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Fundamentos de la geometría

Fundamentos de la geometría es el estudio de las geometrías como sistemas axiomáticos . Existen varios conjuntos de axiomas que dan lugar a la geometría euclidiana o a las geometrías no euclidianas . Éstas son fundamentales para el estudio y de importancia histórica, pero hay una gran cantidad de geometrías modernas que no son euclidianas que pueden estudiarse desde este punto de vista. El término geometría axiomática se puede aplicar a cualquier geometría que se desarrolle a partir de un sistema de axiomas, pero a menudo se utiliza para referirse a la geometría euclidiana estudiada desde este punto de vista. La integridad y la independencia de los sistemas axiomáticos generales son consideraciones matemáticas importantes, pero también entran en juego cuestiones relacionadas con la enseñanza de la geometría.

Sistemas axiomáticos

Basado en los métodos griegos antiguos, un sistema axiomático es una descripción formal de una forma de establecer la verdad matemática que surge de un conjunto fijo de suposiciones. Aunque aplicable a cualquier área de las matemáticas, la geometría es la rama de las matemáticas elementales en la que este método se ha aplicado con mayor éxito. [1]

Hay varios componentes de un sistema axiomático. [2]

  1. Los primitivos (términos indefinidos) son las ideas más básicas. Normalmente incluyen objetos y relaciones. En geometría, los objetos son cosas como puntos , líneas y planos, mientras que una relación fundamental es la de incidencia : un objeto que se encuentra o se une a otro. Los términos en sí no están definidos. Hilbert comentó una vez que en lugar de puntos, líneas y planos, también se podría hablar de mesas, sillas y jarras de cerveza. [3] Su punto es que los términos primitivos son simplemente cáscaras vacías, marcadores de posición por así decirlo, y no tienen propiedades intrínsecas.
  2. Los axiomas (o postulados) son declaraciones sobre estos primitivos; por ejemplo, dos puntos cualesquiera inciden juntos con una sola línea (es decir, para dos puntos cualesquiera, hay solo una línea que pasa por ambos). Los axiomas se suponen verdaderos y no probados. Son los componentes básicos de los conceptos geométricos, ya que especifican las propiedades que tienen los primitivos.
  3. Las leyes de la lógica .
  4. Los teoremas [4] son ​​las consecuencias lógicas de los axiomas, es decir, los enunciados que se pueden obtener de los axiomas utilizando las leyes de la lógica deductiva.

Una interpretación de un sistema axiomático es una forma particular de dar significado concreto a los primitivos de ese sistema. Si esta asociación de significados hace que los axiomas del sistema sean enunciados verdaderos, entonces la interpretación se llama modelo del sistema. [5] En un modelo, todos los teoremas del sistema son automáticamente enunciados verdaderos.

Propiedades de los sistemas axiomáticos.

Al analizar sistemas axiomáticos, a menudo se centra la atención en varias propiedades: [6]

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al matemático griego alejandrino Euclides , que describió (aunque sin rigor según los estándares modernos) en su libro de texto sobre geometría : los Elementos . El método de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones ( teoremas ) a partir de ellos. Aunque muchos de los resultados de Euclides habían sido expuestos por matemáticos anteriores, [7] Euclides fue el primero en mostrar cómo estas proposiciones podrían encajar en un sistema lógico y deductivo integral . [8] Los Elementos comienzan con la geometría plana, que todavía se enseña en la escuela secundaria como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostración formal . Se pasa a la geometría sólida de tres dimensiones . Gran parte de los Elementos enuncian resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números , explicados en lenguaje geométrico. [7]

Durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque no se había concebido ningún otro tipo de geometría. Los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado de las paralelas ) que cualquier teorema demostrado a partir de ellos se consideraba verdadero en un sentido absoluto, a menudo metafísico. Hoy en día, sin embargo, se conocen muchas otras geometrías que no son euclidianas; las primeras se descubrieron a principios del siglo XIX.

Los elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides es un tratado matemático y geométrico que consta de 13 libros escritos por el antiguo matemático griego Euclides en Alejandría c. 300 a.C. Es una colección de definiciones, postulados ( axiomas ), proposiciones ( teoremas y construcciones ) y pruebas matemáticas de las proposiciones. Los trece libros cubren la geometría euclidiana y la versión griega antigua de la teoría elemental de números . Con la excepción de Sobre la esfera en movimiento de Autolycus , los Elementos es uno de los tratados matemáticos griegos más antiguos que se conservan, [9] y es el tratamiento deductivo axiomático de las matemáticas más antiguo que se conserva . Ha demostrado ser fundamental en el desarrollo de la lógica y la ciencia moderna .

Los Elementos de Euclides han sido considerados el libro de texto más exitoso [10] [11] e influyente [12] jamás escrito. Se imprimió por primera vez en Venecia en 1482, es una de las primeras obras matemáticas que se imprimió después de la invención de la imprenta y Carl Benjamin Boyer estimó que ocupaba el segundo lugar después de la Biblia en el número de ediciones publicadas. [12] y el número supera con creces el millar. [13] Durante siglos, cuando el quadrivium se incluía en el plan de estudios de todos los estudiantes universitarios, se exigía a todos los estudiantes el conocimiento de al menos parte de los Elementos de Euclides. No fue hasta el siglo XX, cuando su contenido se enseñó universalmente a través de otros libros de texto escolares, que dejó de considerarse algo que todas las personas educadas habían leído. [14]

Los Elementos son principalmente una sistematización de conocimientos previos de geometría. Se supone que se reconoció su superioridad sobre los tratamientos anteriores, con la consecuencia de que hubo poco interés en preservar los anteriores y ahora están casi todos perdidos.

Los libros I a IV y VI analizan la geometría plana. Se demuestran muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados subtendidos por los ángulos son iguales. El teorema de Pitágoras está demostrado. [15]

Los libros V y VII-X tratan de la teoría de números, y los números se tratan geométricamente mediante su representación como segmentos de recta con varias longitudes. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales. Se demuestra la infinitud de los números primos.

Los libros XI a XIII se refieren a la geometría sólida. Un resultado típico es la relación 1:3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base.

El postulado del paralelo: si dos rectas se cruzan con una tercera de tal manera que la suma de los ángulos internos de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas inevitablemente deben cruzarse entre sí en ese lado si se extienden lo suficiente.

Cerca del comienzo del primer libro de los Elementos , Euclides da cinco postulados (axiomas) para la geometría plana, expresados ​​en términos de construcciones (traducidos por Thomas Heath): [16]

"Se postule lo siguiente":

  1. "Trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto."
  2. "Producir [extender] una línea recta finita continuamente en línea recta".
  3. "Describir un círculo con cualquier centro y distancia [radio]".
  4. "Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí."
  5. El postulado del paralelo : "Que, si una recta que incide sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan en aquel lado en el que son los ángulos menores que los dos ángulos rectos."

Aunque la declaración de los postulados de Euclides sólo afirma explícitamente la existencia de las construcciones, también se supone que producen objetos únicos.

El éxito de los Elementos se debe principalmente a su presentación lógica de la mayor parte del conocimiento matemático disponible para Euclides. Gran parte del material no es original de él, aunque muchas de las pruebas supuestamente son suyas. El desarrollo sistemático de su tema por parte de Euclides, desde un pequeño conjunto de axiomas hasta resultados profundos, y la coherencia de su enfoque a lo largo de los Elementos , alentaron su uso como libro de texto durante unos 2.000 años. Los Elementos todavía influyen en los libros de geometría modernos. Además, su enfoque lógico axiomático y sus pruebas rigurosas siguen siendo la piedra angular de las matemáticas.

