Función diferenciable

Función matemática cuya derivada existe

Una función diferenciable

En matemáticas , una función diferenciable de una variable real es una función cuya derivada existe en cada punto de su dominio . En otras palabras, el gráfico de una función diferenciable tiene una línea tangente no vertical en cada punto interior de su dominio. Una función diferenciable es suave (la función se aproxima bien localmente como una función lineal en cada punto interior) y no contiene ninguna ruptura, ángulo o cúspide .

Si x ₀ es un punto interior en el dominio de una función f , entonces se dice que f es diferenciable en x ₀ si existe la derivada . En otras palabras, la gráfica de f tiene una línea tangente no vertical en el punto ( x ₀ , f ( x ₀ )) . Se dice que f es diferenciable en U si es diferenciable en cada punto de U . Se dice que f es continuamente diferenciable si su derivada también es una función continua en el dominio de la función . En términos generales, se dice que f es de clase si existen sus primeras derivadas y son continuas en el dominio de la función . ${\displaystyle f'(x_{0})}$ ${\textstyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\textstyle f}$

Para una función multivariable, como se muestra aquí, la diferenciabilidad de la misma es algo más complejo que la existencia de sus derivadas parciales.

Diferenciabilidad de funciones reales de una variable

Se dice que una función , definida en un conjunto abierto , es diferenciable en si la derivada ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in U}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

existe. Esto implica que la función es continua en a .

Se dice que esta función f es diferenciable en U si es diferenciable en cada punto de U. En este caso, la derivada de f es entonces una función de U en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Una función continua no es necesariamente diferenciable, pero una función diferenciable es necesariamente continua (en todos los puntos en los que es diferenciable) como se muestra a continuación (en la sección Diferenciabilidad y continuidad). Se dice que una función es continuamente diferenciable si su derivada es también una función continua; existen funciones que son diferenciables pero no continuamente diferenciables (se da un ejemplo en la sección Clases de diferenciabilidad).

Diferenciabilidad y continuidad

La función de valor absoluto es continua (es decir, no tiene espacios vacíos). Es diferenciable en todas partes excepto en el punto x = 0, donde realiza un giro brusco al cruzar el eje y .

Vértice en la gráfica de una función continua. En cero, la función es continua pero no diferenciable .

Si f es diferenciable en un punto x ₀ , entonces f también debe ser continua en x ₀ . En particular, cualquier función diferenciable debe ser continua en cada punto de su dominio. La inversa no se cumple : una función continua no necesita ser diferenciable. Por ejemplo, una función con una curva, cúspide o tangente vertical puede ser continua, pero no es diferenciable en la ubicación de la anomalía.

La mayoría de las funciones que se dan en la práctica tienen derivadas en todos los puntos o en casi todos los puntos. Sin embargo, un resultado de Stefan Banach afirma que el conjunto de funciones que tienen una derivada en algún punto es un conjunto exiguo en el espacio de todas las funciones continuas. ^[1] De manera informal, esto significa que las funciones diferenciables son muy atípicas entre las funciones continuas. El primer ejemplo conocido de una función que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna es la función de Weierstrass .

Clases de diferenciabilidad

Las funciones diferenciables pueden aproximarse localmente mediante funciones lineales.

La función con para y es diferenciable. Sin embargo, esta función no es continuamente diferenciable. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Se dice que una función es ${\textstyle f}$continuamente diferenciable si la derivadaexiste y es en sí misma una función continua. Aunque la derivada de una función diferenciable nunca tiene unadiscontinuidad de salto, es posible que la derivada tenga unadiscontinuidad esencial. Por ejemplo, la función es diferenciable en 0, ya que existe. Sin embargo, paralas reglas de diferenciaciónimplican que no tiene límite comoPor lo tanto, este ejemplo muestra la existencia de una función que es diferenciable pero no continuamente diferenciable (es decir, la derivada no es una función continua). No obstante,el teorema de Darbouximplica que la derivada de cualquier función satisface la conclusión delteorema del valor intermedio. ${\textstyle f^{\prime }(x)}$ $${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ $${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$ ${\displaystyle x\to 0.}$

