En geometría , el postulado de las paralelas , también llamado quinto postulado de Euclides porque es el quinto postulado de los Elementos de Euclides , es un axioma distintivo de la geometría euclidiana . Afirma que, en geometría bidimensional:
Si un segmento de recta corta dos rectas formando dos ángulos interiores del mismo lado que son menores que dos ángulos rectos , entonces las dos rectas, si se extienden indefinidamente, se cortan en ese lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos.
Este postulado no habla específicamente de líneas paralelas; [1] es sólo un postulado relacionado con el paralelismo. Euclides dio la definición de líneas paralelas en el Libro I, Definición 23 [2] justo antes de los cinco postulados. [3]
La geometría euclidiana es el estudio de la geometría que satisface todos los axiomas de Euclides, incluido el postulado de las paralelas.
Durante mucho tiempo se consideró que el postulado era obvio o inevitable, pero las pruebas eran difíciles de alcanzar. Finalmente, se descubrió que invertir el postulado daba geometrías válidas, aunque diferentes. Una geometría en la que el postulado de las paralelas no se cumple se conoce como geometría no euclidiana . La geometría que es independiente del quinto postulado de Euclides (es decir, que sólo asume el equivalente moderno de los primeros cuatro postulados) se conoce como geometría absoluta (o, a veces, "geometría neutral").
Probablemente el equivalente más conocido del postulado de las paralelas de Euclides, dependiendo de sus otros postulados, es el axioma de Playfair , que lleva el nombre del matemático escocés John Playfair , que establece:
En un plano, dada una recta y un punto que no está en ella, se puede trazar como máximo una recta paralela a la recta dada que pase por el punto. [4]
Este axioma por sí solo no es lógicamente equivalente al postulado de las paralelas euclidianas ya que hay geometrías en las que uno es verdadero y el otro no. Sin embargo, en presencia de los axiomas restantes que dan la geometría euclidiana, cada uno de ellos puede usarse para probar el otro, por lo que son equivalentes en el contexto de la geometría absoluta . [5]
Se han sugerido muchas otras afirmaciones equivalentes al postulado de las paralelas, algunas de las cuales al principio parecían no tener relación con el paralelismo, y otras parecían tan evidentes que fueron asumidas inconscientemente por personas que afirmaban haber demostrado el postulado de las paralelas a partir de otros postulados de Euclides. . Estas declaraciones equivalentes incluyen:
Sin embargo, las alternativas que emplean la palabra "paralelo" dejan de parecer tan simples cuando uno se ve obligado a explicar a cuál de las cuatro definiciones comunes de "paralelo" se refiere: separación constante, nunca encontrarse, los mismos ángulos están cruzados por una tercera línea, o Los mismos ángulos fueron cruzados por cualquier tercera línea, ya que la equivalencia de estos cuatro es en sí misma una de las suposiciones inconscientemente obvias equivalentes al quinto postulado de Euclides. En la lista anterior, siempre se entiende que se refiere a líneas que no se cruzan. Por ejemplo, si se considera que la palabra "paralelo" en el axioma de Playfair significa "separación constante" o "los mismos ángulos son cruzados por una tercera línea", entonces ya no es equivalente al quinto postulado de Euclides y se puede demostrar a partir de los primeros cuatro. (el axioma dice 'Hay como máximo una línea...', lo que es consistente con que no existan tales líneas). Sin embargo, si la definición se toma de manera que las líneas paralelas son líneas que no se cruzan, o que tienen alguna línea que las cruza en los mismos ángulos, el axioma de Playfair es contextualmente equivalente al quinto postulado de Euclides y, por lo tanto, es lógicamente independiente de los primeros cuatro postulados. Tenga en cuenta que las dos últimas definiciones no son equivalentes, porque en geometría hiperbólica la segunda definición es válida sólo para líneas ultraparalelas .
Desde el principio, el postulado fue atacado por ser demostrable y, por lo tanto, no ser un postulado, y durante más de dos mil años se hicieron muchos intentos de probar (derivar) el postulado paralelo utilizando los primeros cuatro postulados de Euclides. [10] La razón principal por la que tal prueba era tan buscada fue que, a diferencia de los primeros cuatro postulados, el postulado paralelo no es evidente por sí mismo. Si el orden en que se enumeraron los postulados en los Elementos es significativo, indica que Euclides incluyó este postulado sólo cuando se dio cuenta de que no podía probarlo ni proceder sin él. [11] Se hicieron muchos intentos para probar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, muchos de ellos fueron aceptados como pruebas durante largos períodos hasta que se encontró el error. Invariablemente el error fue asumir alguna propiedad "obvia" que resultó ser equivalente al quinto postulado (el axioma de Playfair). Aunque se conoce desde la época de Proclo, se conoció como el axioma de Playfair después de que John Playfair escribiera un famoso comentario sobre Euclides en 1795 en el que proponía reemplazar el quinto postulado de Euclides por su propio axioma. Hoy, más de dos mil doscientos años después, el quinto postulado de Euclides sigue siendo un postulado.