Una crítica a Euclides

Los estándares de rigor matemático han cambiado desde que Euclides escribió los Elementos . [17] Las actitudes y los puntos de vista modernos hacia un sistema axiomático pueden hacer que parezca que Euclides fue de alguna manera descuidado o descuidado en su enfoque del tema, pero esto es una ilusión ahistórica. Sólo después de que se examinaron cuidadosamente los cimientos en respuesta a la introducción de la geometría no euclidiana, comenzaron a surgir lo que ahora consideramos fallas . El matemático e historiador WW Rouse Ball puso estas críticas en perspectiva y señaló que "el hecho de que durante dos mil años [Los Elementos ] haya sido el libro de texto habitual sobre el tema plantea una fuerte presunción de que no es inadecuado para ese propósito". [18]

Algunos de los principales problemas con la presentación de Euclides son:

La lista de axiomas de los Elementos de Euclides no era exhaustiva, pero representaba los principios que parecían más importantes. Sus pruebas a menudo invocan nociones axiomáticas que no se presentaron originalmente en su lista de axiomas. [23] No se extravía y prueba cosas erróneas por esto, ya que hace uso de supuestos implícitos cuya validez parece estar justificada por los diagramas que acompañan a sus pruebas. Los matemáticos posteriores han incorporado los supuestos axiomáticos implícitos de Euclides en la lista de axiomas formales, ampliando así enormemente esa lista. [24]

Por ejemplo, en la primera construcción del Libro 1, Euclides utilizó una premisa que no fue postulada ni demostrada: que dos círculos con centros a la distancia de su radio se cruzarán en dos puntos. [25] Posteriormente, en la cuarta construcción, utilizó la superposición (mover los triángulos uno encima del otro) para demostrar que si dos lados y sus ángulos son iguales entonces son congruentes; Durante estas consideraciones utiliza algunas propiedades de superposición, pero estas propiedades no se describen explícitamente en el tratado. Si la superposición debe considerarse un método válido de prueba geométrica, toda la geometría estaría llena de tales pruebas. Por ejemplo, las proposiciones I.1 a I.3 pueden demostrarse trivialmente mediante superposición. [26]

Para abordar estas cuestiones en la obra de Euclides, autores posteriores intentaron llenar los vacíos en la presentación de Euclides (el más notable de estos intentos se debe a D. Hilbert ) o organizar el sistema de axiomas en torno a conceptos diferentes, como lo ha hecho GD Birkhoff . hecho.

Pasch y Peano

El matemático alemán Moritz Pasch (1843-1930) fue el primero en lograr la tarea de poner la geometría euclidiana sobre una base axiomática firme. [27] En su libro Vorlesungen über neuere Geometrie publicado en 1882, Pasch sentó las bases del método axiomático moderno. Creó el concepto de noción primitiva (que llamó Kernbegriffe ) y junto con los axiomas ( Kernsätzen ) construye un sistema formal libre de influencias intuitivas. Según Pasch, el único lugar donde la intuición debería desempeñar un papel es a la hora de decidir cuáles deberían ser las nociones y axiomas primitivos. Así, para Pasch, el punto es una noción primitiva pero la línea (línea recta) no lo es, ya que tenemos una buena intuición sobre los puntos pero nadie ha visto o tenido experiencia con una línea infinita. La noción primitiva que Pasch utiliza en su lugar es segmento de recta .

Pasch observó que el orden de los puntos en una línea (o, de manera equivalente, las propiedades de contención de los segmentos de línea) no se resuelve adecuadamente mediante los axiomas de Euclides; por tanto, el teorema de Pasch , que establece que si se cumplen dos relaciones de contención de segmentos de recta, también se cumple un tercero, no puede demostrarse a partir de los axiomas de Euclides. El axioma de Pasch relacionado se refiere a las propiedades de intersección de líneas y triángulos.

El trabajo de Pasch sobre los fundamentos estableció el estándar de rigor, no sólo en geometría sino también en el contexto más amplio de las matemáticas. Sus ideas innovadoras son ahora tan comunes que es difícil recordar que tuvieron un único creador. El trabajo de Pasch influyó directamente en muchos otros matemáticos, en particular en D. Hilbert y en el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932). El trabajo de Peano sobre geometría de 1889, en gran parte una traducción del tratado de Pasch a la notación de la lógica simbólica (que inventó Peano), utiliza las nociones primitivas de punto y punto intermedio . [28] Peano rompe el vínculo empírico en la elección de nociones y axiomas primitivos que Pasch requería. Para Peano, todo el sistema es puramente formal, divorciado de cualquier aportación empírica. [29]

Pieri y la escuela italiana de geómetras

El matemático italiano Mario Pieri (1860-1913) adoptó un enfoque diferente y consideró un sistema en el que sólo había dos nociones primitivas, la de punto y la de movimiento . [30] Pasch había utilizado cuatro primitivos y Peano los había reducido a tres, pero ambos enfoques se basaban en algún concepto de intermediación que Pieri reemplazó por su formulación de movimiento . En 1905 Pieri dio el primer tratamiento axiomático de la geometría proyectiva compleja que no comenzaba por construir una geometría proyectiva real .

Pieri era miembro de un grupo de geómetras y lógicos italianos que Peano había reunido a su alrededor en Turín. Este grupo de asistentes, colegas jóvenes y otros se dedicaron a llevar a cabo el programa lógico-geométrico de Peano de sentar los fundamentos de la geometría sobre una base axiomática firme basada en el simbolismo lógico de Peano. Además de Pieri, en este grupo estaban Burali-Forti , Padoa y Fano . En 1900 se celebraron dos conferencias internacionales consecutivas en París, el Congreso Internacional de Filosofía y el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos . Este grupo de matemáticos italianos estuvo muy presente en estos congresos, impulsando su agenda axiomática. [31] Padoa dio una charla bien considerada y Peano, en el período de preguntas después del famoso discurso de David Hilbert sobre problemas no resueltos , comentó que sus colegas ya habían resuelto el segundo problema de Hilbert.

axiomas de hilbert

David Hilbert

En la Universidad de Göttingen, durante el semestre de invierno de 1898-1899, el eminente matemático alemán David Hilbert (1862-1943) presentó un curso de conferencias sobre los fundamentos de la geometría. A petición de Felix Klein , se pidió al profesor Hilbert que redactara los apuntes de este curso a tiempo para la ceremonia de inauguración de un monumento a CF Gauss y Wilhelm Weber en el verano de 1899 , que se celebraría en la universidad. Las conferencias reorganizadas se publicaron en junio de 1899 con el título Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría). La influencia del libro fue inmediata. Según Eves (1963, págs. 384-5):

Al desarrollar un conjunto de postulados para la geometría euclidiana que no se aleja demasiado en espíritu del propio Euclides, y al emplear un mínimo de simbolismo, Hilbert logró convencer a los matemáticos en mucha mayor medida que Pasch y Peano, de la teoría puramente hipotético-deductiva. naturaleza de la geometría. Pero la influencia del trabajo de Hilbert fue mucho más allá, ya que, respaldado por la gran autoridad matemática del autor, implantó firmemente el método postulacional, no sólo en el campo de la geometría, sino esencialmente en todas las demás ramas de las matemáticas. Es difícil sobreestimar el estímulo para el desarrollo de los fundamentos de las matemáticas que proporcionó el librito de Hilbert. Al carecer del extraño simbolismo de las obras de Pasch y Peano, la obra de Hilbert puede ser leída, en gran parte, por cualquier estudiante inteligente de geometría de secundaria.

Es difícil especificar los axiomas utilizados por Hilbert sin hacer referencia a la historia de publicación de los Grundlagen, ya que Hilbert los cambió y modificó varias veces. La monografía original fue seguida rápidamente por una traducción francesa, en la que Hilbert añadió V.2, el Axioma de Completitud. EJ Townsend realizó una traducción al inglés, autorizada por Hilbert, con derechos de autor en 1902. [32] Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción francesa y, por lo tanto, se considera una traducción de la segunda edición. Hilbert continuó haciendo cambios en el texto y aparecieron varias ediciones en alemán. La séptima edición fue la última que apareció en vida de Hilbert. A la séptima siguieron nuevas ediciones, pero el texto principal esencialmente no fue revisado. Las modificaciones en estas ediciones se producen en los apéndices y en los suplementos. Los cambios en el texto fueron grandes en comparación con el original y Open Court Publishers, que había publicado la traducción de Townsend, encargó una nueva traducción al inglés. Entonces, la segunda edición en inglés fue traducida por Leo Unger de la décima edición alemana en 1971. [33] Esta traducción incorpora varias revisiones y ampliaciones de las ediciones alemanas posteriores de Paul Bernays. Las diferencias entre las dos traducciones al inglés se deben no sólo a Hilbert, sino también a las diferentes elecciones realizadas por los dos traductores. Lo que sigue se basará en la traducción de Unger.

