Nuevas fundaciones

Teoría de conjuntos axiomática ideada por WVO Quine

En lógica matemática , Nuevos Fundamentos ( NF ) es una teoría de conjuntos axiomática , concebida por Willard Van Orman Quine como una simplificación de la teoría de tipos de Principia Mathematica . Quine propuso por primera vez la NF en un artículo de 1937 titulado " Nuevos fundamentos para la lógica matemática "; de ahí el nombre. Gran parte de esta entrada analiza la NF con urelementos ( NFU ), una variante importante de NF debida a Jensen ^[1] y aclarada por Holmes. ^[2] En 1940 y en una revisión de 1951, Quine introdujo una extensión de NF a veces llamada "Lógica Matemática" o "ML", que incluía clases y conjuntos adecuados .

New Foundations tiene un conjunto universal , por lo que es una teoría de conjuntos no bien fundada . ^[3] Es decir, es una teoría de conjuntos axiomática que permite infinitas cadenas descendentes de membresía, tales como ... x _n ∈ x _n-1 ∈ ... ∈ x ₂ ∈ x ₁ . Evita la paradoja de Russell al permitir que sólo se definan fórmulas estratificables utilizando el esquema axiomático de comprensión . Por ejemplo, x ∈ y es una fórmula estratificable, pero x ∈ x no lo es.

New Foundations está estrechamente relacionado con la teoría de conjuntos tipificados no ramificados ( TST ) de Russell, una versión simplificada de la teoría de tipos de Principia Mathematica con una jerarquía lineal de tipos.

La teoría de tipos TST

Los predicados primitivos de TST son igualdad ( ) y membresía ( ). TST tiene una jerarquía lineal de tipos: el tipo 0 consta de individuos que de otro modo no se describirían. Para cada número (meta) natural n , los objetos tipo n +1 son conjuntos de objetos tipo n ; los conjuntos de tipo n tienen miembros de tipo n -1. Los objetos conectados por identidad deben ser del mismo tipo. ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \in }$

Al escribir fórmulas en una teoría multiclasificada como TST, generalmente se agregan algunas anotaciones a las variables para indicar sus tipos. En TST es habitual escribir los índices de tipo como superíndices: denota una variable de tipo n . Así, las siguientes dos fórmulas atómicas describen sucintamente las reglas de tipificación: y . (La teoría de conjuntos de Quine busca eliminar la necesidad de escribir estos índices de tipos explícitamente). ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}=y^{n}\!}$ ${\displaystyle x^{n}\in y^{n+1}}$

Los axiomas de la TST son:

• Extensionalidad : conjuntos del mismo tipo (positivo) con los mismos miembros son iguales;
• Un esquema axiomático de comprensión, a saber:

Si  es una fórmula, entonces el conjunto existe. ${\displaystyle \phi (x^{n})}$ ${\displaystyle \{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!}$

En otras palabras, dada cualquier fórmula , la fórmula es un axioma donde representa el conjunto y no es libre en . ${\displaystyle \phi (x^{n})\!}$ ${\displaystyle \exists A^{n+1}\forall x^{n}[x^{n}\in A^{n+1}\leftrightarrow \phi (x^{n})]}$ ${\displaystyle A^{n+1}\!}$ ${\displaystyle \{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!}$ ${\displaystyle \phi (x^{n})}$

Esta teoría de tipos es mucho menos complicada que la expuesta por primera vez en los Principia Mathematica , que incluía tipos para relaciones cuyos argumentos no eran necesariamente todos del mismo tipo. En 1914, Norbert Wiener mostró cómo codificar el par ordenado como un conjunto de conjuntos, haciendo posible eliminar los tipos de relación en favor de la jerarquía lineal de conjuntos descrita aquí.

Teoría de conjuntos de Quine

Axiomas y estratificación.

Las fórmulas bien formadas de New Foundations (NF) son las mismas que las fórmulas bien formadas de TST, pero con las anotaciones tipográficas borradas. Los axiomas de NF son:

• Extensionalidad : Dos objetos con los mismos elementos son el mismo objeto;
• Un esquema de comprensión : todas las instancias de comprensión TST pero con índices de tipo eliminados (y sin introducir nuevas identificaciones entre variables).

Por convención, el esquema de comprensión de NF se expresa utilizando el concepto de fórmula estratificada y sin hacer referencia directa a los tipos. Se dice que una fórmula está estratificada si existe una función f desde partes de la sintaxis de hasta los números naturales, de modo que para cualquier subfórmula atómica de tenemos f ( y ) = f ( x ) + 1, mientras que para cualquier subfórmula atómica de tenemos f ( y ) = f ( x ) + 1 de , tenemos f ( x ) = f ( y ). La comprensión entonces se convierte en: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x\in y}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$existe para cada fórmula estratificada . ${\displaystyle \phi }$

Puede parecer que la comprensión entra en conflicto con problemas similares a los de la teoría ingenua de conjuntos , pero no es así. Por ejemplo, la existencia de la clase Russell imposible no es un axioma de NF, porque no puede estratificarse. ${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$ ${\displaystyle x\not \in x}$

Axiomatización finita

Theodore Hailperin demostró en 1944 que la comprensión es equivalente a una conjunción finita de sus instancias, ^[4] por lo que la NF puede ser axiomatizada de forma finita . Una ventaja de tal axiomatización finita es que elimina la referencia indirecta a tipos a través de la noción de estratificación . La base de datos Metamath para New Foundations en el sitio web de Metamath ^[5] implementa la axiomatización finita de Hailperin.

