Conglomerado (matemáticas)

En matemáticas, conjunto de clases.

En matemáticas , en el marco de la teoría de categorías basada en un solo universo , ^{[1] [2]} el término conglomerado se aplica a conjuntos arbitrarios como contraposición a los conjuntos distinguidos que son elementos de un universo de Grothendieck . ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8]}

Definición

Las teorías de conjuntos axiomáticos más populares, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK), admiten extensiones no conservativas que surgen después de agregar un axioma suplementario de existencia de un universo de Grothendieck . Un ejemplo de tal extensión es la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , donde se postula una jerarquía infinita de universos de Grothendieck. ${\displaystyle U}$

El concepto de conglomerado fue creado para tratar con “colecciones” de clases , lo cual es deseable en la teoría de categorías para que cada clase pueda ser considerada como un elemento de una “colección más general”, un conglomerado. Técnicamente esto se organiza mediante cambios en la terminología: cuando se agrega un universo de Grothendieck a la teoría de conjuntos axiomáticos elegida ( ZFC / NBG / MK ) se considera conveniente ^{[9] [10]} ${\displaystyle U}$

• aplicar el término "conjunto" únicamente a elementos de , ${\displaystyle U}$
• aplicar el término "clase" sólo a subconjuntos de , ${\displaystyle U}$
• aplicar el término "conglomerado" a todos los conjuntos (no necesariamente a los elementos o subconjuntos de ). ${\displaystyle U}$

Como resultado, en esta terminología, cada conjunto es una clase y cada clase es un conglomerado.

Corolarios

Formalmente, esta construcción describe un modelo de la teoría de conjuntos axiomáticos inicial ( ZFC / NBG / MK ) en la extensión de esta teoría ("ZFC/NBG/MK+ universo de Grothendieck ") con el universo como. ^{[1] : 195  [2] : 23} ${\displaystyle U}$

Si la teoría de conjuntos axiomáticos inicial admite la idea de clase propia (es decir, un objeto que no puede ser un elemento de ningún otro objeto, como la clase de todos los conjuntos en NBG y en MK), entonces estos objetos (clases propias) son descartados de la consideración en la nueva teoría ("universo NBG/MK+Grothendieck"). Sin embargo, (sin contar los posibles problemas causados ​​por el axioma suplementario de existencia de ) esto en cierto sentido no conduce a una pérdida de información sobre los objetos de la antigua teoría (NBG o MK) ya que su representación como modelo en la nueva teoría ("universo NBG/MK+Grothendieck") significa que lo que puede probarse en NBG/MK sobre sus objetos habituales llamados clases (incluyendo clases propias) puede probarse también en el "universo NBG/MK+Grothendieck" sobre sus clases (es decir, sobre subconjuntos de , incluyendo subconjuntos que no son elementos de , que son análogos de clases propias de NBG/MK). Al mismo tiempo, la nueva teoría no es equivalente a la inicial, ya que algunas proposiciones adicionales sobre las clases pueden demostrarse en el "universo NBG/MK+Grothendieck" pero no en NBG/MK. ${\displaystyle Set}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Terminología

El cambio en la terminología a veces se llama "convención de conglomerados". ^{[7] : 6} El primer paso, dado por Mac Lane, ^{[1] : 195  [2] : 23} es aplicar el término "clase" solo a subconjuntos de Mac Lane no redefine los términos teóricos de conjuntos existentes; en cambio, trabaja en una teoría de conjuntos sin clases (ZFC, no NBG/MK), llama a los miembros de "conjuntos pequeños", y establece que los conjuntos pequeños y las clases satisfacen los axiomas de NBG. No necesita "conglomerados", ya que los conjuntos no necesitan ser pequeños. ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$

El término "conglomerado" aparece en las revisiones de los años 1970 y 1980 en Mathematical Reviews ^[11] sin definición, explicación o referencia, y a veces en los artículos. ^[12]

Mientras la convención de conglomerados esté vigente, su uso debe ser exclusivo para evitar ambigüedades; es decir, los conglomerados no deben denominarse “conjuntos” en la forma habitual de ZFC. ^{[7] : 6}

Referencias

1. Mac Lane, Saunders (1969). "Un universo como fundamento de la teoría de categorías". Informes del Midwest Category Seminar III. Lecture Notes in Mathematics, vol . 106. Vol. 106. Springer, Berlín, Heidelberg . págs. 192–200. doi :10.1007/BFb0059147. ISBN 978-3-540-04625-7.
2. Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 5 (segunda edición). Springer, Nueva York, NY . ISBN. 978-0-387-90036-0.
3. Adamek, Jiri; Herrlich, Horst ; Strecker, George (1990). Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos (PDF) . Publicaciones de Dover. págs.13, 15, 16, 259. ISBN 978-0-486-46934-8.
4. Herrlich, Horst ; Strecker, George (2007). «Conjuntos, clases y conglomerados» (PDF) . Teoría de categorías (3ª ed.). Editorial Heldermann. págs. 9-12.
5. Osborne, M. Scott (6 de diciembre de 2012). Álgebra homológica básica. Springer Science & Business Media. págs. 151–153. ISBN 9781461212782.
6. Preuß, Gerhard (6 de diciembre de 2012). Teoría de estructuras topológicas: una aproximación a la topología categórica. Springer Science & Business Media. pág. 3. ISBN 9789400928596.
7. Murfet, Daniel (5 de octubre de 2006). "Fundamentos para la teoría de categorías" (PDF) .
8. Zhang, Jinwen (1991). "El sistema axiomático ACG y la prueba de consistencia del sistema QM y ZF#". Avances en la informática china . Vol. 3. págs. 153-171. doi :10.1142/9789812812407_0009. ISBN . 978-981-02-0152-4.
9. Herrlich, Horst; Strecker, George (2007). «Apéndice. Cimentaciones» (PDF) . Teoría de categorías (3ª ed.). Editorial Heldermann. págs. 328–3300.
10. Nel, Louis (3 de junio de 2016). Teoría de la continuidad. Springer. pág. 31. ISBN 9783319311593.
11. Reseñas 48#5965, 56#3798, 82f:18003, 83d:18010, 84c:54045, 87m:18001
12. Revisado: 89e:18002, 96g:18002