Par ordenado

Par de objetos matemáticos

La geometría analítica asocia a cada punto del plano euclidiano un par ordenado. La elipse roja está asociada al conjunto de todos los pares ( x , y ) tales quex2^​/4+ y ² = 1 .

En matemáticas , un par ordenado ( a , b ) es un par de objetos. El orden en que aparecen los objetos en el par es significativo: el par ordenado ( a , b ) es diferente del par ordenado ( b , a ) a menos que a = b . (Por el contrario, el par desordenado { a , b } es igual al par desordenado { b , a }.)

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o secuencias (a veces, listas en un contexto informático) de longitud 2. Los pares ordenados de escalares a veces se denominan vectores bidimensionales . (Técnicamente, esto es un abuso de terminología ya que un par ordenado no necesita ser un elemento de un espacio vectorial ). Las entradas de un par ordenado pueden ser otros pares ordenados, lo que permite la definición recursiva de n -tuplas ordenadas (listas ordenadas de n objetos). Por ejemplo, el triple ordenado ( a , b , c ) se puede definir como ( a , ( b , c )), es decir, como un par anidado en otro.

En el par ordenado ( a , b ), el objeto a se denomina primera entrada y el objeto b segunda entrada del par. Alternativamente, los objetos se denominan componentes primero y segundo , coordenadas primera y segunda o proyecciones izquierda y derecha del par ordenado.

Los productos cartesianos y las relaciones binarias (y por tanto las funciones ) se definen en términos de pares ordenados, cf. imagen.

Generalidades

Sean y sean pares ordenados. Entonces la propiedad característica (o definitoria ) del par ordenado es: ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$

$${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2}){\text{ if and only if }}a_{1}=a_{2}{\text{ and }}b_{1}=b_{2}.}$$

El conjunto de todos los pares ordenados cuya primera entrada está en algún conjunto A y cuya segunda entrada está en algún conjunto B se llama producto cartesiano de A y B , y se escribe A × B. Una relación binaria entre los conjuntos A y B es un subconjunto de A × B.

La notación ( a , b ) se puede utilizar para otros fines, sobre todo para indicar intervalos abiertos en la recta numérica real . En tales situaciones, el contexto normalmente dejará claro qué significado se pretende. ^{[1] [2]} Para mayor aclaración, el par ordenado puede denotarse mediante la notación variante , pero esta notación también tiene otros usos. ${\textstyle \langle a,b\rangle }$

La izquierda y la derechaLa proyección de un par p generalmente se denota por π ₁ ( p ) y π ₂ ( p ), o por π _ℓ ( p ) y π _r ( p ), respectivamente. En contextos dondese consideran n -tuplas arbitrarias, πⁿ
_yo( t ) es una notación común para el i -ésimo componente de una n -tupla t .

Definiciones informales y formales

En algunos libros de texto de introducción a las matemáticas se da una definición informal (o intuitiva) de par ordenado, como

Para dos objetos cualesquiera a y b , el par ordenado ( a , b ) es una notación que especifica los dos objetos a y b , en ese orden. ^[3]

Esto suele ir seguido de una comparación con un conjunto de dos elementos; señalando que en un conjunto a y b deben ser diferentes, pero en un par ordenado pueden ser iguales y que si bien el orden de enumeración de los elementos de un conjunto no importa, en un par ordenado cambiar el orden de las entradas distintas cambia el par ordenado.

Esta "definición" es insatisfactoria porque es sólo descriptiva y se basa en una comprensión intuitiva del orden . Sin embargo, como se señala a veces, no resultará perjudicial confiar en esta descripción y casi todo el mundo piensa en los pares ordenados de esta manera. ^[4]

Un enfoque más satisfactorio es observar que la propiedad característica de los pares ordenados dada anteriormente es todo lo que se requiere para comprender el papel de los pares ordenados en matemáticas. De ahí que el par ordenado pueda tomarse como una noción primitiva , cuyo axioma asociado es la propiedad característica. Este fue el enfoque adoptado por el grupo de N. Bourbaki en su Teoría de conjuntos , publicada en 1954. Sin embargo, este enfoque también tiene sus inconvenientes ya que tanto la existencia de pares ordenados como su propiedad característica deben asumirse axiomáticamente. ^[3]

Otra forma de abordar rigurosamente los pares ordenados es definirlos formalmente en el contexto de la teoría de conjuntos. Esto se puede hacer de varias maneras y tiene la ventaja de que la existencia y la propiedad característica se pueden probar a partir de los axiomas que definen la teoría de conjuntos. Una de las versiones más citadas de esta definición se debe a Kuratowski (ver más abajo) y su definición se utilizó en la segunda edición de la Teoría de conjuntos de Bourbaki , publicada en 1970. Incluso aquellos libros de texto de matemáticas que dan una definición informal de pares ordenados a menudo Mencione la definición formal de Kuratowski en un ejercicio.

