Campo vectorial conservador

Campo vectorial que es el gradiente de alguna función.

En cálculo vectorial , un campo vectorial conservador es un campo vectorial que es el gradiente de alguna función . ^[1] Un campo vectorial conservador tiene la propiedad de que su integral de línea es independiente de la trayectoria; la elección del camino entre dos puntos no cambia el valor de la integral de línea. La independencia de trayectoria de la integral de línea es equivalente a que el campo vectorial bajo la integral de línea sea conservador. Un campo vectorial conservador también es irrotacional; en tres dimensiones, esto significa que tiene rizo evanescente . Un campo vectorial irrotacional es necesariamente conservador siempre que el dominio sea simplemente conexo .

Los campos vectoriales conservadores aparecen naturalmente en mecánica : son campos vectoriales que representan fuerzas de sistemas físicos en los que se conserva la energía . ^[2] Para un sistema conservador, el trabajo realizado al moverse a lo largo de un camino en un espacio de configuración depende solo de los puntos finales del camino, por lo que es posible definir energía potencial que es independiente del camino real tomado.

Trato informal

En un espacio bidimensional y tridimensional, existe una ambigüedad al tomar una integral entre dos puntos, ya que hay infinitos caminos entre los dos puntos; aparte de la línea recta formada entre los dos puntos, se podría elegir un camino curvo de mayor longitud como se muestra en la figura. Por tanto, en general, el valor de la integral depende del camino tomado. Sin embargo, en el caso especial de un campo vectorial conservador, el valor de la integral es independiente del camino tomado, lo que puede considerarse como una cancelación a gran escala de todos los elementos que no tienen una componente a lo largo de la línea recta entre los dos puntos. Para visualizar esto, imagina a dos personas escalando un acantilado; uno decide escalar el acantilado subiéndolo verticalmente, y el segundo decide caminar por un camino sinuoso que es más largo que la altura del acantilado, pero con solo un pequeño ángulo con respecto a la horizontal. Aunque los dos excursionistas han tomado rutas diferentes para llegar a la cima del acantilado, en la cima ambos habrán ganado la misma cantidad de energía potencial gravitacional. Esto se debe a que un campo gravitacional es conservador. ${\displaystyle d{R}}$

Representación de dos posibles caminos para integrarse. En verde está el camino más sencillo posible; el azul muestra una curva más complicada

Explicación intuitiva

La litografía de MC Escher Ascending and Descending ilustra un campo vectorial no conservador, increíblemente hecho para que parezca el gradiente de la altura variable sobre el suelo (potencial gravitacional) a medida que uno se mueve a lo largo de la escalera. El campo de fuerza experimentado por quien se mueve por la escalera no es conservador en el sentido de que uno puede regresar al punto de partida mientras se asciende más de lo que se desciende o viceversa, lo que resulta en un trabajo distinto de cero realizado por la gravedad. En una escalera real, la altura sobre el suelo es un campo potencial escalar: hay que subir exactamente tanto como bajar para volver al mismo lugar, en cuyo caso el trabajo de la gravedad es cero. Esto sugiere independencia del camino del trabajo realizado en la escalera; de manera equivalente, el campo de fuerza experimentado es conservador (consulte la sección posterior: Independencia de la trayectoria y campo vectorial conservador). La situación representada en la impresión es imposible.

Definición

Un campo vectorial , donde es un subconjunto abierto de , se dice que es conservador si existe un campo escalar ( continuamente diferenciable ) ^[3] tal que ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$$

Aquí, denota el gradiente de . Dado que es continuamente diferenciable, es continuo. Cuando se cumple la ecuación anterior, se llama potencial escalar para . ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

El teorema fundamental del cálculo vectorial establece que cualquier campo vectorial se puede expresar como la suma de un campo vectorial conservador y un campo solenoidal .

Independencia de ruta y campo vectorial conservador

Independencia del camino

Se dice que una integral de línea de un campo vectorial es independiente de la ruta si depende solo de dos puntos finales de la ruta integral, independientemente de cuál ruta entre ellos se elija: ^[4] ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} }$$

para cualquier par de caminos integrales y entre un par dado de puntos finales de camino en . ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle U}$

La independencia del camino también se expresa de manera equivalente como

$${\displaystyle \int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0}$$

${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} +\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} -\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0}$$

${\displaystyle -P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\textstyle \displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} .}$

Campo vectorial conservador

Una propiedad clave de un campo vectorial conservador es que su integral a lo largo de un camino depende sólo de los puntos finales de ese camino, no de la ruta particular tomada. En otras palabras, si es un campo vectorial conservador, entonces su integral de línea es independiente de la trayectoria. Supongamos que para algún campo escalar ( continuamente diferenciable ) ^[3] es un subconjunto abierto de (también lo es un campo vectorial conservador que es continuo) y es una ruta diferenciable (es decir, puede parametrizarse mediante una función diferenciable ) con un punto inicial y un punto terminal . Entonces, el teorema del gradiente (también llamado teorema fundamental del cálculo para integrales de línea ) establece que ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \int _{P}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\varphi (B)-\varphi (A).}$$

