Teoría de conjuntos de Morse-Kelley

Sistema de teoría de conjuntos matemáticos

En los fundamentos de las matemáticas , la teoría de conjuntos de Morse-Kelley ( MK ), la teoría de conjuntos de Kelley-Morse ( KM ), la teoría de conjuntos de Morse-Tarski ( MT ), la teoría de conjuntos de Quine-Morse ( QM ) o el sistema de Quine y Morse es una teoría de conjuntos axiomática de primer orden que está estrechamente relacionada con la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Mientras que la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel restringe las variables ligadas en la fórmula esquemática que aparece en el esquema axiomático de Comprensión de Clases para abarcar solo conjuntos, la teoría de conjuntos de Morse-Kelley permite que estas variables ligadas abarquen tanto clases propias como conjuntos, como lo sugirió por primera vez Quine en 1940 para su sistema ML .

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley debe su nombre a los matemáticos John L. Kelley y Anthony Morse y fue expuesta por primera vez por Wang (1949) y más tarde en un apéndice del libro de texto de Kelley Topología general (1955), una introducción a la topología para estudiantes de posgrado . Kelley dijo que el sistema de su libro era una variante de los sistemas creados por Thoralf Skolem y Morse. La propia versión de Morse apareció más tarde en su libro Una teoría de conjuntos (1965).

Mientras que la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel (ZFC, la teoría de conjuntos canónica) en el sentido de que un enunciado en el lenguaje de ZFC es demostrable en NBG si y solo si es demostrable en ZFC, la teoría de conjuntos de Morse–Kelley es una extensión adecuada de ZFC. A diferencia de la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel, donde el esquema axiomático de Comprensión de Clases puede reemplazarse con un número finito de sus instancias, la teoría de conjuntos de Morse–Kelley no puede axiomatizarse finitamente.

Axiomas y ontología MK

NBG y MK comparten una ontología común . El universo del discurso está formado por clases . Las clases que son miembros de otras clases se denominan conjuntos . Una clase que no es un conjunto es una clase propia . Las oraciones atómicas primitivas implican pertenencia o igualdad.

Con excepción de la comprensión de clases, los siguientes axiomas son los mismos que los de NBG , dejando de lado los detalles no esenciales. Las versiones simbólicas de los axiomas emplean los siguientes dispositivos de notación:

• Las letras mayúsculas distintas de M que aparecen en Extensionality, Class Comprehension y Foundation denotan variables que abarcan varias clases. Una letra minúscula denota una variable que no puede ser una clase propia , porque aparece a la izquierda de un ∈. Como MK es una teoría de ordenación unitaria, esta convención de notación es solo mnemotécnica .
• El predicado monádico cuya lectura prevista es "la clase x es un conjunto", abrevia ${\displaystyle \ Mx,}$ ${\displaystyle \exists W(x\in W).}$
• El conjunto vacío se define por ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \forall x(x\not \in \varnothing ).}$
• La clase V , la clase universal que tiene todos los conjuntos posibles como miembros, está definida por V es también el universo de von Neumann . ${\displaystyle \forall x(Mx\to x\in V).}$

Extensionalidad : Las clases que tienen los mismos miembros son la misma clase.

${\displaystyle \forall X\,\forall Y\,(\forall z\,(z\in X\leftrightarrow z\in Y)\rightarrow X=Y).}$

Un conjunto y una clase que tienen la misma extensión son idénticos. Por lo tanto, MK no es una teoría de dos clases, a pesar de las apariencias contrarias.

Fundación : Cada clase A no vacía es disjunta de al menos uno de sus miembros.

