En lógica , la paradoja de Richard es una antinomia semántica de la teoría de conjuntos y el lenguaje natural descrita por primera vez por el matemático francés Jules Richard en 1905. La paradoja se utiliza habitualmente para motivar la importancia de distinguir cuidadosamente entre matemáticas y metamatemáticas .
Kurt Gödel cita específicamente la antinomia de Richard como un análogo semántico de su resultado de incompletitud sintáctica en la sección introductoria de " Sobre proposiciones formalmente indecidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados I ". La paradoja también fue una motivación para el desarrollo de las matemáticas predicativas .
El enunciado original de la paradoja, debido a Richard (1905), está fuertemente relacionado con el argumento diagonal de Cantor sobre la incontabilidad del conjunto de números reales .
La paradoja comienza con la observación de que ciertas expresiones del lenguaje natural definen números reales de manera inequívoca, mientras que otras no lo hacen. Por ejemplo, "El número real cuya parte entera es 17 y cuyo n -ésimo decimal es 0 si n es par y 1 si n es impar" define el número real 17,1010101... = 1693/99, mientras que la frase "la capital de Inglaterra" no define un número real, ni tampoco la frase "el entero positivo más pequeño no definible en menos de sesenta letras" (véase la paradoja de Berry ).
Hay una lista infinita de frases en inglés (de manera que cada frase tiene una longitud finita, pero la lista en sí es de longitud infinita) que definen números reales de manera inequívoca. Primero ordenamos esta lista de frases por longitud creciente, luego ordenamos todas las frases de igual longitud lexicográficamente , de modo que el orden sea canónico . Esto produce una lista infinita de los números reales correspondientes: r 1 , r 2 , ... . Ahora definamos un nuevo número real r de la siguiente manera. La parte entera de r es 0, el n -ésimo decimal de r es 1 si el n -ésimo decimal de r n no es 1, y el n -ésimo decimal de r es 2 si el n -ésimo decimal de r n es 1.
El párrafo anterior es una expresión en inglés que define de forma inequívoca un número real r . Por lo tanto , r debe ser uno de los números r n . Sin embargo, r se construyó de modo que no pueda ser igual a ninguno de los r n (por lo tanto, r es un número indefinible ). Esta es la contradicción paradójica.
La paradoja de Richard resulta en una contradicción insostenible, que debe analizarse para encontrar un error.
La definición propuesta del nuevo número real r incluye claramente una secuencia finita de caracteres y, por lo tanto, parece a primera vista una definición de un número real. Sin embargo, la definición se refiere a la definibilidad en inglés en sí misma. Si fuera posible determinar qué expresiones inglesas realmente definen un número real y cuáles no, entonces la paradoja se cumpliría. Por lo tanto, la resolución de la paradoja de Richard es que no hay forma de determinar de manera inequívoca exactamente qué oraciones inglesas son definiciones de números reales (véase Good 1966). Es decir, no hay forma de describir en un número finito de palabras cómo saber si una expresión inglesa arbitraria es una definición de un número real. Esto no es sorprendente, ya que la capacidad de hacer esta determinación también implicaría la capacidad de resolver el problema de la detención y realizar cualquier otro cálculo no algorítmico que pueda describirse en inglés.
Un fenómeno similar ocurre en las teorías formalizadas que pueden referirse a su propia sintaxis, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). Digamos que una fórmula φ( x ) define un número real si hay exactamente un número real r tal que φ( r ) se cumple. Entonces no es posible definir, por ZFC, el conjunto de todas las fórmulas ( números de Gödel de) que definen números reales. Porque, si fuera posible definir este conjunto, sería posible diagonalizar sobre él para producir una nueva definición de un número real, siguiendo el esquema de la paradoja de Richard anterior. Nótese que el conjunto de fórmulas que definen números reales puede existir, como un conjunto F ; la limitación de ZFC es que no hay ninguna fórmula que defina F sin referencia a otros conjuntos. Esto está relacionado con el teorema de indefinibilidad de Tarski .
El ejemplo de ZFC ilustra la importancia de distinguir las metamatemáticas de un sistema formal de los enunciados del propio sistema formal. La propiedad D(φ) de que una fórmula φ de ZFC define un número real único no es expresable por sí misma mediante ZFC, sino que debe considerarse como parte de la metateoría utilizada para formalizar ZFC. Desde este punto de vista, la paradoja de Richard resulta de tratar una construcción de la metateoría (la enumeración de todos los enunciados del sistema original que definen números reales) como si esa construcción pudiera realizarse en el sistema original.
