El concepto matemático de función data del siglo XVII en relación con el desarrollo del cálculo ; por ejemplo, la pendiente de un gráfico en un punto se consideraba una función de la coordenada x del punto. Las funciones no se consideraban explícitamente en la antigüedad, pero es posible que se puedan ver algunos precursores del concepto en la obra de filósofos y matemáticos medievales como Oresme .
Los matemáticos del siglo XVIII solían considerar que una función se definía mediante una expresión analítica . En el siglo XIX, las exigencias del riguroso desarrollo del análisis por parte de Weierstrass y otros, la reformulación de la geometría en términos de análisis y la invención de la teoría de conjuntos por parte de Cantor condujeron finalmente al concepto moderno mucho más general de función como aplicación univaluada de un conjunto a otro.
Ya en el siglo XII, el matemático Sharaf al-Din al-Tusi analizó la ecuación x 3 + d = b ⋅ x 2 en la forma x 2 ⋅ ( b – x ) = d , afirmando que el lado izquierdo debe ser al menos igual al valor de d para que la ecuación tenga una solución. Luego determinó el valor máximo de esta expresión. Se puede argumentar que el aislamiento de esta expresión es una aproximación temprana a la noción de una "función". Un valor menor que d significa que no hay solución positiva; un valor igual a d corresponde a una solución, mientras que un valor mayor que d corresponde a dos soluciones. El análisis de Sharaf al-Din de esta ecuación fue un desarrollo notable en las matemáticas islámicas , pero su trabajo no se continuó más en ese momento, ni en el mundo musulmán ni en Europa. [1]
Según Dieudonné [2] y Ponte [3] , el concepto de función surgió en el siglo XVII como resultado del desarrollo de la geometría analítica y del cálculo infinitesimal . Sin embargo, Medvedev sugiere que el concepto implícito de función es uno de linaje antiguo. [4] Ponte también ve enfoques más explícitos del concepto en la Edad Media :
El desarrollo de la geometría analítica alrededor de 1640 permitió a los matemáticos pasar de problemas geométricos sobre curvas a relaciones algebraicas entre "coordenadas variables x e y ". [6] El cálculo se desarrolló utilizando la noción de variables, con su significado geométrico asociado, que persistió hasta bien entrado el siglo XVIII. [7] Sin embargo, la terminología de "función" llegó a utilizarse en las interacciones entre Leibniz y Bernoulli hacia finales del siglo XVII. [8]
El término "función" fue introducido literalmente por Gottfried Leibniz , en una carta de 1673, para describir una cantidad relacionada con los puntos de una curva , como una coordenada o la pendiente de una curva . [9] [10] Johann Bernoulli comenzó a llamar "funciones" a las expresiones formadas por una sola variable. En 1698, estuvo de acuerdo con Leibniz en que cualquier cantidad formada "de manera algebraica y trascendental" puede llamarse función de x . [11] En 1718, llegó a considerar como función "cualquier expresión formada por una variable y algunas constantes". [12] Alexis Claude Clairaut (aproximadamente en 1734) y Leonhard Euler introdujeron la notación familiar para el valor de una función. [13]
Las funciones consideradas en aquella época se denominan hoy funciones diferenciables . Para este tipo de funciones se puede hablar de límites y derivadas; ambas son medidas de la salida o del cambio en la salida en cuanto depende de la entrada o del cambio en la entrada. Tales funciones son la base del cálculo .
En el primer volumen de su texto fundamental Introductio in analysin infinitorum , publicado en 1748, Euler dio esencialmente la misma definición de función que su maestro Bernoulli, como una expresión o fórmula que involucra variables y constantes, por ejemplo, . [14] La propia definición de Euler dice:
Euler también permitió funciones multivaluadas cuyos valores están determinados por una ecuación implícita.
Sin embargo, en 1755, en sus Institutiones calculi differentiaires , Euler dio un concepto más general de función:
Medvedev [17] considera que "en esencia, ésta es la definición que se conoció como la definición de Dirichlet". Edwards [18] también atribuye a Euler un concepto general de función y dice además que
En su Théorie Analytique de la Chaleur, [19] Fourier afirmó que una función arbitraria podía representarse mediante una serie de Fourier . [20] Fourier tenía una concepción general de una función, que incluía funciones que no eran continuas ni estaban definidas por una expresión analítica. [21] Las cuestiones relacionadas con la naturaleza y la representación de las funciones, que surgieron de la solución de la ecuación de onda para una cuerda vibrante, ya habían sido objeto de disputa entre d'Alembert y Euler, y tuvieron un impacto significativo en la generalización de la noción de función. Luzin observa que:
Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a formalizar todas las diferentes ramas de las matemáticas. Uno de los primeros en hacerlo fue Cauchy ; sus resultados algo imprecisos fueron luego completamente rigurosos por Weierstrass , quien abogó por construir el cálculo sobre la aritmética en lugar de la geometría , lo que favoreció la definición de Euler sobre la de Leibniz (véase aritmetización del análisis ). Según Smithies, Cauchy pensaba que las funciones se definían mediante ecuaciones que involucraban números reales o complejos , y suponía tácitamente que eran continuas:
Tradicionalmente se atribuye a Nikolai Lobachevsky [24] y a Peter Gustav Lejeune Dirichlet [25] la definición "formal" moderna de una función como una relación en la que cada primer elemento tiene un segundo elemento único.
