Invariancia rotacional

En matemáticas , se dice que una función definida en un espacio de producto interno tiene invariancia rotacional si su valor no cambia cuando se aplican rotaciones arbitrarias a su argumento.

Matemáticas

Funciones

Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

es invariante bajo rotaciones del plano alrededor del origen, porque para un conjunto de coordenadas rotado a través de cualquier ángulo θ

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

La función, después de alguna cancelación de términos, toma exactamente la misma forma.

${\displaystyle f(x',y')={x}^{2}+{y}^{2}}$

La rotación de coordenadas se puede expresar utilizando la forma matricial utilizando la matriz de rotación ,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.}$

o simbólicamente x' ′ = Rx' . Simbólicamente, la invariancia de rotación de una función de valor real de dos variables reales es

${\displaystyle f(\mathbf {x} ')=f(\mathbf {Rx} )=f(\mathbf {x} )}$

En otras palabras, la función de las coordenadas rotadas toma exactamente la misma forma que tenía con las coordenadas iniciales, la única diferencia es que las coordenadas rotadas reemplazan a las iniciales. Para una función de valor real de tres o más variables reales , esta expresión se extiende fácilmente utilizando matrices de rotación apropiadas.

El concepto también se extiende a una función vectorial f de una o más variables;

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ')=\mathbf {f} (\mathbf {Rx} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )}$

En todos los casos anteriores, se rotan los argumentos (aquí llamados "coordenadas" para mayor concreción), no la función en sí.

Operadores

Para una función

${\displaystyle f:X\rightarrow X}$

que asigna elementos de un subconjunto X de la recta real a sí misma, la invariancia rotacional también puede significar que la función conmuta con las rotaciones de elementos en X. Esto también se aplica a un operador que actúa sobre tales funciones. Un ejemplo es el operador de Laplace bidimensional ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$

que actúa sobre una función f para obtener otra función ∇ ² f . Este operador es invariante ante rotaciones.

Si g es la función g ( p ) = f ( R ( p )), donde R es cualquier rotación, entonces (∇ ² g )( p ) = (∇ ² f )( R ( p )); es decir, rotar una función simplemente rota su Laplaciano.

Física

En física , si un sistema se comporta de la misma manera independientemente de cómo esté orientado en el espacio, entonces su lagrangiano es invariante en rotación. Según el teorema de Noether , si la acción (la integral en el tiempo de su lagrangiano) de un sistema físico es invariante bajo rotación, entonces el momento angular se conserva .

Aplicación a la mecánica cuántica

En mecánica cuántica , la invariancia rotacional es la propiedad de que después de una rotación el nuevo sistema todavía obedece la ecuación de Schrödinger . Es decir

${\displaystyle [R,E-H]=0}$

para cualquier rotación R . Como la rotación no depende explícitamente del tiempo, conmuta con el operador de energía. Por lo tanto, para la invariancia rotacional debemos tener [ R ,  H ] = 0.

Para rotaciones infinitesimales (en el plano xy para este ejemplo; se puede hacer lo mismo para cualquier plano) por un ángulo dθ el operador de rotación (infinitesimal) es

${\displaystyle R=1+J_{z}d\theta \,,}$

entonces

${\displaystyle \left[1+J_{z}d\theta ,{\frac {d}{dt}}\right]=0\,,}$

de este modo

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}J_{z}=0\,,}$

En otras palabras, el momento angular se conserva.

Véase también

• Simetría axial
• Medida invariante
• Isotropía
• Teorema de Maxwell
• Simetría rotacional

Referencias

• Stenger, Victor J. (2000). Realidad atemporal . Prometheus Books. Especialmente el capítulo 12. No técnico.