Controversia sobre la teoría de Cantor

Sobre el infinito matemático

En lógica matemática , la teoría de conjuntos infinitos fue desarrollada por primera vez por Georg Cantor . Aunque este trabajo se ha convertido en un elemento estándar de la teoría de conjuntos clásica , ha sido criticado en varias áreas por matemáticos y filósofos.

El teorema de Cantor implica que existen conjuntos que tienen una cardinalidad mayor que la cardinalidad infinita del conjunto de los números naturales . El argumento de Cantor a favor de este teorema se presenta con un pequeño cambio. Este argumento se puede mejorar utilizando una definición que dio más adelante. El argumento resultante utiliza sólo cinco axiomas de la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos de Cantor fue controvertida al principio, pero luego fue ampliamente aceptada. La mayoría de los libros de texto de matemáticas modernos utilizan implícitamente las opiniones de Cantor sobre el infinito matemático . Por ejemplo, una línea generalmente se presenta como el conjunto infinito de sus puntos, y comúnmente se enseña que hay más números reales que números racionales (ver cardinalidad del continuo ).

El argumento de Cantor

La primera prueba de Cantor de que los conjuntos infinitos pueden tener diferentes cardinalidades se publicó en 1874. Esta prueba demuestra que el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números reales tienen diferentes cardinalidades. Utiliza el teorema de que una secuencia creciente acotada de números reales tiene un límite , lo que puede demostrarse utilizando la construcción de los números irracionales de Cantor o Richard Dedekind . Como Leopold Kronecker no aceptó estas construcciones, Cantor se sintió motivado a desarrollar una nueva prueba. ^[1]

En 1891 publicó "una prueba mucho más sencilla... que no depende de la consideración de los números irracionales". ^[2] Su nueva prueba utiliza su argumento diagonal para demostrar que existe un conjunto infinito con un mayor número de elementos (o mayor cardinalidad) que el conjunto de números naturales N  = {1, 2, 3, ...}. Este conjunto más grande consta de los elementos ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ... ), donde cada x _n es mo w . ^[3] Cada uno de estos elementos corresponde a un subconjunto de N —es decir, el elemento ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ...) corresponde a { n  ∈  N :   x _n  =  w }. Entonces el argumento de Cantor implica que el conjunto de todos los subconjuntos de N tiene mayor cardinalidad que N. El conjunto de todos los subconjuntos de N se denota por P ( N ), el conjunto potencia de N.

Cantor generalizó su argumento a un conjunto arbitrario A y al conjunto formado por todas las funciones desde A hasta {0, 1}. ^[4] Cada una de estas funciones corresponde a un subconjunto de A , por lo que su argumento generalizado implica el teorema: El conjunto de potencias P ( A ) tiene mayor cardinalidad que A. Esto se conoce como teorema de Cantor .

El siguiente argumento es una versión moderna del argumento de Cantor que utiliza conjuntos de potencias (para su argumento original, consulte el argumento diagonal de Cantor ). Al presentar un argumento moderno, es posible ver qué supuestos de la teoría axiomática de conjuntos se utilizan. La primera parte del argumento demuestra que N y P ( N ) tienen cardinalidades diferentes:

• Existe al menos un conjunto infinito. Esta suposición (no especificada formalmente por Cantor) se captura en la teoría formal de conjuntos mediante el axioma del infinito . Este axioma implica que existe N , el conjunto de todos los números naturales.
• P ( N ), el conjunto de todos los subconjuntos de N , existe. En la teoría formal de conjuntos, esto está implícito en el axioma de conjuntos potencia , que dice que para cada conjunto hay un conjunto de todos sus subconjuntos.
• El concepto de "tener el mismo número" o "tener la misma cardinalidad" puede captarse mediante la idea de correspondencia uno a uno . Esta suposición (puramente definitoria) se conoce a veces como principio de Hume . Como dijo Frege : "Si un camarero desea estar seguro de poner en una mesa exactamente tantos cuchillos como platos, no necesita contar ninguno de ellos; todo lo que tiene que hacer es colocar inmediatamente a la derecha de cada plato un cuchillo, teniendo cuidado de que cada cuchillo en la mesa esté inmediatamente a la derecha de un plato, así los platos y los cuchillos están correlacionados uno a uno." ^[5] Los conjuntos en dicha correlación se denominan equinuméreos y la correlación se denomina correspondencia uno a uno.
• Un conjunto no puede ponerse en correspondencia uno a uno con su conjunto potencia. Esto implica que N y P ( N ) tienen cardinalidades diferentes. Depende de muy pocos supuestos de la teoría de conjuntos y, como dice John P. Mayberry , es un "argumento simple y hermoso" que está "preñado de consecuencias". ^[6] Aquí está el argumento:

  Sea un conjunto y sea su conjunto potencia. Se demostrará el siguiente teorema: Si es una función de hasta entonces no es sobre . Este teorema implica que no existe una correspondencia uno a uno entre y ya que dicha correspondencia debe ser sobre. Prueba del teorema: Definir el subconjunto diagonal Ya que demostrar eso para todos implicará que no es correcto. Sea Entonces, lo que implica Entonces si entonces y si entonces Dado que uno de estos conjuntos contiene y el otro no, Por lo tanto, no está a imagen de , entonces no está sobre. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle D=\{x\in A:x\notin f(x)\}.}$ ${\displaystyle D\in P(A),}$ ${\displaystyle x\in A,\,D\neq f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in A.}$ ${\displaystyle x\in D\Leftrightarrow x\notin f(x),}$ ${\displaystyle x\notin D\Leftrightarrow x\in f(x).}$ ${\displaystyle x\in D,}$ ${\displaystyle x\notin f(x);}$ ${\displaystyle x\notin D,}$ ${\displaystyle x\in f(x).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D\neq f(x).}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

A continuación Cantor demuestra que es equinumero con un subconjunto de . De esto y del hecho de que y tienen diferentes cardinalidades, concluye que tiene mayor cardinalidad que . Esta conclusión utiliza su definición de 1878: si A y B tienen cardinalidades diferentes, entonces B es equinumero con un subconjunto de A (en este caso, B tiene menos cardinalidad que A ) o A es equinumero con un subconjunto de B (en este caso , B tiene mayor cardinalidad que A ). ^[7] Esta definición deja de lado el caso en el que A y B son equinumeros con un subconjunto del otro conjunto, es decir, A es equinumero con un subconjunto de B y B es equinumero con un subconjunto de A. Debido a que Cantor asumió implícitamente que las cardinalidades están ordenadas linealmente , este caso no puede ocurrir. ^[8] Después de utilizar su definición de 1878, Cantor afirmó que en un artículo de 1883 demostró que las cardinalidades están bien ordenadas , lo que implica que están ordenadas linealmente. ^[9] Esta prueba utilizó su principio de buen ordenamiento "todo conjunto puede estar bien ordenado", al que llamó "ley del pensamiento". ^[10] El principio de buen ordenamiento es equivalente al axioma de elección . ^[11] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$

Alrededor de 1895, Cantor comenzó a considerar el principio de buen orden como un teorema e intentó demostrarlo. ^[12] En 1895, Cantor también dio una nueva definición de "mayor que" que define correctamente este concepto sin la ayuda de su principio de buen ordenamiento. ^[13] Al utilizar la nueva definición de Cantor, el argumento moderno de que P ( N ) tiene mayor cardinalidad que N puede completarse utilizando supuestos más débiles que su argumento original:

• El concepto de "tener mayor cardinalidad" puede ser capturado por la definición de Cantor de 1895: B tiene mayor cardinalidad que A si (1) A es equinumero con un subconjunto de B , y (2) B no es equinumero con un subconjunto de A. ^[13] La cláusula (1) dice que B es al menos tan grande como A , lo que es consistente con nuestra definición de "tener la misma cardinalidad". La cláusula (2) implica que el caso en el que A y B son equinumerosos con un subconjunto del otro conjunto es falso. Dado que la cláusula (2) dice que A no es al menos tan grande como B , las dos cláusulas juntas dicen que B es más grande (tiene mayor cardinalidad) que A.
• El conjunto de potencias tiene mayor cardinalidad que lo que implica que P ( N ) tiene mayor cardinalidad que N . Aquí está la prueba: ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A,}$
  1. Definir el subconjunto Definir cuál se aplica a Dado que implica una correspondencia uno a uno de a Por lo tanto, es equinumero con un subconjunto de ${\displaystyle P_{1}=\{\,y\in P(A):\exists x\in A\,(y=\{x\})\,\}.}$ ${\displaystyle f(x)=\{x\},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}.}$ ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2},\,f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A).}$
  2. Utilizando la prueba por contradicción , supongamos que un subconjunto de es equinumeroso con . Entonces hay una correspondencia uno a uno de a Definir de a si entonces si entonces Dado que se aplica a se aplica a contradice el teorema anterior que establece que una función de a no es sobre. Por lo tanto, no es equinumero con un subconjunto de ${\displaystyle A_{1},}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle P(A).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle P(A).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A){\text{:}}}$ ${\displaystyle x\in A_{1},}$ ${\displaystyle h(x)=g(x);}$ ${\displaystyle x\in A\setminus A_{1},}$ ${\displaystyle h(x)=\{\,\}.}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle P(A),\,h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A.}$