Holmes cree que el axioma de comprensión estratificada, si bien es una herramienta poderosa, no es nada intuitivo en comparación con los axiomas de una axiomatización finita, que corresponden todos a construcciones básicas naturales. ^[6] Por lo tanto, en su introducción a NFU, optó por tomar esas construcciones básicas naturales como axiomas, y demostró la comprensión estratificada como un teorema más tarde.

pares ordenados

Las relaciones y funciones se definen en TST (y en NF y NFU) como conjuntos de pares ordenados de la forma habitual. La definición habitual de par ordenado, propuesta por primera vez por Kuratowski en 1921, a saber , tiene un serio inconveniente para NF y teorías relacionadas: el par ordenado resultante (a, b) necesariamente tiene un tipo dos mayor que el tipo de sus argumentos a y b . Por lo tanto, para determinar la estratificación, una función es tres tipos superior a los miembros de su campo. ${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}}$

Si se puede definir un par de tal manera que su tipo sea el mismo que el de sus argumentos (lo que da como resultado un par ordenado a nivel de tipo ), entonces una relación o función es simplemente un tipo superior al tipo de los miembros de su grupo. campo. Por lo tanto, NF y las teorías relacionadas suelen emplear la definición teórica de conjuntos de Quine del par ordenado, que produce un par ordenado a nivel de tipo. Sin embargo, la definición de Quine se basa en operaciones de conjuntos en cada uno de los elementos a y b y, por lo tanto, no funciona directamente en NFU.

Como enfoque alternativo, Holmes ^[2] toma el par ordenado (a, b) como una noción primitiva , así como sus proyecciones izquierda y derecha y , es decir, funciones tales que y (en la axiomatización de NFU de Holmes, el esquema de comprensión que afirma la existencia de para cualquier fórmula estratificada se considera un teorema y solo se demuestra más tarde, por lo que expresiones como no se consideran definiciones adecuadas). Afortunadamente, normalmente no importa si el par ordenado es de nivel de tipo por definición o por suposición (es decir, tomado como primitivo). ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}((a,b))=a}$ ${\displaystyle \pi _{2}((a,b))=b}$ ${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \pi _{1}=\{((a,b),a)\mid a,b\in V\}}$

Los números naturales y el axioma del infinito.

La forma habitual del axioma del infinito se basa en la construcción de los números naturales de von Neumann , que no es adecuada para NF, ya que la descripción de la operación sucesora (y muchos otros aspectos de los números de von Neumann) no está necesariamente estratificada. La forma habitual de los números naturales utilizada en NF sigue la definición de Frege , es decir, el número natural n está representado por el conjunto de todos los conjuntos con n elementos. Según esta definición, 0 se define fácilmente como y la operación sucesora se puede definir de forma estratificada: ${\displaystyle \{\varnothing \}}$

${\displaystyle S(A)=\{a\cup \{x\}\mid a\in A\wedge x\notin a\}.}$

Según esta definición, se puede escribir un enunciado análogo a la forma habitual del axioma del infinito. Sin embargo, esa afirmación sería trivialmente cierta, ya que el conjunto universal sería un conjunto inductivo . ${\displaystyle V}$

Dado que los conjuntos inductivos siempre existen, el conjunto de los números naturales se puede definir como la intersección de todos los conjuntos inductivos. Esta definición permite la inducción matemática para enunciados estratificados , porque el conjunto se puede construir, y cuando satisface las condiciones para la inducción matemática, este conjunto es un conjunto inductivo. ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle \{n\in \mathbf {N} \mid P(n)\}}$ ${\displaystyle P(n)}$

Los conjuntos finitos pueden definirse entonces como conjuntos que pertenecen a un número natural. Sin embargo, no es trivial demostrar que no es un "conjunto finito", es decir, que el tamaño del universo no es un número natural. Suponer que . Entonces (se puede demostrar inductivamente que un conjunto finito no es equinumero con ninguno de sus subconjuntos propios), y cada número natural subsiguiente también lo sería , provocando que la aritmética se descomponga. Para evitar esto, se puede introducir el axioma de infinito para NF: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|}$ ${\displaystyle |V|=n\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n=\{V\}}$ ${\displaystyle n+1=S(n)=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle \varnothing \notin \mathbf {N} .}$^[7]

Puede parecer intuitivamente que uno debería poder demostrar el infinito en NF(U) construyendo cualquier secuencia de conjuntos "externamente" infinita, como . Sin embargo, tal secuencia sólo podría construirse a través de construcciones no estratificadas (lo evidencia el hecho de que TST en sí tiene modelos finitos), por lo que tal prueba no podría llevarse a cabo en NF(U). De hecho, Infinity es lógicamente independiente de NFU: existen modelos de NFU donde es un número natural no estándar . En tales modelos, la inducción matemática puede probar afirmaciones sobre , lo que hace imposible "distinguir" de los números naturales estándar. ${\displaystyle \varnothing ,\{\varnothing \},\{\{{\varnothing }\}\},\ldots }$ ${\displaystyle |V|}$ ${\displaystyle |V|}$ ${\displaystyle |V|}$

Sin embargo, hay algunos casos en los que se puede demostrar el infinito (en cuyos casos puede denominarse teorema del infinito ):

• En NF (sin urelements ), Specker ^[8] ha demostrado que el axioma de elección es falso. Dado que se puede demostrar mediante inducción que todo conjunto finito tiene una función de elección (una condición estratificada), se deduce que es infinito. ${\displaystyle V}$
• En NFU con axiomas que afirman la existencia de un par ordenado a nivel de tipo, es equinumero con su subconjunto propio , lo que implica Infinito . ^[7] Por el contrario, NFU + Infinity + Choice demuestra la existencia de un par ordenado a nivel de tipo. ^{[ cita necesaria ]} NFU + Infinity interpreta NFU + "hay un par ordenado a nivel de tipo" (no son exactamente la misma teoría, pero las diferencias no son esenciales). ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\times \{0\}}$

Consecuencias

Admisibilidad de conjuntos grandes útiles.