Lobachevsky (1834) escribe que
Mientras Dirichlet (1837) escribe
Eves afirma que "el estudiante de matemáticas generalmente cumple con la definición de función de Dirichlet en su curso introductorio de cálculo". [28]
La afirmación de Dirichlet sobre esta formalización ha sido cuestionada por Imre Lakatos :
Sin embargo, Gardiner dice "...me parece que Lakatos va demasiado lejos, por ejemplo, cuando afirma que 'hay amplia evidencia de que [Dirichlet] no tenía idea del concepto [de función moderna]'". [30] Además, como se señaló anteriormente, el artículo de Dirichlet parece incluir una definición en la línea de lo que generalmente se le atribuye, aunque (como Lobachevsky) la establece solo para funciones continuas de una variable real.
De manera similar, Lavine observa que:
Dado que a Lobachevsky y Dirichlet se les atribuye el mérito de haber sido de los primeros en introducir la noción de correspondencia arbitraria, a esta noción a veces se la denomina definición de función de Dirichlet o de Lobachevsky-Dirichlet. [32] Bourbaki (1939) utilizó posteriormente una versión general de esta definición , y algunos miembros de la comunidad educativa la denominan definición de función "Dirichlet-Bourbaki".
Dieudonné , que fue uno de los miembros fundadores del grupo Bourbaki, atribuye una definición moderna precisa y general de una función a Dedekind en su obra Was sind und was sollen die Zahlen , [33] que apareció en 1888 pero que ya había sido redactada en 1878. Dieudonné observa que en lugar de limitarse, como en concepciones anteriores, a funciones reales (o complejas), Dedekind define una función como una aplicación de un solo valor entre dos conjuntos cualesquiera:
Hardy 1908, pp. 26–28 definió una función como una relación entre dos variables x e y tal que "a algunos valores de x corresponden en todo caso valores de y ". No exigió que la función se definiera para todos los valores de x ni que se asociara cada valor de x a un único valor de y . Esta definición amplia de función abarca más relaciones de las que se consideran funciones ordinariamente en las matemáticas contemporáneas. Por ejemplo, la definición de Hardy incluye funciones multivaluadas y lo que en la teoría de la computabilidad se denominan funciones parciales .
Los lógicos de esta época se dedicaban principalmente al análisis de silogismos (las formas aristotélicas de 2000 años de antigüedad y otras), o como lo expresó Augustus De Morgan (1847): "el examen de esa parte del razonamiento que depende de la manera en que se forman las inferencias, y la investigación de máximas generales y reglas para construir argumentos". [35] En esta época la noción de "función" (lógica) no es explícita, pero al menos en el trabajo de De Morgan y George Boole está implícita: vemos la abstracción de las formas de los argumentos, la introducción de variables, la introducción de un álgebra simbólica con respecto a estas variables, y algunas de las nociones de la teoría de conjuntos.
En su obra de 1847, "FORMAL LOGIC OR, The Calculus of Inference, Necessary and Probable" (Lógica formal o cálculo de la inferencia, necesaria y probable), De Morgan observa que "[u]na verdad lógica depende de la estructura del enunciado y no de los asuntos particulares de los que se habla"; no pierde tiempo (pág. i) en abstraer: "En la forma de la proposición, la cópula se vuelve tan abstracta como los términos". Inmediatamente (pág. 1) convierte lo que llama "la proposición" ( la función o relación proposicional actual ) en una forma como "X es Y", donde los símbolos X, "es" e Y representan, respectivamente, el sujeto , la cópula y el predicado. Si bien la palabra "función" no aparece, la noción de "abstracción" está ahí, las "variables" están ahí, la noción de inclusión en su simbolismo "todo el Δ está en el О" (p. 9) está ahí, y por último un nuevo simbolismo para el análisis lógico de la noción de "relación" (usa la palabra con respecto a este ejemplo "X)Y" (p. 75)) está ahí:
En su obra de 1848 La naturaleza de la lógica, Boole afirma que «la lógica... es en un sentido más especial la ciencia del razonamiento por signos», y analiza brevemente las nociones de «pertenencia a» y «clase»: «Un individuo puede poseer una gran variedad de atributos y, por lo tanto, pertenecer a una gran variedad de clases diferentes». [36] Al igual que De Morgan, utiliza la noción de «variable» extraída del análisis; da un ejemplo de «representar la clase bueyes por x y la de caballos por y y la conjunción y por el signo +... podríamos representar la clase agregada bueyes y caballos por x + y ». [37]
En el contexto del "Cálculo Diferencial" Boole definió (circa 1849) la noción de función de la siguiente manera:
Eves observa que "los lógicos se han esforzado por llevar más allá el nivel inicial del desarrollo definicional de las matemáticas y derivar la teoría de conjuntos o clases a partir de una base en la lógica de proposiciones y funciones proposicionales". [39] Pero a finales del siglo XIX, la investigación de los lógicos sobre los fundamentos de las matemáticas estaba sufriendo una importante división. La dirección del primer grupo, los logicistas , probablemente se puede resumir mejor con Bertrand Russell en 1903: "cumplir dos objetivos: primero, demostrar que todas las matemáticas se derivan de la lógica simbólica y, segundo, descubrir, en la medida de lo posible, cuáles son los principios de la lógica simbólica en sí misma".