De manera similar a cómo se dice que las funciones continuas son de clase, ${\displaystyle C^{0},}$ a veces se dice que las funciones continuamente diferenciables son de clase ${\displaystyle C^{1}}$ . Una función es de clase ${\displaystyle C^{2}}$ si la primera y la segunda derivada de la función existen y son continuas. De manera más general, se dice que una función es de clase ${\displaystyle C^{k}}$ si todas las primeras derivadas existen y son continuas. Si existen derivadas para todos los números enteros positivos, la función es suave o, equivalentemente, de clase. ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\textstyle n,}$ ${\displaystyle C^{\infty }.}$

Diferenciabilidad en dimensiones superiores

Se dice que una función de varias variables reales f : R ^m → R ⁿ es diferenciable en un punto x ₀ si existe una función lineal J : R ^m → R ⁿ tal que

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

Si una función es diferenciable en x ₀ , entonces todas las derivadas parciales existen en x ₀ , y la función lineal J está dada por la matriz jacobiana , una matriz n × m en este caso. Una formulación similar de la derivada de dimensión superior la proporciona el lema del incremento fundamental que se encuentra en el cálculo de una sola variable.

Si todas las derivadas parciales de una función existen en las proximidades de un punto x ₀ y son continuas en el punto x ₀ , entonces la función es diferenciable en ese punto x ₀ .

Sin embargo, la existencia de las derivadas parciales (o incluso de todas las derivadas direccionales ) no garantiza que una función sea diferenciable en un punto. Por ejemplo, la función f : R ² → R definida por

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

no es diferenciable en (0, 0) , pero todas las derivadas parciales y derivadas direccionales existen en este punto. Para un ejemplo continuo, la función

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

no es diferenciable en (0, 0) , pero nuevamente existen todas las derivadas parciales y derivadas direccionales.

Diferenciabilidad en análisis complejo

En el análisis complejo , la diferenciabilidad compleja se define utilizando la misma definición que las funciones reales de una variable. Esto es posible gracias a la posibilidad de dividir números complejos . Por lo tanto, se dice que una función es diferenciable en cuando ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Aunque esta definición parece similar a la diferenciabilidad de funciones reales de una sola variable, es sin embargo una condición más restrictiva. Una función que es complejamente diferenciable en un punto es automáticamente diferenciable en ese punto, cuando se la considera como una función . Esto se debe a que la diferenciabilidad compleja implica que ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.}$

Sin embargo, una función puede ser diferenciable como función de múltiples variables, sin ser complejamente diferenciable. Por ejemplo, es diferenciable en cada punto, vista como la función real de 2 variables , pero no es complejamente diferenciable en ningún punto porque el límite no existe (el límite depende del ángulo de aproximación). ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$

Cualquier función que sea complejamente diferenciable en un entorno de un punto se denomina holomorfa en ese punto. Una función de este tipo es necesariamente infinitamente diferenciable y, de hecho, analítica .

Funciones diferenciables en variedades

Si M es una variedad diferenciable , se dice que una función real o compleja f en M es diferenciable en un punto p si es diferenciable con respecto a alguna (o cualquier) tabla de coordenadas definida alrededor de p . Si M y N son variedades diferenciables, se dice que una función f :  M  →  N es diferenciable en un punto p si es diferenciable con respecto a alguna (o cualquier) tabla de coordenadas definida alrededor de p y f ( p ).

Véase también

• Generalizaciones de la derivada
• Semidiferenciabilidad
• Programación diferenciable

Referencias

1. Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Estudia Matemáticas. 3 (1): 174-179. doi : 10.4064/sm-3-1-174-179 .Citado por Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Análisis real y abstracto . Springer-Verlag. Teorema 17.8.