Proclo (410–485) escribió un comentario sobre Los Elementos donde comenta los intentos de pruebas para deducir el quinto postulado de los otros cuatro; en particular, señala que Ptolomeo había presentado una "prueba" falsa. Proclo luego continúa dando su propia prueba falsa. Sin embargo, sí dio un postulado equivalente al quinto postulado.
Ibn al-Haytham (Alhazen) (965-1039), un matemático árabe , intentó demostrar el postulado de las paralelas mediante una prueba por contradicción , [12] en el curso de lo cual introdujo el concepto de movimiento y transformación en la geometría. [13] Formuló el cuadrilátero de Lambert , que Boris Abramovich Rozenfeld denomina "cuadrilátero de Ibn al-Haytham-Lambert", [14] y su intento de prueba contiene elementos similares a los encontrados en los cuadriláteros de Lambert y el axioma de Playfair . [15]
El matemático, astrónomo, filósofo y poeta persa Omar Khayyám (1050-1123), intentó probar el quinto postulado a partir de otro postulado dado explícitamente (basado en el cuarto de los cinco principios debidos al Filósofo ( Aristóteles ), a saber, "Dos Las líneas rectas convergentes se cruzan y es imposible que dos líneas rectas convergentes diverjan en la dirección en la que convergen." [16] Derivó algunos de los resultados anteriores pertenecientes a la geometría elíptica y la geometría hiperbólica , aunque su postulado excluía esta última posibilidad. [17] El cuadrilátero de Saccheri también fue considerado por primera vez por Omar Khayyám a finales del siglo XI en el Libro I de Explicaciones de las dificultades de los postulados de Euclides . [14] A diferencia de muchos comentaristas de Euclides antes y después de él (incluido Giovanni Girolamo Saccheri ) , Khayyám no estaba tratando de probar el postulado paralelo como tal sino de derivarlo de su postulado equivalente. Reconoció que surgían tres posibilidades al omitir el quinto postulado de Euclides; Si dos perpendiculares a una línea cruzan a otra línea, la elección juiciosa de esta última puede hacer que los ángulos internos donde se encuentra con las dos perpendiculares sean iguales (entonces es paralela a la primera línea). Si esos ángulos internos iguales son ángulos rectos, obtenemos el quinto postulado de Euclides; de lo contrario, deben ser agudos u obtusos. Demostró que los casos agudo y obtuso conducían a contradicciones utilizando su postulado, pero ahora se sabe que su postulado es equivalente al quinto postulado.
Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), en su Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya ( Discusión que elimina dudas sobre las líneas paralelas ) (1250), escribió críticas detalladas del postulado paralelo y del intento de prueba de Khayyám un siglo antes. Nasir al-Din intentó derivar una prueba por contradicción del postulado paralelo. [18] También consideró los casos de lo que ahora se conoce como geometría elíptica e hiperbólica, aunque descartó ambos. [17]
El hijo de Nasir al-Din, Sadr al-Din (a veces conocido como "Pseudo-Tusi"), escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en los pensamientos posteriores de su padre, que presentó uno de los primeros argumentos a favor de una hipótesis no euclidiana. equivalente al postulado de las paralelas. "Esencialmente revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ". [18] [19] Su obra fue publicada en Roma en 1594 y fue estudiada por geómetras europeos. Este trabajo marcó el punto de partida del trabajo de Saccheri sobre el tema [18] que comenzó con una crítica de la obra de Sadr al-Din y la obra de Wallis. [20]
Giordano Vitale (1633-1711), en su libro Euclide restituo (1680, 1686), utilizó el cuadrilátero Khayyam-Saccheri para demostrar que si tres puntos son equidistantes en la base AB y la cumbre CD, entonces AB y CD son equidistantes en todas partes. Girolamo Saccheri (1667-1733) siguió la misma línea de razonamiento más a fondo, obteniendo correctamente el absurdo del caso obtuso (partiendo, como Euclides, de la suposición implícita de que las líneas pueden extenderse indefinidamente y tener una longitud infinita), pero sin refutar la caso agudo (aunque logró convencerse erróneamente de que así era).
