Conjunto definible ordinal

En la teoría matemática de conjuntos , se dice que un conjunto S es definible ordinalmente si, informalmente, puede definirse en términos de un número finito de ordinales mediante una fórmula de primer orden . Los conjuntos definibles ordinales fueron introducidos por Gödel (1965).

Definición

Una desventaja de la definición informal anterior es que requiere cuantificación sobre todas las fórmulas de primer orden, lo que no se puede formalizar en el lenguaje estándar de la teoría de conjuntos. Sin embargo, existe una caracterización formal diferente:

Un conjunto S es definible ordinalmente si existe alguna colección de ordinales α ₁ , ..., α _n y una fórmula de primer orden φ que toma α ₂ , ..., α _n como parámetros que define de manera única como un elemento de , es decir, tal que S es el único objeto que valida φ( S , α ₂ ...α _n ), con sus cuantificadores que van desde . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V_{\alpha _{1}}}$ ${\displaystyle V_{\alpha _{1}}}$

Este último denota el conjunto en la jerarquía de von Neumann indexado por el ordinal α ₁ . La clase de todos los conjuntos definibles ordinales se denota OD; no es necesariamente transitiva y no necesita ser un modelo de ZFC porque podría no satisfacer el axioma de extensionalidad .

Un conjunto es además definible ordinalmente de forma hereditaria si es definible ordinalmente y todos los elementos de su clausura transitiva son definibles ordinalmente. La clase de conjuntos definibles ordinalmente de forma hereditaria se denota por HOD y es un modelo transitivo de ZFC, con un ordenamiento bien definible.

Es coherente con los axiomas de la teoría de conjuntos que todos los conjuntos son definibles ordinalmente y, por lo tanto, definibles ordinalmente de manera hereditaria. La afirmación de que esta situación se cumple se conoce como V = OD o V = HOD. Se deduce de V = L y es equivalente a la existencia de un buen ordenamiento (definible) del universo. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la fórmula que expresa V = HOD no tiene por qué ser válida dentro de HOD, ya que no es absoluta para los modelos de la teoría de conjuntos: dentro de HOD, la interpretación de la fórmula para HOD puede producir un modelo interno aún más pequeño.

Se ha descubierto que HOD es útil porque es un modelo interno que puede acomodar prácticamente todos los cardinales grandes conocidos . Esto contrasta con la situación de los modelos básicos , ya que aún no se han construido modelos básicos que puedan acomodar cardinales supercompactos , por ejemplo.

Referencias

• Gödel, Kurt (1965) [1946], "Comentarios antes de la Conferencia Bicentenaria de Princeton sobre problemas en matemáticas", en Davis, Martin (ed.), Lo indecidible. Documentos básicos sobre proposiciones indecidibles, problemas irresolubles y funciones computables , Raven Press, Hewlett, NY, págs. 84–88, ISBN 978-0-486-43228-1, Sr.  0189996
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier , ISBN 978-0-444-86839-8