${\displaystyle \forall A[A\not =\varnothing \rightarrow \exists b(b\in A\land \forall c(c\in b\rightarrow c\not \in A))].}$

Comprensión de clase: Sea φ( x ) cualquier fórmula en el lenguaje de MK en la que x es una variable libre e Y no es libre. φ( x ) puede contener parámetros que son conjuntos o clases propias. Más consecuentemente, las variables cuantificadas en φ( x ) pueden abarcar todas las clases y no solo todos los conjuntos; esta es la única forma en que MK difiere de NBG . Entonces existe una clase cuyos miembros son exactamente aquellos conjuntos x tales que resulta verdadero. Formalmente, si Y no es libre en φ: ${\displaystyle Y=\{x\mid \phi (x)\}}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \forall W_{1}...W_{n}\exists Y\forall x[x\in Y\leftrightarrow (\phi (x,W_{1},...W_{n})\land Mx)].}$

Emparejamiento : Para cualquier conjunto x e y , existe un conjuntocuyos miembros son exactamente x e y . ${\displaystyle z=\{x,y\}}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,[(Mx\land My)\rightarrow \exists z\,(Mz\land \forall s\,[s\in z\leftrightarrow (s=x\,\lor \,s=y)])].}$

El emparejamiento permite definir el par desordenado en términos del cual el par ordenado , , puede definirse de la manera habitual, como . Con pares ordenados en la mano, la comprensión de clases permite definir relaciones y funciones en conjuntos como conjuntos de pares ordenados, lo que hace posible el siguiente axioma: ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \ \{\{x\},\{x,y\}\}}$

Limitación de tamaño : C es una clase adecuada si y solo siV puede mapearse uno a uno en C.

${\displaystyle {\begin{array}{l}\forall C[\lnot MC\leftrightarrow \exists F(\forall x[Mx\rightarrow \exists s(s\in C\land \langle x,s\rangle \in F)]\land \\\qquad \forall x\forall y\forall s[(\langle x,s\rangle \in F\land \langle y,s\rangle \in F)\rightarrow x=y])].\end{array}}}$

La versión formal de este axioma se asemeja al esquema del axioma de reemplazo y representa la función de clase F. La siguiente sección explica cómo la limitación de tamaño es más fuerte que las formas habituales del axioma de elección .

Conjunto potencia : Sea p una clase cuyos miembros son todos los subconjuntos posibles del conjunto a . Entonces p es un conjunto.

${\displaystyle \forall a\,\forall p\,[(Ma\land \forall x\,[x\in p\leftrightarrow \forall y\,(y\in x\rightarrow y\in a)])\rightarrow Mp].}$

Unión : Seala clase suma del conjunto a , es decir, la unión de todos los miembros de a . Entonces s es un conjunto. ${\displaystyle s=\bigcup a}$

${\displaystyle \forall a\,\forall s\,[(Ma\land \forall x\,[x\in s\leftrightarrow \exists y\,(x\in y\land y\in a)])\rightarrow Ms].}$

Infinito : Existe un conjunto inductivo y , lo que significa que (i) el conjunto vacío es un miembro de y ; (ii) si x es un miembro de y , entonces también lo es. ${\displaystyle x\cup \{x\}.}$

${\displaystyle \exists y[My\land \varnothing \in y\land \forall z(z\in y\rightarrow \exists x[x\in y\land \forall w(w\in x\leftrightarrow [w=z\lor w\in z])])].}$

Obsérvese que p y s en el conjunto de potencias y la unión se cuantifican de manera universal, no existencial, ya que la comprensión de clases es suficiente para establecer la existencia de p y s . El conjunto de potencias y la unión solo sirven para establecer que p y s no pueden ser clases propias.

Los axiomas anteriores se comparten con otras teorías de conjuntos como sigue:

• ZFC y NBG : emparejamiento, conjunto de potencia, unión, infinito;
• NBG (y ZFC, si las variables cuantificadas estuvieran restringidas a conjuntos): Extensionalidad, Fundación;
• NBG : Limitación de tamaño.

Discusión

Monk (1980) y Rubin (1967) son textos de teoría de conjuntos construidos en torno a MK; la ontología de Rubin incluye urelements . Estos autores y Mendelson (1997: 287) sostienen que MK hace lo que se espera de una teoría de conjuntos y al mismo tiempo es menos engorroso que ZFC y NBG .