NF (y NFU + Infinity + Choice , descritos a continuación y consistentes) permiten la construcción de dos tipos de conjuntos que ZFC y sus extensiones adecuadas no permiten porque son "demasiado grandes" (algunas teorías de conjuntos admiten estas entidades bajo el título de clases adecuadas ):

• El conjunto universal V. Por ser una fórmula estratificada , el conjunto universal V = { x | x=x } existe por comprensión . Una consecuencia inmediata es que todos los conjuntos tienen complementos , y todo el universo de la teoría de conjuntos bajo NF tiene una estructura booleana . ${\displaystyle x=x}$
• Números cardinales y ordinales . En NF (y TST), existeel conjunto de todos los conjuntos que tienen n elementos (la circularidad aquí es sólo aparente). Por lo tanto, la definición de Frege de los números cardinales funciona en NF y NFU: un número cardinal es una clase de equivalencia de conjuntos bajo la relación de equinumerosidad : los conjuntos A y B son equinumeros si existe una biyección entre ellos, en cuyo caso escribimos. Asimismo, un número ordinal es una clase de equivalencia de conjuntos bien ordenados . ${\displaystyle A\sim B}$

Resolución de paradojas de la teoría de conjuntos

NF se mantiene alejado de las tres paradojas bien conocidas de la teoría de conjuntos de maneras drásticamente diferentes a cómo se resuelven esas paradojas en teorías de conjuntos bien fundamentadas como ZFC. A partir de la resolución de esas paradojas se pueden desarrollar muchos conceptos útiles que son exclusivos de la NF y sus variantes. Por supuesto, uno puede tener dudas sobre si esos conceptos desconocidos causarían inherentemente inconsistencias en el futuro, especialmente porque condujeron a algunos resultados sorprendentes, por ejemplo, que NF refuta la Elección (en otras palabras, NF+ Elección es inconsistente). Sin embargo, el hecho de que la NFU, una teoría consistente (en relación con la aritmética de Peano) que es consistente con Choice , también evite las paradojas de manera similar, puede aliviar tales dudas.

La resolución de la paradoja de Russell es trivial: no es una fórmula estratificada, por lo que su existencia no es afirmada por ningún caso de Comprensión . Quine dijo que construyó NF teniendo en cuenta principalmente esta paradoja. ^[9] La resolución de las dos paradojas más técnicas, la paradoja de Cantor y la paradoja de Burali-Forti , es más complicada. ${\displaystyle x\not \in x}$ ${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$

La paradoja de Cantor y los conjuntos cantorianos

La paradoja de Cantor se reduce a la cuestión de si existe un número cardinal más grande o, de manera equivalente, si existe un conjunto con la cardinalidad más grande . En NF, el conjunto universal es obviamente un conjunto con la cardinalidad más grande. Sin embargo, el teorema de Cantor dice (dado ZFC) que el conjunto de potencias de cualquier conjunto es mayor que (no puede haber inyección (mapa uno a uno) desde ) , lo que parece implicar una contradicción cuando . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=V}$

Por supuesto, hay una inyección desde dentro , ya que es el conjunto universal, por lo que debe ser que el teorema de Cantor (en su forma original) no se cumple en NF. De hecho, la demostración del teorema de Cantor utiliza el argumento de la diagonalización al considerar el conjunto . En NF, y se le debe asignar el mismo tipo, por lo que la definición de no está estratificada. De hecho, si es la inyección trivial , entonces es el mismo conjunto (mal definido) en la paradoja de Russell. ${\displaystyle P(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:P(V)\to V}$ ${\displaystyle x\mapsto x}$ ${\displaystyle B}$

Este fallo no es sorprendente ya que no tiene sentido en TST: el tipo de es uno mayor que el tipo de . En NF, es una oración sintáctica debido a la combinación de todos los tipos, pero es poco probable que funcione cualquier prueba general que involucre comprensión . ${\displaystyle |A|<|P(A)|}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|<|P(A)|}$

La forma habitual de corregir este tipo de problema es reemplazar con , el conjunto de subconjuntos de un elemento de . De hecho, la versión correctamente escrita del teorema de Cantor es un teorema en TST (gracias al argumento de la diagonalización) y, por tanto, también un teorema en NF. En particular, hay menos conjuntos de un elemento que conjuntos (y por tanto menos conjuntos de un elemento que objetos generales, si estamos en NFU). La biyección "obvia" del universo a los conjuntos de un elemento no es un conjunto; no es un conjunto porque su definición no está estratificada. Tenga en cuenta que en todos los modelos conocidos de NFU ocurre que ; La elección permite no sólo demostrar que hay elementos sino que hay muchos cardinales entre y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$ ${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$ ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$ ${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|}$ ${\displaystyle |P(V)|}$ ${\displaystyle |V|}$

Sin embargo, a diferencia de TST, en NF(U) es una oración sintáctica y, como se muestra arriba, se puede hablar de su valor de verdad para valores específicos de (por ejemplo, cuando es falso). Un conjunto que satisface lo intuitivamente atractivo se dice que es cantoriano : un conjunto cantoriano satisface la forma habitual del teorema de Cantor . Un conjunto que satisface la condición adicional de que , la restricción del mapa singleton a A , es un conjunto no sólo es un conjunto cantoriano sino fuertemente cantoriano . ^[10] ${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$

La paradoja de Burali-Forti y la operación T

La paradoja de Burali-Forti del número ordinal más grande se resuelve de manera opuesta: en NF, tener acceso al conjunto de ordinales no permite construir un "número ordinal más grande". Se puede construir el ordinal que corresponda al buen orden natural de todos los ordinales, pero eso no significa que sea más grande que todos esos ordinales. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Para formalizar la paradoja de Burali-Forti en NF, es necesario formalizar primero el concepto de números ordinales. En NF, los ordinales se definen (de la misma manera que en la teoría ingenua de conjuntos ) como clases de equivalencia de buenos ordenamientos bajo isomorfismo . Esta es una definición estratificada, por lo que el conjunto de ordinales se puede definir sin problemas. La inducción transfinita funciona en enunciados estratificados, lo que permite demostrar que el ordenamiento natural de los ordinales ( si existe un buen ordenamiento que sea una continuación de ) es un buen ordenamiento de . Por definición de ordinales, este buen orden también pertenece a un ordinal . En la teoría ingenua de conjuntos, se podría demostrar por inducción transfinita que cada ordinal es el tipo de orden del orden natural en los ordinales menores que , lo que implicaría una contradicción ya que por definición es el tipo de orden de todos los ordinales, no de cualquier orden adecuado. segmento inicial de ellos. ${\displaystyle \mathrm {Ord} }$ ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle R\in \alpha ,S\in \beta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {Ord} }$ ${\displaystyle \Omega \in \mathrm {Ord} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$