El sistema de axiomas de Hilbert se construye con seis nociones primitivas : punto , línea , plano , intermediación , contención y congruencia .

Todos los puntos, líneas y planos de los siguientes axiomas son distintos a menos que se indique lo contrario.

I. Incidencia
  1. Por cada dos puntos A y B existe una recta a que los contiene a ambos. Escribimos AB = a o BA = a . En lugar de “contiene”, también podemos emplear otras formas de expresión; por ejemplo, podemos decir “ A se encuentra sobre a ”, “ A es un punto de a ”, “ a pasa por A y por B ”, “ a une A con B ”, etc. Si A se encuentra sobre a y en el Al mismo tiempo, sobre otra línea b , utilizamos también la expresión: “Las líneas a y b tienen en común el punto A ”, etc.
  2. Por cada dos puntos no existe más de una recta que los contenga a ambos; en consecuencia, si AB = a y AC = a , donde B ≠ C , entonces también BC = a .
  3. Existen al menos dos puntos en una línea. Existen al menos tres puntos que no se encuentran sobre una recta.
  4. Por cada tres puntos A , B , C no situados en la misma recta existe un plano α que los contiene a todos. Para cada plano existe un punto que se encuentra sobre él. Escribimos ABC = α . Empleamos también las expresiones: “ A , B , C , se encuentran en α”; “A, B, C son puntos de α”, etc.
  5. Por cada tres puntos A , B , C que no se encuentran en la misma recta, no existe más que un plano que los contenga a todos.
  6. Si dos puntos A , B de una recta a se encuentran en un plano α, entonces cada punto de a se encuentra en α. En este caso decimos: “La recta a se encuentra en el plano α”, etc.
  7. Si dos planos α, β tienen un punto A en común, entonces tienen al menos un segundo punto B en común.
  8. Existen al menos cuatro puntos que no se encuentran en un plano.
II. Orden
  1. Si un punto B se encuentra entre los puntos A y C , B también está entre C y A , y existe una línea que contiene los distintos puntos A,B,C .
  2. Si A y C son dos puntos de una recta , entonces existe al menos un punto B entre A y C.
  3. De tres puntos cualesquiera situados en una recta, no hay más que uno que se encuentre entre los otros dos.
  4. Axioma de Pasch : Sean A , B , C tres puntos que no están en la misma línea y sea a una línea que se encuentra en el plano ABC y no pasa por ninguno de los puntos A , B , C. Entonces, si la recta a pasa por un punto del segmento AB , también pasará por un punto del segmento BC o por un punto del segmento AC .
III. Congruencia
  1. Si A , B son dos puntos de una recta a , y si A′ es un punto de la misma recta a′ o de otra , entonces, sobre un lado dado de A′ en la recta a′ , siempre podemos encontrar un punto B′ de modo que el segmento AB sea congruente con el segmento A′B′ . Indicamos esta relación escribiendo AB ≅ A′ B′ . Cada segmento es congruente consigo mismo; es decir, siempre tenemos AB ≅ AB .
    Podemos enunciar brevemente el axioma anterior diciendo que cada segmento se puede colocar en un lado dado de un punto dado de una línea recta dada en al menos una forma.
  2. Si un segmento AB es congruente con el segmento A′B′ y también con el segmento A″B″ , entonces el segmento A′B′ es congruente con el segmento A″B″ ; es decir, si AB ≅ A′B′ y AB ≅ A″B″ , entonces A′B′ ≅ A″B″ .
  3. Sean AB y BC dos segmentos de una recta a que no tienen puntos en común aparte del punto B , y, además, sean A′B′ y B′C′ dos segmentos de la misma o de otra recta a′ que tengan , asimismo, ningún otro punto en común que B′ . Entonces, si AB ≅ A′B′ y BC ≅ B′C′ , tenemos AC ≅ A′C′ .
  4. Sea un ángulo ∠ ( h , k ) en el plano α y una línea a′ en un plano α′. Supongamos también que, en el plano α′, se asigna un lado definido de la recta a′ . Denotemos por h′ un rayo de la recta a′ que parte de un punto O′ de esta recta. Entonces en el plano α′ existe uno y sólo un rayo k′ tal que el ángulo ∠ ( h , k ), o ∠ ( k , h ), es congruente con el ángulo ∠ ( h′ , k′ ) y en el Al mismo tiempo, todos los puntos interiores del ángulo ∠ ( h′ , k′ ) se encuentran en el lado dado de a′ . Expresamos esta relación mediante la notación ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ).
  5. Si el ángulo ∠ ( h , k ) es congruente con el ángulo ∠ ( h′ , k′ ) y con el ángulo ∠ ( h″ , k″ ), entonces el ángulo ∠ ( h′ , k′ ) es congruente con el ángulo ∠ ( h″ , k″ ); es decir, si ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ) y ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ), entonces ∠ ( h′ , k′ ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ).
IV. Paralelas
  1. (Axioma de Euclides): [34] Sea a cualquier línea y A un punto que no está en ella. Entonces hay como máximo una recta en el plano, determinada por a y A , que pasa por A y no corta a a .
V. Continuidad
  1. Axioma de Arquímedes . Si AB y CD son segmentos, entonces existe un número n tal que n segmentos CD construidos contiguamente desde A , a lo largo del rayo de A a B , pasarán más allá del punto B.
  2. Axioma de completitud de líneas . Una extensión de un conjunto de puntos en una línea con sus relaciones de orden y congruencia que preservaría las relaciones existentes entre los elementos originales, así como las propiedades fundamentales del orden de las líneas y la congruencia que se derivan de los axiomas I-III y de V-1 es imposible.

Cambios en los axiomas de Hilbert

Cuando se tradujo al francés la monografía de 1899, Hilbert añadió:

V.2 Axioma de completitud . A un sistema de puntos, rectas y planos, es imposible añadir otros elementos de tal manera que el sistema así generalizado forme una nueva geometría que obedezca a los cinco grupos de axiomas. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, si consideramos válidos los cinco grupos de axiomas.

Este axioma no es necesario para el desarrollo de la geometría euclidiana, pero sí para establecer una biyección entre los números reales y los puntos de una recta. [35] Este fue un ingrediente esencial en la prueba de Hilbert de la consistencia de su sistema de axiomas.

En la séptima edición de Grundlagen , este axioma había sido reemplazado por el axioma de completitud de línea dado anteriormente y el antiguo axioma V.2 se convirtió en el Teorema 32.

También se encuentra en la monografía de 1899 (y aparece en la traducción de Townsend):

II.4. Cualesquiera cuatro puntos A , B , C , D de una línea siempre pueden etiquetarse de modo que B esté entre A y C y también entre A y D , y, además, que C esté entre A y D y también entre B y D .

Sin embargo, EH Moore y RL Moore demostraron de forma independiente que este axioma es redundante, y el primero publicó este resultado en un artículo que apareció en Transactions of the American Mathematical Society en 1902. [36] Hilbert trasladó el axioma al Teorema 5 y volvió a numerar los axiomas. en consecuencia (el antiguo axioma II-5 (axioma de Pasch) ahora se convirtió en II-4).

Si bien no fueron tan dramáticos como estos cambios, la mayoría de los axiomas restantes también fueron modificados en forma y/o función en el transcurso de las primeras siete ediciones.

