Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( en alemán : [ ˈɡeːɔʁk ˈfɛʁdinant ˈluːtvɪç ˈfiːlɪp ˈkantoːɐ̯ ] ; 3 de marzo [ OS 19 de febrero] 1845 - 6 de enero de 1918 [ 1] ) fue un matemático que desempeñó un papel fundamental en la creación de la teoría de conjuntos , que se ha convertido en una teoría fundamental en matemáticas. Cantor estableció la importancia de la correspondencia biunívoca entre los miembros de dos conjuntos, definió conjuntos infinitos y bien ordenados y demostró que los números reales son más numerosos que los números naturales . El método de prueba de Cantor de este teorema implica la existencia de una infinidad de infinitos. Definió los números cardinales y ordinales y su aritmética. La obra de Cantor es de gran interés filosófico, hecho del que era muy consciente. [2]
En un principio, la teoría de los números transfinitos de Cantor se consideró contraintuitiva, incluso chocante. Esto provocó que encontrara resistencia por parte de matemáticos contemporáneos como Leopold Kronecker y Henri Poincaré [3] y más tarde de Hermann Weyl y L. E. J. Brouwer , mientras que Ludwig Wittgenstein planteó objeciones filosóficas ; véase Controversia sobre la teoría de Cantor . Cantor, un devoto cristiano luterano , [4] creía que la teoría le había sido comunicada por Dios. [5] Algunos teólogos cristianos (en particular los neoescolásticos ) vieron la obra de Cantor como un desafío a la unicidad de la infinitud absoluta en la naturaleza de Dios [6] , equiparando en una ocasión la teoría de los números transfinitos con el panteísmo [7] , una proposición que Cantor rechazó vigorosamente. No todos los teólogos estaban en contra de la teoría de Cantor; El destacado filósofo neoescolástico Constantin Gutberlet estaba a favor de ella y el cardenal Johann Baptist Franzelin la aceptó como una teoría válida (después de que Cantor hiciera algunas aclaraciones importantes). [8]
Las objeciones a la obra de Cantor fueron ocasionalmente feroces: la oposición pública de Leopold Kronecker y sus ataques personales incluyeron la descripción de Cantor como un "charlatán científico", un "renegado" y un "corruptor de la juventud". [9] Kronecker se opuso a las pruebas de Cantor de que los números algebraicos son contables y que los números trascendentales son incontables, resultados que ahora se incluyen en un plan de estudios de matemáticas estándar. Escribiendo décadas después de la muerte de Cantor, Wittgenstein lamentó que las matemáticas estén "plagadas de cabo a rabo por los perniciosos modismos de la teoría de conjuntos", que descartó como "absoluta tontería" que es "risible" y "errónea". [10] Los recurrentes episodios de depresión de Cantor desde 1884 hasta el final de su vida han sido atribuidos a la actitud hostil de muchos de sus contemporáneos, [11] aunque algunos han explicado estos episodios como probables manifestaciones de un trastorno bipolar . [12]
Las duras críticas se vieron acompañadas de elogios posteriores. En 1904, la Royal Society otorgó a Cantor su Medalla Sylvester , el máximo honor que puede otorgar por su trabajo en matemáticas. [13] David Hilbert la defendió de sus críticos al declarar: "Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado ". [14] [15]
Georg Cantor, nacido en 1845 en San Petersburgo , Imperio ruso, se crió en esa ciudad hasta los once años. Era el mayor de seis hijos y era considerado un violinista excepcional. Su abuelo Franz Böhm (1788-1846) (hermano del violinista Joseph Böhm ) era un conocido músico y solista de una orquesta imperial rusa. [16] El padre de Cantor había sido miembro de la Bolsa de San Petersburgo ; cuando enfermó, la familia se mudó a Alemania en 1856, primero a Wiesbaden , luego a Frankfurt , en busca de inviernos más suaves que los de San Petersburgo. En 1860, Cantor se graduó con honores en la Realschule de Darmstadt ; sus habilidades excepcionales en matemáticas, en particular en trigonometría , eran notables. En agosto de 1862, se graduó en la "Höhere Gewerbeschule Darmstadt", ahora la Technische Universität Darmstadt . [17] [18] En 1862, Cantor ingresó en la Politécnica Federal de Zúrich. Después de recibir una importante herencia tras la muerte de su padre en junio de 1863, [19] Cantor se trasladó a la Universidad de Berlín , donde asistió a las conferencias de Leopold Kronecker , Karl Weierstrass y Ernst Kummer . Pasó el verano de 1866 en la Universidad de Gotinga , que en aquel entonces y más tarde era un centro de investigación matemática. Cantor fue un buen estudiante y recibió su doctorado en 1867. [19] [20]
Cantor presentó su tesis sobre teoría de números en la Universidad de Berlín en 1867. Después de enseñar brevemente en una escuela de niñas de Berlín, aceptó un puesto en la Universidad de Halle , donde pasó toda su carrera. Se le concedió la habilitación necesaria para su tesis, también sobre teoría de números, que presentó en 1869 tras su nombramiento en Halle. [20] [21]
En 1874, Cantor se casó con Vally Guttmann. Tuvieron seis hijos, el último (Rudolph) nacido en 1886. Cantor pudo mantener a una familia a pesar de su modesto salario académico, gracias a la herencia que recibió de su padre. Durante su luna de miel en las montañas de Harz , Cantor pasó mucho tiempo discutiendo sobre matemáticas con Richard Dedekind , a quien había conocido en Interlaken, Suiza, dos años antes durante unas vacaciones.