MK es estrictamente más fuerte que ZFC y su extensión conservadora NBG, la otra teoría de conjuntos bien conocida con clases propias . De hecho, NBG, y por lo tanto ZFC, se puede demostrar consistente en MK. La fuerza de MK proviene de su esquema axiomático de Comprensión de Clases que es impredicativo , lo que significa que φ( x ) puede contener variables cuantificadas que abarcan todas las clases. Las variables cuantificadas en el esquema axiomático de Comprensión de Clases de NBG están restringidas a conjuntos; por lo tanto, la Comprensión de Clases en NBG debe ser predicativa . (La separación con respecto a los conjuntos sigue siendo impredicativa en NBG, porque los cuantificadores en φ( x ) pueden abarcar todos los conjuntos). El esquema axiomático de Comprensión de Clases de NBG se puede reemplazar con un número finito de sus instancias; esto no es posible en MK. MK es consistente en relación con ZFC aumentado por un axioma que afirma la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles .

La única ventaja del axioma de limitación de tamaño es que implica el axioma de elección global . La limitación de tamaño no aparece en Rubin (1967), Monk (1980) o Mendelson (1997). En cambio, estos autores invocan una forma usual del axioma local de elección y un "axioma de reemplazo", ^[1] afirmando que si el dominio de una función de clase es un conjunto, su rango también es un conjunto. El reemplazo puede probar todo lo que prueba la limitación de tamaño, excepto probar alguna forma del axioma de elección .

La limitación de tamaño más I siendo un conjunto (por lo tanto el universo no está vacío) hace demostrable la condición de conjunto del conjunto vacío; por lo tanto, no hay necesidad de un axioma de conjunto vacío . Tal axioma podría añadirse, por supuesto, y pequeñas perturbaciones de los axiomas anteriores necesitarían esta adición. El conjunto I no se identifica con el ordinal límite ya que I podría ser un conjunto mayor que En este caso, la existencia de se seguiría de cualquiera de las formas de limitación de tamaño. ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \omega .}$ ${\displaystyle \omega }$

La clase de ordinales de von Neumann puede estar bien ordenada . No puede ser un conjunto (bajo pena de paradoja); por lo tanto, esa clase es una clase propia, y todas las clases propias tienen el mismo tamaño que V. Por lo tanto, V también puede estar bien ordenada.

MK puede confundirse con ZFC de segundo orden, ZFC con lógica de segundo orden (que representa objetos de segundo orden en un lenguaje de conjuntos en lugar de predicado) como lógica de fondo. El lenguaje de ZFC de segundo orden es similar al de MK (aunque ya no se puede identificar un conjunto y una clase que tengan la misma extensión), y sus recursos sintácticos para la demostración práctica son casi idénticos (y son idénticos si MK incluye la forma fuerte de Limitación de tamaño). Pero la semántica de ZFC de segundo orden es bastante diferente de la de MK. Por ejemplo, si MK es consistente, entonces tiene un modelo de primer orden contable, mientras que ZFC de segundo orden no tiene modelos contables.

Teoría de modelos

ZFC, NBG y MK tienen cada uno modelos que se pueden describir en términos de V , el universo de von Neumann de conjuntos en ZFC . Sea el cardinal inaccesible κ un miembro de V . Sea también Def( X ) el que denota los Δ ₀ subconjuntos definibles de X (véase universo construible ). Entonces:

• V _κ es el modelo de ZFC ;
• Def( V _κ ) es un modelo de la versión de Mendelson de NBG , que excluye la elección global, reemplazando la limitación de tamaño por el reemplazo y la elección ordinaria;
• V _κ+1 , el conjunto potencia de V _κ , es un modelo de MK.

Historia

MK fue establecido por primera vez en Wang (1949) y popularizado en un apéndice a General Topology de JL Kelley (1955), usando los axiomas dados en la siguiente sección. El sistema de A Theory of Sets de Anthony Morse (1965) es equivalente al de Kelley, pero formulado en un lenguaje formal idiosincrásico en lugar de, como se hace aquí, en lógica de primer orden estándar . La primera teoría de conjuntos que incluyó comprensión de clases impredicativa fue ML de Quine , que se construyó sobre New Foundations en lugar de ZFC . ^{[2] La comprensión de clases} impredicativa también fue propuesta en Mostowski (1951) y Lewis (1991).

