En geometría , un objeto tiene simetría si existe una operación o transformación (como traslación , escala , rotación o reflexión ) que mapea la figura/objeto sobre sí mismo (es decir, el objeto tiene una invariancia bajo la transformación). [1] Por lo tanto, una simetría puede considerarse como una inmunidad al cambio. [2] Por ejemplo, un círculo rotado sobre su centro tendrá la misma forma y tamaño que el círculo original, ya que todos los puntos antes y después de la transformación serían indistinguibles. Por lo tanto, se dice que un círculo es simétrico bajo rotación o que tiene simetría rotacional . Si la isometría es la reflexión de una figura plana sobre una línea, entonces se dice que la figura tiene simetría reflexiva o simetría lineal ; [3] también es posible que una figura/objeto tenga más de una línea de simetría. [4]
Los tipos de simetrías que son posibles para un objeto geométrico dependen del conjunto de transformaciones geométricas disponibles y de qué propiedades del objeto deben permanecer inalteradas después de una transformación. Debido a que la composición de dos transformaciones también es una transformación y cada transformación tiene, por definición, una transformación inversa que la deshace, el conjunto de transformaciones bajo las cuales un objeto es simétrico forma un grupo matemático , el grupo de simetría del objeto. [5]
El grupo más común de transformaciones aplicadas a los objetos se denomina grupo euclidiano de " isometrías ", que son transformaciones que preservan la distancia en el espacio comúnmente denominado bidimensional o tridimensional (es decir, en espacios euclidianos de geometría plana o geometría sólida ). Estas isometrías consisten en reflexiones , rotaciones , traslaciones y combinaciones de estas operaciones básicas. [6] Bajo una transformación isométrica, se dice que un objeto geométrico es simétrico si, después de la transformación, el objeto es indistinguible del objeto antes de la transformación. [7] Un objeto geométrico es típicamente simétrico solo bajo un subconjunto o " subgrupo " de todas las isometrías. Los tipos de subgrupos de isometría se describen a continuación, seguidos de otros tipos de grupos de transformadas y de los tipos de invariancia de objetos que son posibles en geometría.
Por el teorema de Cartan-Dieudonné , una transformación ortogonal en un espacio n -dimensional puede representarse mediante la composición de como máximo n reflexiones.
La simetría reflexiva, simetría lineal, simetría especular, simetría de imagen especular o simetría bilateral es simetría con respecto a la reflexión. [8]
En una dimensión, hay un punto de simetría alrededor del cual se produce la reflexión; en dos dimensiones, hay un eje de simetría (también conocido como línea de simetría), y en tres dimensiones hay un plano de simetría. [3] [9] Un objeto o figura para el cual cada punto tiene una proyección biunívoca sobre otro, equidistante de y en lados opuestos de un plano común, se denomina simetría especular (para más información, consulte imagen especular ).
El eje de simetría de una figura bidimensional es una línea tal que, si se construye una perpendicular , dos puntos cualesquiera que se encuentren sobre la perpendicular a distancias iguales del eje de simetría son idénticos. Otra forma de pensarlo es que si la figura se doblara por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían idénticas como imágenes especulares una de la otra. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, porque hay cuatro formas diferentes de doblarlo y hacer que los bordes coincidan entre sí. Otro ejemplo sería el de un círculo , que tiene infinitos ejes de simetría que pasan por su centro por la misma razón. [10]
Si la letra T se refleja a lo largo de un eje vertical, parece la misma. A esto a veces se le llama simetría vertical. Por lo tanto, se puede describir este fenómeno de manera inequívoca diciendo que "T tiene un eje de simetría vertical" o que "T tiene simetría izquierda-derecha".