Sin embargo, la afirmación " es el tipo de orden del orden natural en los ordinales menores que " no está estratificada, por lo que el argumento de inducción transfinita no funciona en NF. De hecho, "el tipo de orden del orden natural en los ordinales menores que " es al menos dos tipos mayor que : la relación de orden es un tipo mayor que suponiendo que es un par ordenado a nivel de tipo, y el tipo de orden (clase de equivalencia ) es un tipo superior a . Si es el par ordenado habitual de Kuratowski (dos tipos mayores que y ), entonces serían cuatro tipos mayores que . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle R_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R_{\alpha }=\{(x,y)\mid x\leq y<\alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \beta =\{S\mid S\sim R_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle R_{\alpha }}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Para corregir tal problema de tipo, se necesita la operación T , que "aumenta el tipo" de un ordinal , al igual que "aumenta el tipo" del conjunto . La operación T se define de la siguiente manera: Si , entonces es el tipo de orden de la orden . Ahora el lema sobre tipos de órdenes se puede reformular de forma estratificada: ${\displaystyle T(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P_{1}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W\in \alpha }$ ${\displaystyle T(\alpha )}$ ${\displaystyle W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$

El tipo de orden natural de los ordinales es o , dependiendo del par ordenado que se utilice. ${\displaystyle <\alpha }$ ${\displaystyle T^{2}(\alpha )}$ ${\displaystyle T^{4}(\alpha )}$

Ambas versiones de esta afirmación pueden probarse mediante inducción transfinita; Asumimos el par de niveles de tipo de aquí en adelante. Esto significa que siempre es menor que , el tipo de orden de todos los ordinales. En particular, . ${\displaystyle T^{2}(\alpha )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle T^{2}(\Omega )<\Omega }$

Otra afirmación (estratificada) que puede demostrarse mediante inducción transfinita es que T es una operación estrictamente monótona (que preserva el orden) sobre los ordinales, es decir, iff . Por tanto, la operación T no es una función: la colección de ordinales no puede tener un miembro mínimo y, por tanto, no puede ser un conjunto. Más concretamente, la monotonía de T implica una "secuencia descendente" en los ordinales que tampoco puede ser un conjunto. ${\displaystyle T(\alpha )<T(\beta )}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle \{\alpha \mid T(\alpha )<\alpha \}}$ ${\displaystyle \Omega >T^{2}(\Omega )>T^{4}(\Omega )\ldots }$

Se podría afirmar que este resultado muestra que ningún modelo de NF(U) es " estándar ", ya que los ordinales en cualquier modelo de NFU no están externamente bien ordenados. Ésta es una cuestión filosófica, no una cuestión de qué se puede demostrar dentro de la teoría formal. Tenga en cuenta que incluso dentro de NFU se puede demostrar que cualquier modelo conjunto de NFU tiene "ordinales" no bien ordenados; NFU no concluye que el universo sea un modelo de NFU, a pesar de ser un conjunto, porque la relación de membresía no es una relación de conjunto. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Para un mayor desarrollo de las matemáticas en NFU, con una comparación con el desarrollo de las mismas en ZFC, consulte implementación de las matemáticas en la teoría de conjuntos .

cierre cartesiano

La categoría cuyos objetos son los conjuntos de NF y cuyas flechas son las funciones entre esos conjuntos no es cartesiana cerrada ; ^[11] Dado que NF carece de cierre cartesiano, no todas las funciones funcionan como uno podría esperar intuitivamente, y NF no es un topos .

El problema de la consistencia y los resultados parciales relacionados.

Durante muchos años, el principal problema de la NF ha sido que no se ha demostrado de manera concluyente que sea relativamente consistente con ningún otro sistema axiomático conocido en el que se pueda modelar la aritmética. NF refuta la Elección y, por tanto, prueba la Infinidad . ^[8] Pero también se sabe ^[1] que permitir urelementos (múltiples objetos distintos que carecen de miembros) produce NFU, una teoría que es consistente en relación con la aritmética de Peano ; si se agregan Infinito y Elección, la teoría resultante tiene la misma fuerza de consistencia que la teoría de tipos con infinito o la teoría de conjuntos acotados de Zermelo. (NFU corresponde a una teoría de tipos TSTU donde el axioma de extensionalidad se debilita para permitir que cada tipo tenga elementos ure, no solo el tipo 0). Existen otras variantes relativamente consistentes de NF.

NFU es, en términos generales, más débil que NF porque, en NF, el conjunto de poderes del universo es el universo mismo, mientras que en NFU, el conjunto de poderes del universo puede ser estrictamente más pequeño que el universo (el conjunto de poderes del universo contiene sólo conjuntos, mientras que el universo puede contener elementos). Este es necesariamente el caso en NFU+"Choice".