Esto es válido como consecuencia de la definición de integral de línea , la regla de la cadena y el segundo teorema fundamental del cálculo . en la integral de línea es un diferencial exacto para un sistema de coordenadas ortogonales (p. ej., coordenadas cartesianas , cilíndricas o esféricas ). Dado que el teorema del gradiente es aplicable para una trayectoria diferenciable, la independencia de la trayectoria de un campo vectorial conservador sobre curvas diferenciales por tramos también se demuestra mediante la prueba por componente de curva diferenciable. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\nabla {\varphi }\cdot d\mathbf {r} }$

Hasta ahora se ha demostrado que un campo vectorial conservador es independiente de la trayectoria de la integral de línea. Por el contrario, si un campo vectorial continuo es (integral de línea) independiente de la trayectoria, entonces es un campo vectorial conservador , por lo que se cumple la siguiente afirmación bicondicional : ^[4] ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Para un campo vectorial continuo , donde es un subconjunto abierto de , es conservador si y solo si su integral de línea a lo largo de una ruta es independiente de la ruta, lo que significa que la integral de línea depende solo de ambos puntos finales de la ruta, independientemente de cuál sea la ruta entre ellos. elegido. ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$

La prueba de esta afirmación inversa es la siguiente.

Las rutas integrales de línea se utilizan para demostrar la siguiente afirmación: si la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la ruta, entonces el campo vectorial es un campo vectorial conservador.

${\displaystyle \mathbf {v} }$es un campo vectorial continuo cuya integral de línea es independiente de la ruta. Entonces, hagamos una función definida como ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \varphi (x,y)=\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }}$$

${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Elijamos la ruta que se muestra a la izquierda de la figura derecha donde se utiliza un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional . El segundo segmento de este camino es paralelo al eje, por lo que no hay cambios a lo largo del eje. La integral de línea a lo largo de este camino es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }.}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=0+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }}$$

${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\displaystyle \mathbf {v} }=P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\mathbf {i} +dy\mathbf {j} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\varphi (x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} ={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}P(t,y)dt=P(x,y)}$$

segundo teorema fundamental del cálculo

Un enfoque similar para la trayectoria integral de línea que se muestra a la derecha de la figura derecha da como resultado : ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial y}}\varphi (x,y)=Q(x,y)}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathbf {j} =\nabla \varphi }$$

Se demuestra para el sistema de coordenadas cartesianoEste método de prueba se puede expandir directamente a un sistema de coordenadas ortogonales de dimensiones superiores (por ejemplo, un sistema de coordenadas esféricasAquí

Campos vectoriales irritacionales

El campo vectorial anterior definido en , es decir, eliminando todas las coordenadas en el eje - (por lo que no es un espacio simplemente conectado), tiene curvatura cero y, por lo tanto, es irrotacional. Sin embargo, no es conservador y no tiene independencia de trayectoria. ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right)}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Sea (espacio tridimensional) y sea un campo vectorial ( continuamente diferenciable ), con un subconjunto abierto de . Entonces se llama irrotacional si su rizo está en todas partes de , es decir, si ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .}$$

Por esta razón, estos campos vectoriales a veces se denominan campos vectoriales sin curvatura o campos vectoriales sin curvatura. También se les conoce como campos vectoriales longitudinales .

Es una identidad del cálculo vectorial que para cualquier campo escalar ( continuamente diferenciable hasta la segunda derivada ) , tenemos ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .}$$

Por lo tanto, todo campo vectorial conservador en es también un campo vectorial irrotacional en ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ . Este resultado se puede demostrar fácilmente expresando en un sistema de coordenadas cartesiano con el teorema de Schwarz (también llamado teorema de Clairaut sobre la igualdad de parciales mixtos). ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$

Siempre que sea un espacio abierto simplemente conectado (en términos generales, un espacio abierto de una sola pieza sin un agujero en su interior), lo contrario también es cierto: cada campo vectorial irrotacional en un espacio abierto simplemente conectado es un campo vectorial conservador en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$

La afirmación anterior no es cierta en general si no está simplemente relacionada. Vamos a eliminar todas las coordenadas en el eje (por lo que no es un espacio simplemente conectado), es decir ,. Ahora, defina un campo vectorial en por ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right).}$$

Entonces tiene curvatura cero en todas partes ( en todas partes ), es decir, es irrotacional. Sin embargo, la circulación de alrededor del círculo unitario en el plano es ; en coordenadas polares , por lo que la integral sobre el círculo unitario es ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r}$

$${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .}$$

Por lo tanto, no tiene la propiedad de independencia del camino discutida anteriormente, por lo que no es conservador incluso si el lugar donde se define no es un espacio abierto simplemente conectado. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Digamos de nuevo que en una región abierta simplemente conectada, un campo vectorial irrotacional tiene la propiedad de independencia del camino (por lo que es conservador). Esto se puede demostrar directamente utilizando el teorema de Stokes , ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \oint _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{A}(\nabla \times \mathbf {v} )\cdot d\mathbf {a} =0}$$

en una región abierta simplemente conexa, cualquier campo vectorial que tenga la propiedad de independencia del camino (por lo que es un campo vectorial conservador) también debe ser irrotacional y viceversa. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Abstracción