El segundo grupo de lógicos, los teóricos de conjuntos, surgió con la "teoría de conjuntos" de Georg Cantor (1870-1890), pero fueron impulsados en parte como resultado del descubrimiento de Russell de una paradoja que podía derivarse de la concepción de "función" de Frege, pero también como una reacción contra la solución propuesta por Russell. [40] La respuesta de la teoría de conjuntos de Zermelo fue su libro de 1908 Investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos I - la primera teoría de conjuntos axiomática ; aquí también la noción de "función proposicional" juega un papel.
En su Investigación sobre las leyes del pensamiento, Boole definió una función en términos de un símbolo x de la siguiente manera:
Boole luego utilizó expresiones algebraicas para definir nociones tanto algebraicas como lógicas , por ejemplo, 1 − x es el NO lógico ( x ), xy es el Y lógico ( x , y ), x + y es el O lógico ( x , y ), x ( x + y ) es xx + xy , y "la ley especial" xx = x 2 = x . [42]
En su Lógica simbólica de 1881 , Venn usaba las palabras "función lógica" y el simbolismo contemporáneo ( x = f ( y ), y = f −1 ( x ), cf página xxi) más los diagramas circulares asociados históricamente con Venn para describir "relaciones de clase", [43] las nociones "'cuantificar' nuestro predicado", "proposiciones con respecto a su extensión", "la relación de inclusión y exclusión de dos clases entre sí", y "función proposicional" (todas en la pág. 10), la barra sobre una variable para indicar no- x (página 43), etc. De hecho, equiparó inequívocamente la noción de "función lógica" con "clase" [el "conjunto" moderno]: "... en la visión adoptada en este libro, f ( x ) nunca representa nada más que una clase lógica. Puede ser una clase compuesta agregada de muchas clases simples; puede ser una clase indicada por ciertas operaciones lógicas inversas, puede estar compuesta de dos grupos de clases iguales entre sí, o lo que es lo mismo cosa, su diferencia declarada igual a cero, es decir, una ecuación lógica. Pero, independientemente de cómo se componga o derive, f ( x ) entre nosotros nunca será otra cosa que una expresión general para aquellas clases lógicas de cosas que pueden encontrar un lugar en la lógica ordinaria". [44]
La Begriffsschrift (1879) de Gottlob Frege precedió a la de Giuseppe Peano (1889), pero Peano no tuvo conocimiento de la obra de Frege hasta después de haber publicado la suya. [45] Ambos escritores influyeron fuertemente en Russell (1903). Russell, a su vez, influyó en gran parte de las matemáticas y la lógica del siglo XX a través de sus Principia Mathematica (1913), escritos en conjunto con Alfred North Whitehead .