Ernst Specker ha demostrado que NF es equiconsistente con TST + Amb , donde Amb es el esquema de axioma de ambigüedad típica que se afirma para cualquier fórmula , siendo la fórmula obtenida elevando cada índice de tipo en uno. NF también es equiconsistente con la teoría TST aumentada con un "automorfismo de cambio de tipo", una operación que eleva un tipo por uno, asignando cada tipo al siguiente tipo superior y preserva las relaciones de igualdad y membresía (y que no puede usarse en casos de Comprensión) . : es externo a la teoría). Los mismos resultados son válidos para varios fragmentos de TST en relación con los fragmentos correspondientes de NF. ${\displaystyle \phi \leftrightarrow \phi ^{+}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{+}}$ ${\displaystyle \phi }$

En el mismo año (1969) en que Jensen demostró ser consistente con la NFU, Grishin demostró ser consistente. es el fragmento de NF con extensionalidad total (sin elementos ureales) y aquellas instancias de Comprensión que se pueden estratificar usando solo tres tipos. Esta teoría es un medio muy incómodo para las matemáticas (aunque ha habido intentos de aliviar esta dificultad), en gran parte porque no existe una definición obvia para un par ordenado . A pesar de esta incomodidad, es muy interesante porque todo modelo infinito de TST restringido a tres tipos satisface Amb . Por tanto, para cada modelo de este tipo, existe un modelo con la misma teoría. Esto no se cumple para cuatro tipos: es la misma teoría que NF, y no tenemos idea de cómo obtener un modelo de TST con cuatro tipos en los que Amb se cumpla. ${\displaystyle NF_{3}}$ ${\displaystyle NF_{3}}$ ${\displaystyle NF_{3}}$ ${\displaystyle NF_{3}}$ ${\displaystyle NF_{4}}$

En 1983, Marcel Crabbé demostró consistente un sistema que llamó NFI, cuyos axiomas son la extensionalidad irrestricta y aquellos casos de Comprensión en los que a ninguna variable se le asigna un tipo superior al del conjunto que se afirma que existe. Esta es una restricción de predicatividad , aunque NFI no es una teoría predicativa: admite suficiente impredicabilidad para definir el conjunto de números naturales (definido como la intersección de todos los conjuntos inductivos; tenga en cuenta que los conjuntos inductivos cuantificados son del mismo tipo que el conjunto de números naturales definidos). Crabbé también discutió una subteoría de NFI, en la que solo los parámetros ( variables libres ) pueden tener el tipo de conjunto que una instancia de Comprensión afirma que existe . Llamó al resultado "NF predicativo" (NFP); Por supuesto, es dudoso que cualquier teoría con un universo autónomo sea verdaderamente predicativa. Holmes ha demostrado ^{[ falta fecha ]} que la PFN tiene la misma fuerza de consistencia que la teoría predicativa de tipos de Principia Mathematica sin el axioma de reducibilidad .

Desde 2015, varias pruebas candidatas de Randall Holmes de la coherencia de NF en relación con ZF han estado disponibles tanto en arXiv como en la página de inicio del lógico. Holmes demuestra la equiconsistencia de una variante "extraña" de TST, a saber, TTT _λ - 'teoría de tipos enredados con tipos λ' - con NF. Holmes muestra a continuación que TTT _λ es consistente con respecto a ZFA, es decir, ZF con átomos pero sin elección. Holmes demuestra esto construyendo en ZFA+C, es decir, ZF con átomos y elección, un modelo de clase de ZFA que incluye "redes enredadas de cardenales". Las pruebas candidatas son todas bastante largas, pero la comunidad NF todavía no ha identificado ningún fallo irreparable.

Modelos de NFU

Mientras que el punto de partida de las metamatemáticas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es la intuición fácil de formalizar de la jerarquía acumulativa , la falta de fundamento de NF y NFU hace que esta intuición no sea directamente aplicable. Sin embargo, la intuición de formar conjuntos en una etapa a partir de conjuntos desarrollados en etapas anteriores puede ampliarse para permitir la formación de conjuntos en una etapa que consta de todos los conjuntos posibles pero de conjuntos dados formados en etapas anteriores, dando una concepción iterativa análoga de conjunto. ^{[12] [ especificar ]}

Existe un método bastante sencillo para producir modelos de NFU a granel. Utilizando técnicas bien conocidas de teoría de modelos , se puede construir un modelo no estándar de la teoría de conjuntos de Zermelo (no se necesita nada tan fuerte como el ZFC completo para la técnica básica) en el que hay un automorfismo externo j (no un conjunto del modelo). que mueve un rango de la jerarquía acumulativa de conjuntos. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que . Hablamos del automorfismo que mueve el rango en lugar del ordinal porque no queremos asumir que cada ordinal en el modelo es el índice de un rango. ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle j(\alpha )<\alpha }$

El dominio del modelo de NFU será el rango no estándar . La relación de membresía del modelo de NFU será ${\displaystyle V_{\alpha }}$

• ${\displaystyle x\in _{NFU}y\equiv _{def}j(x)\in y\wedge y\in V_{j(\alpha )+1}.}$

Ahora se puede demostrar que se trata en realidad de un modelo de NFU. Sea una fórmula estratificada en el lenguaje de NFU. Elija una asignación de tipos a todas las variables en la fórmula que atestigua el hecho de que está estratificada. Elija un número natural N mayor que todos los tipos asignados a las variables por esta estratificación. ${\displaystyle \phi }$

Expanda la fórmula a una fórmula en el lenguaje del modelo no estándar de la teoría de conjuntos de Zermelo con automorfismo j utilizando la definición de membresía en el modelo de NFU. La aplicación de cualquier potencia de j a ambos lados de una ecuación o declaración de membresía preserva su valor de verdad porque j es un automorfismo. Haga tal aplicación a cada fórmula atómica de tal manera que cada variable x asignada del tipo i ocurra exactamente con aplicaciones de j . Esto es posible gracias a la forma de las declaraciones de membresía atómica derivadas de las declaraciones de membresía de NFU y a la fórmula que se estratifica. Cada oración cuantificada se puede convertir a la forma (y de manera similar para los cuantificadores existenciales ). Realice esta transformación en todas partes y obtenga una fórmula en la que j nunca se aplique a una variable ligada. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle N-i}$ ${\displaystyle (\forall x\in V_{\alpha }.\psi (j^{N-i}(x)))}$ ${\displaystyle (\forall x\in j^{N-i}(V_{\alpha }).\psi (x))}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

