El finitismo es una filosofía de las matemáticas que acepta la existencia únicamente de objetos matemáticos finitos . Se entiende mejor en comparación con la filosofía matemática dominante, donde los objetos matemáticos infinitos (por ejemplo, conjuntos infinitos ) se aceptan como legítimos.
La idea principal de las matemáticas finitistas es no aceptar la existencia de objetos infinitos como conjuntos infinitos. Si bien se acepta que todos los números naturales existen, no se considera que el conjunto de todos los números naturales exista como un objeto matemático. Por lo tanto, la cuantificación en infinitos dominios no se considera significativa. La teoría matemática a menudo asociada con el finitismo es la aritmética recursiva primitiva de Thoralf Skolem .
La introducción de objetos matemáticos infinitos se produjo hace unos siglos, cuando el uso de objetos infinitos ya era un tema controvertido entre los matemáticos. La cuestión entró en una nueva fase cuando Georg Cantor introdujo en 1874 lo que ahora se llama teoría ingenua de conjuntos y la utilizó como base para su trabajo sobre números transfinitos . Cuando se descubrieron paradojas como la paradoja de Russell , la paradoja de Berry y la paradoja de Burali-Forti en la ingenua teoría de conjuntos de Cantor, la cuestión se convirtió en un tema candente entre los matemáticos.
Los matemáticos adoptaron varias posiciones. Todos estuvieron de acuerdo acerca de los objetos matemáticos finitos, como los números naturales. Sin embargo, hubo desacuerdos con respecto a infinitos objetos matemáticos. Una posición fue la matemática intuicionista que defendía LEJ Brouwer , que rechazaba la existencia de objetos infinitos hasta que no se construyen.
David Hilbert apoyó otra posición : los objetos matemáticos finitos son objetos concretos, los objetos matemáticos infinitos son objetos ideales y aceptar objetos matemáticos ideales no causa ningún problema con respecto a los objetos matemáticos finitos. Más formalmente, Hilbert creía que es posible demostrar que cualquier teorema sobre objetos matemáticos finitos que pueda obtenerse utilizando objetos infinitos ideales también puede obtenerse sin ellos. Por lo tanto, permitir infinitos objetos matemáticos no causaría ningún problema con respecto a los objetos finitos. Esto llevó al programa de Hilbert de demostrar tanto la consistencia como la integridad de la teoría de conjuntos utilizando medios finitistas, ya que esto implicaría que agregar objetos matemáticos ideales es conservador sobre la parte finitista. Las opiniones de Hilbert también están asociadas con la filosofía formalista de las matemáticas . El objetivo de Hilbert de demostrar la coherencia y la integridad de la teoría de conjuntos o incluso la aritmética mediante medios finitistas resultó ser una tarea imposible debido a los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel . Sin embargo, la gran conjetura de Harvey Friedman implicaría que la mayoría de los resultados matemáticos se pueden demostrar utilizando medios finitistas.
Hilbert no dio una explicación rigurosa de lo que consideraba finitista y denominaba elemental. Sin embargo, basándose en su trabajo con Paul Bernays, algunos expertos como Tait (1981) han argumentado que la aritmética recursiva primitiva puede considerarse un límite superior de lo que Hilbert consideraba matemáticas finitistas. [1]
Como resultado de los teoremas de Gödel, cuando quedó claro que no hay esperanza de demostrar tanto la consistencia como la integridad de las matemáticas, y con el desarrollo de teorías de conjuntos axiomáticas aparentemente consistentes como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la mayoría de los matemáticos modernos no se centran sobre este tema.
En su libro La filosofía de la teoría de conjuntos , Mary Tiles caracterizó a quienes permiten objetos potencialmente infinitos como finitistas clásicos , y a quienes no permiten objetos potencialmente infinitos como finitistas estrictos : por ejemplo, un finitista clásico permitiría afirmaciones como "todo número natural tiene un sucesor " y aceptaría el significado de series infinitas en el sentido de límites de sumas parciales finitas, mientras que un finitista estricto no lo haría. Históricamente, la historia escrita de las matemáticas fue clásicamente finitista hasta que Cantor creó la jerarquía de cardenales transfinitos a finales del siglo XIX.
Leopold Kronecker siguió siendo un estridente oponente a la teoría de conjuntos de Cantor: [2]
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Dios creó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre.
— Conferencia de 1886 en el Berliner Naturforscher-Versammlung [3]
Reuben Goodstein fue otro defensor del finitismo. Parte de su trabajo implicó desarrollar el análisis desde fundamentos finitistas.
Aunque lo negó, gran parte de los escritos de Ludwig Wittgenstein sobre matemáticas tienen una fuerte afinidad con el finitismo. [4]
Si se contrasta a los finitistas con los transfinitistas (defensores de, por ejemplo, la jerarquía de infinitos de Georg Cantor ), entonces también se puede caracterizar a Aristóteles como finitista. Aristóteles promovió especialmente el infinito potencial como una opción intermedia entre el finitismo estricto y el infinito real (siendo este último una actualización de algo interminable en la naturaleza, en contraste con el infinito real cantorista que consiste en los números cardinales y ordinales transfinitos , que no tienen nada que ver). ver con las cosas de la naturaleza):
Pero, por otra parte, suponer que el infinito no existe de ningún modo conduce evidentemente a muchas consecuencias imposibles: habrá un principio y un fin del tiempo, una magnitud no será divisible en magnitudes, un número no será infinito. Si, entonces, en vista de las consideraciones anteriores, ninguna de las alternativas parece posible, se debe llamar a un árbitro.
— Aristóteles, Física, Libro 3, Capítulo 6
El ultrafinitismo (también conocido como ultraintuicionismo ) tiene una actitud aún más conservadora hacia los objetos matemáticos que el finitismo, y tiene objeciones a la existencia de objetos matemáticos finitos cuando son demasiado grandes.
Hacia finales del siglo XX, John Penn Mayberry desarrolló un sistema de matemáticas finitas al que llamó "aritmética euclidiana". El principio más sorprendente de su sistema es un rechazo completo y riguroso del estatus fundamental especial que normalmente se otorga a los procesos iterativos, incluida en particular la construcción de los números naturales mediante la iteración "+1". En consecuencia, Mayberry está en total desacuerdo con aquellos que buscarían equiparar las matemáticas finitas con la aritmética de Peano o cualquiera de sus fragmentos, como la aritmética recursiva primitiva .