Frege abandona en un primer momento los tradicionales "conceptos de sujeto y predicado ", sustituyéndolos por argumento y función respectivamente, que cree que "resistirán la prueba del tiempo. Es fácil ver cómo la consideración de un contenido como función de un argumento conduce a la formación de conceptos. Además, merece atención la demostración de la conexión entre los significados de las palabras si, y, no, o, hay, algún, todo, etcétera". [46]
Frege comienza su discusión de la "función" con un ejemplo: comience con la expresión [47] "El hidrógeno es más ligero que el dióxido de carbono". Ahora elimine el signo del hidrógeno (es decir, la palabra "hidrógeno") y reemplácelo con el signo del oxígeno (es decir, la palabra "oxígeno"); esto genera una segunda afirmación. Haga esto nuevamente (usando cualquiera de las afirmaciones) y sustituya el signo por el nitrógeno (es decir, la palabra "nitrógeno") y observe que "Esto cambia el significado de tal manera que "oxígeno" o "nitrógeno" entra en las relaciones en las que estaba antes "hidrógeno"". [48] Hay tres afirmaciones:
Ahora observemos en los tres un "componente estable, que representa la totalidad de [las] relaciones"; [49] llamemos a esto la función , es decir,
Frege llama al argumento de la función "[e]l signo [por ejemplo, hidrógeno, oxígeno o nitrógeno], considerado como reemplazable por otros que denotan el objeto que se encuentra en estas relaciones". [50] Señala que también podríamos haber derivado la función como "El hidrógeno es más ligero que . . ..", con una posición de argumento a la derecha ; la observación exacta la hace Peano (ver más abajo). Finalmente, Frege permite el caso de dos (o más) argumentos. Por ejemplo, eliminemos "dióxido de carbono" para obtener la parte invariante (la función) como:
Frege generaliza la función de un argumento en la forma Φ(A), donde A es el argumento y Φ( ) representa la función, mientras que simboliza la función de dos argumentos como Ψ(A, B), donde A y B son los argumentos y Ψ( , ) la función, y advierte que "en general Ψ(A, B) difiere de Ψ(B, A)". Utilizando su simbolismo único, traduce para el lector el siguiente simbolismo:
Peano definió la noción de "función" de una manera similar a la de Frege, pero sin la precisión. [52] Primero Peano define el signo "K significa clase , o agregado de objetos", [53] cuyos objetos satisfacen tres condiciones de igualdad simples, [54] a = a , ( a = b ) = ( b = a ), SI (( a = b ) Y ( b = c )) ENTONCES ( a = c ). Luego introduce φ, "un signo o un agregado de signos tales que si x es un objeto de la clase s , la expresión φ x denota un nuevo objeto". Peano agrega dos condiciones sobre estos nuevos objetos: primero, que las tres condiciones de igualdad se cumplen para los objetos φ x ; segundo, que "si x e y son objetos de la clase s y si x = y , asumimos que es posible deducir φ x = φ y ". [55] Dado que se cumplen todas estas condiciones, φ es un "presigno de función". Asimismo, identifica una "función postsigno". Por ejemplo, si φ es la función presigno a +, entonces φ x da a + x , o si φ es la función postsigno + a entonces x φ da x + a . [54]
Si bien la influencia de Cantor y Peano fue primordial, [56] en el Apéndice A "Las doctrinas lógicas y aritméticas de Frege" de Los principios de las matemáticas , Russell llega a una discusión de la noción de función de Frege , "... un punto en el que el trabajo de Frege es muy importante y requiere un examen cuidadoso". [57] En respuesta a su intercambio de cartas de 1902 con Frege sobre la contradicción que descubrió en el Begriffsschrift de Frege , Russell agregó esta sección en el último momento.
Para Russell, la noción que más le molesta es la de variable : "6. Las proposiciones matemáticas no sólo se caracterizan por el hecho de que afirman implicaciones, sino también por el hecho de que contienen variables . La noción de variable es una de las más difíciles con las que tiene que lidiar la lógica. Por el momento, deseo dejar en claro abiertamente que hay variables en todas las proposiciones matemáticas, incluso cuando a primera vista parezcan estar ausentes... Siempre encontraremos, en todas las proposiciones matemáticas, que aparecen las palabras cualquiera o alguno ; y estas palabras son las marcas de una variable y una implicación formal". [58]
Como expresó Russell, "el proceso de transformar constantes de una proposición en variables conduce a lo que se llama generalización, y nos da, por así decirlo, la esencia formal de una proposición... Siempre que cualquier término de nuestra proposición pueda convertirse en una variable, nuestra proposición puede generalizarse; y mientras esto sea posible, es tarea de las matemáticas hacerlo"; [59] a estas generalizaciones Russell las llamó funciones proposicionales . [60] De hecho, cita y cita del Begriffsschrift de Frege y presenta un vívido ejemplo de Function und Begriff de Frege de 1891 : que "la esencia de la función aritmética 2 x 3 + x es lo que queda cuando se quita x , es decir, en el ejemplo anterior 2( ) 3 + ( ). El argumento x no pertenece a la función, pero los dos tomados juntos forman el todo". [57] Russell estuvo de acuerdo con la noción de "función" de Frege en un sentido: "Él considera las funciones -y en esto estoy de acuerdo con él- como más fundamentales que los predicados y las relaciones ", pero Russell rechazó la "teoría del sujeto y la aserción" de Frege, en particular "él piensa que, si un término a aparece en una proposición, la proposición siempre puede analizarse en a y una aserción acerca de a ". [57]