Definición del par ordenado usando la teoría de conjuntos

Si estamos de acuerdo en que la teoría de conjuntos es un fundamento atractivo de las matemáticas , entonces todos los objetos matemáticos deben definirse como conjuntos de algún tipo. Por tanto, si el par ordenado no se toma como primitivo, debe definirse como un conjunto. ^[5] A continuación se dan varias definiciones teóricas de conjuntos del par ordenado (ver también ^[6] ).

La definición de Wiener

Norbert Wiener propuso la primera definición teórica establecida del par ordenado en 1914: ^[7]

$${\displaystyle \left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.}$$

tiposPrincipia MathematicaPrincipia Mathematicalas relacionesprimitivas

Wiener usó {{ b }} en lugar de { b } para hacer que la definición fuera compatible con la teoría de tipos , donde todos los elementos de una clase deben ser del mismo "tipo". Con b anidado dentro de un conjunto adicional, su tipo es igual a 's. ${\displaystyle \{\{a\},\emptyset \}}$

Definición de Hausdorff

Casi al mismo tiempo que Wiener (1914), Felix Hausdorff propuso su definición:

$${\displaystyle (a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}}$$

^[8]

La definición de Kuratowski.

En 1921, Kazimierz Kuratowski ofreció la definición ahora aceptada ^{[9] [10]} del par ordenado ( a , b ):

$${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.}$$

$${\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}$$

Dado algún par ordenado p , la propiedad " x es la primera coordenada de p " se puede formular como:

$${\displaystyle \forall Y\in p:x\in Y.}$$

xp

$${\displaystyle (\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2})).}$$

conjunciónY ₁ ≠ Y ₂ ${\displaystyle (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))}$

Si entonces: ${\displaystyle p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

${\displaystyle \bigcap p=\bigcap {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cap \{x,y\}=\{x\},}$

${\displaystyle \bigcup p=\bigcup {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cup \{x,y\}=\{x,y\}.}$

Así es como podemos extraer la primera coordenada de un par (usando la notación de operación iterada para intersección arbitraria y unión arbitraria ):

$${\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p=\bigcup \{x\}=x.}$$

Así es como se puede extraer la segunda coordenada:

$${\displaystyle \pi _{2}(p)=\bigcup \left\{\left.a\in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow a\notin \bigcap p\right\}=\bigcup \left\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\}\neq \{x\}\rightarrow a\notin \{x\}\right\}=\bigcup \{y\}=y.}$$

(si , entonces el conjunto {y} podría obtenerse de forma más sencilla: , pero la fórmula anterior también tiene en cuenta el caso en que x=y) ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle \{y\}=\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,a\notin \{x\}\}}$

Variantes

La definición anterior de Kuratowski del par ordenado es "adecuada" porque satisface la propiedad característica que debe satisfacer un par ordenado, a saber, que . En particular, expresa adecuadamente "orden", en el sentido de que es falso a menos que ... Existen otras definiciones, de similar o menor complejidad, que son igualmente adecuadas: ${\displaystyle (a,b)=(x,y)\leftrightarrow (a=x)\land (b=y)}$ ${\displaystyle (a,b)=(b,a)}$ ${\displaystyle b=a}$

• ${\displaystyle (a,b)_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{short}}:=\{a,\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{01}}:=\{\{0,a\},\{1,b\}\}.}$^[11]

La definición inversa es simplemente una variante trivial de la definición de Kuratowski y, como tal, no tiene ningún interés independiente. La definición se llama corta porque requiere dos pares de tirantes en lugar de tres . Demostrar que short satisface la propiedad característica requiere el axioma de regularidad de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . ^[12] Además, si se utiliza la construcción teórica de conjuntos de von Neumann de los números naturales , entonces 2 se define como el conjunto {0, 1} = {0, {0}}, que es indistinguible del par (0, 0 ) _corto . Otra desventaja más del par corto es el hecho de que, incluso si a y b son del mismo tipo, los elementos del par corto no lo son. (Sin embargo, si a  =  b entonces la versión corta sigue teniendo cardinalidad 2, que es algo que uno podría esperar de cualquier "par", incluido cualquier "par ordenado".)