Elija cualquier variable libre y en el tipo asignado i . Aplicar uniformemente a toda la fórmula para obtener una fórmula en la que y aparezca sin ninguna aplicación de j . Ahora existe (porque j aparece aplicado solo a variables y constantes libres), pertenece a y contiene exactamente aquellas y que satisfacen la fórmula original en el modelo de NFU. tiene esta extensión en el modelo de NFU (la aplicación de j corrige la diferente definición de membresía en el modelo de NFU). Esto establece que la Comprensión Estratificada se cumple en el modelo de NFU. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle j^{i-N}}$ ${\displaystyle \phi _{3}}$ ${\displaystyle \{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\}}$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle j(\{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\})}$

Ver que la Extensionalidad débil se cumple es sencillo: cada elemento no vacío de hereda una extensión única del modelo no estándar, el conjunto vacío hereda también su extensión habitual y todos los demás objetos son elementos ur. ${\displaystyle V_{j(\alpha )+1}}$

La idea básica es que el automorfismo j codifica el "conjunto de poderes" de nuestro "universo" en su copia externamente isomórfica dentro de nuestro "universo". Los objetos restantes que no codifican subconjuntos del universo se tratan como elementos elementales . ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{j(\alpha )+1}}$

Si es un número natural n , se obtiene un modelo de NFU que afirma que el universo es finito (es externamente infinito, por supuesto). Si es infinito y la Elección se cumple en el modelo no estándar de ZFC, se obtiene un modelo de NFU + Infinito + Elección . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Autosuficiencia de fundamentos matemáticos en NFU.

Por razones filosóficas, es importante señalar que no es necesario trabajar en ZFC ni ningún sistema relacionado para realizar esta prueba. Un argumento común contra el uso de NFU como base para las matemáticas es que las razones para confiar en él tienen que ver con la intuición de que ZFC es correcto. Basta con aceptar TST (de hecho, TSTU). En resumen: tome la teoría de tipos TSTU (que permite urelementos en cada tipo positivo) como una metateoría y considere la teoría de modelos de conjuntos de TSTU en TSTU (estos modelos serán secuencias de conjuntos (todos del mismo tipo en la metateoría) con incrustaciones de cada uno en incorporaciones de codificación del conjunto de potencia de una manera que respete el tipo). Dada una incrustación de ( identificando elementos del "tipo" base con subconjuntos del tipo base), las incrustaciones se pueden definir desde cada "tipo" en su sucesor de forma natural. Esto se puede generalizar a secuencias transfinitas con cuidado. ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle P(T_{i})}$ ${\displaystyle P_{1}(T_{i+1})}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i+1}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{\alpha }}$

Tenga en cuenta que la construcción de tales secuencias de conjuntos está limitada por el tamaño del tipo en el que se construyen; esto impide que TSTU demuestre su propia consistencia (TSTU + Infinity puede probar la consistencia de TSTU; para probar la consistencia de TSTU+ Infinity se necesita un tipo que contenga un conjunto de cardinalidades , cuya existencia no se puede demostrar en TSTU+ Infinity sin suposiciones más sólidas). Ahora se pueden utilizar los mismos resultados de la teoría de modelos para construir un modelo de NFU y verificar que es un modelo de NFU de la misma manera, utilizando ' en lugar de en la construcción habitual. El último paso es observar que dado que NFU es consistente, podemos abandonar el uso de tipos absolutos en nuestra metateoría, arrancando la metateoría de TSTU a NFU. ${\displaystyle \beth _{\omega }}$ ${\displaystyle T_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$

Datos sobre el automorfismo j

El automorfismo j de un modelo de este tipo está estrechamente relacionado con determinadas operaciones naturales en NFU. Por ejemplo, si W es un bien ordenamiento en el modelo no estándar (suponemos aquí que usamos pares de Kuratowski para que la codificación de funciones en las dos teorías concuerde hasta cierto punto), que también es un buen ordenamiento en NFU (todos los buenos ordenamientos de NFU son buenos ordenamientos en el modelo no estándar de la teoría de conjuntos de Zermelo, pero no al revés, debido a la formación de urelementos en la construcción del modelo), y W tiene tipo α en NFU, entonces j ( W ) será un buen ordenamiento de tipo T (α) en NFU.

De hecho, j está codificado por una función en el modelo de NFU. La función en el modelo no estándar que envía el singleton de cualquier elemento a su único elemento, se convierte en NFU en una función que envía cada singleton { x }, donde x es cualquier objeto del universo, a j ( x ). Llame a esta función Endo y déjele que tenga las siguientes propiedades: Endo es una inyección del conjunto de singletons en el conjunto de conjuntos, con la propiedad de que Endo ( { x } ) = { Endo ( { y } ) | y ∈ x } para cada conjunto x . Esta función puede definir una relación de "pertenencia" a nivel de tipo en el universo, una que reproduce la relación de membresía del modelo no estándar original. ${\displaystyle V_{j(\alpha )}}$

Fuertes axiomas del infinito.

En esta sección, se considera el efecto de agregar varios "axiomas fuertes del infinito" a nuestra teoría base habitual, NFU + Infinito + Elección . Esta teoría base, conocida como consistente, tiene la misma fuerza que TST + Infinity , o la teoría de conjuntos de Zermelo con separación restringida a fórmulas acotadas (teoría de conjuntos de Mac Lane).

Se pueden agregar a esta teoría base fuertes axiomas del infinito familiares en el contexto ZFC , como "existe un cardenal inaccesible", pero es más natural considerar afirmaciones sobre conjuntos cantorianos y fuertemente cantorianos. Tales afirmaciones no sólo dan origen a grandes cardenales del tipo habitual, sino que fortalecen la teoría en sus propios términos.

El más débil de los principios fuertes habituales es:

• Axioma de conteo de Rosser . El conjunto de los números naturales es un conjunto fuertemente cantoriano.