Russell desarrollaría sus ideas en su obra Lógica matemática basada en la teoría de tipos de 1908 y en Principia Mathematica (1910-1913), obra suya y de Whitehead . En la época de Principia Mathematica, Russell, al igual que Frege, consideraba fundamental la función proposicional: «Las funciones proposicionales son el tipo fundamental del que se derivan los tipos más habituales de funciones, como «sin x » o «log x» o «el padre de x ». Estas funciones derivadas... se denominan «funciones descriptivas». Las funciones de las proposiciones... son un caso particular de funciones proposicionales». [61]
Funciones proposicionales : Debido a que su terminología es diferente de la contemporánea, el lector puede confundirse con la "función proposicional" de Russell. Un ejemplo puede ayudar. Russell escribe una función proposicional en su forma cruda, por ejemplo, como φŷ : " ŷ está herido". (Observe el circunflejo o "sombrero" sobre la variable y ). Para nuestro ejemplo, asignaremos solo 4 valores a la variable ŷ : "Bob", "Este pájaro", "Emily el conejo" e " y ". La sustitución de uno de estos valores por la variable ŷ produce una proposición ; esta proposición se llama un "valor" de la función proposicional. En nuestro ejemplo hay cuatro valores de la función proposicional, por ejemplo, "Bob está herido", "Este pájaro está herido", "Emily el conejo está herido" e " y está herido". Una proposición, si es significativa -es decir, si su verdad es determinada- tiene un valor de verdad de verdad o falsedad . Si el valor de verdad de una proposición es “verdad”, entonces se dice que el valor de la variable satisface la función proposicional. Finalmente, según la definición de Russell, “una clase [conjunto] es el conjunto de objetos que satisfacen alguna función proposicional” (p. 23). Nótese la palabra “todos”: así es como entran en el tratamiento las nociones contemporáneas de “Para todo ∀” y “existe al menos una instancia ∃” (p. 15).
Para continuar con el ejemplo: supongamos (desde fuera de las matemáticas/lógica) que uno determina que las proposiciones "Bob está herido" tienen un valor de verdad de "falsedad", "Este pájaro está herido" tiene un valor de verdad de "verdad", "Emily el conejo está herido" tiene un valor de verdad indeterminado porque "Emily el conejo" no existe, y " y está herido" es ambiguo en cuanto a su valor de verdad porque el argumento y en sí mismo es ambiguo. Si bien las dos proposiciones "Bob está herido" y "Este pájaro está herido" son significativas (ambas tienen valores de verdad), solo el valor "Este pájaro" de la variable ŷ satisface la función proposicional φŷ : " ŷ está herido". Cuando uno va a formar la clase α: φŷ : " ŷ está herido", sólo se incluye "Este pájaro", dados los cuatro valores "Bob", "Este pájaro", "Emily el conejo" e " y " para la variable ŷ y sus respectivos valores de verdad: falsedad, verdad, indeterminado, ambiguo.
Russell define funciones de proposiciones con argumentos y funciones de verdad f ( p) . [62] Por ejemplo, supongamos que uno formara la "función de proposiciones con argumentos" p 1 : "NOT( p ) AND q " y asignara a sus variables los valores de p : "Bob está herido" y q : "Este pájaro está herido". (Estamos restringidos a los vínculos lógicos NOT, AND, OR e IMPLIES, y solo podemos asignar proposiciones "significativas" a las variables p y q ). Entonces la "función de proposiciones con argumentos" es p 1 : NOT("Bob está herido") AND "Este pájaro está herido". Para determinar el valor de verdad de esta "función de proposiciones con argumentos" la sometemos a una "función de verdad", por ejemplo, f ( p 1 ): f ( NOT("Bob está herido") AND "Este pájaro está herido" ), que produce un valor de verdad de "verdad".
La noción de una relación funcional "muchos-uno" : Russell primero analiza la noción de "identidad", luego define una función descriptiva (páginas 30 y siguientes) como el valor único ιx que satisface la función proposicional (de 2 variables) (es decir, "relación") φŷ .
Russell simboliza la función descriptiva como "el objeto en relación con y ": R'y = DEF ( ιx )( x R y ). Russell repite que " R'y es una función de y , pero no una función proposicional [sic]; la llamaremos función descriptiva . Todas las funciones ordinarias de las matemáticas son de este tipo. Así, en nuestra notación "sin y " se escribiría "sin 'y ", y "sin" representaría la relación que tiene sin 'y con y ". [64]
David Hilbert se propuso como meta "formalizar" las matemáticas clásicas "como una teoría axiomática formal, y esta teoría deberá demostrar ser consistente , es decir, libre de contradicciones". [65] En The Foundations of Mathematics (Los fundamentos de las matemáticas) de Hilbert de 1927, enmarca la noción de función en términos de la existencia de un "objeto":
Hilbert ilustra luego las tres maneras en que se debe utilizar la función ε: en primer lugar, como las nociones "para todo" y "existe", en segundo lugar, para representar el "objeto del cual [una proposición] se cumple" y, por último, cómo convertirla en la función de elección .