Cantor fue ascendido a profesor extraordinario en 1872 y nombrado profesor titular en 1879. [20] [19] Alcanzar este último rango a la edad de 34 años fue un logro notable, pero Cantor deseaba una cátedra en una universidad más prestigiosa, en particular en Berlín, en ese momento la universidad alemana líder. Sin embargo, su trabajo encontró demasiada oposición para que eso fuera posible. [22] Kronecker, quien dirigió las matemáticas en Berlín hasta su muerte en 1891, se sentía cada vez más incómodo con la perspectiva de tener a Cantor como colega, [23] percibiéndolo como un "corruptor de la juventud" por enseñar sus ideas a una generación más joven de matemáticos. [24] Peor aún, Kronecker, una figura bien establecida dentro de la comunidad matemática y ex profesor de Cantor, estaba en desacuerdo fundamentalmente con el impulso del trabajo de Cantor desde que había retrasado intencionalmente la publicación de la primera publicación importante de Cantor en 1874. [20] A Kronecker, ahora visto como uno de los fundadores del punto de vista constructivo en matemáticas , le desagradaba gran parte de la teoría de conjuntos de Cantor porque afirmaba la existencia de conjuntos que satisfacen ciertas propiedades, sin dar ejemplos específicos de conjuntos cuyos miembros realmente satisfacían esas propiedades. Siempre que Cantor solicitaba un puesto en Berlín, era rechazado, y el proceso generalmente involucraba a Kronecker, [20] por lo que Cantor llegó a creer que la postura de Kronecker le haría imposible abandonar Halle.
En 1881, murió Eduard Heine , colega de Cantor en Halle . Halle aceptó la sugerencia de Cantor de que la cátedra vacante de Heine se ofreciera a Dedekind, Heinrich M. Weber y Franz Mertens , en ese orden, pero cada uno de ellos rechazó la cátedra después de que se la ofrecieron. Finalmente, se nombró a Friedrich Wangerin, pero nunca fue cercano a Cantor.
En 1882, la correspondencia matemática entre Cantor y Dedekind llegó a su fin, aparentemente como resultado de que Dedekind declinara la cátedra en Halle. [25] Cantor también inició otra correspondencia importante, con Gösta Mittag-Leffler en Suecia, y pronto comenzó a publicar en la revista de Mittag-Leffler, Acta Mathematica . Pero en 1885, Mittag-Leffler estaba preocupado por la naturaleza filosófica y la nueva terminología en un artículo que Cantor había enviado a Acta . [26] Le pidió a Cantor que retirara el artículo de Acta mientras estaba en prueba, escribiendo que era "... unos cien años demasiado pronto". Cantor accedió, pero luego cortó su relación y correspondencia con Mittag-Leffler, escribiendo a un tercero: "Si Mittag-Leffler se hubiera salido con la suya, tendría que esperar hasta el año 1984, ¡lo que para mí parecía una exigencia demasiado grande! ... Pero, por supuesto, nunca más quiero saber nada sobre Acta Mathematica ". [27]
Cantor sufrió su primer ataque conocido de depresión en mayo de 1884. [19] [28] Las críticas a su obra pesaban sobre su mente: cada una de las cincuenta y dos cartas que escribió a Mittag-Leffler en 1884 mencionaba a Kronecker. Un pasaje de una de estas cartas es revelador del daño que sufrió la confianza en sí mismo de Cantor:
... No sé cuándo volveré a continuar con mi trabajo científico. Por el momento no puedo hacer absolutamente nada con él y me limito a la tarea más necesaria de mis conferencias. ¡Cuánto más feliz sería si pudiera dedicarme a la actividad científica si tuviera la necesaria frescura mental! [29]
Esta crisis lo llevó a solicitar una cátedra sobre filosofía en lugar de matemáticas. También comenzó un intenso estudio de la literatura isabelina , pensando que podría haber evidencia de que Francis Bacon escribió las obras atribuidas a William Shakespeare (véase la cuestión de la autoría de Shakespeare ); esto finalmente resultó en dos panfletos, publicados en 1896 y 1897. [30]
Cantor se recuperó poco después y posteriormente realizó importantes contribuciones, incluyendo su argumento diagonal y su teorema . Sin embargo, nunca volvió a alcanzar el alto nivel de sus notables artículos de 1874-1884, incluso después de la muerte de Kronecker el 29 de diciembre de 1891. [20] Finalmente buscó y logró una reconciliación con Kronecker. No obstante, los desacuerdos filosóficos y las dificultades que los dividían persistieron.