Coherencia e independencia

Yendo más allá del establecimiento de un conjunto satisfactorio de axiomas, Hilbert también demostró la coherencia de su sistema en relación con la teoría de los números reales construyendo un modelo de su sistema de axiomas a partir de los números reales. Demostró la independencia de algunos de sus axiomas construyendo modelos de geometrías que satisfacen todos excepto el axioma bajo consideración. Por lo tanto, hay ejemplos de geometrías que satisfacen todos excepto el axioma de Arquímedes V.1 (geometrías no de Arquímedes), todas excepto el axioma de las paralelas IV.1 (geometrías no euclidianas), etc. Utilizando la misma técnica, también demostró cómo algunos teoremas importantes dependían de ciertos axiomas y eran independientes de otros. Algunos de sus modelos eran muy complejos y otros matemáticos intentaron simplificarlos. Por ejemplo, el modelo de Hilbert para mostrar la independencia del teorema de Desargues de ciertos axiomas finalmente llevó a Ray Moulton a descubrir el plano de Moulton no desarguesiano . Estas investigaciones de Hilbert prácticamente inauguraron el estudio moderno de la geometría abstracta en el siglo XX. [37]

Los axiomas de Birkhoff

George David Birkhoff

En 1932, GD Birkhoff creó un conjunto de cuatro postulados de la geometría euclidiana a los que a veces se hace referencia como axiomas de Birkhoff . [38] Todos estos postulados se basan en una geometría básica que puede verificarse experimentalmente con una escala y un transportador . En un alejamiento radical del enfoque sintético de Hilbert, Birkhoff fue el primero en construir las bases de la geometría sobre el sistema de números reales . [39] Es esta poderosa suposición la que permite el pequeño número de axiomas en este sistema.

Postulados

Birkhoff utiliza cuatro términos indefinidos: punto , recta , distancia y ángulo . Sus postulados son: [40]

Postulado I: Postulado de Medida de Línea . Los puntos A , B , ... de cualquier recta se pueden poner en correspondencia 1:1 con los números reales x de modo que | x B  − x A | = d( A, B ) para todos los puntos A y  B . 

Postulado II: Postulado de la línea del punto . Hay una y sólo una línea recta, ℓ , que contiene dos puntos distintos dados P y  Q.

Postulado III: Postulado de la medida de los ángulos . Los rayos { ℓ, m, n , ...} que pasan por cualquier punto O se pueden poner en correspondencia 1:1 con los números reales a  (mod 2 π ) de modo que si A y B son puntos (no iguales a O ) de ℓ y m , respectivamente, la diferencia a m  −  a ℓ  (mod 2π) de los números asociados con las líneas ℓ y m es AOB . Además, si el punto B en m varía continuamente en una recta r que no contiene el vértice O , el número am también varía continuamente.

Postulado IV: Postulado de Semejanza . Si en dos triángulos ABC y A'B'C'  y para alguna constante k  > 0, d ( A', B' ) =  kd ( A, B ), d ( A', C'  ) =  kd ( A, C ) y B'A'C'   = ± BAC , entonces d ( B', C'  ) =  kd ( B, C ), C'B'A'   = ± CBA y A'C'B'   = ± ACB . 

Geometría escolar

George Bruce Halsted

Ha sido un tema de debate si es prudente o no enseñar geometría euclidiana desde un punto de vista axiomático en el nivel de la escuela secundaria. Ha habido muchos intentos de hacerlo y no todos han tenido éxito. En 1904, George Bruce Halsted publicó un texto de geometría para la escuela secundaria basado en el conjunto de axiomas de Hilbert. [41] Las críticas lógicas a este texto llevaron a una segunda edición muy revisada. [42] En reacción al lanzamiento del satélite ruso Sputnik, hubo un llamamiento en los Estados Unidos para revisar el plan de estudios de matemáticas de las escuelas. De este esfuerzo surgió el programa New Math de los años 1960. Con esto como antecedente, muchos individuos y grupos se propusieron proporcionar material textual para las clases de geometría basado en un enfoque axiomático.

Axiomas de Mac Lane

Saunders Mac Lane

Saunders Mac Lane (1909-2005), matemático, [43] escribió un artículo en 1959 en el que proponía un conjunto de axiomas para la geometría euclidiana en el espíritu del tratamiento de Birkhoff utilizando una función de distancia para asociar números reales con segmentos de línea. [44] Este no fue el primer intento de basar un tratamiento a nivel escolar en el sistema de Birkhoff; de hecho, Birkhoff y Ralph Beatley habían escrito un texto de escuela secundaria en 1940 [45] que desarrollaba la geometría euclidiana a partir de cinco axiomas y la capacidad de medir líneas. segmentos y ángulos. Sin embargo, para adaptar el tratamiento a una audiencia de secundaria, se ignoraron o se ignoraron algunos argumentos matemáticos y lógicos. [42]

En el sistema de Mac Lane existen cuatro nociones primitivas (términos indefinidos): punto , distancia , recta y medida de ángulo . También hay 14 axiomas, cuatro que dan las propiedades de la función de distancia, cuatro que describen propiedades de las líneas, cuatro que analizan los ángulos (que en este tratamiento son ángulos dirigidos), un axioma de similitud (esencialmente el mismo que el de Birkhoff) y un axioma de continuidad que puede utilizarse para derivar el teorema de la barra transversal y su inverso. [46] El mayor número de axiomas tiene la ventaja pedagógica de hacer que las primeras pruebas en el desarrollo sean más fáciles de seguir y el uso de una métrica familiar permite un avance rápido a través del material básico para que se puedan obtener los aspectos más "interesantes" del tema. a antes.

Axiomas del SMSG (Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares)

En la década de 1960, el Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares (SMSG) introdujo un nuevo conjunto de axiomas para la geometría euclidiana, adecuado para los cursos de geometría de las escuelas secundarias estadounidenses, como parte del nuevo plan de estudios de matemáticas. Este conjunto de axiomas sigue el modelo de Birkhoff de utilizar números reales para acceder rápidamente a los fundamentos geométricos. Sin embargo, mientras Birkhoff intentó minimizar el número de axiomas utilizados y la mayoría de los autores estaban preocupados por la independencia de los axiomas en sus tratamientos, la lista de axiomas SMSG se hizo intencionalmente grande y redundante por razones pedagógicas. [47] El SMSG sólo produjo un texto mimeografiado utilizando estos axiomas, [48] pero Edwin E. Moise , miembro del SMSG, escribió un texto de escuela secundaria basado en este sistema, [49] y un texto de nivel universitario, Moise ( 1974), eliminando parte de la redundancia y modificando los axiomas para un público más sofisticado. [50]

Hay ocho términos indefinidos: punto , recta , plano , mentiras , medida de ángulo , distancia , área y volumen . Los 22 axiomas de este sistema reciben nombres individuales para facilitar la referencia. Entre ellos se encuentran: el postulado de la regla, el postulado de la colocación de la regla, el postulado de la separación de planos, el postulado de la suma de ángulos, el postulado del lado del ángulo lateral (SAS), el postulado de las paralelas (en la forma de Playfair ) y el principio de Cavalieri . [51]

Axiomas del UCSMP (Proyecto de Matemáticas Escolares de la Universidad de Chicago)

Aunque gran parte del nuevo plan de estudios de matemáticas ha sido modificado o abandonado drásticamente, la parte de geometría se ha mantenido relativamente estable en los Estados Unidos. Los libros de texto de secundaria estadounidenses modernos utilizan sistemas de axiomas que son muy similares a los del SMSG. Por ejemplo, los textos elaborados por el Proyecto de Matemáticas Escolares de la Universidad de Chicago (UCSMP) utilizan un sistema que, además de cierta actualización del lenguaje, se diferencia principalmente del sistema SMSG en que incluye algunos conceptos de transformación bajo su "Postulado de Reflexión". [47]

Sólo hay tres términos indefinidos: punto , recta y plano . Hay ocho "postulados", pero la mayoría de ellos tienen varias partes (que generalmente se denominan supuestos en este sistema). Contando estas partes, hay 32 axiomas en este sistema. Entre los postulados se pueden encontrar el postulado del punto-recta-plano , el postulado de la desigualdad del triángulo , los postulados de distancia, medición de ángulos, ángulos correspondientes, área y volumen, y el postulado de la reflexión. El postulado de reflexión se utiliza como reemplazo del postulado SAS del sistema SMSG. [52]