Teoría de la recursión y computabilidad : Pero el resultado inesperado del esfuerzo de Hilbert y su alumno Bernays fue el fracaso; véase los teoremas de incompletitud de Gödel de 1931. Casi al mismo tiempo, en un esfuerzo por resolver el Entscheidungsproblem de Hilbert , los matemáticos se propusieron definir lo que se entendía por una "función efectivamente calculable" ( Alonzo Church 1936), es decir, "método efectivo" o " algoritmo ", es decir, un procedimiento explícito, paso a paso, que lograría calcular una función. Aparecieron varios modelos de algoritmos, en rápida sucesión, incluido el cálculo lambda de Church (1936), las funciones μ-recursivas de Stephen Kleene (1936) y la noción de Alan Turing (1936-7) de reemplazar las "computadoras" humanas con "máquinas de computación" completamente mecánicas (véase máquinas de Turing ). Se demostró que todos estos modelos podían calcular la misma clase de funciones computables . La tesis de Church sostiene que esta clase de funciones agota todas las funciones de teoría de números que pueden calcularse mediante un algoritmo. Los resultados de estos esfuerzos fueron vívidas demostraciones de que, en palabras de Turing, "no puede haber un proceso general para determinar si una fórmula dada U del cálculo funcional K [ Principia Mathematica ] es demostrable"; [67] ver más en Independencia (lógica matemática) y Teoría de la computabilidad .
La teoría de conjuntos comenzó con el trabajo de los lógicos con la noción de "clase" (el moderno "conjunto"), por ejemplo De Morgan (1847), Jevons (1880), Venn (1881), Frege (1879) y Peano (1889). Recibió un impulso por el intento de Georg Cantor de definir el infinito en el tratamiento de la teoría de conjuntos (1870-1890) y un descubrimiento posterior de una antinomia (contradicción, paradoja) en este tratamiento ( paradoja de Cantor ), por el descubrimiento de Russell (1902) de una antinomia en 1879 de Frege ( paradoja de Russell ), por el descubrimiento de más antinomias a principios del siglo XX (por ejemplo, la paradoja de Burali-Forti de 1897 y la paradoja de Richard de 1905 ), y por la resistencia al complejo tratamiento de la lógica de Russell [68] y el desagrado por su axioma de reducibilidad [69] (1908, 1910-1913) que propuso como un medio para evadir las antinomias.
En 1902, Russell envió una carta a Frege señalando que la Begriffsschrift de Frege de 1879 permitía que una función fuera un argumento de sí misma: "Por otro lado, también puede ser que el argumento sea determinado y la función indeterminada..." [70] A partir de esta situación sin restricciones, Russell pudo formular una paradoja:
Frege respondió rápidamente que "su descubrimiento de la contradicción me causó la mayor sorpresa y, casi diría, consternación, ya que ha sacudido la base sobre la que pretendía construir la aritmética". [72]
A partir de ese momento, el desarrollo de los fundamentos de las matemáticas se convirtió en un ejercicio de cómo esquivar la "paradoja de Russell", enmarcada como estaba en "las nociones [teóricas de conjuntos] simples de conjunto y elemento". [73]
La noción de "función" aparece como el axioma III de Zermelo, el axioma de separación (Axiom der Aussonderung). Este axioma nos obliga a utilizar una función proposicional Φ( x ) para "separar" un subconjunto M Φ de un conjunto previamente formado M :
Como no existe un conjunto universal —los conjuntos se originan por medio del Axioma II a partir de elementos del dominio B (no conjunto) — "...esto elimina la antinomia de Russell en lo que a nosotros respecta". [75] Pero el "criterio definido" de Zermelo es impreciso y está fijado por Weyl , Fraenkel , Skolem y von Neumann . [76]
De hecho, Skolem en 1922 se refirió a este "criterio definido" o "propiedad" como una "proposición definida":
van Heijenoort resume:
En esta cita, el lector puede observar un cambio en la terminología: en ningún lado se menciona la noción de "función proposicional", sino que se ven las palabras "fórmula", "cálculo de predicados", "predicado" y "cálculo lógico". Este cambio en la terminología se analiza con más detalle en la sección que trata sobre la "función" en la teoría de conjuntos contemporánea.