En 1889, Cantor fue fundamental en la fundación de la Sociedad Matemática Alemana , [20] y presidió su primera reunión en Halle en 1891, donde presentó por primera vez su argumento diagonal; su reputación era lo suficientemente fuerte, a pesar de la oposición de Kronecker a su trabajo, como para asegurar que fuera elegido como el primer presidente de esta sociedad. Dejando de lado la animosidad que Kronecker había mostrado hacia él, Cantor lo invitó a dirigirse a la reunión, pero Kronecker no pudo hacerlo porque su esposa estaba muriendo por las heridas sufridas en un accidente de esquí en ese momento. Georg Cantor también fue fundamental en el establecimiento del primer Congreso Internacional de Matemáticos , que tuvo lugar en Zúrich, Suiza, en 1897. [20]
Después de la hospitalización de Cantor en 1884 no hay registro de que volviera a estar en un sanatorio hasta 1899. [28] Poco después de esa segunda hospitalización, el hijo menor de Cantor, Rudolph, murió repentinamente el 16 de diciembre (Cantor estaba dando una conferencia sobre sus puntos de vista sobre la teoría de Bacon y William Shakespeare ), y esta tragedia drenó a Cantor de gran parte de su pasión por las matemáticas. [31] Cantor fue hospitalizado nuevamente en 1903. Un año después, se indignó y se agitó por un artículo presentado por Julius König en el Tercer Congreso Internacional de Matemáticos . El artículo intentaba demostrar que los principios básicos de la teoría de conjuntos transfinitos eran falsos. Dado que el artículo había sido leído frente a sus hijas y colegas, Cantor se percibió a sí mismo como humillado públicamente. [32] Aunque Ernst Zermelo demostró menos de un día después que la prueba de König había fallado, Cantor permaneció conmocionado y momentáneamente cuestionando a Dios. [13] Cantor sufrió depresión crónica durante el resto de su vida, por lo que fue excusado de dar clases en varias ocasiones y confinado repetidamente en varios sanatorios. Los acontecimientos de 1904 precedieron a una serie de hospitalizaciones con intervalos de dos o tres años. [33] Sin embargo, no abandonó las matemáticas por completo, dando conferencias sobre las paradojas de la teoría de conjuntos ( paradoja de Burali-Forti , paradoja de Cantor y paradoja de Russell ) en una reunión de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en 1903, y asistiendo al Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg en 1904.
En 1911, Cantor fue uno de los distinguidos académicos extranjeros invitados al 500 aniversario de la fundación de la Universidad de St. Andrews en Escocia. Cantor asistió con la esperanza de conocer a Bertrand Russell , cuyos Principia Mathematica, recién publicados , citaban repetidamente el trabajo de Cantor, pero el encuentro no se produjo. Al año siguiente, St. Andrews le otorgó a Cantor un doctorado honorario, pero la enfermedad le impidió recibir el título en persona.
Cantor se retiró en 1913 y vivió en la pobreza y sufrió desnutrición durante la Primera Guerra Mundial . [34] La celebración pública de su 70 cumpleaños fue cancelada debido a la guerra. En junio de 1917, ingresó en un sanatorio por última vez y escribió continuamente a su esposa pidiendo que le permitieran volver a casa. Georg Cantor sufrió un ataque cardíaco fatal el 6 de enero de 1918, en el sanatorio donde había pasado el último año de su vida. [19]
El trabajo de Cantor entre 1874 y 1884 es el origen de la teoría de conjuntos . [35] Antes de este trabajo, el concepto de conjunto era bastante elemental y se había utilizado implícitamente desde el comienzo de las matemáticas, remontándose a las ideas de Aristóteles . Nadie se había dado cuenta de que la teoría de conjuntos tenía algún contenido no trivial. Antes de Cantor, solo existían los conjuntos finitos (que son fáciles de entender) y "el infinito" (que se consideraba un tema de discusión filosófica, más que matemática). Al demostrar que hay (infinitamente) muchos tamaños posibles para conjuntos infinitos, Cantor estableció que la teoría de conjuntos no era trivial y que necesitaba ser estudiada. La teoría de conjuntos ha llegado a desempeñar el papel de una teoría fundamental en las matemáticas modernas, en el sentido de que interpreta proposiciones sobre objetos matemáticos (por ejemplo, números y funciones) de todas las áreas tradicionales de las matemáticas (como el álgebra , el análisis y la topología ) en una sola teoría, y proporciona un conjunto estándar de axiomas para probarlos o refutarlos. Los conceptos básicos de la teoría de conjuntos se utilizan ahora en toda la matemática. [36]
En uno de sus primeros artículos, [37] Cantor demostró que el conjunto de los números reales es "más numeroso" que el conjunto de los números naturales ; esto mostró, por primera vez, que existen conjuntos infinitos de diferentes tamaños . También fue el primero en apreciar la importancia de las correspondencias uno a uno (en adelante denominadas "correspondencia uno a uno") en la teoría de conjuntos. Utilizó este concepto para definir conjuntos finitos e infinitos , subdividiendo estos últimos en conjuntos numerables (o infinitos numerables) y conjuntos no numerables (conjuntos infinitos incontables). [38]
Cantor desarrolló conceptos importantes en topología y su relación con la cardinalidad . Por ejemplo, demostró que el conjunto de Cantor , descubierto por Henry John Stephen Smith en 1875, [39] no es denso en ninguna parte , pero tiene la misma cardinalidad que el conjunto de todos los números reales, mientras que los racionales son densos en todas partes, pero contables. También demostró que todos los órdenes lineales densos contables sin puntos finales son isomorfos en orden a los números racionales .
Cantor introdujo construcciones fundamentales en la teoría de conjuntos, como el conjunto potencia de un conjunto A , que es el conjunto de todos los subconjuntos posibles de A. Más tarde demostró que el tamaño del conjunto potencia de A es estrictamente mayor que el tamaño de A , incluso cuando A es un conjunto infinito; este resultado pronto se conoció como el teorema de Cantor . Cantor desarrolló toda una teoría y aritmética de conjuntos infinitos , llamados cardinales y ordinales , que extendieron la aritmética de los números naturales. Su notación para los números cardinales fue la letra hebrea ( ℵ , aleph ) con un subíndice de número natural; para los ordinales empleó la letra griega ( ω , omega ). Esta notación todavía se utiliza en la actualidad.
