Implementación de las matemáticas en la teoría de conjuntos.

Este artículo examina la implementación de conceptos matemáticos en la teoría de conjuntos . La implementación de una serie de conceptos matemáticos básicos se lleva a cabo en paralelo en ZFC (la teoría de conjuntos dominante) y en NFU , la versión de los Nuevos Fundamentos de Quine que RB Jensen demostró ser consistente en 1969 (aquí se entiende que incluye al menos axiomas de Infinito y Elección ).

Lo que se dice aquí se aplica también a dos familias de teorías de conjuntos: por un lado, una gama de teorías que incluyen la teoría de conjuntos de Zermelo cerca del extremo inferior de la escala y que van hasta la ZFC, ampliadas con grandes hipótesis cardinales como "hay una cardenal "; y por otro lado una jerarquía de extensiones de NFU que se analiza en el artículo Nuevas Fundaciones . Estos corresponden a diferentes puntos de vista generales de cómo es el universo de la teoría de conjuntos, y son los enfoques para la implementación de conceptos matemáticos bajo estos dos puntos de vista generales los que se comparan y contrastan.

No es el objetivo principal de este artículo decir nada sobre los méritos relativos de estas teorías como fundamentos de las matemáticas. La razón para el uso de dos teorías de conjuntos diferentes es ilustrar que son factibles múltiples enfoques para la implementación de las matemáticas. Precisamente por este enfoque, este artículo no es una fuente de definiciones "oficiales" de ningún concepto matemático.

Preliminares

Las siguientes secciones llevan a cabo ciertas construcciones en las dos teorías ZFC y NFU y comparan las implementaciones resultantes de ciertas estructuras matemáticas (como los números naturales ).

Las teorías matemáticas prueban teoremas (y nada más). Entonces, decir que una teoría permite la construcción de un determinado objeto significa que es un teorema de esa teoría que ese objeto existe. Esta es una afirmación sobre una definición de la forma "la x tal que existe", donde hay una fórmula de nuestro lenguaje : la teoría prueba la existencia de "la x tal que " en caso de que sea un teorema de que "hay uno y solo una x tal que ". (Véase la teoría de las descripciones de Bertrand Russell .) En términos generales, la teoría "define" o "construye" este objeto en este caso. Si el enunciado no es un teorema, la teoría no puede demostrar que el objeto existe; si la afirmación es demostrablemente falsa en la teoría, prueba que el objeto no puede existir; En términos generales, el objeto no se puede construir. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

ZFC y NFU comparten el lenguaje de la teoría de conjuntos, por lo que se pueden contemplar las mismas definiciones formales "la x tal que " en las dos teorías. Una forma específica de definición en el lenguaje de la teoría de conjuntos es la notación constructora de conjuntos : significa "el conjunto A tal que para todo x " (A no puede ser libre en ). Esta notación admite ciertas extensiones convencionales: es sinónimo de ; se define como , donde es una expresión ya definida. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$ ${\displaystyle x\in A\leftrightarrow \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{x\in B\mid \phi \}}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in B\wedge \phi \}}$ ${\displaystyle \{f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid \phi \}}$ ${\displaystyle \{z\mid \exists x_{1},\ldots ,x_{n}\,(z=f(x_{1},\dots ,x_{n})\wedge \phi )\}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Las expresiones definibles en notación de constructor de conjuntos tienen sentido tanto en ZFC como en NFU: puede ser que ambas teorías demuestren que una definición dada tiene éxito, o que ninguna de las dos lo haga (la expresión no se refiere a nada en ninguna teoría de conjuntos con lógica clásica; en clase En teorías como NBG ( esta notación se refiere a una clase, pero se define de manera diferente), o que una lo hace y la otra no. Además, un objeto definido de la misma manera en ZFC y NFU puede tener propiedades diferentes en las dos teorías (o puede haber una diferencia en lo que se puede probar cuando no hay una diferencia demostrable entre sus propiedades). ${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$

Además, la teoría de conjuntos importa conceptos de otras ramas de las matemáticas (en intención, todas las ramas de las matemáticas). En algunos casos, existen diferentes formas de importar los conceptos a ZFC y NFU. Por ejemplo, la definición habitual del primer ordinal infinito en ZFC no es adecuada para NFU porque no se puede demostrar que el objeto (definido en lenguaje teórico puramente establecido como el conjunto de todos los ordinales finitos de von Neumann ) exista en NFU. La definición habitual de en NFU es (en lenguaje puramente teórico de conjuntos) el conjunto de todos los ordenamientos infinitos , todos cuyos segmentos iniciales propios son finitos, un objeto que se puede demostrar que no existe en ZFC. En el caso de dichos objetos importados, puede haber diferentes definiciones, una para uso en ZFC y teorías relacionadas, y otra para uso en NFU y teorías relacionadas. Para que tales "implementaciones" de conceptos matemáticos importados tengan sentido, es necesario poder demostrar que las dos interpretaciones paralelas tienen las propiedades esperadas: por ejemplo, las implementaciones de los números naturales en ZFC y NFU son diferentes, pero ambas son implementaciones de la misma estructura matemática, porque ambos incluyen definiciones para todas las primitivas de la aritmética de Peano y satisfacen (las traducciones de) los axiomas de Peano. Entonces es posible comparar lo que sucede en las dos teorías cuando solo se usa un lenguaje teórico establecido, siempre y cuando se entienda que las definiciones apropiadas para ZFC se usan en el contexto de ZFC y se entiende que se usan las definiciones apropiadas para NFU. en el contexto de la NFU. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Cualquier cosa que se demuestre que existe en una teoría existe claramente demostrable en cualquier extensión de esa teoría; además, el análisis de la prueba de que un objeto existe en una teoría determinada puede mostrar que existe en versiones más débiles de esa teoría (se puede considerar la teoría de conjuntos de Zermelo en lugar de ZFC para gran parte de lo que se hace en este artículo, por ejemplo).