Otros sistemas

Oswald Veblen (1880 – 1960) proporcionó un nuevo sistema de axiomas en 1904 cuando reemplazó el concepto de "intermediación", utilizado por Hilbert y Pasch, por un nuevo orden primitivo . Esto permitió que varios términos primitivos utilizados por Hilbert se convirtieran en entidades definidas, reduciendo el número de nociones primitivas a dos, punto y orden . [37]

A lo largo de los años se han propuesto muchos otros sistemas axiomáticos para la geometría euclidiana. Se puede encontrar una comparación de muchos de estos en una monografía de 1927 de Henry George Forder. [53] Forder también da, combinando axiomas de diferentes sistemas, su propio tratamiento basado en las dos nociones primitivas de punto y orden . También proporciona un tratamiento más abstracto de uno de los sistemas de Pieri (de 1909) basado en los primitivos punto y congruencia . [42]

A partir de Peano, ha habido un hilo paralelo de interés entre los lógicos sobre los fundamentos axiomáticos de la geometría euclidiana. Esto puede verse, en parte, en la notación utilizada para describir los axiomas. Pieri afirmó que, aunque escribía en el lenguaje tradicional de la geometría, siempre pensaba en términos de la notación lógica introducida por Peano y utilizaba ese formalismo para ver cómo probar las cosas. Un ejemplo típico de este tipo de notación se puede encontrar en el trabajo de EV Huntington (1874 – 1952) quien, en 1913, [54] produjo un tratamiento axiomático de la geometría euclidiana tridimensional basado en las nociones primitivas de esfera e inclusión ( una esfera situada dentro de otra). [42] Más allá de la notación, también hay interés en la estructura lógica de la teoría de la geometría. Alfred Tarski demostró que una parte de la geometría, a la que llamó geometría elemental , es una teoría lógica de primer orden (véanse los axiomas de Tarski ).

Los tratamientos textuales modernos de los fundamentos axiomáticos de la geometría euclidiana siguen el patrón de HG Forder y Gilbert de B. Robinson [55], quienes mezclan y combinan axiomas de diferentes sistemas para producir diferentes énfasis. Venema (2006) es un ejemplo moderno de este enfoque.

Geometría no euclidiana

En vista del papel que desempeñan las matemáticas en la ciencia y las implicaciones del conocimiento científico para todas nuestras creencias, los cambios revolucionarios en la comprensión por parte del hombre de la naturaleza de las matemáticas no podrían sino significar cambios revolucionarios en su comprensión de la ciencia, las doctrinas filosóficas, religiosas y éticas. creencias y, de hecho, todas las disciplinas intelectuales. [56]

En la primera mitad del siglo XIX tuvo lugar una revolución en el campo de la geometría que fue tan científicamente importante como la revolución copernicana en astronomía y tan filosóficamente profunda como la teoría darwiniana de la evolución en su impacto en la forma de pensar. Esta fue la consecuencia del descubrimiento de la geometría no euclidiana. [57] Durante más de dos mil años, a partir de la época de Euclides, los postulados que fundamentaron la geometría se consideraron verdades evidentes sobre el espacio físico. Los geómetras pensaban que de ellos deducían otras verdades más oscuras, sin posibilidad de error. Esta visión se volvió insostenible con el desarrollo de la geometría hiperbólica. Ahora había dos sistemas de geometría incompatibles (y vinieron más después) que eran autoconsistentes y compatibles con el mundo físico observable. "A partir de este momento, toda la discusión sobre la relación entre geometría y espacio físico se llevó a cabo en términos bastante diferentes." (Moise 1974, p. 388)

Para obtener una geometría no euclidiana, se debe sustituir el postulado de las paralelas (o su equivalente) por su negación . Negar la forma del axioma de Playfair , dado que es un enunciado compuesto (... existe uno y sólo uno...), se puede hacer de dos maneras. O existirá más de una línea que pase por el punto paralelo a la línea dada o no existirá ninguna línea que pase por el punto paralelo a la línea dada. En el primer caso, reemplazando el postulado de las paralelas (o su equivalente) con la afirmación "En un plano, dado un punto P y una recta ℓ que no pasa por P, existen dos rectas que pasan por P y que no cortan a ℓ " y manteniendo todas los otros axiomas producen geometría hiperbólica . [58] El segundo caso no se trata tan fácilmente. Simplemente reemplazar el postulado de las paralelas con la afirmación: "En un plano, dado un punto P y una línea ℓ que no pasa por P, todas las líneas que pasan por P se encuentran con ℓ ", no proporciona un conjunto consistente de axiomas. Esto se deduce ya que las líneas paralelas existen en la geometría absoluta, [59] pero esta afirmación diría que no hay líneas paralelas. Este problema era conocido (de otra manera) por Khayyam, Saccheri y Lambert y fue la base para rechazar lo que se conoció como el "caso del ángulo obtuso". Para obtener un conjunto consistente de axiomas que incluya este axioma de no tener líneas paralelas, se deben modificar algunos de los otros axiomas. Los ajustes a realizar dependen del sistema de axiomas que se utilice. Entre otros, estos ajustes tendrán el efecto de modificar el segundo postulado de Euclides, desde la afirmación de que los segmentos de línea se pueden extender indefinidamente a la afirmación de que las líneas no están acotadas. La geometría elíptica de Riemann surge como la geometría más natural que satisface este axioma.

Fue Gauss quien acuñó el término "geometría no euclidiana". [60] Se refería a su propio trabajo inédito, que hoy llamamos geometría hiperbólica . Varios autores todavía consideran que "geometría no euclidiana" y "geometría hiperbólica" son sinónimos. En 1871, Felix Klein , adaptando una métrica discutida por Arthur Cayley en 1852, pudo llevar las propiedades métricas a un entorno proyectivo y así pudo unificar los tratamientos de la geometría hiperbólica, euclidiana y elíptica bajo el paraguas de la geometría proyectiva . [61] Klein es responsable de los términos "hiperbólica" y "elíptica" (en su sistema llamó a la geometría euclidiana "parabólica", término que no ha sobrevivido a la prueba del tiempo y que hoy en día sólo se utiliza en unas pocas disciplinas). La influencia ha llevado al uso común del término "geometría no euclidiana" para significar geometría "hiperbólica" o "elíptica".

Hay algunos matemáticos que ampliarían la lista de geometrías que deberían llamarse "no euclidianas" de varias maneras. En otras disciplinas, sobre todo en la física matemática , donde la influencia de Klein no fue tan fuerte, el término "no euclidiano" a menudo se considera no euclidiano.

El postulado paralelo de Euclides

Durante dos mil años, se hicieron muchos intentos de probar el postulado de las paralelas utilizando los primeros cuatro postulados de Euclides. Una posible razón por la que tal prueba era tan buscada fue que, a diferencia de los primeros cuatro postulados, el postulado paralelo no es evidente por sí mismo. Si el orden de los postulados enumerados en los Elementos fuera significativo, indicaría que Euclides incluyó este postulado sólo cuando se dio cuenta de que no podía probarlo ni proceder sin él. [62] Se hicieron muchos intentos para probar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, muchos de ellos fueron aceptados como pruebas durante largos períodos de tiempo hasta que se encontró el error. Invariablemente el error fue asumir alguna propiedad "obvia" que resultó ser equivalente al quinto postulado. Con el tiempo se comprendió que este postulado tal vez no fuera demostrable a partir de los otros cuatro. Según Trudeau (1987, p. 154) esta opinión sobre el postulado paralelo (Postulado 5) sí aparece impresa:

Al parecer, el primero en hacerlo fue GS Klügel (1739-1812), estudiante de doctorado en la Universidad de Gotinga, con el apoyo de su maestro AG Kästner, en su disertación de 1763 Conatuum praecipuorum theoriam paralelolarum demonstrandi recensio (Reseña de los más célebres Intentos de demostrar la teoría de los paralelos). En este trabajo, Klügel examinó 28 intentos de probar el Postulado 5 (incluido el de Saccheri), los encontró todos deficientes y ofreció la opinión de que el Postulado 5 no es demostrable y se apoya únicamente en el juicio de nuestros sentidos.