La hipótesis del continuo , introducida por Cantor, fue presentada por David Hilbert como el primero de sus veintitrés problemas abiertos en su discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París. El trabajo de Cantor también atrajo atención favorable más allá del célebre elogio de Hilbert. [15] El filósofo estadounidense Charles Sanders Peirce elogió la teoría de conjuntos de Cantor y, después de las conferencias públicas pronunciadas por Cantor en el primer Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en Zúrich en 1897, Adolf Hurwitz y Jacques Hadamard también expresaron su admiración. En ese Congreso, Cantor renovó su amistad y correspondencia con Dedekind. A partir de 1905, Cantor mantuvo correspondencia con su admirador y traductor británico Philip Jourdain sobre la historia de la teoría de conjuntos y sobre las ideas religiosas de Cantor. Esto se publicó más tarde, al igual que varias de sus obras expositivas.
Los primeros diez artículos de Cantor fueron sobre teoría de números , el tema de su tesis. Por sugerencia de Eduard Heine , profesor en Halle, Cantor se dedicó al análisis . Heine propuso que Cantor resolviera un problema abierto que se les había escapado a Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Rudolf Lipschitz , Bernhard Riemann y al propio Heine: la unicidad de la representación de una función mediante series trigonométricas . Cantor resolvió este problema en 1869. Fue mientras trabajaba en este problema que descubrió los ordinales transfinitos, que se daban como índices n en el n -ésimo conjunto derivado S n de un conjunto S de ceros de una serie trigonométrica. Dada una serie trigonométrica f(x) con S como su conjunto de ceros, Cantor había descubierto un procedimiento que producía otra serie trigonométrica que tenía S 1 como su conjunto de ceros, donde S 1 es el conjunto de puntos límite de S . Si S k+1 es el conjunto de puntos límite de S k , entonces podría construir una serie trigonométrica cuyos ceros sean S k+1 . Como los conjuntos S k eran cerrados, contenían sus puntos límite, y la intersección de la secuencia infinita decreciente de conjuntos S , S 1 , S 2 , S 3 ,... formaba un conjunto límite, que ahora llamaríamos S ω , y luego se dio cuenta de que S ω también tendría que tener un conjunto de puntos límite S ω+1 , y así sucesivamente. Tenía ejemplos que continuaban eternamente, y entonces aquí había una secuencia infinita que se daba de forma natural de números infinitos ω , ω + 1, ω + 2, ... [40]
Entre 1870 y 1872, Cantor publicó más artículos sobre series trigonométricas, y también un artículo que definía los números irracionales como secuencias convergentes de números racionales . Dedekind, con quien Cantor se hizo amigo en 1872, citó este artículo más tarde ese año, en el artículo donde expuso por primera vez su célebre definición de números reales mediante cortes de Dedekind . Si bien extendió la noción de número por medio de su concepto revolucionario de cardinalidad infinita, Cantor se opuso paradójicamente a las teorías de infinitesimales de sus contemporáneos Otto Stolz y Paul du Bois-Reymond , describiéndolas como "una abominación" y "un bacilo del cólera de las matemáticas". [41] Cantor también publicó una "prueba" errónea de la inconsistencia de los infinitesimales . [42]
El comienzo de la teoría de conjuntos como rama de las matemáticas suele estar marcado por la publicación del artículo de Cantor de 1874 , [35] "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales"). [44] Este artículo fue el primero en proporcionar una prueba rigurosa de que había más de un tipo de infinito. Anteriormente, se había asumido implícitamente que todas las colecciones infinitas eran equinumerosas (es decir, del "mismo tamaño" o que tenían el mismo número de elementos). [45] Cantor demostró que la colección de números reales y la colección de números enteros positivos no son equinumerosas. En otras palabras, los números reales no son contables . Su prueba difiere del argumento diagonal que dio en 1891. [46] El artículo de Cantor también contiene un nuevo método para construir números trascendentales . Los números trascendentales fueron construidos por primera vez por Joseph Liouville en 1844. [47]
Cantor estableció estos resultados utilizando dos construcciones. Su primera construcción muestra cómo escribir los números algebraicos reales [48] como una secuencia a 1 , a 2 , a 3 , .... En otras palabras, los números algebraicos reales son contables. Cantor comienza su segunda construcción con cualquier secuencia de números reales. Usando esta secuencia, construye intervalos anidados cuya intersección contiene un número real que no está en la secuencia. Dado que cada secuencia de números reales puede usarse para construir un real que no está en la secuencia, los números reales no pueden escribirse como una secuencia, es decir, los números reales no son contables. Al aplicar su construcción a la secuencia de números algebraicos reales, Cantor produce un número trascendental. Cantor señala que sus construcciones prueban más, es decir, proporcionan una nueva prueba del teorema de Liouville: cada intervalo contiene infinitos números trascendentales. [49] El siguiente artículo de Cantor contiene una construcción que prueba que el conjunto de números trascendentales tiene la misma "potencia" (ver más abajo) que el conjunto de números reales. [50]
Entre 1879 y 1884, Cantor publicó una serie de seis artículos en Mathematische Annalen que juntos formaban una introducción a su teoría de conjuntos. Al mismo tiempo, hubo una creciente oposición a las ideas de Cantor, liderada por Leopold Kronecker, que admitía conceptos matemáticos solo si podían construirse en un número finito de pasos a partir de los números naturales, que él consideraba dados intuitivamente. Para Kronecker, la jerarquía de infinitos de Cantor era inadmisible, ya que aceptar el concepto de infinito real abriría la puerta a paradojas que desafiarían la validez de las matemáticas en su conjunto. [51] Cantor también introdujo el conjunto de Cantor durante este período.
