En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , la categoría de categorías pequeñas , denotada por Cat , es la categoría cuyos objetos son todos categorías pequeñas y cuyos morfismos son functores entre categorías. En realidad, Cat puede considerarse como una categoría 2 con transformaciones naturales que sirven como 2 morfismos .
El objeto inicial de Cat es la categoría vacía 0 , que es la categoría sin objetos ni morfismos. [1] El objeto terminal es la categoría terminal o categoría trivial 1 con un solo objeto y morfismo. [2]
La categoría Cat es en sí misma una categoría grande y, por lo tanto, no es un objeto en sí misma. Para evitar problemas análogos a la paradoja de Russell no se puede formar la “categoría de todas las categorías”. Pero es posible formar una cuasicategoría (es decir, los objetos y morfismos simplemente forman un conglomerado ) de todas las categorías.
La categoría Cat tiene un functor olvidadizo U en la categoría Quiver Quiv :
Este functor olvida los morfismos de identidad de una categoría determinada y olvida las composiciones de morfismos. El adjunto izquierdo de este funtor es un funtor F que lleva a Quiv a las categorías gratuitas correspondientes :
