Producto (teoría de categorías)

Objeto generalizado en la teoría de categorías

En teoría de categorías , el producto de dos (o más) objetos de una categoría es una noción diseñada para captar la esencia de construcciones en otras áreas de las matemáticas, como el producto cartesiano de conjuntos , el producto directo de grupos o anillos y el producto de espacios topológicos . Esencialmente, el producto de una familia de objetos es el objeto "más general" que admite un morfismo para cada uno de los objetos dados.

Definición

Producto de dos objetos

Fijar una categoría Sea y objetos de Un producto de y es un objeto típicamente denotado equipado con un par de morfismos que satisfacen la siguiente propiedad universal : ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2},}$ ${\displaystyle \pi _{1}:X\to X_{1},}$ ${\displaystyle \pi _{2}:X\to X_{2}}$

• Para cada objeto y cada par de morfismos existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1}:Y\to X_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}:Y\to X_{2},}$ ${\displaystyle f:Y\to X_{1}\times X_{2}}$

  

  Propiedad universal del producto

La existencia de un producto puede depender de o de y Si existe, es único hasta el isomorfismo canónico , debido a la propiedad universal, por lo que se puede hablar de producto . Esto tiene el siguiente significado: si es otro producto, existe un isomorfismo único tal que y . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}.}$ ${\displaystyle X',\pi _{1}',\pi _{2}'}$ ${\displaystyle h:X'\to X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}'=\pi _{1}\circ h}$ ${\displaystyle \pi _{2}'=\pi _{2}\circ h}$

Los morfismos y se denominan proyecciones canónicas o morfismos de proyección ; la letra se alitera con proyección. Dados y el morfismo único se denomina producto de los morfismos y y se denota ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle .}$

Producto de una familia arbitraria

En lugar de dos objetos, podemos comenzar con una familia arbitraria de objetos indexados por un conjunto ${\displaystyle I.}$

Dada una familia de objetos, un producto de la familia es un objeto equipado con morfismos que satisfacen la siguiente propiedad universal: ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i},}$

• Para cada objeto y cada familia de morfismos indexada existe un morfismo único tal que los siguientes diagramas conmutan para todos ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i},}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle i\in I:}$

  

  Producto universal del producto.

El producto se denota Si entonces se denota y el producto de morfismos se denota ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ ${\displaystyle I=\{1,\ldots ,n\},}$ ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ ${\displaystyle \langle f_{1},\ldots ,f_{n}\rangle .}$

Definición de ecuación

Alternativamente, el producto puede definirse mediante ecuaciones. Así, por ejemplo, para el producto binario:

• La existencia de está garantizada por la existencia de la operación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$
• La conmutatividad de los diagramas anteriores está garantizada por la igualdad: para todos y para todos ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ ${\displaystyle i\in \{1,2\},}$ ${\displaystyle \pi _{i}\circ \left\langle f_{1},f_{2}\right\rangle =f_{i}}$
• La unicidad de está garantizada por la igualdad: para todos ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:Y\to X_{1}\times X_{2},}$ ${\displaystyle \left\langle \pi _{1}\circ g,\pi _{2}\circ g\right\rangle =g.}$

Como límite

El producto es un caso especial de un límite . Esto se puede ver utilizando una categoría discreta (una familia de objetos sin ningún morfismo, aparte de sus morfismos identidad) como el diagrama requerido para la definición del límite. Los objetos discretos servirán como índice de los componentes y proyecciones. Si consideramos este diagrama como un funtor, es un funtor del conjunto de índices considerado como una categoría discreta. La definición del producto coincide entonces con la definición del límite, siendo un cono y las proyecciones siendo el límite (cono límite). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{f\}_{i}}$

Propiedad universal

Así como el límite es un caso especial de la construcción universal , también lo es el producto. Partiendo de la definición dada para la propiedad universal de los límites , tomemos como categoría discreta a dos objetos, de modo que sea simplemente la categoría producto El funtor diagonal asigna a cada objeto el par ordenado y a cada morfismo el par El producto en está dado por un morfismo universal del funtor al objeto en Este morfismo universal consta de un objeto de y un morfismo que contiene proyecciones. ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathbf {J} }}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle \Delta :\mathbf {C} \to \mathbf {C} \times \mathbf {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f,f).}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \left(X_{1},X_{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (X,X)\to \left(X_{1},X_{2}\right)}$

Ejemplos

En la categoría de conjuntos , el producto (en el sentido de la teoría de categorías) es el producto cartesiano. Dada una familia de conjuntos, el producto se define como con las proyecciones canónicas ${\displaystyle X_{i}}$ $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}:=\left\{\left(x_{i}\right)_{i\in I}:x_{i}\in X_{i}{\text{ for all }}i\in I\right\}}$$ $${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},\quad \pi _{j}\left(\left(x_{i}\right)_{i\in I}\right):=x_{j}.}$$Dado cualquier conjunto con una familia de funciones la flecha universal está definida por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i},}$ ${\displaystyle f:Y\to \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle f(y):=\left(f_{i}(y)\right)_{i\in I}.}$

Otros ejemplos:

• En la categoría de espacios topológicos , el producto es el espacio cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano y que lleva la topología producto . La topología producto es la topología más burda para la cual todas las proyecciones son continuas .
• En la categoría de módulos sobre algún anillo el producto es el producto cartesiano con adición definida por componentes y multiplicación distributiva. ${\displaystyle R,}$
• En la categoría de grupos , el producto es el producto directo de grupos dado por el producto cartesiano con multiplicación definida por componentes.
• En la categoría de gráficos , el producto es el producto tensorial de gráficos .
• En la categoría de relaciones , el producto viene dado por la unión disjunta . (Esto puede resultar un tanto sorprendente dado que la categoría de conjuntos es una subcategoría de la categoría de relaciones).
• En la categoría de variedades algebraicas , el producto viene dado por la incrustación Segre .
• En la categoría de monoides semiabelianos , el producto viene dado por el monoide histórico .
• En la categoría de espacios de Banach y mapas cortos , el producto lleva la norma l ∞ ^{. [2]}
• Un conjunto parcialmente ordenado puede ser tratado como una categoría, utilizando la relación de orden como morfismos. En este caso, los productos y coproductos corresponden a los límites inferiores máximos ( meetings ) y superiores mínimos ( joins ).