De manera más abstracta, en presencia de una métrica de Riemann , los campos vectoriales corresponden a formas diferenciales ${\displaystyle 1}$ . Los campos vectoriales conservadores corresponden a las formas exactas , es decir, a las formas que son la derivada exterior de una función (campo escalar) en . Los campos vectoriales irrotacionales corresponden a las formas cerradas , es decir, a las formas tales que . Como , cualquier forma exacta es cerrada, cualquier campo vectorial conservador es irrotacional. Por el contrario, toda forma cerrada es exacta si es simplemente conexa . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle U}$

vorticidad

La vorticidad de un campo vectorial se puede definir mediante: ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\nabla \times \mathbf {v} .}$$

La vorticidad de un campo irrotacional es cero en todas partes. ^[6] El teorema de circulación de Kelvin establece que un fluido que es irrotacional en un flujo no viscoso seguirá siendo irrotacional. Este resultado se puede derivar de la ecuación de transporte de vorticidad , obtenida tomando el rizo de las ecuaciones de Navier-Stokes .

Para un campo bidimensional, la vorticidad actúa como una medida de la rotación local de los elementos fluidos. Tenga en cuenta que la vorticidad no implica nada sobre el comportamiento global de un fluido. Es posible que un fluido que viaja en línea recta tenga vorticidad y es posible que un fluido que se mueve en círculo sea irrotacional.

Fuerzas conservadoras

Ejemplos de campos potenciales y gradientes en física:

•  Campos escalares, potenciales escalares:
  • V _G , potencial gravitacional
  • W _pot , energía potencial (gravitacional o electrostática)
  • V _C , potencial de Coulomb
•  Campos vectoriales, campos degradados:
  • a _G , aceleración gravitacional
  • F , fuerza (gravitacional o electrostática)
  • E , intensidad del campo eléctrico

Si el campo vectorial asociado a una fuerza es conservativo, entonces se dice que la fuerza es conservativa . ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Los ejemplos más destacados de fuerzas conservativas son una fuerza gravitacional y una fuerza eléctrica asociada a un campo electrostático. Según la ley de gravitación de Newton , una fuerza gravitacional que actúa sobre una masa debido a una masa ubicada a una distancia de , obedece a la ecuación ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

donde es la constante gravitacional y es un vector unitario que apunta desde hacia . La fuerza de gravedad es conservativa porque , donde ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}}$

$${\displaystyle \Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}}$$

es la energía potencial gravitacional . En otras palabras, el campo gravitacional asociado a la fuerza gravitacional es el gradiente del potencial gravitacional asociado a la energía potencial gravitacional . Se puede demostrar que cualquier campo vectorial de la forma es conservativo, siempre que sea integrable. ${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{G}}{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$ ${\displaystyle {\frac {\Phi _{G}}{m}}}$ ${\displaystyle \Phi _{G}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle F(r)}$

Para fuerzas conservadoras , la independencia de la trayectoria se puede interpretar en el sentido de que el trabajo realizado al ir de un punto a otro es independiente de la trayectoria elegida (dependiente sólo de los puntos y ), y que el trabajo realizado al rodear una curva cerrada simple. bucle es : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.}$$

La energía total de una partícula que se mueve bajo la influencia de fuerzas conservativas se conserva, en el sentido de que una pérdida de energía potencial se convierte en una cantidad igual de energía cinética, o viceversa.

Ver también

• Campo vectorial Beltrami
• Fuerza conservadora
• sistema conservador
• Campo vectorial laminar complejo
• Descomposición de Helmholtz
• Campo vectorial laplaciano
• Campos vectoriales longitudinales y transversales
• Campo vectorial solenoide

Referencias

1. Marsden, Jerrold ; Tromba, Antonio (2003). Cálculo vectorial (Quinta ed.). WHFreedman y compañía. págs. 550–561.
2. George B. Arfken y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos , sexta edición, Elsevier Academic Press (2005)
3. Para ser independiente de la ruta, no es necesariamente continuamente diferenciable, la condición de ser diferenciable es suficiente, ya que el teorema del gradiente , que demuestra la independencia de la ruta , no requiere ser continuamente diferenciable. Debe haber una razón para que la definición de campos vectoriales conservadores requiera ser continuamente diferenciables . ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$
4. Stewart, James (2015). "16.3 El teorema fundamental de las integrales de línea"". Cálculo (8ª ed.). Cengage Learning. págs. 1127-1134. ISBN 978-1-285-74062-1.
5. Es necesario verificar si también existen diferenciales exactos para sistemas de coordenadas no ortogonales.
6. Liepmann, HW ; Roshko, A. (1993) [1957], Elementos de la dinámica de los gases , Publicaciones Courier Dover, ISBN 0-486-41963-0, págs. 194-196.

Otras lecturas

• Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0198596790.