Una variación de la paradoja utiliza números enteros en lugar de números reales, al tiempo que conserva el carácter autorreferencial del original. Consideremos un idioma (como el inglés) en el que se definen las propiedades aritméticas de los números enteros. Por ejemplo, "el primer número natural" define la propiedad de ser el primer número natural, uno; y "divisible por exactamente dos números naturales" define la propiedad de ser un número primo (es evidente que algunas propiedades no se pueden definir explícitamente, ya que todo sistema deductivo debe empezar con algunos axiomas . Pero para los fines de este argumento, se supone que frases como "un número entero es la suma de dos números enteros" ya se entienden). Si bien la lista de todas esas posibles definiciones es en sí misma infinita, se ve fácilmente que cada definición individual está compuesta por un número finito de palabras y, por lo tanto, también un número finito de caracteres. Como esto es cierto, podemos ordenar las definiciones, primero por longitud y luego lexicográficamente .
Ahora, podemos mapear cada definición al conjunto de números naturales , de tal manera que la definición con el menor número de caracteres y orden alfabético corresponderá al número 1, la siguiente definición en la serie corresponderá al 2, y así sucesivamente. Dado que cada definición está asociada con un entero único, entonces es posible que ocasionalmente el entero asignado a una definición se ajuste a esa definición. Si, por ejemplo, la definición "no divisible por ningún entero distinto de 1 y él mismo" fuera la 43, entonces esto sería cierto. Dado que 43 en sí mismo no es divisible por ningún entero distinto de 1 y él mismo, entonces el número de esta definición tiene la propiedad de la definición misma. Sin embargo, este no siempre puede ser el caso. Si la definición: "divisible por 3" se asignara al número 58, entonces el número de la definición no tiene la propiedad de la definición misma, ya que 58 en sí mismo no es divisible por 3. Este último ejemplo se denominará como que tiene la propiedad de ser richardiano . Por lo tanto, si un número es richardiano, entonces la definición correspondiente a ese número es una propiedad que el número en sí no tiene. (Más formalmente, " x es richardiano" es equivalente a "x no tiene la propiedad designada por la expresión definitoria con la que x está correlacionado en el conjunto de definiciones ordenado en serie"). Por lo tanto, en este ejemplo, 58 es richardiano, pero 43 no lo es.
Ahora bien, dado que la propiedad de ser richardiano es en sí misma una propiedad numérica de los números enteros, pertenece a la lista de todas las definiciones de propiedades. Por lo tanto, a la propiedad de ser richardiano se le asigna algún número entero, n . Por ejemplo, la definición "ser richardiano" podría asignarse al número 92. Finalmente, la paradoja se convierte en: ¿es 92 richardiano? Supongamos que 92 es richardiano. Esto solo es posible si 92 no tiene la propiedad designada por la expresión definitoria con la que está correlacionado. En otras palabras, esto significa que 92 no es richardiano, lo que contradice nuestra suposición. Sin embargo, si suponemos que 92 no es richardiano, entonces sí tiene la propiedad definitoria a la que corresponde. Esto, por definición, significa que es richardiano, nuevamente en contra de la suposición. Por lo tanto, la afirmación "92 es richardiano" no puede designarse consistentemente como verdadera o falsa.
Otra opinión sobre la paradoja de Richard se relaciona con el predicativismo matemático . Según este punto de vista, los números reales se definen en etapas, y cada etapa solo hace referencia a etapas anteriores y otras cosas que ya se han definido. Desde un punto de vista predicativo, no es válido cuantificar todos los números reales en el proceso de generación de un nuevo número real, porque se cree que esto da como resultado un problema de circularidad en las definiciones. Las teorías de conjuntos como ZFC no se basan en este tipo de marco predicativo y permiten definiciones impredicativas.
Richard (1905) presentó una solución a la paradoja desde el punto de vista del predicativismo. Richard afirmó que el defecto de la construcción paradójica era que la expresión para la construcción del número real r en realidad no define un número real de manera inequívoca, porque el enunciado se refiere a la construcción de un conjunto infinito de números reales, del cual r mismo es una parte. Por lo tanto, dice Richard, el número real r no se incluirá como ningún r n , porque la definición de r no cumple los criterios para ser incluido en la secuencia de definiciones utilizadas para construir la secuencia r n . Los matemáticos contemporáneos están de acuerdo en que la definición de r es inválida, pero por una razón diferente. Creen que la definición de r es inválida porque no hay una noción bien definida de cuándo una frase en inglés define un número real, y por lo tanto no hay una manera inequívoca de construir la secuencia r n .
Aunque la solución de Richard a la paradoja no ganó el favor de los matemáticos, el predicativismo es una parte importante del estudio de los fundamentos de las matemáticas . El predicativismo fue estudiado en detalle por primera vez por Hermann Weyl en Das Kontinuum , donde demostró que gran parte del análisis real elemental puede llevarse a cabo de manera predicativa comenzando solo con los números naturales . Más recientemente, el predicativismo ha sido estudiado por Solomon Feferman , quien ha utilizado la teoría de la prueba para explorar la relación entre los sistemas predicativos e impredicativos. [1]