El comienzo del siglo XIX sería finalmente testigo de pasos decisivos en la creación de una geometría no euclidiana. Alrededor de 1813, Carl Friedrich Gauss e independientemente alrededor de 1818, el profesor de derecho alemán Ferdinand Karl Schweikart [63] desarrollaron las ideas germinales de la geometría no euclidiana, pero ninguno de los dos publicó ningún resultado. Luego, hacia 1830, el matemático húngaro János Bolyai y el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaron por separado tratados sobre lo que hoy llamamos geometría hiperbólica . En consecuencia, la geometría hiperbólica ha sido denominada geometría Bolyai-Lobachevskiana, ya que ambos matemáticos, independientemente uno del otro, son los autores básicos de la geometría no euclidiana. Gauss mencionó al padre de Bolyai, cuando le mostró el trabajo del joven Bolyai, que había desarrollado dicha geometría varios años antes, [64] aunque no la publicó. Mientras Lobachevsky creó una geometría no euclidiana al negar el postulado de las paralelas, Bolyai elaboró ​​una geometría en la que tanto la geometría euclidiana como la hiperbólica son posibles dependiendo de un parámetro k . Bolyai finaliza su trabajo mencionando que no es posible decidir mediante el razonamiento matemático únicamente si la geometría del universo físico es euclidiana o no euclidiana; Esta es una tarea para las ciencias físicas. La independencia del postulado de las paralelas de los demás axiomas de Euclides fue finalmente demostrada por Eugenio Beltrami en 1868. [65]

Los diversos intentos de demostración del postulado de las paralelas produjeron una larga lista de teoremas que son equivalentes al postulado de las paralelas. La equivalencia aquí significa que en presencia de los otros axiomas de la geometría se puede suponer que cada uno de estos teoremas es verdadero y el postulado de las paralelas se puede demostrar a partir de este conjunto alterado de axiomas. Esto no es lo mismo que la equivalencia lógica . [66] En diferentes conjuntos de axiomas de la geometría euclidiana, cualquiera de ellos puede reemplazar el postulado de las paralelas euclidianas. [67] La ​​siguiente lista parcial indica algunos de estos teoremas que son de interés histórico. [68]

  1. Las rectas paralelas son equidistantes. (Poseidónio, siglo I a.C.)
  2. Todos los puntos equidistantes de una recta dada, en un lado dado de ella, constituyen una recta. (Cristóbal Clavio, 1574)
  3. El axioma de Playfair . En un plano hay como máximo una recta que se puede trazar paralela a otra dada por un punto exterior. (Proclo, siglo V, pero popularizado por John Playfair, finales del siglo XVIII)
  4. La suma de los ángulos de cada triángulo es 180° (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, principios del siglo XIX)
  5. Existe un triángulo cuyos ángulos suman 180°. (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, principios del siglo XIX)
  6. Existe un par de triángulos similares , pero no congruentes . (Gerolamo Saccheri, 1733)
  7. Todo triángulo se puede circunscribir . (Adrien-Marie Legendre, Farkas Bolyai, principios del siglo XIX)
  8. Si tres ángulos de un cuadrilátero son ángulos rectos , entonces el cuarto ángulo también es recto. (Alexis-Claude Clairaut, 1741; Johann Heinrich Lambert, 1766)
  9. Existe un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos. (Géralamo Saccheri, 1733)
  10. El postulado de Wallis . Sobre una recta finita dada siempre es posible construir un triángulo similar a un triángulo dado. (John Wallis, 1663; Lazare-Nicholas-Marguerite Carnot, 1803; Adrien-Marie Legendre, 1824)
  11. No hay límite superior para el área de un triángulo. (Carl Friedrich Gauss, 1799)
  12. Los ángulos de la cumbre del cuadrilátero Saccheri son de 90°. (Géralamo Saccheri, 1733)
  13. Axioma de Proclo . Si una recta corta a una de dos rectas paralelas, ambas coplanares con la recta original, entonces también corta a la otra. (Proclo, siglo V)

Geometría neutra (o absoluta)

La geometría absoluta es una geometría basada en un sistema de axiomas que consta de todos los axiomas que dan la geometría euclidiana excepto el postulado de las paralelas o cualquiera de sus alternativas. [69] El término fue introducido por János Bolyai en 1832. [70] A veces se le conoce como geometría neutral , [71] ya que es neutral con respecto al postulado de las paralelas.

Relación con otras geometrías

En los Elementos de Euclides , las primeras 28 proposiciones y la Proposición I.31 evitan el uso del postulado de las paralelas y, por tanto, son teoremas válidos en geometría absoluta. [72] La Proposición I.31 prueba la existencia de rectas paralelas (por construcción). Además, se puede demostrar el teorema de Saccheri-Legendre , que establece que la suma de los ángulos de un triángulo es como máximo 180°.

Los teoremas de la geometría absoluta son válidos tanto en la geometría hiperbólica como en la geometría euclidiana . [73]

La geometría absoluta es inconsistente con la geometría elíptica : en la geometría elíptica no hay líneas paralelas en absoluto, pero en la geometría absoluta sí existen líneas paralelas. Además, en geometría elíptica, la suma de los ángulos de cualquier triángulo es mayor que 180°.

Incompletitud

Lógicamente, los axiomas no forman una teoría completa, ya que se pueden agregar axiomas independientes adicionales sin que el sistema de axiomas sea inconsistente. Se puede ampliar la geometría absoluta agregando diferentes axiomas sobre el paralelismo y obtener sistemas de axiomas incompatibles pero consistentes, dando lugar a la geometría euclidiana e hiperbólica. Por tanto, todo teorema de la geometría absoluta es un teorema de la geometría hiperbólica y de la geometría euclidiana. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Además, la geometría absoluta no es una teoría categórica , ya que tiene modelos que no son isomórficos. [74]

Geometría hiperbólica

En el enfoque axiomático de la geometría hiperbólica (también conocida como geometría Lobachevskiana o geometría Bolyai-Lobachevskiana), se agrega un axioma adicional a los axiomas que dan geometría absoluta . El nuevo axioma es el postulado de las paralelas de Lobachevsky (también conocido como postulado característico de la geometría hiperbólica ): [75]

Por un punto que no está en una recta dada existen (en el plano determinado por este punto y esa recta) al menos dos rectas que no se cruzan con la recta dada.

Con esta adición, el sistema de axiomas ya está completo.

Aunque el nuevo axioma afirma sólo la existencia de dos rectas, se establece fácilmente que hay un número infinito de rectas que pasan por un punto dado y que no se cruzan con la recta dada. Dada esta plenitud, hay que tener cuidado con la terminología en este contexto, ya que el término línea paralela ya no tiene el significado único que tiene en la geometría euclidiana. Específicamente, sea P un punto que no esté en una línea dada . Sea PA la perpendicular trazada desde P hasta (que se encuentra en el punto A ). Las rectas que pasan por P se dividen en dos clases, las que se encuentran y las que no. El postulado característico de la geometría hiperbólica dice que existen al menos dos rectas de este último tipo. De las líneas que no se encuentran , habrá (a cada lado de PA ) una línea que forma el ángulo más pequeño con PA . A veces, estas líneas se denominan las primeras líneas que pasan por P y que no se encuentran y se denominan de diversas formas líneas limitantes, asintóticas o paralelas (cuando se usa este último término, estas son las únicas líneas paralelas). Todas las demás rectas que pasan por P y que no se cruzan se denominan rectas que no se cruzan o ultraparalelas .