Para ver cómo se definen los números naturales en NFU, consulte Definición teórica de conjuntos de números naturales . La forma original de este axioma dada por Rosser era "el conjunto { m |1≤ m ≤ n } tiene n miembros", para cada número natural n . Esta afirmación intuitivamente obvia no está estratificada: lo que se puede demostrar en NFU es "el conjunto { m |1≤ m ≤ n } tiene miembros" (donde la operación T sobre cardinales está definida por ; esto eleva el tipo de cardenal en uno). Que cualquier número cardinal (incluidos los números naturales) se afirme equivale a afirmar que los conjuntos A de esa cardinalidad son cantorianos (por un abuso habitual del lenguaje, nos referimos a tales cardenales como "cardenales cantorianos"). Es sencillo demostrar que la afirmación de que cada número natural es cantoriano es equivalente a la afirmación de que el conjunto de todos los números naturales es fuertemente cantoriano. ${\displaystyle T^{2}(n)}$ ${\displaystyle T(|A|)=|P_{1}(A)|}$ ${\displaystyle T(|A|)=|A|}$

El conteo es consistente con NFU, pero aumenta notablemente su fuerza de consistencia; no, como cabría esperar, en el área de la aritmética, sino en la teoría de conjuntos superior. NFU + Infinity demuestra que cada uno existe, pero no que existe; NFU + Counting prueba (fácilmente) Infinity y además prueba la existencia de para cada n, pero no la existencia de . (Ver números de Beth ). ${\displaystyle \beth _{n}}$ ${\displaystyle \beth _{\omega }}$ ${\displaystyle \beth _{\beth _{n}}}$ ${\displaystyle \beth _{\beth _{\omega }}}$

Contar implica inmediatamente que no es necesario asignar tipos a variables restringidas al conjunto de números naturales para fines de estratificación; es un teorema que el conjunto de potencias de un conjunto fuertemente cantoriano es fuertemente cantoriano, por lo que además no es necesario asignar tipos a variables restringidas a cualquier conjunto de potencias iterado de los números naturales, o a conjuntos tan familiares como el conjunto de los números reales. , el conjunto de funciones de reales a reales, etc. La fortaleza teórica de conjuntos del Conteo es menos importante en la práctica que la conveniencia de no tener que anotar variables que se sabe que tienen valores numéricos naturales (o tipos de valores relacionados) con corchetes singleton, o aplicar la operación T para obtener un conjunto estratificado. definiciones. ${\displaystyle N}$

Contar implica Infinito ; cada uno de los axiomas siguientes debe unirse a NFU + Infinity para obtener el efecto de variantes fuertes de Infinity ; Ali Enayat ha investigado la solidez de algunos de estos axiomas en modelos de NFU + "el universo es finito".

Un modelo del tipo construido anteriormente satisface el Conteo en caso de que el automorfismo j fije todos los números naturales en el modelo no estándar subyacente de la teoría de conjuntos de Zermelo.

El siguiente axioma fuerte que consideramos es el

• Axioma de separación fuertemente cantoriana : para cualquier conjunto A fuertemente cantoriano y cualquier fórmula (¡no necesariamente estratificada!), el conjunto existe. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{x\in A|\;\phi \}}$

Las consecuencias inmediatas incluyen la inducción matemática para condiciones no estratificadas (que no es una consecuencia del conteo ; muchos, pero no todos, casos de inducción no estratificada en los números naturales se derivan del conteo ).

Este axioma es sorprendentemente fuerte. Un trabajo inédito de Robert Solovay muestra que la fuerza de consistencia de la teoría NFU* = NFU + Conteo + Separación fuertemente cantoriana es la misma que la de la teoría de conjuntos de Zermelo + Reemplazo . ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

Este axioma se cumple en un modelo del tipo construido anteriormente (con Elección ) si los ordinales que están fijados por j y dominan sólo a los ordinales fijados por j en el modelo no estándar subyacente de la teoría de conjuntos de Zermelo son estándar, y el conjunto de potencias de cualquier ordinal de ese tipo en el modelo también es estándar. Esta condición es suficiente pero no necesaria.

El siguiente es

• Axioma de los conjuntos cantorianos : todo conjunto cantoriano es fuertemente cantoriano.

Esta afirmación tan simple es extremadamente fuerte. Solovay ha demostrado la equivalencia precisa de la fuerza de consistencia de la teoría NFUA = NFU + Infinito + Conjuntos Cantorianos con la de ZFC + un esquema que afirma la existencia de un cardinal n -Mahlo para cada número natural concreto n . Ali Enayat ha demostrado que la teoría de las clases de equivalencia cantorianas de relaciones extensionales bien fundadas (que da una imagen natural de un segmento inicial de la jerarquía acumulativa de ZFC) interpreta directamente la extensión de ZFC con n -Mahlo cardenales. Se puede aplicar una técnica de permutación a un modelo de esta teoría para dar un modelo en el que el hereditariamente cantoriano establece con el modelo habitual de relación de membresía la fuerte extensión de ZFC.

Este axioma se cumple en un modelo del tipo construido anteriormente (con Elección ) sólo en caso de que los ordinales fijados por j en el modelo no estándar subyacente de ZFC sean un segmento inicial (clase adecuada) de los ordinales del modelo.

A continuación considere el

• Axioma de separación cantoriana : para cualquier conjunto cantoriano A y cualquier fórmula (¡no necesariamente estratificada!), el conjunto { x ∈ A |φ} existe. ${\displaystyle \phi }$

Esto combina el efecto de los dos axiomas anteriores y en realidad es incluso más fuerte (no se sabe exactamente cómo). La inducción matemática no estratificada permite demostrar que existen n -Mahlo cardinales para cada n , dados Conjuntos Cantorianos , lo que da una extensión de ZFC aún más fuerte que la anterior, que sólo afirma que hay n -Mahlos para cada número natural concreto ( dejando abierta la posibilidad de contraejemplos no estándar).

Este axioma se cumplirá en un modelo del tipo descrito anteriormente si cada ordinal fijado por j es estándar, y cada conjunto de potencias de un ordinal fijado por j también es estándar en el modelo subyacente de ZFC . Nuevamente, esta condición es suficiente pero no necesaria.