Demostrar que las definiciones satisfacen la propiedad característica

Demuestre: ( a , b ) = ( c , d ) si y solo si a = c y b = d .

Kuratowski :
Si . Si a = c y b = d , entonces {{ a }, { a , b }} = {{ c }, { c , d }}. Por lo tanto ( a, b ) _K = ( c , d ) _K .

Sólo si . Dos casos: a = b y a ≠ b .

Si a = b :

( a, b ) _K = {{ a }, { a , b }} = {{ a }, { a , a }} = {{ a }}.

{{ c }, { c , d }} = ( c , d ) _K = ( a , b ) _K = {{ a }}.

Así { c } = { c , d } = { a }, lo que implica a = c y a = d . Por hipótesis, a = b . Por tanto b = d .

Si a ≠ b , entonces ( a , b ) _K = ( c , d ) _K implica {{ a }, { a , b }} = {{ c }, { c , d }}.

Supongamos { c , d } = { a }. Entonces c = d = a , y entonces {{ c }, { c , d }} = {{ a }, { a , a }} = {{ a }, { a }} = {{ a }}. Pero entonces {{ a }, { a, b }} también sería igual a {{ a }}, de modo que b = a lo cual contradice a ≠ b .

Supongamos que { c } = { a , b }. Entonces a = b = c , lo que también contradice a ≠ b .

Por lo tanto { c } = { a }, de modo que c = a y { c , d } = { a , b }.

Si d = a fuera cierto, entonces { c , d } = { a , a } = { a } ≠ { a , b }, una contradicción. Por lo tanto, d = b es el caso, de modo que a = c y b = d .

Inversa :
( a, b ) _inversa = {{ b }, { a, b }} = {{ b }, { b, a }} = ( b, a ) _K .

Si . Si ( a, b ) _inversa = ( c , d ) _inversa , ( b, a ) _K = ( d, c ) _K. Por lo tanto, b = d y a = c .

Sólo si . Si a = c y b = d , entonces {{ b }, { a, b }} = {{ d }, { c, d }}. Por lo tanto ( a, b ) _inversa = ( c, d ) _inversa .

Corto: ^[13]

Si : Si a = c y b = d , entonces { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Así ( a, b ) _corto = ( c, d ) _corto .

Solo si : Supongamos { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Entonces a está en el lado izquierdo y, por tanto, en el lado derecho. Debido a que conjuntos iguales tienen elementos iguales, uno de a = c o a = { c, d } debe ser el caso.

Si a = { c, d }, entonces, por un razonamiento similar al anterior, { a, b } está en el lado derecho, entonces { a, b } = c o { a, b } = { c, d }.

Si { a, b } = c entonces c está en { c, d } = a y a está en c , y esta combinación contradice el axioma de regularidad, ya que { a, c } no tiene ningún elemento mínimo bajo la relación "elemento de ".

Si { a, b } = { c, d }, entonces a es un elemento de a , de a = { c, d } = { a, b }, contradiciendo nuevamente la regularidad.

Por tanto, a = c debe cumplirse.

Nuevamente, vemos que { a, b } = c o { a, b } = { c, d }.

La opción { a, b } = c y a = c implica que c es un elemento de c , contradiciendo la regularidad.

Entonces tenemos a = c y { a, b } = { c, d }, y entonces: { b } = { a, b } \ { a } = { c, d } \ { c } = { d }, entonces b = d .