Dado que tanto la geometría hiperbólica como la geometría euclidiana se basan en los axiomas de la geometría absoluta, comparten muchas propiedades y proposiciones. Sin embargo, las consecuencias de reemplazar el postulado de las paralelas de la geometría euclidiana por el postulado característico de la geometría hiperbólica pueden ser dramáticas. Por mencionar algunos de estos:

Cuadrilátero de Lambert en geometría hiperbólica

Los defensores de la posición de que la geometría euclidiana es la única geometría "verdadera" sufrieron un revés cuando, en una memoria publicada en 1868, "Teoría fundamental de los espacios de curvatura constante", [76] Eugenio Beltrami dio una prueba abstracta de la equiconsistencia de Geometría hiperbólica y euclidiana para cualquier dimensión. Lo logró introduciendo varios modelos de geometría no euclidiana que ahora se conocen como modelo de Beltrami-Klein , modelo de disco de Poincaré y modelo de semiplano de Poincaré , junto con transformaciones que los relacionan. Para el modelo de semiplano, Beltrami citó una nota de Liouville en el tratado de Monge sobre geometría diferencial . Beltrami también demostró que la geometría euclidiana de n dimensiones se realiza en una horósfera del espacio hiperbólico de dimensiones ( n  + 1) , por lo que la relación lógica entre la consistencia de las geometrías euclidiana y no euclidiana es simétrica.

Geometría elíptica

Otra forma de modificar el postulado de las paralelas euclidianas es suponer que no hay rectas paralelas en un plano. A diferencia de la situación con la geometría hiperbólica , donde simplemente agregamos un nuevo axioma, no podemos obtener un sistema consistente agregando esta afirmación como un nuevo axioma a los axiomas de la geometría absoluta . Esto se deduce ya que se puede demostrar que existen líneas paralelas en geometría absoluta. Es necesario cambiar otros axiomas.

Comenzando con los axiomas de Hilbert, los cambios necesarios implican eliminar los cuatro axiomas de orden de Hilbert y reemplazarlos con estos siete axiomas de separación relacionados con una nueva relación indefinida. [77]

Existe una relación indefinida ( primitiva ) entre cuatro puntos, A , B , C y D, denotada por ( A , C | B , D ) y leída como " A y C separan B y D ", [78] que satisface estos axiomas:

  1. Si ( A , B | C , D ), entonces los puntos A , B , C y D son colineales y distintos.
  2. Si ( A , B | C , D ), entonces ( C , D | A , B ) y ( B , A | D , C ).
  3. Si ( A , B | C , D ), entonces no ( A , C | B , D ).
  4. Si los puntos A , B , C y D son colineales y distintos, entonces ( A , B | C , D ) o ( A , C | B , D ) o ( A , D | B , C ).
  5. Si los puntos A , B y C son colineales y distintos, entonces existe un punto D tal que ( A , B | C , D ).
  6. Para cinco puntos colineales distintos A , B , C , D y E , si ( A , B | D , E ), entonces ( A , B | C , D ) o ( A , B | C , E ).
  7. Las perspectivas preservan la separación.

Dado que se eliminó la noción de Hilbert de "intermediación", es necesario redefinir los términos que se definieron utilizando ese concepto. [79] Por lo tanto, es necesario reformular un segmento de línea AB definido como los puntos A y B y todos los puntos entre A y B en geometría absoluta. Un segmento de línea en esta nueva geometría está determinado por tres puntos colineales A , B y C y consta de esos tres puntos y todos los puntos no separados de B por A y C. Hay más consecuencias. Dado que dos puntos no determinan unívocamente un segmento de recta, tres puntos no colineales no determinan un triángulo único y la definición de triángulo debe reformularse.

Una vez redefinidas estas nociones, los demás axiomas de la geometría absoluta (incidencia, congruencia y continuidad) tienen sentido y se dejan en paz. Junto con el nuevo axioma sobre la inexistencia de rectas paralelas tenemos un sistema consistente de axiomas que dan una nueva geometría. La geometría resultante se llama geometría elíptica (plana) .

Cuadriláteros de Saccheri en geometría euclidiana, elíptica e hiperbólica

Aunque la geometría elíptica no es una extensión de la geometría absoluta (como lo son la geometría euclidiana y la hiperbólica), existe una cierta "simetría" en las proposiciones de las tres geometrías que refleja una conexión más profunda que fue observada por Felix Klein. Algunas de las proposiciones que exhiben esta propiedad son:

Otros resultados, como el teorema del ángulo exterior , enfatizan claramente la diferencia entre las geometrías elípticas y las que son extensiones de la geometría absoluta.

Geometría esférica

Otras geometrías

Geometría proyectiva

Geometría afín

Geometría ordenada

La geometría absoluta es una extensión de la geometría ordenada y, por tanto, todos los teoremas de la geometría ordenada son válidos en la geometría absoluta. Lo contrario no es cierto. La geometría absoluta asume los primeros cuatro axiomas de Euclides (o sus equivalentes), en contraste con la geometría afín , que no asume los axiomas tercero y cuarto de Euclides. La geometría ordenada es una base común de la geometría absoluta y afín. [81]

geometría finita

Ver también

Notas

  1. ^ Venema 2006, pag. 17
  2. ^ Wylie 1964, pag. 8
  3. ^ Greenberg 2007, pag. 59
  4. ^ En este contexto no se hace distinción entre diferentes categorías de teoremas. Las proposiciones, lemas, corolarios, etc. se tratan de la misma manera.
  5. ^ Venema 2006, pag. 19
  6. ^ Faber 1983, págs.105-8
  7. ^ ab Evas 1963, pág. 19
  8. ^ Evas 1963, pag. 10
  9. ^ Boyer (1991), "Euclides de Alejandría", Una historia de las matemáticas , p. 101, con la excepción de la Esfera de Autolycus, los trabajos supervivientes de Euclides son los tratados matemáticos griegos más antiguos que se conservan; sin embargo, de lo que escribió Euclides se ha perdido más de la mitad,
  10. ^ Enciclopedia de la antigua Grecia (2006) de Nigel Guy Wilson, página 278. Publicado por Routledge Taylor y Francis Group. Cita: "Los Elementos de Euclides se convirtieron posteriormente en la base de toda la educación matemática, no sólo en los períodos romano y bizantino, sino hasta mediados del siglo XX, y se podría argumentar que es el libro de texto de mayor éxito jamás escrito".
  11. ^ Boyer (1991), "Euclides de Alejandría", Una historia de las matemáticas , p. 100. Como profesores de la escuela, convocó a un grupo de destacados eruditos, entre los que se encontraba el autor del libro de texto de matemáticas de mayor éxito jamás escrito: los Elementos ( Stoichia ) de Euclides.
  12. ^ ab Boyer (1991), "Euclides de Alejandría", Una historia de las matemáticas , p. 119, Los elementos de Euclides no sólo fue la primera obra matemática griega importante que nos ha llegado, sino también el libro de texto más influyente de todos los tiempos. [...] Las primeras versiones impresas de los Elementos aparecieron en Venecia en 1482, uno de los primeros libros de matemáticas escritos en tipografía; se ha estimado que desde entonces se han publicado al menos mil ediciones. Quizás ningún otro libro que la Biblia pueda presumir de tantas ediciones, y ciertamente ninguna obra matemática ha tenido una influencia comparable a la de los Elementos de Euclides .
  13. ^ Las raíces históricas de las matemáticas elementales por Lucas Nicolaas Hendrik Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (1988), página 142. Publicaciones de Dover. Cita: "los Elementos llegaron a ser conocidos en Europa occidental a través de los árabes y los moros. Allí los Elementos se convirtieron en la base de la educación matemática. Se conocen más de 1000 ediciones de los Elementos . Con toda probabilidad, es, después de la Biblia , la más Libro ampliamente difundido en la civilización del mundo occidental."
  14. ^ De la introducción de Amit Hagar a Euclides y sus rivales modernos de Lewis Carroll (2009, Barnes & Noble) pág. xxviii:

    La geometría surgió como parte indispensable de la educación estándar del caballero inglés en el siglo XVIII; en el período victoriano también se estaba convirtiendo en una parte importante de la educación de los artesanos, los niños de las escuelas públicas, los súbditos coloniales y, en menor grado, las mujeres. ... El libro de texto estándar para este propósito no era otro que Los Elementos de Euclides .