Se dice que un ordinal es cantoriano si está fijado por T , y fuertemente cantoriano si domina sólo los ordinales cantorianos (esto implica que es en sí mismo cantoriano). En modelos del tipo construido anteriormente, los ordinales cantorianos de NFU corresponden a ordinales fijados por j (no son los mismos objetos porque en las dos teorías se utilizan diferentes definiciones de números ordinales).

Igual en fuerza a los Conjuntos Cantorianos es el

• Axioma de los ordinales grandes : Para cada ordinal no cantoriano , existe un número natural n tal que . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T^{n}(\Omega )<\alpha }$

Recuerde que es el tipo de orden natural en todos los ordinales. Esto solo implica Conjuntos Cantorianos si tenemos Elección (pero en cualquier caso está en ese nivel de fuerza de consistencia). Es notable que incluso se pueda definir : este es el enésimo término de cualquier secuencia finita de ordinales s de longitud n tal que , para cada i apropiado . Esta definición no está completamente estratificada. Se puede demostrar la unicidad de (para aquellos n para los que existe) y se puede llevar a cabo una cierta cantidad de razonamiento de sentido común sobre esta noción, suficiente para demostrar que los Ordinales Grandes implican Conjuntos Cantorianos en presencia de Elección . A pesar de la complicada formulación formal de este axioma, es una suposición muy natural, que equivale a hacer la acción de T sobre los ordinales lo más simple posible. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle T^{n}(\Omega )}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle s_{0}=\Omega }$ ${\displaystyle s_{i+1}=T(s_{i})}$ ${\displaystyle T^{n}(\Omega )}$

Un modelo del tipo construido anteriormente satisfará Ordinales Grandes , si los ordinales movidos por j son exactamente los ordinales que dominan algunos en el modelo no estándar subyacente de ZFC . ${\displaystyle j^{-i}(\alpha )}$

• Axioma de ordinales pequeños : Para cualquier fórmula φ, existe un conjunto A tal que los elementos de A que son ordinales fuertemente cantorianos son exactamente los ordinales fuertemente cantorianos tales que φ.

Solovay ha demostrado la equivalencia precisa en fuerza de consistencia de NFUB = NFU + Infinito + Conjuntos cantorianos + Ordinales pequeños con la teoría de conjuntos de Morse-Kelley más la afirmación de que el ordinal de clase adecuado (la clase de todos los ordinales) es un cardinal débilmente compacto . ¡Esto es realmente muy fuerte! Además, se ve fácilmente que NFUB-, que es NFUB con conjuntos cantorianos omitidos, tiene la misma fuerza que NFUB.

Un modelo del tipo construido anteriormente satisfará este axioma si cada colección de ordinales fijados por j es la intersección de algún conjunto de ordinales con los ordinales fijados por j , en el modelo no estándar subyacente de ZFC.

Aún más fuerte es la teoría NFUM = NFU + Infinito + Ordinales grandes + Ordinales pequeños . Esto es equivalente a la teoría de conjuntos de Morse-Kelley con un predicado en las clases que es un ultrafiltro no principal κ-completo en el ordinal de clase adecuado κ; en efecto, esta es la teoría de conjuntos de Morse-Kelley + "¡el ordinal de clase adecuado es un cardinal mensurable "!

Los detalles técnicos aquí no son el punto principal, que es que las afirmaciones razonables y naturales (en el contexto de NFU) resultan ser equivalentes en poder a axiomas de infinito muy fuertes en el contexto de ZFC . Este hecho está relacionado con la correlación entre la existencia de modelos de NFU, descritos anteriormente y que satisfacen estos axiomas, y la existencia de modelos de ZFC con automorfismos que tienen propiedades especiales.

El sistema ML (Lógica Matemática)

ML es una extensión de NF que incluye clases y conjuntos adecuados. La teoría de conjuntos de la primera edición de 1940 de Lógica Matemática de Quine unió NF a las clases apropiadas de la teoría de conjuntos NBG e incluyó un esquema de axiomas de comprensión ilimitada para las clases apropiadas. Sin embargo, J. Barkley Rosser ^[13] demostró que el sistema presentado en Lógica Matemática estaba sujeto a la paradoja de Burali-Forti. Este resultado no se aplica a NF. Hao Wang ^[14] mostró cómo modificar los axiomas de Quine para ML para evitar este problema, y ​​Quine incluyó la axiomatización resultante en la segunda y última edición de 1951 de Lógica Matemática .

Wang demostró que si NF es consistente, también lo es el ML revisado, y también demostró que la consistencia del ML revisado implica la consistencia de NF. Es decir, NF y el ML revisado son equiconsistentes.

Ver también

• Teoría de conjuntos alternativa
• Teoría de conjuntos axiomáticos
• Implementación de las matemáticas en la teoría de conjuntos.
• Teoría de conjuntos positivos
• Definición teórica de conjuntos de números naturales

Notas

1. Jensen 1969.
2. Holmes 1998.
3. Forster 2018.
4. Saludo en 1944.
5. Fenton 2015.
6. Holmes 1998, cap. 8.
7. Holmes 1998, sec. 12.1.
8. Specker 1953.
9. Quine 1987.
10. Holmes 1998, sec. 17.5.
11. Forster 2007.
12. Forster 2008.
13. Rosser 1942.
14. Wang 1950.

Referencias

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enlaces externos

• "Sistemas estratificados enriquecidos para los fundamentos de la teoría de categorías" por Solomon Feferman (2011)
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford :
  • Los nuevos fundamentos de Quine - por Thomas Forster.
  • Teorías de conjuntos axiomáticos alternativos - por Randall Holmes.
• Randall Holmes: Página de inicio de nuevas fundaciones.
• Randall Holmes: Bibliografía de la teoría de conjuntos con un conjunto universal.
• Randall Holmes: un nuevo pase a la prueba de consistencia de la NF