Definición de Quine-Rosser

Rosser (1953) ^[14] empleó una definición del par ordenado debida a Quine que requiere una definición previa de los números naturales . Sea el conjunto de los números naturales y definamos primero ${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \sigma (x):={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\notin \mathbb {N} ,\\x+1,&{\text{if }}x\in \mathbb {N} .\end{cases}}}$$

${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \varphi (x):=\sigma [x]=\{\sigma (\alpha )\mid \alpha \in x\}=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}.}$$

imagenindicadaxxy ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ''x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (x)}$

$${\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y).}$$

$${\displaystyle \psi (x):=\sigma [x]\cup \{0\}=\varphi (x)\cup \{0\}.}$$

${\displaystyle \psi (x)}$

Finalmente, defina el par ordenado ( A , B ) como la unión disjunta

$${\displaystyle (A,B):=\varphi [A]\cup \psi [B]=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.}$$

${\displaystyle \varphi ''A\cup \psi ''B}$

Extrayendo todos los elementos del par que no contienen 0 y deshaciendo se obtiene A . Asimismo, B se puede recuperar a partir de los elementos del par que sí contienen 0. ^[15] ${\displaystyle \varphi }$

Por ejemplo, el par está codificado como se proporciona . ${\displaystyle (\{\{a,0\},\{b,c,1\}\},\{\{d,2\},\{e,f,3\}\})}$ ${\displaystyle \{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}}$ ${\displaystyle a,b,c,d,e,f\notin \mathbb {N} }$

En la teoría de tipos y sus consecuencias, como la teoría de conjuntos axiomáticos NF , el par Quine-Rosser tiene el mismo tipo que sus proyecciones y, por lo tanto, se denomina par ordenado de "nivel de tipo". Por tanto, esta definición tiene la ventaja de permitir que una función , definida como un conjunto de pares ordenados, tenga un tipo sólo 1 mayor que el tipo de sus argumentos. Esta definición sólo funciona si el conjunto de números naturales es infinito. Este es el caso en NF , pero no en la teoría de tipos ni en NFU . J. Barkley Rosser demostró que la existencia de tal par ordenado a nivel de tipo (o incluso un par ordenado que "aumenta el tipo en 1") implica el axioma del infinito . Para un análisis extenso del par ordenado en el contexto de las teorías de conjuntos quinianas, véase Holmes (1998). ^[dieciséis]

Definición de Cantor-Frege

Al principio del desarrollo de la teoría de conjuntos, antes de que se descubrieran las paradojas, Cantor siguió a Frege al definir el par ordenado de dos conjuntos como la clase de todas las relaciones que se mantienen entre estos conjuntos, asumiendo que la noción de relación es primitiva: ^[17]

$${\displaystyle (x,y)=\{R:xRy\}.}$$

Esta definición es inadmisible en la mayoría de las teorías de conjuntos formalizadas modernas y es metodológicamente similar a definir el cardinal de un conjunto como la clase de todos los conjuntos equipotentes con el conjunto dado. ^[18]

definición de morse

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley hace uso gratuito de las clases adecuadas . ^[19] Morse definió el par ordenado de modo que sus proyecciones pudieran ser clases y conjuntos propios. (La definición de Kuratowski no permite esto). Primero definió pares ordenados cuyas proyecciones son conjuntos a la manera de Kuratowski. Luego redefinió la pareja.

$${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$$

$${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}\mid t\in x\}}$$

Esto genera pares posibles cuyas proyecciones son clases adecuadas. La definición anterior de Quine-Rosser también admite clases adecuadas como proyecciones. De manera similar, el triple se define como una tupla de 3 de la siguiente manera:

$${\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s(z))}$$

El uso del conjunto singleton que tiene un conjunto vacío insertado permite que las tuplas tengan la propiedad de unicidad de que si a es una n -tupla y b es una m -tupla y a = b entonces n = m . Los triples ordenados que se definen como pares ordenados no tienen esta propiedad con respecto a los pares ordenados. ${\displaystyle s(x)}$

Definición axiomática

Los pares ordenados también se pueden introducir axiomáticamente en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) simplemente agregando a ZF un nuevo símbolo de función de aridad 2 (generalmente se omite) y un axioma definitorio para : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(a_{1},b_{1})=f(a_{2},b_{2}){\text{ if and only if }}a_{1}=a_{2}{\text{ and }}b_{1}=b_{2}.}$$

Esta definición es aceptable porque esta extensión de ZF es una extensión conservadora . ^{[ cita necesaria ]}

La definición ayuda a evitar los llamados teoremas accidentales como (a,a) = {{a}}, {a} ∈ (a,b), si la definición de Kuratowski (a,b) = {{a}, {a,b }} se utilizó.

Teoría de categorías

Diagrama conmutativo del producto conjunto X ₁ × X ₂ .