El quinto artículo de esta serie, " Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" (" Fundamentos de una teoría general de agregados" ), publicado en 1883, [52] fue el más importante de los seis y también se publicó como una monografía separada . Contenía la respuesta de Cantor a sus críticos y mostraba cómo los números transfinitos eran una extensión sistemática de los números naturales. Comienza definiendo conjuntos bien ordenados . Luego se introducen los números ordinales como los tipos de orden de los conjuntos bien ordenados. Cantor luego define la adición y multiplicación de los números cardinales y ordinales. En 1885, Cantor amplió su teoría de los tipos de orden de modo que los números ordinales simplemente se convirtieron en un caso especial de tipos de orden.
En 1891 publicó un artículo que contenía su elegante "argumento diagonal" para la existencia de un conjunto incontable. Aplicó la misma idea para demostrar el teorema de Cantor : la cardinalidad del conjunto potencia de un conjunto A es estrictamente mayor que la cardinalidad de A. Esto estableció la riqueza de la jerarquía de conjuntos infinitos y de la aritmética cardinal y ordinal que Cantor había definido. Su argumento es fundamental en la solución del problema de Halting y la demostración del primer teorema de incompletitud de Gödel . Cantor escribió sobre la conjetura de Goldbach en 1894.
En 1895 y 1897, Cantor publicó un artículo en dos partes en Mathematische Annalen bajo la dirección de Felix Klein ; estos fueron sus últimos artículos importantes sobre la teoría de conjuntos. [53] El primer artículo comienza definiendo conjunto, subconjunto , etc., de maneras que serían ampliamente aceptables hoy en día. Se revisan la aritmética cardinal y ordinal. Cantor quería que el segundo artículo incluyera una prueba de la hipótesis del continuo, pero tuvo que conformarse con exponer su teoría de conjuntos bien ordenados y números ordinales. Cantor intenta demostrar que si A y B son conjuntos con A equivalente a un subconjunto de B y B equivalente a un subconjunto de A , entonces A y B son equivalentes. Ernst Schröder había enunciado este teorema un poco antes, pero su prueba, así como la de Cantor, era defectuosa. Felix Bernstein proporcionó una prueba correcta en su tesis de doctorado de 1898; De ahí el nombre de teorema de Cantor-Bernstein-Schröder .
El artículo de Cantor en Crelle de 1874 fue el primero en invocar la noción de una correspondencia uno a uno , aunque no utilizó esa frase. Luego comenzó a buscar una correspondencia uno a uno entre los puntos del cuadrado unitario y los puntos de un segmento de línea unitario . En una carta de 1877 a Richard Dedekind, Cantor demostró un resultado mucho más sólido : para cualquier entero positivo n , existe una correspondencia uno a uno entre los puntos del segmento de línea unitario y todos los puntos en un espacio n -dimensional . Sobre este descubrimiento, Cantor escribió a Dedekind: " Je le vois, mais je ne le crois pas! " ("¡Lo veo, pero no lo creo!") [54] El resultado que encontró tan asombroso tiene implicaciones para la geometría y la noción de dimensión .
En 1878, Cantor presentó otro artículo al Crelle's Journal, en el que definió con precisión el concepto de correspondencia biunívoca e introdujo la noción de " potencia " (un término que tomó de Jakob Steiner ) o "equivalencia" de conjuntos: dos conjuntos son equivalentes (tienen la misma potencia) si existe una correspondencia biunívoca entre ellos. Cantor definió los conjuntos contables (o conjuntos numerables) como conjuntos que pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los números naturales y demostró que los números racionales son numerables. También demostró que el espacio euclidiano n -dimensional R n tiene la misma potencia que los números reales R , al igual que un producto infinito numerable de copias de R . Si bien hizo un uso libre de la numerabilidad como concepto, no escribió la palabra "contable" hasta 1883. Cantor también discutió su pensamiento sobre la dimensión , enfatizando que su mapeo entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario no era continuo .
Este artículo desagradó a Kronecker y Cantor quiso retirarlo; sin embargo, Dedekind lo persuadió de no hacerlo y Karl Weierstrass apoyó su publicación. [55] Sin embargo, Cantor nunca volvió a enviar nada a Crelle.