  15. ^ Euclides, libro I, proposición 47
  16. ^ Heath 1956, págs. 195-202 (vol 1)
  17. ^ Venema 2006, pag. 11
  18. ^ Bola 1960, pag. 55
  19. ^ Wylie 1964, pag. 39
  20. ^ ab Faber 1983, pág. 109
  21. ^ Faber 1983, pag. 113
  22. ^ Faber 1983, pag. 115
  23. ^ Salud 1956, pag. 62 (vol.I)
  24. ^ Greenberg 2007, pag. 57
  25. ^ Salud 1956, pag. 242 (vol.I)
  26. ^ Salud 1956, pag. 249 (vol.I)
  27. ^ Evas 1963, pag. 380
  28. ^ Peano 1889
  29. ^ Evas 1963, pag. 382
  30. ^ Evas 1963, pag. 383
  31. ^ Pieri no asistió porque se había mudado recientemente a Sicilia, pero sí leyó un artículo suyo en el Congreso de Filosofía.
  32. ^ Hilbert 1950
  33. ^ Hilbert 1990
  34. ^ Ésta es la terminología de Hilbert. Esta afirmación se conoce más familiarmente como axioma de Playfair .
  35. ^ Evas 1963, pag. 386
  36. ^ Moore, EH (1902), "Sobre los axiomas proyectivos de la geometría", Transactions of the American Mathematical Society , 3 (1): 142–158, doi : 10.2307/1986321 , JSTOR  1986321
  37. ^ ab Evas 1963, pág. 387
  38. ^ Birkhoff, George David (1932), "Un conjunto de postulados para la geometría plana", Annals of Mathematics , 33 (2): 329–345, doi :10.2307/1968336, hdl : 10338.dmlcz/147209 , JSTOR  1968336
  39. ^ Venema 2006, pag. 400
  40. ^ Venema 2006, págs. 400-1
  41. ^ Halsted, GB (1904), Geometría racional , Nueva York: John Wiley and Sons, Inc.
  42. ^ abcd Evas 1963, pag. 388
  43. ^ entre sus diversos logros, es el cofundador (con Samuel Eilenberg ) de la teoría de categorías .
  44. ^ Mac Lane, Saunders (1959), "Postulados métricos para geometría plana", American Mathematical Monthly , 66 (7): 543–555, doi :10.2307/2309851, JSTOR  2309851
  45. ^ Birkhoff, GD; Beatley, R. (1940), Geometría básica , Chicago: Scott, Foresman and Company[Reimpresión de la tercera edición: American Mathematical Society, 2000. ISBN 978-0-8218-2101-5 ] 
  46. ^ Venema 2006, págs. 401-2
  47. ^ ab Venema 2006, pág. 55
  48. ^ Grupo de estudio de matemáticas escolares (SMSG) (1961), Geometría, partes 1 y 2 (texto del estudiante) , New Haven y Londres: Yale University Press
  49. ^ Moise, Edwin E.; Downs, Floyd L. (1991), Geometría , Reading, MA: Addison – Wesley
  50. ^ Venema 2006, pag. 403
  51. ^ Venema 2006, págs. 403–4
  52. ^ Venema 2006, págs.405-7
  53. ^ Forder, HG (1927), "Los fundamentos de la geometría euclidiana", Nature , 123 (3089), Nueva York: Cambridge University Press: 44, Bibcode :1928Natur.123...44., doi :10.1038/123044a0, S2CID  4093478(reimpreso por Dover, 1958)
  54. ^ Huntington, EV (1913), "Un conjunto de postulados para la geometría abstracta, expresados ​​en términos de la relación simple de inclusión", Mathematische Annalen , 73 (4): 522–559, doi :10.1007/bf01455955, S2CID  119440414
  55. ^ Robinson, G. de B. (1946), Los fundamentos de la geometría , Exposiciones matemáticas n.° 1 (2.a ed.), Toronto: University of Toronto Press
  56. ^ Kline, Morris (1967), Matemáticas para no matemáticos, Nueva York: Dover, p. 474, ISBN 0-486-24823-2
  57. ^ Greenberg 2007, pag. 1
  58. ^ aunque sólo se postulan dos líneas, se demuestra fácilmente que debe haber un número infinito de tales líneas.
  59. ^ Libro I Proposición 27 de los Elementos de Euclides
  60. ^ Felix Klein, Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: geometría , Dover, 1948 (reimpresión de la traducción al inglés de la tercera edición, 1940. Primera edición en alemán, 1908) pág. 176
  61. ^ F. Klein, Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie, Mathematische Annalen , 4 (1871).
  62. ^ Florence P. Lewis (enero de 1920), "Historia del postulado paralelo", The American Mathematical Monthly , 27 (1), The American Mathematical Monthly, vol. 27, núm. 1: 16–23, doi :10.2307/2973238, JSTOR  2973238.
  63. ^ En una carta de diciembre de 1818, Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) esbozó algunas ideas sobre la geometría no euclidiana. La carta fue enviada a Gauss en 1819 por el antiguo alumno de Gauss, Gerling. En su respuesta a Gerling, Gauss elogió a Schweikart y mencionó sus propias investigaciones anteriores sobre geometría no euclidiana.
  64. ↑ En la carta a Wolfgang (Farkas) Bolyai del 6 de marzo de 1832, Gauss afirma haber trabajado en el problema durante treinta o treinta y cinco años (Faber 1983, p. 162). En su carta de 1824 a Taurino (Faber 1983, p. 158) afirmó que había estado trabajando en el problema durante más de 30 años y proporcionó suficientes detalles para demostrar que realmente había resuelto los detalles. Según Faber (1983, p. 156) no fue hasta alrededor de 1813 que Gauss llegó a aceptar la existencia de una nueva geometría.
  65. ^ Beltrami, Eugenio (1868) "Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante", Annali di Matematica Pura et Applicata , Serie II 2 :232–255.
  66. ^ Un ejemplo apropiado de equivalencia lógica lo dan el axioma de Playfair y Euclides I.30 (ver el axioma de Playfair#Transitividad del paralelismo ).
  67. ^ Por ejemplo, Hilbert usa el axioma de Playfair mientras que Birkhoff usa el teorema sobre triángulos similares pero no congruentes.
  68. ^ las atribuciones se deben a Trudeau 1987, págs. 128–9
  69. ^ Utilice un conjunto completo de axiomas para la geometría euclidiana, como los axiomas de Hilbert u otro equivalente moderno (Faber 1983, p. 131). El conjunto original de axiomas de Euclides es ambiguo e incompleto; no constituye una base para la geometría euclidiana.
  70. ^ En " Apéndice que muestra la ciencia absoluta del espacio: independiente de la verdad o falsedad del Axioma XI de Euclides (de ninguna manera decidido previamente) " (Faber 1983, p. 161)
  71. ^ Greenberg cita a W. Prenowitz y M. Jordan (Greenberg, p. xvi) por haber utilizado el término geometría neutra para referirse a esa parte de la geometría euclidiana que no depende del postulado paralelo de Euclides. Dice que la palabra absoluto en geometría absoluta implica engañosamente que todas las demás geometrías dependen de ella.
  72. ^ Trudeau 1987, pag. 44
  73. ^ La geometría absoluta es, de hecho, la intersección de la geometría hiperbólica y la geometría euclidiana cuando se consideran conjuntos de proposiciones.
  74. ^ Schiemer, Georg (2012), "Carnap sobre axiomas extremos," completitud de los modelos "y categoricidad", The Review of Symbolic Logic , 5 (4): 613–641, doi :10.1017/S1755020312000172, MR  2998930
  75. ^ Faber 1983, pag. 167
  76. ^ Beltrami, Eugenio (1868), "Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante", Annali di Matematica Pura ed Applicata , Serie II, 2 : 232–255, doi :10.1007/BF02419615, S2CID  120773141
  77. ^ Greenberg 2007, págs. 541–4
  78. ^ Visualice cuatro puntos en un círculo que, en sentido antihorario, son A , B , C y D.
  79. ↑ Esto refuerza la inutilidad de intentar "arreglar" los axiomas de Euclides para obtener esta geometría. Es necesario realizar cambios en los supuestos tácitos de Euclides.
  80. ^ El defecto negativo se llama exceso , por lo que también se puede expresar como: los triángulos tienen un exceso positivo en la geometría elíptica.
  81. ^ Coxeter, págs. 175–176

Referencias

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).   

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