Esquema de axioma de especificación

Concepto en teoría de conjuntos axiomáticos.

En muchas versiones populares de la teoría de conjuntos axiomáticos , el esquema axiomático de especificación , también conocido como esquema axiomático de separación , esquema axiomático de subconjuntos o esquema axiomático de comprensión restringida, es un esquema axiomático . Básicamente, dice que cualquier subclase definible de un conjunto es un conjunto.

Algunos matemáticos lo llaman esquema axiomático de comprensión , aunque otros usan ese término para la comprensión irrestricta , que se analiza a continuación.

Debido a que restringir la comprensión evitaba la paradoja de Russell , varios matemáticos, incluidos Zermelo , Fraenkel y Gödel, la consideraron el axioma más importante de la teoría de conjuntos. ^[1]

Declaración

Se incluye una instancia del esquema para cada fórmula φ en el lenguaje de la teoría de conjuntos con variables libres entre x , w ₁ , ..., w _n , A. Entonces B no ocurre libre en φ. En el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, el esquema axioma es:

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])}$

o en palabras:

Dado cualquier conjunto A , existe un conjunto B (un subconjunto de A ) tal que, dado cualquier conjunto x , x es miembro de B si y sólo si x es miembro de A y φ se cumple para x .

Tenga en cuenta que hay un axioma para cada predicado φ; por tanto, este es un esquema axioma .

Para comprender este esquema de axioma, tenga en cuenta que el conjunto B debe ser un subconjunto de A. Así, lo que realmente dice el esquema del axioma es que, dado un conjunto A y un predicado , podemos encontrar un subconjunto B de A cuyos miembros son precisamente los miembros de A que satisfacen . Según el axioma de extensionalidad, este conjunto es único. Generalmente denotamos este conjunto usando la notación de generador de conjuntos como . Así, la esencia del axioma es: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle B=\{x\in A|\varphi (x)\}}$

Cada subclase de un conjunto definida por un predicado es en sí misma un conjunto.

La forma anterior de separación fue introducida en 1930 por Thoralf Skolem como un refinamiento de una forma anterior, que no era de primer orden ^[2] , de Zermelo. ^[3] El esquema axiomático de especificación es característico de sistemas de teoría de conjuntos axiomáticos relacionados con la habitual teoría de conjuntos ZFC , pero no suele aparecer en sistemas radicalmente diferentes de teoría de conjuntos alternativa . Por ejemplo, los Nuevos Fundamentos y la teoría de conjuntos positivos utilizan diferentes restricciones del axioma de comprensión de la teoría de conjuntos ingenua . La teoría alternativa de conjuntos de Vopenka hace hincapié en permitir subclases adecuadas de conjuntos, llamadas semiconjuntos . Incluso en sistemas relacionados con ZFC, este esquema a veces se restringe a fórmulas con cuantificadores acotados, como en la teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelementos .

Relación con el esquema axioma de reemplazo.

El esquema axiomático de especificación casi puede derivarse del esquema axiomático de sustitución .

Primero, recuerde este esquema de axioma:

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\iff \exists D\,[D\in A\land C=F(D)])}$

para cualquier predicado funcional F en una variable que no use los símbolos A , B , C o D . Dado un predicado P adecuado para el axioma de especificación, defina el mapeo F mediante F ( D ) = D si P ( D ) es verdadero y F ( D ) = E si P ( D ) es falso, donde E es cualquier miembro de A tal que P ( E ) es verdadera. Entonces el conjunto B garantizado por el axioma de sustitución es precisamente el conjunto B requerido por el axioma de especificación. El único problema es si no existe tal E. Pero en este caso, el conjunto B requerido para el axioma de separación es el conjunto vacío , por lo que el axioma de separación se deriva del axioma de sustitución junto con el axioma de conjunto vacío .

Por esta razón, el esquema de especificación del axioma a menudo queda fuera de las listas modernas de axiomas de Zermelo-Fraenkel. Sin embargo, sigue siendo importante para consideraciones históricas y para comparar con axiomatizaciones alternativas de la teoría de conjuntos, como se puede ver, por ejemplo, en las siguientes secciones.

Comprensión ilimitada

El esquema del axioma de comprensión irrestricta dice:

$${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$$

eso es:

Existe un conjunto B cuyos miembros son precisamente aquellos objetos que satisfacen el predicado φ .

Este conjunto B es nuevamente único y generalmente se denota como { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _b )}.

