Axioma de unión

Concepto en teoría de conjuntos axiomáticos.

En la teoría de conjuntos axiomática , el axioma de unión es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Este axioma fue introducido por Ernst Zermelo . ^[1]

Informalmente, el axioma establece que para cada conjunto x existe un conjunto y cuyos elementos son precisamente los elementos de los elementos de x .

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall c\,(c\in B\iff \exists D\,(c\in D\land D\in A)\,)}$

o en palabras:

Dado cualquier conjunto A , existe un conjunto B tal que, para cualquier elemento c , c es miembro de B si y sólo si hay un conjunto D tal que c es miembro de D y D es miembro de A.

o, más simplemente:

Para cualquier conjunto , existe un conjunto que consta sólo de los elementos de los elementos de ese conjunto . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \bigcup A\ }$ ${\displaystyle A}$

Relación con el emparejamiento

El axioma de unión permite descomprimir un conjunto de conjuntos y así crear un conjunto más plano. Junto con el axioma de emparejamiento , esto implica que para dos conjuntos cualesquiera, existe un conjunto (llamado unión ) que contiene exactamente los elementos de los dos conjuntos.

Relación con el reemplazo

El axioma de sustitución permite formar muchas uniones, como la unión de dos conjuntos.

Sin embargo, en toda su generalidad, el axioma de unión es independiente del resto de los axiomas de ZFC: ^{[ cita necesaria ]} El reemplazo no prueba la existencia de la unión de un conjunto de conjuntos si el resultado contiene un número ilimitado de cardinalidades.

Junto con el esquema del axioma de sustitución , el axioma de unión implica que se puede formar la unión de una familia de conjuntos indexados por un conjunto.

Relación con la separación

En el contexto de las teorías de conjuntos que incluyen el axioma de separación, el axioma de unión a veces se expresa en una forma más débil que sólo produce un superconjunto de la unión de un conjunto. Por ejemplo, Kunen ^[2] establece el axioma como

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

que es equivalente a

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\forall x[[\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})]\Rightarrow x\in A].}$

En comparación con el axioma expuesto al principio de esta sección, esta variación afirma sólo una dirección de la implicación, en lugar de ambas direcciones.

Relación con la intersección

No existe un axioma de intersección correspondiente . Si es un conjunto no vacío que contiene , es posible formar la intersección usando el esquema de axioma de especificación como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \bigcap A}$

${\displaystyle \bigcap A=\{c\in E:\forall D(D\in A\Rightarrow c\in D)\}}$,

por lo que no es necesario un axioma de intersección separado. (Si A es el conjunto vacío , entonces intentar formar la intersección de A como

{ c : para todo D en A , c está en D }

no está permitido por los axiomas. Además, si tal conjunto existiera, entonces contendría todos los conjuntos del "universo", pero la noción de conjunto universal es la antítesis de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel).

Referencias

1. Ernst Zermelo, 1908, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen 65(2), págs.
   Traducción al inglés: Jean van Heijenoort , 1967, De Frege a Gödel: un libro de consulta en lógica matemática, págs. 199-215 ISBN  978-0-674-32449-7
2. Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

Otras lecturas

• Paul Halmos , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 .