En matemáticas , el teorema de Cartan-Dieudonné , llamado así en honor a Élie Cartan y Jean Dieudonné , establece que toda transformación ortogonal en un espacio bilineal simétrico de n dimensiones puede describirse como la composición de como máximo n reflexiones .
La noción de un espacio bilineal simétrico es una generalización del espacio euclidiano cuya estructura está definida por una forma bilineal simétrica (que no necesita ser definida positiva , por lo que no es necesariamente un producto interno ; por ejemplo, un espacio pseudoeuclidiano también es un espacio bilineal simétrico). Las transformaciones ortogonales en el espacio son aquellos automorfismos que preservan el valor de la forma bilineal entre cada par de vectores; en el espacio euclidiano, esto corresponde a preservar las distancias y los ángulos . Estas transformaciones ortogonales forman un grupo bajo composición, llamado grupo ortogonal .
Por ejemplo, en el plano euclidiano bidimensional , cada transformación ortogonal es una reflexión a través de una línea que pasa por el origen o una rotación alrededor del origen (que puede escribirse como la composición de dos reflexiones). Cualquier composición arbitraria de dichas rotaciones y reflexiones puede reescribirse como una composición de no más de 2 reflexiones. De manera similar, en el espacio euclidiano tridimensional, cada transformación ortogonal puede describirse como una sola reflexión, una rotación (2 reflexiones) o una rotación impropia (3 reflexiones). En cuatro dimensiones, se agregan rotaciones dobles que representan 4 reflexiones.
Sea ( V , b ) un espacio bilineal simétrico , no degenerado, de dimensión n sobre un cuerpo con característica distinta de 2. Entonces, cada elemento del grupo ortogonal O( V , b ) es una composición de como máximo n reflexiones.