Un producto de teoría de categorías A × B en una categoría de conjuntos representa el conjunto de pares ordenados, con el primer elemento proveniente de A y el segundo proveniente de B. En este contexto , la propiedad característica anterior es una consecuencia de la propiedad universal del producto y del hecho de que los elementos de un conjunto X pueden identificarse con morfismos de 1 (un conjunto de un elemento) a X. Si bien diferentes objetos pueden tener la propiedad universal, todos son naturalmente isomórficos .

Ver también

• producto cartesiano
• Teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck
• Trybulec, Andrzej, 1989, "Tarski-Grothendieck Set Theory", Journal of Formalized Mathematics (definición Def5 de "pares ordenados" como { { x, y }, { x } })

Referencias

1. Lay, Steven R. (2005), Análisis / Con una introducción a la prueba (4ª ed.), Pearson / Prentice Hall, p. 50, ISBN 978-0-13-148101-5
2. Devlin, Keith (2004), Conjuntos, funciones y lógica / Introducción a las matemáticas abstractas (3.ª ed.), Chapman & Hall / CRC, p. 79, ISBN 978-1-58488-449-1
3. Wolf, Robert S. (1998), Prueba, lógica y conjetura / La caja de herramientas del matemático , WH Freeman and Co., p. 164, ISBN 978-0-7167-3050-7
4. Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988), Fundamentos de las matemáticas superiores , PWS-Kent, pág. 80, ISBN 0-87150-164-3
5. Quine ha argumentado que las implementaciones teóricas de conjuntos del concepto de par ordenado es un paradigma para la clarificación de ideas filosóficas (ver " Palabra y objeto ", sección 53). La noción general de tales definiciones o implementaciones se analiza en Thomas Forster "Razonamiento sobre entidades teóricas".
6. Diperto, Randall. "Representaciones teóricas de conjuntos de pares ordenados y su adecuación para la lógica de las relaciones".
7. Se reimprime el artículo de Wiener "Una simplificación de la lógica de las relaciones", junto con un valioso comentario en las páginas 224 y siguientes en van Heijenoort, Jean (1967), De Frege a Gödel: un libro de consulta en lógica matemática, 1979-1931 , Universidad de Harvard Prensa, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.). van Heijenoort plantea la simplificación de esta manera: "Al dar una definición del par ordenado de dos elementos en términos de operaciones de clase, la nota redujo la teoría de las relaciones a la de clases". 
8. cf. introducción al artículo de Wiener en van Heijenoort 1967:224
9. Véase la introducción al artículo de Wiener en van Heijenoort 1967:224. van Heijenoort observa que el conjunto resultante que representa el par ordenado "tiene un tipo superior en 2 a los elementos (cuando son del mismo tipo)"; ofrece referencias que muestran cómo, en determinadas circunstancias, el tipo se puede reducir a 1 o 0.
10. Kuratowski, Casimiro (1921). "Sobre la noción de orden en la teoría de los conjuntos". Fundamentos Mathematicae . 2 (1): 161–171. doi : 10.4064/fm-2-1-161-171 .
11. Esto difiere de la definición de Hausdorff en que no requiere que los dos elementos 0 y 1 sean distintos de a y b .
12. Tourlakis, George (2003) Conferencias sobre lógica y teoría de conjuntos. vol. 2: Teoría de conjuntos . Universidad de Cambridge. Prensa. Proposición III.10.1.
13. Para obtener una prueba formal de Metamath de la idoneidad de short , consulte aquí (opthreg). Véase también Tourlakis (2003), Proposición III.10.1.
14. J. Barkley Rosser , 1953. Lógica para matemáticos . McGraw-Hill.
15. Holmes, M. Randall: On Ordered Pairs , en: Boise State, 29 de marzo de 2009. El autor utiliza for y for . ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \psi }$
16. Holmes, M. Randall (1998) Teoría de conjuntos elemental con un conjunto universal Archivado el 11 de abril de 2011 en Wayback Machine . Academia-Bruylant. El editor ha consentido gentilmente en permitir la difusión de esta monografía a través de la web.
17. Frege, Gottlob (1893). "144". Grundgesetze der Arithmetik (PDF) . Jena: Verlag Hermann Pohle.
18. Kanamori, Akihiro (2007). Teoría de conjuntos de Cantor a Cohen (PDF) . Elsevier BV.pag. 22, nota al pie 59
19. Morse, Anthony P. (1965). Una teoría de conjuntos . Prensa académica.