En teoría de conjuntos , un conjunto universal es un conjunto que contiene todos los objetos, incluido él mismo. [1] En la teoría de conjuntos, tal como se formula habitualmente, se puede demostrar de múltiples formas que no existe un conjunto universal. Sin embargo, algunas variantes no estándar de la teoría de conjuntos incluyen un conjunto universal.
Muchas teorías de conjuntos no permiten la existencia de un conjunto universal. Hay varios argumentos diferentes a favor de su inexistencia, basados en diferentes elecciones de axiomas para la teoría de conjuntos.
La paradoja de Russell se refiere a la imposibilidad de un conjunto de conjuntos, cuyos miembros sean todos conjuntos que no se contienen a sí mismos. Si tal conjunto pudiera existir, no podría contenerse a sí mismo (porque no todos sus miembros se contienen a sí mismos) ni evitar contenerse (porque si así fuera, debería incluirse como uno de sus miembros). [2] Esta paradoja impide la existencia de un conjunto universal en teorías de conjuntos que incluyen el axioma de comprensión restringida de Zermelo o el axioma de regularidad y el axioma de emparejamiento .
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de regularidad y el axioma de emparejamiento impiden que cualquier conjunto se contenga a sí mismo. Para cualquier conjunto , el conjunto (construido mediante emparejamiento) contiene necesariamente un elemento disjunto de , por regularidad. Debido a que su único elemento es , debe ser el caso que es disjunto de , y por tanto que no se contiene a sí mismo. Como un conjunto universal necesariamente se contenería a sí mismo, no puede existir bajo estos axiomas. [3]
La paradoja de Russell impide la existencia de un conjunto universal en teorías de conjuntos que incluyen el axioma de comprensión restringida de Zermelo . Este axioma establece que, para cualquier fórmula y cualquier conjunto , existe un conjunto que contiene exactamente aquellos elementos que satisfacen . [2]
Si este axioma pudiera aplicarse a un conjunto universal , definido como predicado , afirmaría la existencia del conjunto paradójico de Russell, dando una contradicción. Fue esta contradicción la que llevó al axioma de comprensión a expresarse en su forma restringida, donde afirma la existencia de un subconjunto de un conjunto dado en lugar de la existencia de un conjunto de todos los conjuntos que satisfacen una fórmula determinada. [2]
Cuando el axioma de comprensión restringida se aplica a un conjunto arbitrario , con el predicado , se produce el subconjunto de elementos de que no se contienen a sí mismos. No puede ser miembro de , porque si lo fuera estaría incluido como miembro de sí mismo, por su definición, contradiciendo el hecho de que no puede contenerse a sí mismo. De esta manera, es posible construir un testimonio de la no universalidad de , incluso en versiones de la teoría de conjuntos que permiten que los conjuntos se contengan a sí mismos. De hecho, esto es válido incluso para la comprensión predicativa y la lógica excesivamente intuicionista .
Otra dificultad con la idea de un conjunto universal tiene que ver con el conjunto potencia del conjunto de todos los conjuntos. Debido a que este conjunto potencia es un conjunto de conjuntos, necesariamente sería un subconjunto del conjunto de todos los conjuntos, siempre que ambos existan. Sin embargo, esto entra en conflicto con el teorema de Cantor de que el conjunto potencia de cualquier conjunto (ya sea infinito o no) siempre tiene una cardinalidad estrictamente más alta que el conjunto mismo.
Las dificultades asociadas con un conjunto universal pueden evitarse utilizando una variante de la teoría de conjuntos en la que el axioma de comprensión esté restringido de alguna manera, o utilizando un objeto universal que no se considere un conjunto.
Hay teorías de conjuntos que se sabe que son consistentes (si la teoría de conjuntos habitual es consistente) en las que el conjunto universal V existe (y es verdadero). En estas teorías, el axioma de comprensión de Zermelo no se cumple en general, y el axioma de comprensión de la teoría ingenua de conjuntos está restringido de una manera diferente. Una teoría de conjuntos que contiene un conjunto universal es necesariamente una teoría de conjuntos no bien fundada . La teoría de conjuntos con un conjunto universal más estudiada es New Foundations de Willard Van Orman Quine . Alonzo Church y Arnold Oberschelp también publicaron trabajos sobre este tipo de teorías de conjuntos. Church especuló que su teoría podría ampliarse de manera consistente con la de Quine, [4] pero esto no es posible para la de Oberschelp, ya que en ella la función singleton es demostrablemente un conjunto, [5] lo que conduce inmediatamente a la paradoja en New Foundations. [6]
Otro ejemplo es la teoría de conjuntos positivos , donde el axioma de comprensión se limita a ser válido únicamente para las fórmulas positivas (fórmulas que no contienen negaciones). Estas teorías de conjuntos están motivadas por nociones de cierre en topología.
La idea de un conjunto universal parece intuitivamente deseable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , particularmente porque la mayoría de las versiones de esta teoría permiten el uso de cuantificadores en todos los conjuntos (ver cuantificador universal ). Una forma de permitir que un objeto se comporte de manera similar a un conjunto universal, sin crear paradojas, es describir V y grandes colecciones similares como clases propias en lugar de conjuntos. La paradoja de Russell no se aplica en estas teorías porque el axioma de comprensión opera sobre conjuntos, no sobre clases.
La categoría de conjuntos también puede considerarse un objeto universal que, nuevamente, no es en sí mismo un conjunto. Tiene todos los conjuntos como elementos y también incluye flechas para todas las funciones de un conjunto a otro. Nuevamente, no se contiene a sí mismo, porque no es en sí mismo un conjunto.
