En la teoría de conjuntos , un campo de las matemáticas , la paradoja de Burali-Forti demuestra que construir "el conjunto de todos los números ordinales " conduce a una contradicción y por tanto muestra una antinomia en un sistema que permite su construcción. Lleva el nombre de Cesare Burali-Forti , quien, en 1897, publicó un artículo que demostraba un teorema que, sin que él lo supiera, contradecía un resultado previamente demostrado por Georg Cantor . Posteriormente, Bertrand Russell notó la contradicción, y cuando la publicó en su libro Principios de Matemáticas de 1903 , afirmó que se la había sugerido el artículo de Burali-Forti, con el resultado de que llegó a ser conocida con el nombre de Burali-Forti.
Lo demostraremos por contradicción.
Hemos deducido dos proposiciones contradictorias ( Ω < Ω y Ω ≮ Ω ) del carácter de conjunto de Ω y, por lo tanto, refutado que Ω sea un conjunto.
La versión de la paradoja anterior es anacrónica, porque presupone la definición de los ordinales debida a John von Neumann , según la cual cada ordinal es el conjunto de todos los ordinales precedentes, lo cual no se conocía en el momento en que Burali-Forti formuló la paradoja. . Aquí hay una explicación con menos presuposiciones: supongamos que asociamos con cada bien ordenante un objeto llamado su tipo de orden de una manera no especificada (los tipos de orden son los números ordinales). Los tipos de orden (números ordinales) en sí mismos están bien ordenados de forma natural, y este buen orden debe tener un tipo de orden . Se muestra fácilmente en la ingenua teoría de conjuntos (y sigue siendo cierto en ZFC pero no en New Foundations ) que el tipo de orden de todos los números ordinales menores que un fijo es él mismo. Entonces, el tipo de orden de todos los números ordinales menores que es él mismo. Pero esto significa que , siendo el tipo de orden de un segmento inicial propio de los ordinales, es estrictamente menor que el tipo de orden de todos los ordinales, pero este último lo es en sí mismo por definición. Esto es una contradicción.
Si utilizamos la definición de von Neumann, según la cual cada ordinal se identifica como el conjunto de todos los ordinales precedentes, la paradoja es inevitable: la proposición ofensiva de que el tipo de orden de todos los números ordinales menores que un fijo debe ser verdadera en sí misma. La colección de ordinales de von Neumann, como la colección de la paradoja de Russell , no puede ser un conjunto en ninguna teoría de conjuntos con lógica clásica. Pero la colección de tipos de orden en New Foundations (definidos como clases de equivalencia de buenos ordenamientos bajo similitud) es en realidad un conjunto, y se evita la paradoja porque el tipo de orden de los ordinales menores que resulta no ser .
Los axiomas modernos de la teoría formal de conjuntos , como ZF y ZFC, evitan esta antinomia al no permitir la construcción de conjuntos utilizando términos como "todos los conjuntos con la propiedad " , como es posible en la teoría de conjuntos ingenua y como es posible con los axiomas de Gottlob Frege : específicamente la Ley Fundamental V, en los "Grundgesetze der Arithmetik". El sistema New Foundations (NF) de Quine utiliza una solución diferente . Rosser (1942) demostró que en la versión original del sistema "Lógica Matemática" (ML) de Quine, una extensión de Nuevos Fundamentos, es posible derivar la paradoja de Burali-Forti, mostrando que este sistema era contradictorio. La revisión de Quine de ML tras el descubrimiento de Rosser no adolece de este defecto y, de hecho, Hao Wang demostró posteriormente que era equiconsistente con NF .
