En la teoría de conjuntos y sus aplicaciones en las matemáticas , una clase es una colección de conjuntos (o, a veces, otros objetos matemáticos) que pueden definirse de forma inequívoca por una propiedad que comparten todos sus miembros. Las clases actúan como una forma de tener colecciones similares a conjuntos, pero que difieren de los conjuntos para evitar paradojas, especialmente la paradoja de Russell (véase § Paradojas ). La definición precisa de "clase" depende del contexto fundacional. En el trabajo sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la noción de clase es informal, mientras que otras teorías de conjuntos, como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel , axiomatizan la noción de "clase propia", por ejemplo, como entidades que no son miembros de otra entidad.
Una clase que no es un conjunto (informalmente en Zermelo-Fraenkel) se denomina clase propia , y una clase que es un conjunto a veces se denomina clase pequeña . Por ejemplo, la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los conjuntos son clases propias en muchos sistemas formales.
En los escritos de teoría de conjuntos de Quine , a menudo se utiliza la frase "clase última" en lugar de la frase "clase adecuada", enfatizando que en los sistemas que él considera, ciertas clases no pueden ser miembros y son, por lo tanto, el término final en cualquier cadena de membresía a la que pertenecen.
Fuera de la teoría de conjuntos, la palabra "clase" se utiliza a veces como sinónimo de "conjunto". Este uso data de un período histórico en el que no se distinguía entre clases y conjuntos como se hace en la terminología de la teoría de conjuntos moderna. [1] Muchos debates sobre "clases" en el siglo XIX y antes se referían en realidad a conjuntos, o tal vez se daban sin tener en cuenta que ciertas clases pueden no ser conjuntos.
La colección de todas las estructuras algebraicas de un tipo dado será normalmente una clase propia. Algunos ejemplos son la clase de todos los grupos , la clase de todos los espacios vectoriales y muchas otras. En teoría de categorías , una categoría cuya colección de objetos forma una clase propia (o cuya colección de morfismos forma una clase propia) se denomina categoría grande .
Los números surrealistas son una clase propia de objetos que tienen las propiedades de un campo .
En la teoría de conjuntos, muchas colecciones de conjuntos resultan ser clases propias. Algunos ejemplos son la clase de todos los conjuntos (la clase universal), la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los números cardinales .
Una forma de demostrar que una clase es propia es colocarla en biyección con la clase de todos los números ordinales. Este método se utiliza, por ejemplo, en la prueba de que no existe ningún retículo completo libre en tres o más generadores .
Las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua pueden explicarse en términos de la suposición tácita inconsistente de que "todas las clases son conjuntos". Con una base rigurosa, estas paradojas sugieren en cambio pruebas de que ciertas clases son propias (es decir, que no son conjuntos). Por ejemplo, la paradoja de Russell sugiere una prueba de que la clase de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos es propia, y la paradoja de Burali-Forti sugiere que la clase de todos los números ordinales es propia. Las paradojas no surgen con las clases porque no existe la noción de clases que contienen clases. De lo contrario, se podría, por ejemplo, definir una clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas, lo que llevaría a una paradoja de Russell para las clases. Un conglomerado , por otro lado, puede tener clases propias como miembros. [2]
La teoría de conjuntos ZF no formaliza la noción de clases, por lo que cada fórmula con clases debe reducirse sintácticamente a una fórmula sin clases. [3] Por ejemplo, se puede reducir la fórmula a . Para una clase y un símbolo de variable de conjunto , es necesario poder expandir cada una de las fórmulas , , y en una fórmula sin la ocurrencia de una clase. [4] p. 339
Semánticamente, en un metalenguaje , las clases pueden describirse como clases de equivalencia de fórmulas lógicas : Si es una estructura que interpreta ZF, entonces la "expresión constructora de clases" del lenguaje objeto se interpreta en por la colección de todos los elementos del dominio de en el que se cumple; por lo tanto, la clase puede describirse como el conjunto de todos los predicados equivalentes a (que se incluye a sí misma). En particular, se puede identificar la "clase de todos los conjuntos" con el conjunto de todos los predicados equivalentes a . [ cita requerida ]
Como las clases no tienen ningún estatus formal en la teoría de ZF, los axiomas de ZF no se aplican inmediatamente a las clases. Sin embargo, si se supone un cardinal inaccesible , entonces los conjuntos de rango menor forman un modelo de ZF (un universo de Grothendieck ), y sus subconjuntos pueden considerarse como "clases".
En ZF, el concepto de función también se puede generalizar a las clases. Una función de clase no es una función en el sentido habitual, ya que no es un conjunto; es más bien una fórmula con la propiedad de que para cualquier conjunto no hay más de un conjunto tal que el par satisfaga . Por ejemplo, la función de clase que asigna cada conjunto a su conjunto potencia puede expresarse como la fórmula . El hecho de que el par ordenado satisfaga puede expresarse con la notación abreviada .
Otro enfoque es el de los axiomas de von Neumann–Bernays–Gödel (NBG); las clases son los objetos básicos de esta teoría y, por lo tanto, un conjunto se define como una clase que es un elemento de alguna otra clase. Sin embargo, los axiomas de existencia de clases de NBG están restringidos de modo que solo cuantifiquen sobre conjuntos, en lugar de sobre todas las clases. Esto hace que NBG sea una extensión conservadora de ZFC.
La teoría de conjuntos de Morse-Kelley admite clases propias como objetos básicos, como NBG, pero también permite la cuantificación sobre todas las clases propias en sus axiomas de existencia de clases. Esto hace que MK sea estrictamente más fuerte que NBG y ZFC.
En otras teorías de conjuntos, como New Foundations o la teoría de semiconjuntos , el concepto de "clase propia" todavía tiene sentido (no todas las clases son conjuntos), pero el criterio de conjunto no está cerrado a los subconjuntos. Por ejemplo, cualquier teoría de conjuntos con un conjunto universal tiene clases propias que son subclases de conjuntos.
