Transformación geométrica

Biyección de un conjunto utilizando propiedades de las formas en el espacio

En matemáticas , una transformación geométrica es cualquier biyección de un conjunto a sí mismo (o a otro conjunto similar) con algún fundamento geométrico destacado . Más específicamente, es una función cuyo dominio y rango son conjuntos de puntos (en la mayoría de los casos, ambos o ambos ) tales que la función es biyectiva, de modo que su inversa existe. ^[1] El estudio de la geometría puede abordarse mediante el estudio de estas transformaciones. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Clasificaciones

Las transformaciones geométricas se pueden clasificar según la dimensión de sus conjuntos de operandos (distinguiendo así, por ejemplo, entre transformaciones planares y transformaciones espaciales). También se pueden clasificar según las propiedades que conservan:

• Los desplazamientos conservan distancias y ángulos orientados (por ejemplo, traslaciones ); ^[3]
• Las isometrías preservan ángulos y distancias (por ejemplo, transformaciones euclidianas ); ^{[4] [5]}
• Las similitudes preservan los ángulos y las proporciones entre las distancias (por ejemplo, el cambio de tamaño); ^[6]
• Las transformaciones afines preservan el paralelismo (por ejemplo, escala , cizallamiento ); ^{[5] [7]}
• Las transformaciones proyectivas preservan la colinealidad ; ^[8]

Cada una de estas clases contiene a la anterior. ^[8]

• Las transformaciones de Möbius que utilizan coordenadas complejas en el plano (así como la inversión del círculo ) preservan el conjunto de todas las líneas y círculos, pero pueden intercambiar líneas y círculos.

• 
  Imagen original (basada en el mapa de Francia)
• Isometría
• 
  Semejanza
• 
  Transformación afín
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  Transformación proyectiva
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  Inversión

• Las transformaciones conformes preservan los ángulos y son, en primer orden, semejanzas.
• Las transformaciones equiáreas conservan áreas en el caso plano o volúmenes en el caso tridimensional. ^[9] y son, en primer orden, transformaciones afines del determinante 1.
• Los homeomorfismos (transformaciones bicontinuas) preservan las vecindades de los puntos.
• Los difeomorfismos (transformaciones bidiferenciables) son las transformaciones que son afines en el primer orden; contienen a las anteriores como casos especiales y pueden refinarse aún más.

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  Transformación conforme
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  Transformación equiárea
• 
  Homeomorfismo
• 
  Difeomorfismo

Las transformaciones del mismo tipo forman grupos que pueden ser subgrupos de otros grupos de transformación.

Acciones de grupos opuestos

Muchas transformaciones geométricas se expresan con álgebra lineal. Las transformaciones lineales biyectivas son elementos de un grupo lineal general . La transformación lineal A no es singular. Para un vector fila v , el producto matricial vA da otro vector fila w = vA .

La transpuesta de un vector fila v es un vector columna v ^T , y la transpuesta de la igualdad anterior es Aquí A ^T proporciona una acción hacia la izquierda en los vectores columna. ${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$

En la geometría de transformación existen composiciones AB . Partiendo de un vector fila v , la acción correcta de la transformación compuesta es w = vAB . Después de la transposición,

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

Así, para AB la acción del grupo izquierdo asociado es En el estudio de grupos opuestos , se hace la distinción entre acciones de grupos opuestos porque los grupos conmutativos son los únicos grupos para los cuales estos opuestos son iguales. ${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$

Véase también

• Transformación de coordenadas
• Programa de Erlangen
• Simetría (geometría)
• Movimiento
• Reflexión
• Transformación rígida
• Rotación
• Topología
• Matriz de transformación

Referencias

1. Usiskin, Zalman ; Peressini, Anthony L.; Marchisotto, Elena ; Stanley, Dick (2003). Matemáticas para profesores de secundaria: una perspectiva avanzada . Pearson Education. pág. 84. ISBN 0-13-044941-5.OCLC 50004269  .
2. Venema, Gerard A. (2006), Fundamentos de geometría , Pearson Prentice Hall , pág. 285, ISBN 9780131437005
3. "Traducción de geometría". www.mathsisfun.com . Consultado el 2020-05-02 .
4. "Transformaciones geométricas: transformaciones euclidianas". pages.mtu.edu . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
5. Transformación geométrica , pág. 131, en Google Books
6. "Transformaciones". www.mathsisfun.com . Consultado el 2020-05-02 .
7. "Transformaciones geométricas: transformaciones afines". pages.mtu.edu . Consultado el 2020-05-02 .
8. Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – ' Transformación geométrica , pág. 182, en Google Books
9. Transformación geométrica , pág. 191, en Google Books Bruce E. Meserve – Conceptos fundamentales de geometría, página 191.]

Lectura adicional

• Adler, Irving (2012) [1966], Una nueva mirada a la geometría , Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, ZP ; Golding, EW (1967) . Geometría a través de transformaciones (3 vols.): Geometría de la distorsión , Geometría de la congruencia y Grupos y coordenadas . Nueva York: Herder and Herder.
• David Gans – Transformaciones y geometrías .
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometría e imaginación (2.ª ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.
• John McCleary (2013) Geometría desde un punto de vista diferenciable , Cambridge University Press ISBN 978-0-521-11607-7 
• Modenov, PS; Parkhomenko, AS (1965). Transformaciones geométricas (2 vols.): transformaciones euclidianas y afines , y transformaciones proyectivas . Nueva York: Academic Press.
• AN Pressley – Geometría diferencial elemental .
• Yaglom, IM (1962, 1968, 1973, 2009). Transformaciones geométricas (4 vols.). Random House (I, II y III), MAA (I, II, III y IV).