Además de los axiomas de infinito y conjunto de potencias, en el argumento moderno se utilizaron los axiomas de separación , extensionalidad y emparejamiento . Por ejemplo, el axioma de separación se usó para definir el subconjunto diagonal, el axioma de extensionalidad se usó para probar y el axioma de emparejamiento se usó en la definición del subconjunto. ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle D\neq f(x),}$ ${\displaystyle P_{1}.}$

Recepción del argumento.

Inicialmente, la teoría de Cantor fue controvertida entre los matemáticos y (más tarde) los filósofos. Como afirmó Leopold Kronecker : "No sé qué predomina en la teoría de Cantor: filosofía o teología, pero estoy seguro de que allí no hay matemáticas". ^{[ cita necesaria ]} Muchos matemáticos estuvieron de acuerdo con Kronecker en que el infinito completo puede ser parte de la filosofía o la teología , pero que no tiene un lugar adecuado en las matemáticas. El lógico Wilfrid Hodges  (1998) ha comentado la energía dedicada a refutar este "pequeño argumento inofensivo" (es decir, el argumento diagonal de Cantor ) preguntando: "¿qué le había hecho a alguien para enojarse con él?" ^[14] El matemático Solomon Feferman se ha referido a las teorías de Cantor como "simplemente no relevantes para las matemáticas cotidianas". ^[15]

Antes de Cantor, la noción de infinito se consideraba a menudo una abstracción útil que ayudaba a los matemáticos a razonar sobre el mundo finito; por ejemplo, el uso de casos límite infinitos en cálculo . Se consideraba que el infinito tenía a lo sumo una existencia potencial, más que una existencia real. ^[16] "El infinito real no existe. Lo que llamamos infinito es sólo la posibilidad infinita de crear nuevos objetos sin importar cuántos existan ya". ^{[17] Las opiniones de} Carl Friedrich Gauss sobre el tema se pueden parafrasear como: "El infinito no es más que una figura retórica que nos ayuda a hablar de límites. La noción de un infinito completo no pertenece a las matemáticas". ^[18] En otras palabras, el único acceso que tenemos al infinito es a través de la noción de límites y, por lo tanto, no debemos tratar los conjuntos infinitos como si tuvieran una existencia exactamente comparable a la existencia de conjuntos finitos.

Las ideas de Cantor finalmente fueron ampliamente aceptadas y fuertemente apoyadas por David Hilbert , entre otros. Hilbert predijo: "Nadie nos echará del paraíso que Cantor creó para nosotros". ^[19] A lo que Wittgenstein respondió "si una persona puede verlo como un paraíso de matemáticos, ¿por qué otra no debería verlo como una broma?" ^[20] El rechazo de las ideas infinitarias de Cantor influyó en el desarrollo de escuelas de matemáticas como el constructivismo y el intuicionismo .

Wittgenstein no se opuso al formalismo matemático en su totalidad, pero tenía una visión finitista de lo que significaba la prueba de Cantor. El filósofo sostenía que la creencia en los infinitos surge de confundir la naturaleza intensional de las leyes matemáticas con la naturaleza extensional de conjuntos, secuencias, símbolos, etc. Una serie de símbolos es finita en su opinión: En palabras de Wittgenstein: "...Una curva no es compuesto de puntos, es una ley que los puntos obedecen, o también, una ley según la cual los puntos pueden construirse."

También describió el argumento diagonal como "hocus pocus" y no demuestra lo que pretende hacer.