Los triángulos con simetría de reflexión son isósceles , los cuadriláteros con esta simetría son cometas y los trapecios isósceles . [11]
Para cada línea o plano de reflexión, el grupo de simetría es isomorfo con C s (ver grupos de puntos en tres dimensiones para más información), uno de los tres tipos de orden dos ( involuciones ), por lo tanto algebraicamente isomorfo a C 2 . El dominio fundamental es un semiplano o semiespacio . [12]
La simetría de reflexión se puede generalizar a otras isometrías del espacio m -dimensional que son involuciones , como
en un determinado sistema de coordenadas cartesianas . Esto refleja el espacio a lo largo de un subespacio afín de dimensión ( m − k ) . [13] Si k = m , entonces dicha transformación se conoce como reflexión puntual o inversión a través de un punto . En el plano ( m = 2 ), una reflexión puntual es lo mismo que una rotación de medio giro (180°); véase más abajo. La simetría antípoda es un nombre alternativo para una simetría de reflexión puntual a través del origen. [14]
Una "reflexión" de este tipo conserva la orientación si y solo si k es un número par . [15] Esto implica que para m = 3 (así como para otros m impares ), una reflexión puntual cambia la orientación del espacio, como una simetría de imagen especular. Eso explica por qué en física, el término simetría P (P significa paridad ) se utiliza tanto para la reflexión puntual como para la simetría especular. Dado que una reflexión puntual en tres dimensiones cambia un sistema de coordenadas zurdo en un sistema de coordenadas diestro , la simetría bajo una reflexión puntual también se llama simetría izquierda-derecha. [16]
La simetría rotacional es la simetría con respecto a algunas o todas las rotaciones en el espacio euclidiano m -dimensional. Las rotaciones son isometrías directas , que son isometrías que preservan la orientación . [17] Por lo tanto, un grupo de simetría de simetría rotacional es un subgrupo del grupo euclidiano especial E + ( m ) .
La simetría con respecto a todas las rotaciones sobre todos los puntos implica simetría traslacional con respecto a todas las traslaciones (porque las traslaciones son composiciones de rotaciones sobre puntos distintos), [18] y el grupo de simetría es todo E + ( m ). Esto no se aplica a los objetos porque hace que el espacio sea homogéneo, pero puede aplicarse a las leyes físicas.
Para la simetría con respecto a las rotaciones sobre un punto, se puede tomar ese punto como origen. Estas rotaciones forman el grupo ortogonal especial SO( m ), que se puede representar por el grupo de matrices ortogonales m × m con determinante 1. Para m = 3, este es el grupo de rotación SO(3) . [19]
Expresado de forma ligeramente diferente, el grupo de rotación de un objeto es el grupo de simetría dentro de E + ( m ), el grupo de movimientos rígidos; [20] es decir, la intersección del grupo de simetría completo y el grupo de movimientos rígidos. Para los objetos quirales, es lo mismo que el grupo de simetría completo.
Las leyes de la física son SO(3)-invariantes si no distinguen direcciones diferentes en el espacio. Debido al teorema de Noether , la simetría rotacional de un sistema físico es equivalente a la ley de conservación del momento angular . [21] Para más información, consulte invariancia rotacional .
La simetría traslacional deja un objeto invariante bajo un grupo discreto o continuo de traslaciones . [22] La ilustración de la derecha muestra cuatro huellas congruentes generadas por traslaciones a lo largo de la flecha. Si la línea de huellas se extendiera hasta el infinito en ambas direcciones, entonces tendrían una simetría traslacional discreta; cualquier traslación que mapeara una huella sobre otra dejaría toda la línea sin cambios.
En 2D, una simetría de reflexión de deslizamiento (también llamada simetría de plano de deslizamiento en 3D, y una transflexión en general) significa que una reflexión en una línea o plano combinada con una traslación a lo largo de la línea o en el plano, da como resultado el mismo objeto (como en el caso de las huellas). [2] [23] La composición de dos reflexiones de deslizamiento da como resultado una simetría de traslación con el doble del vector de traslación. El grupo de simetría que comprende las reflexiones de deslizamiento y las traslaciones asociadas es el grupo de friso p11g , y es isomorfo con el grupo cíclico infinito Z .
En 3D, una reflexión rotatoria , rotorreflexión o rotación impropia es una rotación sobre un eje combinada con una reflexión en un plano perpendicular a ese eje. [24] Los grupos de simetría asociados con las rotorreflexiones incluyen:
Para obtener más información, consulte grupos de puntos en tres dimensiones .
En geometría 3D y superior, un eje de tornillo (o traslación rotatoria) es una combinación de una rotación y una traslación a lo largo del eje de rotación. [25]
La simetría helicoidal es el tipo de simetría que se observa en objetos cotidianos como resortes , juguetes Slinky , brocas y barrenas . El concepto de simetría helicoidal se puede visualizar como el trazado en el espacio tridimensional que resulta de rotar un objeto a una velocidad angular constante , mientras que simultáneamente se traslada a una velocidad lineal constante a lo largo de su eje de rotación. En cualquier punto del tiempo, estos dos movimientos se combinan para dar un ángulo de enrollamiento que ayuda a definir las propiedades de la hélice trazada. [26] Cuando el objeto trazado gira rápidamente y se traslada lentamente, el ángulo de enrollamiento será cercano a 0°. Por el contrario, si el objeto gira lentamente y se traslada rápidamente, el ángulo de enrollamiento se acercará a 90°.
