diciembre de 1981, p. 50-126
6. Michael AB Deakin, "Desde Pappus hasta hoy: la historia de una prueba", The Mathematical Gazette 74 :467:6-11 (marzo de 1990) JSTOR  3618841
7. Salud págs. 251-255
8. Siguiendo a Proclo p. 53
9. Por ejemplo F. Cuthbertson Introducción a la geometría (1876 Oxford) p. 7
10. Charles Lutwidge Dodgson, Euclides y sus rivales modernos Acto I Escena II §6
11. Siguiendo a Proclo p. 54
12. Salud pag. 254 para la sección
13. Por ejemplo, geometría primaria JM Wilson (1878 Oxford) p. 20
14. Siguiendo a Wilson
15. AM Legendre Éléments de géométrie (1876 Libr. de Firmin-Didot et Cie) p. 14
16. G., JA (1876). "Pons Asinorum". Revista de Educación de Nueva Inglaterra . 3 (14): 161. ISSN  2578-4145. JSTOR  44764657.
17. Dunham, William (1994). El universo matemático: un viaje alfabético a través de las grandes pruebas, problemas y personalidades . Wiley e hijos. pag. 99. Bibcode : 1994muaa.book.....D. ISBN 9780471536567.
18. Kolpas, Sid J. "Tesoro matemático: prueba del teorema de Pitágoras de Garfield". Asociación Matemática. de América. Archivado desde el original el 6 de diciembre de 2021 . Consultado el 22 de diciembre de 2021 .
19. JR Retherford, Hilbert Space , Cambridge University Press , 1993, página 27.
20. AF West y HD Thompson "Sobre Dulcarnon, Elefuga y Pons Asinorum como nombres fantásticos para proposiciones geométricas" El boletín de la Universidad de Princeton vol. 3 núm. 4 (1891) pág. 84
21. DE Smith Historia de las Matemáticas (1958 Dover) p. 284
22. Derbyshire, John (2003). Prime Obsession: Bernhard Riemann y el mayor problema sin resolver en matemáticas . 500 Fifth Street, NW, Washington DC 20001: Joseph Henry Press. pag. 202.ISBN​ 0-309-08549-7. matemático de primera clase.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: ubicación ( enlace )
23. Charles Lutwidge Dodgson, Euclides y sus rivales modernos Acto I Escena II §1
24. WE Aytoun (Ed.) Las obras poéticas de Thomas Campbell (1864, Little, Brown) p. 385 libros de Google
25. Principios de economía política de John Stuart Mill (1866: Longmans, Green, Reader y Dyer) Libro 2, Capítulo 16, p. 261
26. Reid, Michael (28 de octubre de 2006). "Patrones del cubo de Rubik". www.cflmath.com . Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2012 . Consultado el 22 de septiembre de 2019 .
27. Eric S. Raymond, "¿Por qué Python?", Linux Journal, 30 de abril de 2000
28. Aasinsilta sobre laiskurin apuneuvo | Yle Uutiset | yle.fi

• Euclides, comentario y trad. por TL Heath Elements vol. 1 (Cambridge 1908) Google Libros
• Euclides, comentario de Proclo , ed. y trad. por T. Taylor Elementos vol. 2 (1789) libros de Google

enlaces externos

• Pons asinorum en PlanetMath .
• Presentación de DE Joyce de los Elementos de Euclides