En 1766, Johann Lambert escribió, pero no publicó, Theorie der Parallellinien en la que intentaba, como lo hizo Saccheri, demostrar el quinto postulado. Trabajó con una figura que hoy llamamos cuadrilátero de Lambert , un cuadrilátero con tres ángulos rectos (puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Rápidamente eliminó la posibilidad de que el cuarto ángulo fuera obtuso, como lo habían hecho Saccheri y Khayyám, y luego procedió a demostrar muchos teoremas bajo el supuesto de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que hubiera llegado a una contradicción con esta suposición. Había demostrado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos de un triángulo aumenta a medida que disminuye el área del triángulo, y esto le llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No llevó más lejos esta idea. [21]
Mientras que Khayyám y Saccheri habían intentado demostrar la quinta de Euclides refutando las únicas alternativas posibles, en el siglo XIX finalmente los matemáticos exploraron esas alternativas y descubrieron las geometrías lógicamente consistentes resultantes. En 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicó un relato de la geometría aguda en una oscura revista rusa (posteriormente reeditada en 1840 en alemán). En 1831, János Bolyai incluyó, en un libro de su padre, un apéndice que describía la geometría aguda, que, sin duda, había desarrollado independientemente de Lobachevsky. Carl Friedrich Gauss también había estudiado el problema, pero no publicó ninguno de sus resultados. Al enterarse de los resultados de Bolyai en una carta del padre de Bolyai, Farkas Bolyai , Gauss declaró:
Si comenzara diciendo que no puedo elogiar este trabajo, seguramente se sorprenderían por un momento. Pero no puedo decir lo contrario. Alabarlo sería alabarme a mí mismo. En efecto, todo el contenido de la obra, el camino recorrido por su hijo, los resultados a los que llega, coinciden casi enteramente con mis meditaciones, que ocupan en parte mi mente desde hace treinta o treinta y cinco años. [22]
Las geometrías resultantes fueron posteriormente desarrolladas por Lobachevsky , Riemann y Poincaré en geometría hiperbólica (el caso agudo) y geometría elíptica (el caso obtuso). La independencia del postulado de las paralelas de los demás axiomas de Euclides fue finalmente demostrada por Eugenio Beltrami en 1868.
Euclides no postuló lo contrario de su quinto postulado, que es una forma de distinguir la geometría euclidiana de la geometría elíptica . Los Elementos contienen la prueba de una afirmación equivalente (Libro I, Proposición 27): Si una recta que incide sobre dos rectas hace que los ángulos alternos sean iguales, las rectas serán paralelas entre sí. Como señaló De Morgan [23] , esto es lógicamente equivalente a (Libro I, Proposición 16). Estos resultados no dependen del quinto postulado, pero sí requieren del segundo postulado [24] que se viola en la geometría elíptica.
Los intentos de probar lógicamente el postulado de las paralelas, en lugar del octavo axioma, [25] fueron criticados por Arthur Schopenhauer en El mundo como voluntad e idea . Sin embargo, el argumento utilizado por Schopenhauer fue que el postulado es evidente por percepción, no que no fuera una consecuencia lógica de los otros axiomas. [26]
El postulado de las paralelas es equivalente, como se muestra en [27] , a la conjunción del axioma de Lotschnittaxioma y del axioma de Aristóteles . El primero establece que las perpendiculares a los lados de un ángulo recto se cruzan, mientras que el segundo afirma que no existe un límite superior para las longitudes de las distancias desde el cateto de un ángulo al otro cateto. Como se muestra en [28] el postulado de las paralelas es equivalente a la conjunción de las siguientes formas geométricas de incidencia del axioma de Lotschnittaxioma y del axioma de Aristóteles :
Dadas tres rectas paralelas, hay una recta que las corta a las tres.
Dada una línea a y dos líneas distintas que se cruzan m y n , cada una diferente de a , existe una línea g que intersecta a a y m , pero no a n .
Como se muestra en [29] , la división del postulado de las paralelas en la conjunción de estos axiomas geométricos de incidencia sólo es posible en presencia de geometría absoluta .
Rectas paralelas son rectas que, estando en el mismo plano y produciéndose indefinidamente en ambos sentidos, no se cruzan en ninguno de los dos sentidos.
postulado de las paralelas equivale al postulado de la Equidistancia , al axioma de Playfair , al axioma de Proclo , al postulado del Triángulo y al teorema de Pitágoras .
Podríamos incluir... el postulado de las paralelas y derivar el teorema de Pitágoras. O, en cambio, podríamos formular el teorema de Pitágoras entre los demás axiomas y derivar el postulado de las paralelas.
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )En efecto, este método caracterizó las líneas paralelas como líneas siempre equidistantes entre sí y también introdujo el concepto de movimiento en la geometría.
"El postulado de Khayyam había excluido el caso de la geometría hiperbólica, mientras que el postulado de al-Tusi descartaba tanto la geometría hiperbólica como la elíptica".
"Pero en un manuscrito probablemente escrito por su hijo Sadr al-Din en 1298, basado en los pensamientos posteriores de Nasir al-Din sobre el tema, hay un nuevo argumento basado en otra hipótesis, también equivalente a la de Euclides, [...] La La importancia de este último trabajo es que fue publicado en Roma en 1594 y fue estudiado por geómetras europeos. En particular, se convirtió en el punto de partida del trabajo de Saccheri y, en última instancia, del descubrimiento de la geometría no euclidiana.
"En la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi , [...] se utiliza otra afirmación en lugar de un postulado. Era independiente del postulado euclidiano V y fácil de demostrar. [...] Básicamente revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados y pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ".
Eder, Michelle (2000), Opiniones sobre el postulado paralelo de Euclides en la antigua Grecia y en el Islam medieval, Universidad de Rutgers , consultado el 23 de enero de 2008.