Se pueden distinguir tres clases principales de simetría helicoidal, basándose en la interacción del ángulo de enrollamiento y las simetrías de traslación a lo largo del eje:
En 4D, se puede generar una simetría de doble rotación como la combinación de dos rotaciones ortogonales. [29] Es similar al eje de tornillo 3D, que es la combinación de una rotación y una traslación ortogonal.
Una definición más amplia de simetría geométrica permite realizar operaciones con un grupo más grande que el grupo euclidiano de isometrías. Algunos ejemplos de grupos de simetría geométrica más grandes son:
En el programa Erlangen de Felix Klein , cada posible grupo de simetrías define una geometría en la que los objetos relacionados por un miembro del grupo de simetría se consideran equivalentes. [32] Por ejemplo, el grupo euclidiano define la geometría euclidiana , mientras que el grupo de transformaciones de Möbius define la geometría proyectiva .
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La simetría de escala significa que si un objeto se expande o se reduce en tamaño, el nuevo objeto tiene las mismas propiedades que el original. [33] Esta autosimilitud se observa en muchas estructuras naturales como cúmulos, relámpagos, helechos y costas, en un amplio rango de escalas. Generalmente no se encuentra en estructuras ligadas gravitacionalmente, por ejemplo, la forma de las patas de un elefante y un ratón (el llamado escalamiento alométrico ). De manera similar, si una vela de cera blanda se agrandara al tamaño de un árbol alto, colapsaría inmediatamente por su propio peso.
Una forma más sutil de simetría de escala se demuestra mediante fractales . Tal como los concibió Benoît Mandelbrot , los fractales son un concepto matemático en el que la estructura de una forma compleja parece similar en cualquier grado de aumento , [34] bien visto en el conjunto de Mandelbrot . Una costa es un ejemplo de un fractal que ocurre naturalmente, ya que conserva una complejidad de apariencia similar en todos los niveles, desde la vista de un satélite hasta un examen microscópico de cómo el agua lame los granos individuales de arena. La ramificación de los árboles, que permite que pequeñas ramitas sustituyan a árboles completos en dioramas , es otro ejemplo.
Debido a que los fractales pueden generar la apariencia de patrones en la naturaleza , tienen una belleza y familiaridad que no se observan normalmente en las funciones generadas matemáticamente. Los fractales también han encontrado un lugar en los efectos cinematográficos generados por computadora , donde su capacidad para crear curvas complejas con simetrías fractales da como resultado mundos virtuales más realistas .
Con cada geometría, Felix Klein asoció un grupo subyacente de simetrías . La jerarquía de geometrías se representa matemáticamente como una jerarquía de estos grupos y una jerarquía de sus invariantes . Por ejemplo, las longitudes, los ángulos y las áreas se conservan con respecto al grupo euclidiano de simetrías, mientras que solo la estructura de incidencia y la relación cruzada se conservan bajo las transformaciones proyectivas más generales . Un concepto de paralelismo , que se conserva en la geometría afín , no es significativo en la geometría proyectiva . Entonces, al abstraer los grupos subyacentes de simetrías de las geometrías, las relaciones entre ellos se pueden restablecer a nivel de grupo. Dado que el grupo de geometría afín es un subgrupo del grupo de geometría proyectiva, cualquier noción invariante en geometría proyectiva es a priori significativa en la geometría afín; pero no al revés. Si agregas las simetrías requeridas, tienes una teoría más poderosa pero menos conceptos y teoremas (que serán más profundos y más generales).
William Thurston introdujo una versión similar de las simetrías en geometría. Una geometría modelo es una variedad lisa y simplemente conexa X junto con una acción transitiva de un grupo de Lie G sobre X con estabilizadores compactos. El grupo de Lie puede considerarse como el grupo de simetrías de la geometría.
Una geometría modelo se denomina máxima si G es máxima entre grupos que actúan de forma suave y transitiva sobre X con estabilizadores compactos, es decir, si es el grupo máximo de simetrías. A veces, esta condición se incluye en la definición de una geometría modelo.
Una estructura geométrica en una variedad M es un difeomorfismo de M a X /Γ para alguna geometría modelo X , donde Γ es un subgrupo discreto de G que actúa libremente en X . Si una variedad dada admite una estructura geométrica, entonces admite una cuyo modelo es maximal.
Una geometría modelo tridimensional X es relevante para la conjetura de geometrización si es máxima y si hay al menos una variedad compacta con una estructura geométrica modelada en X. Thurston clasificó las 8 geometrías modelo que satisfacen estas condiciones; se enumeran a continuación y a veces se las llama geometrías de Thurston . (También hay innumerables geometrías modelo sin cocientes compactos).