Objeción al axioma del infinito

Una objeción común a la teoría del número infinito de Cantor involucra el axioma del infinito (que es, de hecho, un axioma y no una verdad lógica ). Mayberry ha señalado que "... los axiomas de la teoría de conjuntos que sustentan las matemáticas modernas son evidentes en diferentes grados. Uno de ellos (de hecho, el más importante, a saber, el axioma de Cantor, el llamado axioma del infinito) tiene casi no existe ninguna pretensión de autoevidencia…” ^[21]

Otra objeción es que el uso de conjuntos infinitos no se justifica adecuadamente por analogía con los conjuntos finitos. Hermann Weyl escribió:

... la lógica clásica fue abstraída de las matemáticas de los conjuntos finitos y sus subconjuntos... Olvidándose de este origen limitado, se confundió después esa lógica con algo superior y anterior a todas las matemáticas, y finalmente se la aplicó, sin justificación, a las matemáticas de los conjuntos infinitos. Ésta es la caída y el pecado original de la teoría de conjuntos [de Cantor]..." ^[22]

La dificultad con el finitismo es desarrollar fundamentos de las matemáticas utilizando supuestos finitistas, que incorporen lo que todos considerarían razonablemente matemáticas (por ejemplo, que incluya análisis real ).

Ver también

• Preintuicionismo

Notas

1. Dauben 1979, págs. 67–68, 165.
2. Cantor 1891, pag. 75; Traducción al inglés: Ewald p. 920.
3. Dauben 1979, pag. 166.
4. Dauben 1979, págs. 166-167.
5. Frege 1884, trad. 1953, §70.
6. Mayberry 2000, pag. 136.
7. Cantor 1878, pag. 242. Cantor 1891, pág. 77; Traducción al inglés: Ewald p. 922.
8. Hallett 1984, pag. 59.
9. Cantor 1891, pag. 77; Traducción al inglés: Ewald p. 922.
10. Moore 1982, pag. 42.
11. Moore 1982, pag. 330.
12. Moore 1982, pag. 51. Una discusión sobre la prueba de Cantor se encuentra en Infinito absoluto, teorema del buen ordenamiento y paradojas . Parte de la prueba de Cantor y la crítica de Zermelo se encuentran en una nota de referencia.
13. Cantor 1895, págs. 483–484; Traducción al inglés: Cantor 1954, págs. 89–90.
14. Hodges, Wilfrid (1998), "Un editor recuerda algunos artículos desesperados", The Bulletin of Symbolic Logic , vol. 4, núm. 1, Asociación de Lógica Simbólica, págs. 1–16, CiteSeerX  10.1.1.27.6154 , doi :10.2307/421003, JSTOR  421003, S2CID  14897182
15. Wolchover, Natalie . "La disputa sobre el infinito divide a los matemáticos". Científico americano . Consultado el 2 de octubre de 2014 .
16. Zenkin, Alexander (2004), "Lógica del infinito real y prueba diagonal de G. Cantor de la incontabilidad del continuo", The Review of Modern Logic , vol. 9, núm. 30, págs. 27–80
17. ( Poincaré citado de Kline 1982)
18. Dunham, William (1991). Viaje a través del genio: los grandes teoremas de las matemáticas . Pingüino. pag. 254.ISBN​ 9780140147391.
19. (Hilbert, 1926)
20. (RFM V.7)
21. Mayberry 2000, pag. 10.
22. Weil, 1946

Referencias

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• Cantor, Georg (1878), "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 84 : 242–248
• Cantor, Georg (1891), "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre" (PDF) , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 1 : 75–78
• Cantor, Georg (1895), "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)", Mathematische Annalen , 46 (4): 481–512, doi :10.1007/bf02124929, S2CID  177801164, archivado desde el original el 23 de abril de 2014
• Cantor, Georg; Philip Jourdain (trad.) (1954) [1915], Contribuciones a la fundación de la teoría de los números transfinitos, Dover, ISBN 978-0-486-60045-1
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• Frege, Gottlob ; JL Austin (trad.) (1884), Los fundamentos de la aritmética (2ª ed.), Northwestern University Press, ISBN 978-0-8101-0605-5
• Hallett, Michael (1984), Teoría de conjuntos cantoriana y limitación del tamaño , Clarendon Press, ISBN 0-19-853179-6
• Hilbert, David (1926), "Über das Unendliche", Mathematische Annalen , vol. 95, págs. 161–190, doi :10.1007/BF01206605, JFM  51.0044.02, S2CID  121888793

" Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. "

Traducido en Van Heijenoort, Jean , Sobre el infinito , Harvard University Press

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• Wittgenstein (2001), Comentarios sobre los fundamentos de las matemáticas (3.ª ed.), Oxford{{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )

enlaces externos

• Opinión número 68 de Doron Zeilberger
• El argumento del filósofo Hartley Slater contra la idea de "número" que sustenta la teoría de conjuntos de Cantor
• Wolfgang Mueckenheim: Transfinity - Un libro de consulta
• Hodges "Un editor recuerda algunos artículos sin esperanza"