En lógica matemática , dos teorías son equiconsistentes si la consistencia de una teoría implica la consistencia de la otra teoría, y viceversa . En este caso, son, en términos generales, "tan consistentes entre sí".
En general, no es posible probar la consistencia absoluta de una teoría T . En lugar de ello, solemos tomar una teoría S , que se considera consistente, y tratamos de probar la afirmación más débil de que si S es consistente, entonces T también debe ser consistente; si podemos hacer esto, decimos que T es consistente en relación con S . Si S también es consistente en relación con T , entonces decimos que S y T son equiconsistentes .
En lógica matemática, las teorías formales se estudian como objetos matemáticos . Dado que algunas teorías son lo suficientemente poderosas como para modelar diferentes objetos matemáticos, es natural preguntarse acerca de su propia consistencia .
Hilbert propuso a principios del siglo XX un programa cuyo objetivo último era demostrar, mediante métodos matemáticos, la consistencia de las matemáticas. Dado que la mayoría de las disciplinas matemáticas pueden reducirse a la aritmética , el programa se convirtió rápidamente en el establecimiento de la consistencia de la aritmética mediante métodos formalizables dentro de la propia aritmética.
Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que el programa de Hilbert no puede realizarse: si una teoría consistente computablemente enumerable es lo suficientemente fuerte como para formalizar su propia metamatemática (ya sea que algo sea una prueba o no), es decir, lo suficientemente fuerte como para modelar un fragmento débil de aritmética ( la aritmética de Robinson es suficiente), entonces la teoría no puede probar su propia consistencia. Hay algunas salvedades técnicas en cuanto a qué requisitos debe satisfacer el enunciado formal que representa el enunciado metamatemático "La teoría es consistente", pero el resultado es que si una teoría (suficientemente fuerte) puede probar su propia consistencia, entonces o bien no hay una manera computable de identificar si un enunciado es siquiera un axioma de la teoría o no, o bien la teoría en sí misma es inconsistente (en cuyo caso puede probar cualquier cosa, incluidas afirmaciones falsas como su propia consistencia).
En vista de esto, en lugar de una coherencia absoluta, se suele considerar la coherencia relativa: sean S y T teorías formales. Supongamos que S es una teoría coherente. ¿De ello se sigue que T es coherente? Si es así, entonces T es coherente en relación con S. Dos teorías son equiconsistentes si cada una es coherente en relación con la otra.
Si T es consistente con respecto a S , pero no se sabe que S sea consistente con respecto a T , entonces decimos que S tiene mayor fuerza de consistencia que T . Al discutir estas cuestiones de fuerza de consistencia, la metateoría en la que tiene lugar la discusión debe abordarse con cuidado. Para las teorías a nivel de aritmética de segundo orden , el programa de matemáticas inversas tiene mucho que decir. Las cuestiones de fuerza de consistencia son una parte habitual de la teoría de conjuntos , ya que esta es una teoría computable que ciertamente puede modelar la mayoría de las matemáticas. El conjunto de axiomas más utilizado de la teoría de conjuntos se llama ZFC . Cuando se dice que un enunciado de teoría de conjuntos A es equiconsistente con otro B , lo que realmente se afirma es que en la metateoría ( aritmética de Peano en este caso) se puede demostrar que las teorías ZFC+ A y ZFC+ B son equiconsistentes. Por lo general, se puede adoptar la aritmética recursiva primitiva como metateoría en cuestión, pero incluso si la metateoría es ZFC o una extensión de ella, la noción tiene sentido. El método de forzamiento permite demostrar que las teorías ZFC, ZFC+CH y ZFC+¬CH son todas equiconsistentes (donde CH denota la hipótesis del continuo ).
Al analizar fragmentos de ZFC o sus extensiones (por ejemplo, ZF, teoría de conjuntos sin el axioma de elección, o ZF+AD, teoría de conjuntos con el axioma de determinación ), las nociones descritas anteriormente se adaptan en consecuencia. Por lo tanto, ZF es equiconsistente con ZFC, como lo demuestra Gödel.
La fuerza de la consistencia de numerosas sentencias combinatorias se puede calibrar mediante cardinales grandes . Por ejemplo:
