Reflexión (matemáticas)

Mapeo desde un espacio euclidiano hacia sí mismo

Una reflexión a través de un eje.

En matemáticas , una reflexión (también escrita reflexión ) ^[1] es una aplicación de un espacio euclidiano a sí mismo que es una isometría con un hiperplano como un conjunto de puntos fijos ; este conjunto se llama eje (en dimensión 2) o plano (en dimensión 3) de reflexión. La imagen de una figura por una reflexión es su imagen especular en el eje o plano de reflexión. Por ejemplo, la imagen especular de la letra latina minúscula p para una reflexión con respecto a un eje vertical (una reflexión vertical ) se vería como q . Su imagen por reflexión en un eje horizontal (una reflexión horizontal ) se vería como b . Una reflexión es una involución : cuando se aplica dos veces seguidas, cada punto regresa a su ubicación original y cada objeto geométrico se restaura a su estado original.

El término reflexión se utiliza a veces para una clase más amplia de aplicaciones de un espacio euclidiano a sí mismo, a saber, las isometrías no identidad que son involuciones. Tales isometrías tienen un conjunto de puntos fijos (el "espejo") que es un subespacio afín , pero es posiblemente más pequeño que un hiperplano. Por ejemplo, una reflexión a través de un punto es una isometría involutiva con un solo punto fijo; la imagen de la letra p debajo de ella se vería como una d . Esta operación también se conoce como inversión central (Coxeter 1969, §7.2), y exhibe el espacio euclidiano como un espacio simétrico . En un espacio vectorial euclidiano , la reflexión en el punto situado en el origen es lo mismo que la negación vectorial. Otros ejemplos incluyen reflexiones en una línea en el espacio tridimensional. Sin embargo, por lo general, el uso no calificado del término "reflexión" significa reflexión en un hiperplano .

Algunos matemáticos utilizan " flip " como sinónimo de "reflexión". ^{[2] [3] [4]}

Construcción

El punto Q es la reflexión del punto P a través de la línea AB .

En geometría plana (o, respectivamente, tridimensional), para hallar la reflexión de un punto, traza una perpendicular desde el punto hasta la línea (plano) utilizada para la reflexión y prolongándola la misma distancia hacia el otro lado. Para hallar la reflexión de una figura, refleja cada punto de la figura.

Para reflejar el punto P a través de la recta AB utilizando compás y regla , proceda de la siguiente manera (ver figura):

• Paso 1 (rojo): construir un círculo con centro en P y un radio fijo r para crear los puntos A′ y B′ en la línea AB , que serán equidistantes de P .
• Paso 2 (verde): construir círculos centrados en A′ y B′ con radio r . P y Q serán los puntos de intersección de estos dos círculos.

El punto Q es entonces el reflejo del punto P a través de la línea AB .

Propiedades

La matriz de una reflexión es ortogonal con determinante −1 y valores propios −1, 1, 1, ..., 1. El producto de dos matrices de este tipo es una matriz ortogonal especial que representa una rotación. Toda rotación es el resultado de la reflexión en un número par de reflexiones en hiperplanos que pasan por el origen, y toda rotación impropia es el resultado de la reflexión en un número impar. Por tanto, las reflexiones generan el grupo ortogonal , y este resultado se conoce como el teorema de Cartan-Dieudonné .

De manera similar, el grupo euclidiano , que consta de todas las isometrías del espacio euclidiano, se genera mediante reflexiones en hiperplanos afines. En general, un grupo generado por reflexiones en hiperplanos afines se conoce como grupo de reflexión . Los grupos finitos generados de esta manera son ejemplos de grupos de Coxeter .

Reflexión a través de una línea en el plano

La reflexión a través de una línea arbitraria que pasa por el origen en dos dimensiones se puede describir mediante la siguiente fórmula

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}l-v,}$

donde denota el vector que se refleja, denota cualquier vector en la línea a través de la cual se realiza la reflexión y denota el producto escalar de con . Tenga en cuenta que la fórmula anterior también se puede escribir como ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle v\cdot l}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,}$

diciendo que una reflexión de a través de es igual a 2 veces la proyección de sobre , menos el vector . Las reflexiones en una línea tienen los valores propios de 1 y −1. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle v}$

Reflexión a través de un hiperplano ennortedimensiones

Dado un vector en el espacio euclidiano , la fórmula para la reflexión en el hiperplano que pasa por el origen, ortogonal a , está dada por ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,}$

donde denota el producto escalar de con . Nótese que el segundo término en la ecuación anterior es simplemente el doble de la proyección vectorial de sobre . Se puede comprobar fácilmente que ${\displaystyle v\cdot a}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$

• Ref _a ( v ) = − v , si es paralela a , y ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$
• Ref _a ( v ) = v , si es perpendicular a a . ${\displaystyle v}$

Utilizando el producto geométrico , la fórmula es

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.}$

Dado que estas reflexiones son isometrías del espacio euclidiano que fijan el origen, pueden representarse mediante matrices ortogonales . La matriz ortogonal correspondiente a la reflexión anterior es la matriz

${\displaystyle R=I-2{\frac {aa^{T}}{a^{T}a}},}$

donde denota la matriz identidad y es la transpuesta de a. Sus entradas son ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle a^{T}}$

${\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},}$

donde δ _ij es el delta de Kronecker .

La fórmula para la reflexión en el hiperplano afín no a través del origen es ${\displaystyle v\cdot a=c}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.}$

Véase también

• Inverso aditivo
• Rotaciones y reflexiones de coordenadas
• Transformación del jefe de familia
• Geometría inversa
• Plano de rotación
• Mapeo de reflexión
• Grupo de reflexión
• Simetría de reflexión

Notas

1. "Reflexión" es una ortografía arcaica
2. Childs, Lindsay N. (2009), Una introducción concreta al álgebra superior (3.ª ed.), Springer Science & Business Media, pág. 251, ISBN 9780387745275
3. Gallian, Joseph (2012), Álgebra abstracta contemporánea (8.ª ed.), Cengage Learning, pág. 32, ISBN 978-1285402734
4. Isaacs, I. Martin (1994), Álgebra: un curso de posgrado, American Mathematical Society, pág. 6, ISBN 9780821847992

Referencias

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, Sr.  0123930
• Popov, VL (2001) [1994], "Reflexión", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Reflexión". MathWorld .

Enlaces externos

• Reflexión en la línea de corte del nudo
• Comprensión de la reflexión 2D y comprensión de la reflexión 3D por Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project .