Los axiomas de KelleyTopología general

Los axiomas y definiciones de esta sección, salvo algunos detalles no esenciales, están tomados del Apéndice de Kelley (1955). Las observaciones explicativas que aparecen a continuación no son suyas. El Apéndice enuncia 181 teoremas y definiciones, y merece una lectura cuidadosa como exposición abreviada de la teoría de conjuntos axiomática por parte de un matemático en activo de primer orden. Kelley introdujo sus axiomas gradualmente, según fue necesario para desarrollar los temas que se enumeran después de cada instancia de Develop a continuación.

Las notaciones que aparecen a continuación y que ahora son bien conocidas no están definidas. Las peculiaridades de la notación de Kelley incluyen:

• No distinguió entre variables que abarcaban clases y variables que abarcaban conjuntos;
• dominio f y rango f denotan el dominio y rango de la función f ; esta peculiaridad ha sido cuidadosamente respetada a continuación;
• Su lenguaje lógico primitivo incluye abstracciones de clase de la forma "la clase de todos los conjuntos x que satisfacen A ( x )". ${\displaystyle \ \{x:A(x)\},}$

Definición: x es un conjunto (y por lo tanto no una clase propiamente dicha ) si, para algún y , . ${\displaystyle x\in y}$

I. Extensión: Para cada x y cada y , x=y si y solo si para cada z , cuando y solo cuando ${\displaystyle z\in x}$ ${\displaystyle z\in y.}$

Idéntico a la extensionalidad mencionada anteriormente. Sería idéntico al axioma de extensionalidad en ZFC , excepto que el alcance de I incluye clases propias y conjuntos.

II. Clasificación (esquema): Un axioma resulta si en

Para cada , si y sólo si es un conjunto y ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \in \{\alpha :A\}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle B,}$

'α' y 'β' se reemplazan por variables, ' A ' por una fórmula Æ, y ' B ' por la fórmula obtenida a partir de Æ al reemplazar cada ocurrencia de la variable que reemplazó a α por la variable que reemplazó a β , siempre que la variable que reemplazó a β no aparezca limitada en A.

Desarrollar : Álgebra de Boole de conjuntos . Existencia de la clase nula y de la clase universal V.

III. Subconjuntos: Si x es un conjunto, existe un conjunto y tal que para cada z , si , entonces ${\displaystyle z\subseteq x}$ ${\displaystyle z\in y.}$

La importancia de III es la del conjunto potencia mencionado anteriormente. Esquema de la prueba del conjunto potencia a partir de III : para cualquier clase z que sea una subclase del conjunto x , la clase z es un miembro del conjunto y cuya existencia afirma III . Por lo tanto, z es un conjunto.

Desarrollar : V no es un conjunto. Existencia de singletons . Separación demostrable.

IV. Unión: Si x e y son ambos conjuntos, entonces es un conjunto. ${\displaystyle x\cup y}$

La importancia de IV es la del emparejamiento anterior. Esquema de la prueba del emparejamiento a partir de IV : el singleton de un conjunto x es un conjunto porque es una subclase del conjunto potencia de x (por dos aplicaciones de III ). Entonces IV implica que es un conjunto si x e y son conjuntos. ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Desarrollar : Pares ordenados y no ordenados , relaciones , funciones , dominio , rango , composición de funciones .

V. Sustitución: Si f es una función [de clase] y el dominio f es un conjunto, entonces el rango f es un conjunto.

La importación de V es la del esquema axiomático de reemplazo en NBG y ZFC .

VI. Amalgamación: Si x es un conjunto, entonces es un conjunto. ${\displaystyle \bigcup x}$

El significado de VI es el mismo que el de la Unión anterior. IV y VI pueden combinarse en un solo axioma. ^[3]

Desarrollar : producto cartesiano , inyección , sobreyección , biyección , teoría del orden .