Cantor fue el primero en formular lo que más tarde se conocería como la hipótesis del continuo o CH: no existe ningún conjunto cuya potencia sea mayor que la de los naturales y menor que la de los reales (o, equivalentemente, la cardinalidad de los reales es exactamente aleph-uno, en lugar de sólo al menos aleph-uno). Cantor creía que la hipótesis del continuo era cierta e intentó demostrarla durante muchos años , en vano. Su incapacidad para demostrar la hipótesis del continuo le causó una ansiedad considerable. [11]
La dificultad que tuvo Cantor para probar la hipótesis del continuo ha sido subrayada por desarrollos posteriores en el campo de las matemáticas: un resultado de 1940 de Kurt Gödel y uno de 1963 de Paul Cohen juntos implican que la hipótesis del continuo no puede ser probada ni refutada usando la teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección (la combinación conocida como " ZFC "). [56]
En 1883, Cantor dividió lo infinito en lo transfinito y lo absoluto . [57]
El transfinito es creciente en magnitud, mientras que el absoluto es incremen-table. Por ejemplo, un ordinal α es transfinito porque puede ser creciente a α + 1. Por otro lado, los ordinales forman una secuencia absolutamente infinita que no puede ser creciente en magnitud porque no hay ordinales mayores que agregarle. [58] En 1883, Cantor también introdujo el principio de buen ordenamiento "todo conjunto puede ser bien ordenado" y afirmó que es una "ley del pensamiento". [59]
Cantor amplió su trabajo sobre el infinito absoluto al usarlo en una prueba. Alrededor de 1895, comenzó a considerar su principio de buen orden como un teorema e intentó demostrarlo. En 1899, envió a Dedekind una prueba del teorema aleph equivalente: la cardinalidad de cada conjunto infinito es un aleph . [60] Primero, definió dos tipos de multiplicidades: multiplicidades consistentes (conjuntos) y multiplicidades inconsistentes (multiplicidades absolutamente infinitas). A continuación, asumió que los ordinales forman un conjunto, demostró que esto conduce a una contradicción y concluyó que los ordinales forman una multiplicidad inconsistente. Utilizó esta multiplicidad inconsistente para demostrar el teorema aleph. [61] En 1932, Zermelo criticó la construcción en la prueba de Cantor. [62]
Cantor evitó las paradojas al reconocer que hay dos tipos de multiplicidades. En su teoría de conjuntos, cuando se supone que los ordinales forman un conjunto, la contradicción resultante implica solo que los ordinales forman una multiplicidad inconsistente. En contraste, Bertrand Russell trató todas las colecciones como conjuntos, lo que conduce a paradojas. En la teoría de conjuntos de Russell, los ordinales forman un conjunto, por lo que la contradicción resultante implica que la teoría es inconsistente . De 1901 a 1903, Russell descubrió tres paradojas que implicaban que su teoría de conjuntos era inconsistente: la paradoja de Burali-Forti (que se acaba de mencionar), la paradoja de Cantor y la paradoja de Russell . [63] Russell nombró paradojas en honor a Cesare Burali-Forti y Cantor, aunque ninguno de ellos creía haber encontrado paradojas. [64]
En 1908, Zermelo publicó su sistema de axiomas para la teoría de conjuntos . Tenía dos motivaciones para desarrollar el sistema de axiomas: eliminar las paradojas y asegurar su prueba del teorema de buen orden . [65] Zermelo había demostrado este teorema en 1904 utilizando el axioma de elección , pero su prueba fue criticada por una variedad de razones. [66] Su respuesta a la crítica incluyó su sistema de axiomas y una nueva prueba del teorema de buen orden. Sus axiomas respaldan esta nueva prueba y eliminan las paradojas al restringir la formación de conjuntos. [67]
En 1923, John von Neumann desarrolló un sistema de axiomas que elimina las paradojas utilizando un enfoque similar al de Cantor, es decir, identificando colecciones que no son conjuntos y tratándolas de manera diferente. Von Neumann afirmó que una clase es demasiado grande para ser un conjunto si se puede poner en correspondencia biunívoca con la clase de todos los conjuntos. Definió un conjunto como una clase que es miembro de alguna clase y enunció el axioma: Una clase no es un conjunto si y solo si hay una correspondencia biunívoca entre ella y la clase de todos los conjuntos. Este axioma implica que estas grandes clases no son conjuntos, lo que elimina las paradojas ya que no pueden ser miembros de ninguna clase. [68] Von Neumann también utilizó su axioma para demostrar el teorema del buen orden: al igual que Cantor, asumió que los ordinales forman un conjunto. La contradicción resultante implica que la clase de todos los ordinales no es un conjunto. Su axioma proporciona una correspondencia biunívoca entre esta clase y la clase de todos los conjuntos. Esta correspondencia ordena bien la clase de todos los conjuntos, lo que implica el teorema de buen orden. [69] En 1930, Zermelo definió modelos de teoría de conjuntos que satisfacen el axioma de von Neumann . [70]
El concepto de la existencia de un infinito real era una preocupación compartida importante dentro de los ámbitos de las matemáticas, la filosofía y la religión. Preservar la ortodoxia de la relación entre Dios y las matemáticas, aunque no en la misma forma que sostenían sus críticos, fue durante mucho tiempo una preocupación de Cantor. [71] Abordó directamente esta intersección entre estas disciplinas en la introducción a su Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre , donde destacó la conexión entre su visión del infinito y la filosófica. [72] Para Cantor, sus visiones matemáticas estaban intrínsecamente vinculadas a sus implicaciones filosóficas y teológicas: identificaba el infinito absoluto con Dios, [73] y consideraba que su trabajo sobre los números transfinitos le había sido comunicado directamente por Dios, quien había elegido a Cantor para revelarlos al mundo. [5] Era un devoto luterano cuyas creencias cristianas explícitas dieron forma a su filosofía de la ciencia. [74] Joseph Dauben ha rastreado el efecto que las convicciones cristianas de Cantor tuvieron en el desarrollo de la teoría de conjuntos transfinitos. [75] [76]