Discusión

Un ejemplo en el que el producto no existe: En la categoría de cuerpos, el producto no existe, ya que no existe ningún cuerpo con homomorfismos tanto para como para ${\displaystyle \mathbb {Q} \times F_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F_{p}.}$

Otro ejemplo: un producto vacío (es decir, el conjunto vacío ) es lo mismo que un objeto terminal , y algunas categorías, como la categoría de grupos infinitos , no tienen un objeto terminal: dado cualquier grupo infinito hay infinitos morfismos, por lo que no puede ser terminal. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to G,}$ ${\displaystyle G}$

Si es un conjunto tal que existen todos los productos para familias indexadas con, entonces se puede tratar cada producto como un funtor ^[3] Es obvio cómo este funtor mapea objetos. El mapeo de morfismos es sutil, porque el producto de morfismos definidos arriba no encaja. Primero, considere el funtor producto binario, que es un bifuntor . Para debemos encontrar un morfismo Elegimos Esta operación sobre morfismos se llama producto cartesiano de morfismos . ^[4] Segundo, considere el funtor producto general. Para familias debemos encontrar un morfismo Elegimos el producto de morfismos ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{I}\to \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y_{1},f_{2}:X_{2}\to Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}.}$ ${\displaystyle \left\langle f_{1}\circ \pi _{1},f_{2}\circ \pi _{2}\right\rangle .}$ ${\displaystyle \left\{X\right\}_{i},\left\{Y\right\}_{i},f_{i}:X_{i}\to Y_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}\to \prod _{i\in I}Y_{i}.}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\circ \pi _{i}\right\}_{i}.}$

Una categoría donde cada conjunto finito de objetos tiene un producto a veces se denomina categoría cartesiana ^[4] (aunque algunos autores usan esta frase para significar "una categoría con todos los límites finitos").

El producto es asociativo . Supongamos que es una categoría cartesiana, se han elegido funtores de producto como los anteriores y denota un objeto terminal de Entonces tenemos isomorfismos naturales Estas propiedades son formalmente similares a las de un monoide conmutativo ; una categoría cartesiana con sus productos finitos es un ejemplo de una categoría monoidal simétrica . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C.}$ $${\displaystyle X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z,}$$ $${\displaystyle X\times 1\simeq 1\times X\simeq X,}$$ $${\displaystyle X\times Y\simeq Y\times X.}$$

Distributividad

Para cualquier objeto de una categoría con productos y coproductos finitos, existe un morfismo canónico donde el signo más denota el coproducto . Para ver esto, observe que la propiedad universal del coproducto garantiza la existencia de flechas únicas que completan el siguiente diagrama (las flechas inducidas están discontinuas): ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z),}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z}$

La propiedad universal del producto garantiza entonces un morfismo único inducido por las flechas discontinuas en el diagrama anterior. Una categoría distributiva es aquella en la que este morfismo es en realidad un isomorfismo. Por tanto, en una categoría distributiva existe el isomorfismo canónico. ${\displaystyle X\times (Y+Z)}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)}$ $${\displaystyle X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z).}$$

Véase también

• Coproducto  – el dual del producto
• Functor diagonal  : adjunto izquierdo del functor producto.
• Límite y colímites  – Concepto matemático
• Ecualizador  : Conjunto de argumentos donde dos o más funciones tienen el mismo valor
• Límite inverso  – Construcción en teoría de categorías
• Categoría cerrada cartesiana  – Tipo de categoría en la teoría de categorías
• Retirada categórica  : compleción más general de un cuadrado conmutativo dados dos morfismos con el mismo codominioPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

1. Lambek J., Scott PJ (1988). Introducción a la lógica categórica de orden superior . Cambridge University Press. pág. 304.
2. Qiaochu Yuan (23 de junio de 2012). "Espacios de Banach (y métricas de Lawvere y categorías cerradas)". Annoying Precision .
3. Lane, S. Mac (1988). Categorías para el matemático en activo (1.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pág. 37. ISBN 0-387-90035-7.
4. Michael Barr, Charles Wells (1999). Category Theory – Lecture Notes for ESSLLI. p. 62. Archivado desde el original el 13 de abril de 2011.

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
• Barr, Michael; Charles Wells (1999). Category Theory for Computing Science (PDF) . Les Publications CRM Montreal (publicación PM023). Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 21 de marzo de 2016 .Capítulo 5.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas 5 (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Definición 2.1.1 en Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones 50–51, 53 [es decir, 52]. Vol. 1. Cambridge University Press. pág. 39. ISBN 0-521-44178-1.

Enlaces externos

• Página web interactiva que genera ejemplos de productos de la categoría de conjuntos finitos. Escrita por Jocelyn Paine.
• Producto en el laboratorio n