Este esquema de axioma se utilizó tácitamente en los primeros días de la ingenua teoría de conjuntos , antes de que se adoptara una axiomatización estricta. Sin embargo, más tarde se descubrió que conducía directamente a la paradoja de Russell , al tomar φ ( x ) como ¬( x  ∈  x ) (es decir, la propiedad que establece x no es miembro de sí misma). Por lo tanto, ninguna axiomatización útil de la teoría de conjuntos puede utilizar una comprensión ilimitada. Pasar de la lógica clásica a la lógica intuicionista no ayuda, ya que la prueba de la paradoja de Russell es intuicionistamente válida.

Aceptar únicamente el esquema axiomático de especificación fue el comienzo de la teoría axiomática de conjuntos. La mayoría de los otros axiomas de Zermelo-Fraenkel (pero no el axioma de extensionalidad , el axioma de regularidad o el axioma de elección ) se volvieron necesarios para compensar parte de lo que se perdió al cambiar el esquema axiomático de comprensión por el esquema axiomático. de especificación: cada uno de estos axiomas establece que existe un determinado conjunto y define ese conjunto dando un predicado para que lo satisfagan sus miembros, es decir, es un caso especial del esquema de comprensión del axioma.

También es posible evitar que el esquema sea inconsistente restringiendo a qué fórmulas se puede aplicar, como solo fórmulas estratificadas en New Foundations (ver más abajo) o solo fórmulas positivas (fórmulas con solo conjunción, disyunción, cuantificación y fórmulas atómicas). en la teoría de conjuntos positivos . Sin embargo, las fórmulas positivas normalmente no pueden expresar ciertas cosas que la mayoría de las teorías sí pueden expresar; por ejemplo, no existe complemento ni complemento relativo en la teoría de conjuntos positivos.

En la teoría de clases NBG

En la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel se hace una distinción entre conjuntos y clases . Una clase C es un conjunto si y sólo si pertenece a alguna clase E. En esta teoría, hay un esquema de teorema que dice

$${\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,}$$

eso es,

Existe una clase D tal que cualquier clase C es miembro de D si y sólo si C es un conjunto que satisface P .

siempre que los cuantificadores en el predicado P estén restringidos a conjuntos.

Este esquema de teorema es en sí mismo una forma restringida de comprensión, que evita la paradoja de Russell debido al requisito de que C sea un conjunto. Entonces la especificación de los conjuntos mismos se puede escribir como un axioma único.

$${\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,}$$

eso es,

Dada cualquier clase D y cualquier conjunto A , existe un conjunto B cuyos miembros son precisamente aquellas clases que son miembros tanto de A como de D.

o incluso más simplemente

La intersección de una clase D y un conjunto A es en sí misma un conjunto B.

En este axioma, el predicado P se reemplaza por la clase D , que puede cuantificarse. Otro axioma más simple que logra el mismo efecto es

$${\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,}$$

eso es,

Una subclase de un conjunto es un conjunto.

En entornos de orden superior

En un lenguaje mecanografiado donde podemos cuantificar predicados, el esquema axiomático de especificación se convierte en un axioma simple. Este es prácticamente el mismo truco que se utilizó en los axiomas NBG de la sección anterior, donde el predicado fue reemplazado por una clase que luego se cuantificó nuevamente.

En lógica de segundo orden y lógica de orden superior con semántica de orden superior, el axioma de especificación es una validez lógica y no necesita incluirse explícitamente en una teoría.

En las nuevas fundaciones de Quine

En el enfoque de los Nuevos Fundamentos de la teoría de conjuntos iniciado por WVO Quine , el axioma de comprensión de un predicado dado toma la forma no restringida, pero los predicados que pueden usarse en el esquema son en sí mismos restringidos. El predicado ( C no está en C ) está prohibido, porque el mismo símbolo C aparece en ambos lados del símbolo de membresía (y por lo tanto en diferentes "tipos relativos"); así se evita la paradoja de Russell. Sin embargo, al tomar P ( C ) como ( C = C ) , lo cual está permitido, podemos formar un conjunto de todos los conjuntos. Para más detalles, consulte estratificación .

Referencias

• Crossley, JbN; Ceniza, CJ; Brickhill, CJ; Stillwell, JC; Williams, Nueva Hampshire (1972). ¿Qué es la lógica matemática? . Londres-Oxford-Nueva York: Oxford University Press . ISBN 0-19-888087-1. Zbl  0251.02001.
• Halmos, Paul , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth, 1980. Teoría de conjuntos: introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

Citas

1. Heinz-Dieter Ebbinghaus (2007). Ernst Zermelo: una aproximación a su vida y obra . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 88.ISBN​ 978-3-540-49553-6.
2. FR Drake, Teoría de conjuntos: introducción a los cardenales grandes (1974), págs.12-13. ISBN 0 444 10535 2.
3. WVO Quine, Lógica matemática (1981), p.164. Prensa de la Universidad de Harvard, 0-674-55451-5