El infinito absoluto ( símbolo : Ω ), en contexto a menudo llamado " absoluto ", es una extensión de la idea de infinito propuesta por el matemático Georg Cantor . Puede ser considerado como un número que es más grande que cualquier otra cantidad concebible o inconcebible, ya sea finita o transfinita . Cantor relacionó el infinito absoluto con Dios , [1] [2] : 175 [3] : 556 y creía que tenía varias propiedades matemáticas , incluido el principio de reflexión : cada propiedad del infinito absoluto también la posee algún objeto más pequeño. [4] [ aclaración necesaria ]
Cantor dijo:
El infinito actual se distingue por tres relaciones: primero, en cuanto se realiza en la perfección suprema, en la existencia extramundana completamente independiente, en Deo, donde lo llamo infinito absoluto o simplemente absoluto; segundo, en cuanto se representa en el mundo dependiente, creatural; tercero, en cuanto puede ser concebido in abstracto en el pensamiento como una magnitud matemática, un número o un tipo de orden. En las dos últimas relaciones, en las que se revela obviamente limitado y capaz de una mayor proliferación y, por lo tanto, familiar para lo finito, lo llamo Transfinitum y lo contrasto fuertemente con lo absoluto. [5]
Cantor también mencionó la idea en sus cartas a Richard Dedekind (el texto entre corchetes no está presente en el original): [7]
Una multiplicidad [parece querer decir lo que ahora llamamos un conjunto ] se llama bien ordenada si cumple la condición de que cada submultiplicidad tiene un primer elemento ; a una multiplicidad de este tipo la llamo para abreviar una "sucesión".
...
Ahora concibo el sistema de todos los números [ordinales] y lo denoto Ω .
...
El sistema Ω en su ordenación natural según la magnitud es una "sucesión".
Ahora añadamos 0 como un elemento adicional a esta sucesión, y colóquelo, obviamente, en la primera posición; entonces obtenemos una sucesión Ω ′ :
0, 1, 2, 3, ... ω 0 , ω 0 +1, ..., γ, ...
de la cual uno puede convencerse fácilmente de que cada número γ que aparece en ella es el tipo [es decir, el tipo de orden] de la sucesión de todos sus elementos precedentes (incluido 0). (La sucesión Ω tiene esta propiedad primero para ω 0 +1. [ω 0 +1 debería ser ω 0 .])
Ahora bien, Ω ′ (y por tanto también Ω ) no puede ser una multiplicidad consistente. Pues si Ω ′ fuera consistente, entonces, como conjunto bien ordenado, le correspondería un número δ que sería mayor que todos los números del sistema Ω ; sin embargo, el número δ también pertenece al sistema Ω , porque comprende todos los números. Por tanto, δ sería mayor que δ , lo cual es una contradicción. Por tanto:El sistema Ω de todos los números [ordinales] es una multiplicidad inconsistente y absolutamente infinita.
La idea de que el conjunto de todos los números ordinales no puede existir lógicamente parece paradójica para muchos. Esto está relacionado con la paradoja de Burali-Forti, que implica que no puede haber un número ordinal mayor . Todos estos problemas se remontan a la idea de que, para cada propiedad que se puede definir lógicamente, existe un conjunto de todos los objetos que tienen esa propiedad. Sin embargo, como en el argumento de Cantor (arriba), esta idea conduce a dificultades.
En términos más generales, como señaló AW Moore , no puede haber un fin para el proceso de formación de conjuntos y, por lo tanto, no existe tal cosa como la totalidad de todos los conjuntos o la jerarquía de conjuntos . Cualquier totalidad de ese tipo tendría que ser en sí misma un conjunto, y por lo tanto se encontraría en algún lugar dentro de la jerarquía y, por lo tanto, no podría contener a todos los conjuntos.
Una solución estándar a este problema se encuentra en la teoría de conjuntos de Zermelo , que no permite la formación sin restricciones de conjuntos a partir de propiedades arbitrarias. En lugar de ello, podemos formar el conjunto de todos los objetos que tienen una propiedad dada y se encuentran en algún conjunto dado ( Axioma de separación de Zermelo ). Esto permite la formación de conjuntos basados en propiedades, en un sentido limitado, mientras que (con suerte) se preserva la consistencia de la teoría.
Aunque esto resuelve el problema lógico, se podría argumentar que el problema filosófico sigue en pie. Parece natural que un conjunto de individuos deba existir, siempre que los individuos existan. De hecho, se podría decir que la teoría de conjuntos ingenua se basa en esta noción. Aunque la solución de Zermelo permite que una clase describa entidades arbitrarias (posiblemente "grandes"), estos predicados del metalenguaje pueden no tener existencia formal (es decir, como un conjunto) dentro de la teoría. Por ejemplo, la clase de todos los conjuntos sería una clase propia . Esto es filosóficamente insatisfactorio para algunos y ha motivado trabajos adicionales en teoría de conjuntos y otros métodos de formalización de los fundamentos de las matemáticas, como New Foundations de Willard Van Orman Quine .
Cantor (1) tomó el absoluto como una manifestación de Dios [...] Cuando el absoluto se introduce por primera vez en Grundlagen, se vincula a Dios: "el verdadero infinito o absoluto, que está en Dios, no admite ningún tipo de determinación" (Cantor 1883b, p. 175) Esto no es una observación incidental, ya que Cantor es muy explícito e insistente acerca de la relación entre el absoluto y Dios.
[Ca-a, [2] pág. 378].Es wurde das Aktual-Unendliche (AU.) nach drei Beziehungen unterschieden: erstens, sofern es in der höchsten Vollkommenheit, im völlig unabhängigen außerweltlichen Sein, in Deo realisiert ist, wo ich es Absolut Unendliches oder kurzweg Absolutes nenne; zweitens, sofern es in der abhängigen, kreatürlichen Welt vertreten ist; drittens, sofern es als mathematische Größe, Zahl oder Ordnungstypus vom Denken in abstracto aufgefaßt werden kann. In den beiden letzten Beziehungen, wo es offenbar als beschränktes, noch weiterer Vermehrung fähiges und insofern dem Endlichen verwandtes A.-U. sich darstellt, nene ich es Transfinitum und setze es dem Absoluten strengstens entgegen.