La historia de la noción de " par ordenado " no está clara. Como se señaló anteriormente, Frege (1879) propuso un ordenamiento intuitivo en su definición de una función de dos argumentos Ψ(A, B). Norbert Wiener en su artículo de 1914 (ver más abajo) observa que su propio tratamiento esencialmente "revierte al tratamiento de Schröder de una relación como una clase de pares ordenados". [79] Russell (1903) consideró la definición de una relación (como Ψ(A, B)) como una "clase de pares", pero la rechazó:
En 1910-1913 y en Principia Mathematica, Russell había abandonado el requisito de una definición intensional de una relación, afirmando que "las matemáticas siempre se ocupan de extensiones más que de intenciones" y "las relaciones, como las clases, deben tomarse en extensión ". [81] Para demostrar la noción de una relación en extensión , Russell ahora adoptó la noción de par ordenado : "Podemos considerar una relación ... como una clase de pares ... la relación determinada por φ( x, y ) es la clase de pares ( x, y ) para los cuales φ( x, y ) es verdadero". [82] En una nota a pie de página, aclaró su noción y llegó a esta definición:
Pero continúa diciendo que no introduciría más las parejas ordenadas en su "tratamiento simbólico"; propone en su lugar su "matriz" y su impopular axioma de reducibilidad.
Un intento de resolver el problema de las antinomias llevó a Russell a proponer su "doctrina de tipos" en un apéndice B de su obra de 1903 Principios de las matemáticas . [83] En pocos años refinaría esta noción y propondría en su obra de 1908 Teoría de tipos dos axiomas de reducibilidad , cuyo propósito era reducir las funciones proposicionales (de una sola variable) y las relaciones (de dos variables) a una forma "inferior" (y finalmente a una forma completamente extensional ); él y Alfred North Whitehead llevarían este tratamiento a Principia Mathematica 1910-1913 con un refinamiento posterior llamado "una matriz". [84] El primer axioma es *12.1; el segundo es *12.11. Para citar a Wiener, el segundo axioma *12.11 "está involucrado solo en la teoría de las relaciones". [85] Ambos axiomas, sin embargo, fueron recibidos con escepticismo y resistencia; Véase más en Axioma de reducibilidad . En 1914, Norbert Wiener, utilizando el simbolismo de Whitehead y Russell, eliminó el axioma *12.11 (la versión "de dos variables" (relacional) del axioma de reducibilidad) expresando una relación como un par ordenado utilizando el conjunto nulo. Aproximadamente al mismo tiempo, Hausdorff (1914, p. 32) dio la definición del par ordenado ( a , b ) como {{ a ,1}, { b ,2}}. Unos años más tarde, Kuratowski (1921) ofreció una definición que ha sido ampliamente utilizada desde entonces, a saber, {{ a , b }, { a }}". [86] Como señaló Suppes (1960), "Esta definición... fue históricamente importante para reducir la teoría de las relaciones a la teoría de conjuntos". [87]
Obsérvese que mientras Wiener "redujo" la forma relacional *12.11 del axioma de reducibilidad, no redujo ni cambió de otro modo la forma de función proposicional *12.1; de hecho, declaró que ésta era "esencial para el tratamiento de la identidad, las descripciones, las clases y las relaciones". [88]
No está claro de dónde se deriva exactamente la noción general de "función" como una correspondencia de muchos-uno. Russell, en su Introducción a la filosofía matemática de 1920 , afirma que "debe observarse que todas las funciones matemáticas resultan de relaciones de uno-muchos [sic; el uso contemporáneo es muchos-uno]... Las funciones en este sentido son funciones descriptivas ". [89] Una posibilidad razonable es la noción de "función descriptiva" de los Principia Mathematica – R ' y = DEF (ι x )( x R y ): "el objeto singular que tiene una relación R con y ". Cualquiera que sea el caso, en 1924, Moses Schönfinkel expresó la noción, afirmando que era "bien conocida":
Según Willard Quine , Schönfinkel 1924 "proporciona... todo el alcance de la teoría abstracta de conjuntos. El quid de la cuestión es que Schönfinkel permite que las funciones se mantengan como argumentos. Para Schönfinkel, sustancialmente como para Frege, las clases son tipos especiales de funciones. Son funciones proposicionales, funciones cuyos valores son valores de verdad. Todas las funciones, proposicionales y de otro tipo, son para Schönfinkel funciones de un solo lugar". [91] Sorprendentemente, Schönfinkel reduce todas las matemáticas a un cálculo funcional extremadamente compacto que consta de solo tres funciones: constancia, fusión (es decir, composición) y exclusividad mutua. Quine señala que Haskell Curry (1958) llevó adelante este trabajo "bajo el título de lógica combinatoria ". [92]
En 1925, Abraham Fraenkel (1922) y Thoralf Skolem (1922) habían enmendado la teoría de conjuntos de Zermelo de 1908. Pero von Neumann no estaba convencido de que esta axiomatización no pudiera conducir a las antinomias. [93] Por lo que propuso su propia teoría, su Axiomatización de la teoría de conjuntos de 1925. [94] Contiene explícitamente una versión "contemporánea", de la teoría de conjuntos, de la noción de "función":