El debate entre matemáticos surgió de puntos de vista opuestos en la filosofía de las matemáticas con respecto a la naturaleza del infinito actual. Algunos sostenían la opinión de que el infinito era una abstracción que no era matemáticamente legítima y negaban su existencia. [77] Los matemáticos de tres escuelas de pensamiento principales ( el constructivismo y sus dos ramificaciones, el intuicionismo y el finitismo ) se opusieron a las teorías de Cantor en esta materia. Para los constructivistas como Kronecker, este rechazo del infinito actual se deriva de un desacuerdo fundamental con la idea de que las pruebas no constructivas como el argumento diagonal de Cantor son prueba suficiente de que algo existe, sosteniendo en cambio que se requieren pruebas constructivas . El intuicionismo también rechaza la idea de que el infinito actual sea una expresión de cualquier tipo de realidad, pero llega a la decisión a través de una ruta diferente a la del constructivismo. En primer lugar, el argumento de Cantor se basa en la lógica para demostrar la existencia de números transfinitos como una entidad matemática real, mientras que los intuicionistas sostienen que las entidades matemáticas no pueden reducirse a proposiciones lógicas, y que se originan en las intuiciones de la mente. [78] En segundo lugar, la noción de infinito como expresión de la realidad está en sí misma prohibida en el intuicionismo, ya que la mente humana no puede construir intuitivamente un conjunto infinito. [79] Matemáticos como L. E. J. Brouwer y especialmente Henri Poincaré adoptaron una postura intuicionista contra el trabajo de Cantor. Finalmente, los ataques de Wittgenstein eran finitistas: creía que el argumento diagonal de Cantor fusionaba la intención de un conjunto de números cardinales o reales con su extensión , fusionando así el concepto de reglas para generar un conjunto con un conjunto real. [10]
Algunos teólogos cristianos vieron la obra de Cantor como un desafío a la unicidad de la infinitud absoluta en la naturaleza de Dios. [6] En particular, los pensadores neotomistas vieron la existencia de una infinitud real que consistiera en algo distinto de Dios como algo que ponía en peligro "la pretensión exclusiva de Dios de infinitud suprema". [80] Cantor creía firmemente que esta visión era una mala interpretación de la infinitud, y estaba convencido de que la teoría de conjuntos podría ayudar a corregir este error: [81] "... las especies transfinitas están tan a disposición de las intenciones del Creador y de Su voluntad absoluta e ilimitada como lo están los números finitos". [82] El destacado filósofo neoescolástico alemán Constantin Gutberlet estaba a favor de dicha teoría, sosteniendo que no se oponía a la naturaleza de Dios. [8]
Cantor también creía que su teoría de los números transfinitos era contraria tanto al materialismo como al determinismo , y se sorprendió cuando se dio cuenta de que era el único miembro de la facultad de Halle que no sostenía creencias filosóficas deterministas. [83]
Para Cantor era importante que su filosofía proporcionara una "explicación orgánica" de la naturaleza, y en sus Grundlagen de 1883 , dijo que tal explicación solo podría surgir recurriendo a los recursos de la filosofía de Spinoza y Leibniz. [84] Al hacer estas afirmaciones, Cantor puede haber sido influenciado por FA Trendelenburg , a cuyos cursos de conferencias asistió en Berlín, y a su vez Cantor produjo un comentario en latín sobre el Libro 1 de la Ethica de Spinoza . Trendelenburg también fue el examinador de la Habilitationsschrift de Cantor . [85] [86]
En 1888, Cantor publicó su correspondencia con varios filósofos sobre las implicaciones filosóficas de su teoría de conjuntos. En un amplio intento de persuadir a otros pensadores y autoridades cristianas para que adoptaran sus puntos de vista, Cantor había mantenido correspondencia con filósofos cristianos como Tilman Pesch y Joseph Hontheim , [87] así como con teólogos como el cardenal Johann Baptist Franzelin , quien una vez respondió equiparando la teoría de los números transfinitos con el panteísmo . [7] Aunque más tarde este cardenal aceptó la teoría como válida, debido a algunas aclaraciones de Cantor. [8] Cantor incluso envió una carta directamente al propio papa León XIII y le dirigió varios panfletos. [81]
La filosofía de Cantor sobre la naturaleza de los números lo llevó a afirmar su creencia en la libertad de las matemáticas para postular y probar conceptos fuera del ámbito de los fenómenos físicos, como expresiones dentro de una realidad interna. Las únicas restricciones a este sistema metafísico son que todos los conceptos matemáticos deben estar libres de contradicciones internas y que se deduzcan de definiciones, axiomas y teoremas existentes. Esta creencia se resume en su afirmación de que "la esencia de las matemáticas es su libertad". [88] Estas ideas son paralelas a las de Edmund Husserl , a quien Cantor había conocido en Halle. [89]
Mientras tanto, el propio Cantor se oponía ferozmente a los infinitesimales , describiéndolos como una "abominación" y "el bacilo del cólera de las matemáticas". [41]
El artículo de Cantor de 1883 revela que era muy consciente de la oposición que encontraban sus ideas: "... Me doy cuenta de que en esta empresa me pongo en cierta oposición a las opiniones ampliamente sostenidas sobre el infinito matemático y a las opiniones frecuentemente defendidas sobre la naturaleza de los números". [90]
Por ello dedica mucho espacio a justificar su trabajo anterior, afirmando que los conceptos matemáticos pueden introducirse libremente siempre que estén libres de contradicciones y definidos en términos de conceptos previamente aceptados. También cita a Aristóteles, René Descartes , George Berkeley , Gottfried Leibniz y Bernard Bolzano sobre el infinito. En cambio, siempre rechazó firmemente la filosofía de Immanuel Kant , tanto en el ámbito de la filosofía de las matemáticas como en el de la metafísica. Compartía el lema de B. Russell "Kant o Cantor", y definía a Kant como "aquel filisteo sofista que sabía tan poco de matemáticas". [91]
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Los abuelos paternos de Cantor eran de Copenhague y huyeron a Rusia tras la interrupción de las guerras napoleónicas . Hay muy poca información directa sobre ellos. [92] El padre de Cantor, Georg Waldemar Cantor, fue educado en la misión luterana de San Petersburgo, y su correspondencia con su hijo muestra que ambos eran devotos luteranos. Muy poco se sabe con certeza sobre el origen o la educación de Georg Waldemar. [93] La madre de Cantor, Maria Anna Böhm, era una austrohúngara nacida en San Petersburgo y bautizada como católica romana ; se convirtió al protestantismo al casarse. Sin embargo, hay una carta del hermano de Cantor, Louis, a su madre, en la que dice:
Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber... [93]
("Aunque descendiéramos de judíos diez veces, y aunque yo pueda estar, en principio, completamente a favor de la igualdad de derechos para los hebreos, en la vida social prefiero a los cristianos...") lo que podría interpretarse como que ella era de ascendencia judía. [94]
Según el biógrafo Eric Temple Bell , Cantor era de ascendencia judía, aunque ambos padres estaban bautizados. [95] En un artículo de 1971 titulado "Hacia una biografía de Georg Cantor", el historiador británico de matemáticas Ivor Grattan-Guinness menciona ( Annals of Science 27, pp. 345-391, 1971) que no pudo encontrar evidencia de ascendencia judía. (También afirma que la esposa de Cantor, Vally Guttmann, era judía).
