Ésta es una transformación natural de la operación binaria de un grupo a su opuesto. ⟨ g 1 , g 2 ⟩ denota el par ordenado de los dos elementos del grupo. *' puede verse como la adición naturalmente inducida de +.
Sea un grupo bajo la operación . El grupo opuesto de , denotado , tiene el mismo conjunto subyacente que y su operación de grupo está definida por .
Si es abeliano , entonces es igual a su grupo opuesto. Además, cada grupo (no necesariamente abeliano) es naturalmente isomorfo a su grupo opuesto: un isomorfismo viene dado por . De manera más general, cualquier antiautomorfismo da lugar a un isomorfismo correspondiente a través de , ya que
Acción grupal
Sea un objeto en alguna categoría y sea una acción correcta . Entonces es una acción izquierda definida por , o .