Al principio comienza con objetos I y objetos II , dos objetos A y B que son objetos I (primer axioma), y dos tipos de "operaciones" que suponen el ordenamiento como una propiedad estructural [96] obtenida de los objetos resultantes [ x , y ] y ( x , y ). Los dos "dominios de objetos" se denominan "argumentos" (objetos I) y "funciones" (objetos II); donde se superponen están las "funciones de argumento" (las llama objetos I-II). Introduce dos "operaciones universales de dos variables": (i) la operación [ x , y ]: "... léase 'el valor de la función x para el argumento y ... es en sí mismo un objeto de tipo I", y (ii) la operación ( x , y ): "... (léase 'el par ordenado x , y' ) cuyas variables x e y deben ser ambas argumentos y que produce en sí mismo un argumento ( x , y ). Su propiedad más importante es que x 1 = x 2 e y 1 = y 2 se siguen de ( x 1 = y 2 ) = ( x 2 = y 2 )". Para aclarar el par de funciones, señala que "en lugar de f ( x ) escribimos [ f,x ] para indicar que f , al igual que x , debe considerarse una variable en este procedimiento". Para evitar las "antinomias de la teoría de conjuntos ingenua, en primer lugar, en Russell... debemos renunciar a tratar ciertas funciones como argumentos". [97] Adopta una noción de Zermelo para restringir estas "ciertas funciones". [98]
Suppes [99] observa que la axiomatización de von Neumann fue modificada por Bernays "para permanecer más cerca del sistema original de Zermelo... Introdujo dos relaciones de pertenencia: una entre conjuntos y otra entre conjuntos y clases". Luego Gödel [1940] [100] modificó aún más la teoría: "sus nociones primitivas son las de conjunto, clase y pertenencia (aunque la pertenencia por sí sola es suficiente)". [101] Esta axiomatización se conoce ahora como teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel .
En 1939, Bourbaki , además de dar la conocida definición de par ordenado de una función como un cierto subconjunto del producto cartesiano E × F , dio lo siguiente:
"Sean E y F dos conjuntos, que pueden ser distintos o no. Una relación entre un elemento variable x de E y un elemento variable y de F se llama relación funcional en y si, para todo x ∈ E , existe un único y ∈ F que está en la relación dada con x . Damos el nombre de función a la operación que de esta manera asocia a cada elemento x ∈ E el elemento y ∈ F que está en la relación dada con x , y se dice que la función está determinada por la relación funcional dada. Dos relaciones funcionales equivalentes determinan la misma función."
Tanto las formas axiomáticas como las ingenuas de la teoría de conjuntos de Zermelo modificadas por Fraenkel (1922) y Skolem (1922) definen "función" como una relación, definen una relación como un conjunto de pares ordenados y definen un par ordenado como un conjunto de dos conjuntos "disimétricos".
Mientras que el lector de la teoría axiomática de conjuntos de Suppes (1960) o de la teoría ingenua de conjuntos de Halmos (1970) observa el uso del simbolismo de funciones en el axioma de separación , por ejemplo, φ( x ) (en Suppes) y S( x ) (en Halmos), no verá ninguna mención de "proposición" o incluso de "cálculo de predicados de primer orden". En su lugar hay " expresiones del lenguaje objeto", "fórmulas atómicas", "fórmulas primitivas" y "oraciones atómicas".
Kleene (1952) define las palabras de la siguiente manera: "En los lenguajes de palabras, una proposición se expresa mediante una oración. Luego, un 'predicado' se expresa mediante una oración incompleta o un esqueleto de oración que contiene un lugar abierto. Por ejemplo, "___ es un hombre" expresa un predicado... El predicado es una función proposicional de una variable . Los predicados a menudo se denominan 'propiedades'... El cálculo de predicados tratará la lógica de los predicados en este sentido general de 'predicado', es decir, como función proposicional". [102]
En 1954, Bourbaki, en la p. 76 del Capítulo II de Theorie des Ensembles (teoría de conjuntos), dio una definición de una función como una tripleta f = ( F , A , B ). [103] Aquí F es un grafo funcional , es decir, un conjunto de pares donde ningún par tiene el mismo primer miembro. En la p. 77 ( op. cit. ) Bourbaki afirma (traducción literal): "A menudo utilizaremos, en el resto de este Tratado, la palabra función en lugar de grafo funcional ".
Suppes (1960) en Teoría de conjuntos axiomáticos , define formalmente una relación (p. 57) como un conjunto de pares, y una función (p. 86) como una relación donde no hay dos pares que tengan el mismo primer miembro.
Tarski (1946) explica el motivo de la desaparición de las palabras "función proposicional", por ejemplo, en Suppes (1960) y Halmos (1970), junto con una explicación adicional de la terminología:
Por su parte Tarski llama a la forma relacional de la función una "RELACIÓN FUNCIONAL o simplemente una FUNCIÓN". [105] Después de una discusión de esta "relación funcional", afirma que:
Ver más sobre "la verdad bajo una interpretación" en Alfred Tarski .
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