VII. Regularidad: Si existe un miembro y de x tal que ${\displaystyle x\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x\cap y=\varnothing .}$

La importación del VII es la de la Fundación anterior.

Desarrollar : Números ordinales , inducción transfinita .

VIII. Infinito: Existe un conjunto y , tal que y siempre que ${\displaystyle \varnothing \in y}$ ${\displaystyle x\cup \{x\}\in y}$ ${\displaystyle x\in y.}$

Este axioma, o sus equivalentes, se incluyen en ZFC y NBG. VIII afirma la existencia incondicional de dos conjuntos, el conjunto inductivo infinito y y el conjunto nulo es un conjunto simplemente porque es un miembro de y . Hasta este punto, todo lo que se ha demostrado que existe es una clase, y la discusión de Kelley sobre los conjuntos era completamente hipotética. ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Desarrollar : Números naturales , N es un conjunto, axiomas de Peano , números enteros , números racionales , números reales .

Definición: c es una función de elección si c es una función y para cada miembro x del dominio c . ${\displaystyle c(x)\in x}$

IX. Elección: Existe una función de elección c cuyo dominio es . ${\displaystyle V-\{\varnothing \}.}$

IX es muy similar al axioma de elección global derivable de la Limitación de tamaño mencionada anteriormente.

Desarrollo : Equivalentes del axioma de elección. Como sucede con ZFC , el desarrollo de los números cardinales requiere alguna forma de elección.

Si el alcance de todas las variables cuantificadas en los axiomas anteriores se restringe a los conjuntos, todos los axiomas excepto III y el esquema IV son axiomas de ZFC. IV es demostrable en ZFC. Por lo tanto, el tratamiento de Kelley de MK deja muy claro que todo lo que distingue a MK de ZFC son variables que abarcan clases propias , así como conjuntos, y el esquema de clasificación.

Notas

1. Véase, por ejemplo, Mendelson (1997), pág. 239, axioma R.
2. El locus citandum para ML es la edición de 1951 de la Lógica matemática de Quine . Sin embargo, el resumen de ML que se da en Mendelson (1997), p. 296, es más fácil de seguir. El esquema axiomático de Mendelson ML2 es idéntico al esquema axiomático anterior de Comprensión de clases.
3. Kelley (1955), pág. 261, nota al pie †.

Referencias

• John L. Kelley 1975 (1955) Topología general . Springer. Edición anterior, Van Nostrand. Apéndice, "Teoría de conjuntos elementales".
• Lemmon, EJ (1986) Introducción a la teoría de conjuntos axiomáticos . Routledge & Kegan Paul.
• David K. Lewis (1991) Partes de las clases . Oxford: Basil Blackwell.
• Mendelson, Elliott (1987). Introducción a la lógica matemática . Chapman & Hall. ISBN 0-534-06624-0.El tratamiento definitivo de la teoría de conjuntos estrechamente relacionada NBG , seguida de una página sobre MK. Más difícil que Monk o Rubin.
• Monk, J. Donald (1980) Introducción a la teoría de conjuntos . Krieger. Más fácil y menos exhaustivo que Rubin.
• Morse, AP, (1965) Una teoría de conjuntos . Prensa académica.
• Mostowski, Andrzej (1950), "Algunas definiciones impredicativas en la teoría axiomática de conjuntos" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124.
• Rubin, Jean E. (1967) Teoría de conjuntos para matemáticos . San Francisco: Holden Day. Más completo que Monk; la ontología incluye urelementos .
• Wang, Hao (1949), "Sobre los axiomas de Zermelo y von Neumann para la teoría de conjuntos", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 35 (3): 150–155, doi : 10.1073/pnas.35.3.150 , JSTOR  88430, MR  0029850, PMC  1062986 , PMID  16588874.

Enlaces externos

• Descargar Topología general (1955) de John L. Kelley en varios formatos. El apéndice contiene el desarrollo axiomático de MK por parte de Kelley.

Del grupo de discusión Fundamentos de las Matemáticas (FOM):

• Allen Hazen sobre la teoría de conjuntos con clases.
• Las dudas de Joseph Shoenfield sobre MK.