En una carta escrita a Paul Tannery en 1896 (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, París, 1934, p. 306), Cantor afirma que sus abuelos paternos eran miembros de la comunidad judía sefardí de Copenhague. En concreto, Cantor afirma al describir a su padre: "Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde...." ("Nació en Copenhague de padres judíos (lit: 'israelitas') de la comunidad judía portuguesa local"). [96] Además, el tío abuelo materno de Cantor, [97] Josef Böhm , un violinista húngaro, ha sido descrito como judío, [98] lo que puede implicar que la madre de Cantor descendía al menos en parte de la comunidad judía húngara. [99]
En una carta a Bertrand Russell , Cantor describió su ascendencia y su autopercepción de la siguiente manera:
Ni mi padre ni mi madre eran de sangre alemana, siendo el primero un danés nacido en Copenhague, y mi madre de ascendencia austrohúngara. Debe saber, señor, que no soy un simple Germain , pues nací el 3 de marzo de 1845 en San Peterborough, capital de Rusia, pero fui con mi padre, mi madre, mis hermanos y mi hermana, a Alemania, cuando tenía once años, en el año 1856. [100]
Hubo declaraciones documentadas, durante la década de 1930, que pusieron en duda esta ascendencia judía:
Más a menudo que la ascendencia materna, se ha discutido la cuestión de si Georg Cantor era de origen judío. En una nota del Instituto Genealógico Danés de Copenhague del año 1937, relativa a su padre, se informa al respecto: "Se testifica que Georg Woldemar Cantor, nacido en 1809 o 1814, no figura en los registros de la comunidad judía y que no hay ninguna duda de que no era judío..." [93]
Hasta la década de 1970, las principales publicaciones académicas sobre Cantor eran dos breves monografías de Arthur Moritz Schönflies (1927) –en gran parte la correspondencia con Mittag-Leffler– y Fraenkel (1930). Ambas eran de segunda y tercera mano; ninguna contenía demasiado sobre su vida personal. El vacío fue llenado en gran parte por Men of Mathematics (1937) de Eric Temple Bell , que uno de los biógrafos modernos de Cantor describe como "quizás el libro moderno más leído sobre la historia de las matemáticas "; y como "uno de los peores". [101] Bell presenta la relación de Cantor con su padre como edípica , las diferencias de Cantor con Kronecker como una pelea entre dos judíos y la locura de Cantor como una desesperación romántica por su fracaso en ganar aceptación para sus matemáticas. Grattan-Guinness (1971) concluyó que ninguna de estas afirmaciones era cierta, pero se pueden encontrar en muchos libros del período intermedio, debido a la ausencia de cualquier otra narración. Hay otras leyendas, independientes de Bell, incluida una que etiqueta al padre de Cantor como un niño abandonado, enviado a San Petersburgo por padres desconocidos. [102] Una crítica del libro de Bell se encuentra en la biografía de Joseph Dauben . [103] Dauben escribe:
Cantor dedicó parte de su correspondencia más vituperante, así como una parte de los Beiträge , a atacar lo que describió en un momento dado como el « bacilo del cólera infinitesimal de las matemáticas», que se había propagado desde Alemania a través del trabajo de Thomae , du Bois-Reymond y Stolz , para infectar las matemáticas italianas... Cualquier aceptación de los infinitesimales significaba necesariamente que su propia teoría de los números era incompleta. Por lo tanto, aceptar el trabajo de Thomae, du Bois-Reymond, Stolz y Veronese era negar la perfección de la propia creación de Cantor. Es comprensible que Cantor lanzara una campaña exhaustiva para desacreditar el trabajo de Veronese de todas las formas posibles. [104]
Con unas pocas raras excepciones, las entidades que se estudian y analizan en matemáticas pueden considerarse como ciertos conjuntos particulares o clases de objetos.... En consecuencia, muchas preguntas fundamentales sobre la naturaleza de las matemáticas pueden reducirse a preguntas sobre la teoría de conjuntos.
La dimensión religiosa que Cantor atribuyó a sus números transfinitos no debe descartarse como una aberración. Tampoco debe olvidarse o separarse de su existencia como matemático. El lado teológico de la teoría de conjuntos de Cantor, aunque quizás irrelevante para comprender su contenido matemático, es sin embargo esencial para la comprensión completa de su teoría y por qué se desarrolló en sus primeras etapas como lo hizo.
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