Conjunto vacío, singleton, pares desordenados y tuplas

Estas construcciones aparecen primero porque son las más simples en la teoría de conjuntos, no porque sean las primeras construcciones que vienen a la mente en matemáticas (aunque la noción de conjunto finito es ciertamente fundamental). Aunque NFU también permite la construcción de elementos ur del conjunto que aún no se han convertido en miembros de un conjunto, el conjunto vacío es el conjunto único sin miembros:

${\displaystyle \left.\varnothing \right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x:x\neq x\right\}}$

Para cada objeto , existe un conjunto que tiene como único elemento: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{x\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{y:y=x\right\}}$

Para los objetos y , hay un conjunto que contiene y como únicos elementos: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \left\{x,y\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z=x\vee z=y\right\}}$

La unión de dos conjuntos se define de la forma habitual:

${\displaystyle \left.x\cup y\right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z\in x\vee z\in y\right\}}$

Esta es una definición recursiva de tuplas desordenadas para cualquier conjunto concreto (conjuntos finitos dados como listas de sus elementos :) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1}\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\cup \left\{x_{n+1}\right\}}$

En NFU, todas las definiciones establecidas funcionan por comprensión estratificada; en ZFC, la existencia del par desordenado está dada por el Axioma de Emparejamiento , la existencia del conjunto vacío sigue por Separación de la existencia de cualquier conjunto, y la unión binaria de dos conjuntos existe por los axiomas de Emparejamiento y Unión ( ) . ${\displaystyle x\cup y=\bigcup \{x,y\}}$

Par ordenado

Primero, considere el par ordenado . La razón por la que esto aparece primero es técnica: se necesitan pares ordenados para implementar relaciones y funciones , que son necesarias para implementar otros conceptos que pueden parecer anteriores. La primera definición del par ordenado fue la propuesta por Norbert Wiener en 1914 en el contexto de la teoría de tipos de Principia Mathematica . Wiener observó que esto permitía la eliminación de tipos de n -relaciones arias para n > 1 del sistema de ese trabajo. Es más habitual ahora utilizar la definición , debido a Kuratowski . Cualquiera de estas definiciones funciona en ZFC o NFU. En NFU, estas dos definiciones tienen una desventaja técnica: el par ordenado de Kuratowski es dos tipos más alto que sus proyecciones, mientras que el par ordenado de Wiener es tres tipos más alto. Es común postular la existencia de un par ordenado a nivel de tipo (un par que es del mismo tipo que sus proyecciones ) en NFU. Es conveniente utilizar el par de Kuratowski en ambos sistemas hasta que se pueda justificar formalmente el uso de pares de niveles de tipo. Los detalles internos de estas definiciones no tienen nada que ver con su función matemática real. Para cualquier noción de par ordenado, lo que importa es que satisfaga la condición definitoria ${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def} }{=}}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}}$ ${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def.} }{=}}\{\{x\},\{x,y\}\}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle (x,y)=(z,w)\ \equiv \ x=z\wedge y=w}$

…y que sea razonablemente fácil reunir pares ordenados en conjuntos.

Relaciones

Las relaciones son conjuntos cuyos miembros son todos pares ordenados . Siempre que sea posible, una relación (entendida como un predicado binario ) se implementa como (que puede escribirse como ). Cuando es una relación, la notación significa . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{(x,y)\mid xRy\}}$ ${\displaystyle \{z\mid \pi _{1}(z)R\pi _{2}(z)\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)\in R}$

En ZFC, algunas relaciones (como la relación de igualdad general o la relación de subconjunto en conjuntos) son "demasiado grandes" para ser conjuntos (pero pueden cosificarse inofensivamente como clases adecuadas ). En NFU, algunas relaciones (como la relación de membresía) no son conjuntos porque sus definiciones no están estratificadas: en , y necesitarían tener el mismo tipo (porque aparecen como proyecciones del mismo par), pero también tipos sucesivos (porque se considera como un elemento de ). ${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in y\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Definiciones relacionadas

Sean y sean dadas relaciones binarias . Entonces los siguientes conceptos son útiles: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$

Lo contrario de es la relación . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \left\{\left(y,x\right):xRy\right\}}$

El dominio de es el conjunto . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \left\{x:\exists y\left(xRy\right)\right\}}$

El rango de es el dominio del inverso de . Es decir, el conjunto . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \left\{y:\exists x\left(xRy\right)\right\}}$

El campo de es la unión del dominio y rango de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

La preimagen de un miembro del campo de es el conjunto (utilizado en la definición de "bien fundado" a continuación). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \left\{y:yRx\right\}}$

El cierre hacia abajo de un miembro del campo de es el conjunto más pequeño que contiene y contiene cada para cada (es decir, incluye la preimagen de cada uno de sus elementos con respecto a como un subconjunto). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle zRy}$ ${\displaystyle y\in D}$ ${\displaystyle R}$

El producto relativo de y es la relación . ${\displaystyle R|S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{\left(x,z\right):\exists y\,\left(xRy\wedge ySz\right)\right\}}$

Observe que con nuestra definición formal de relación binaria, el rango y el codominio de una relación no se distinguen. Esto podría hacerse representando una relación con codominio como , pero nuestro desarrollo no lo requerirá. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \left(R,B\right)}$

En ZFC, cualquier relación cuyo dominio sea un subconjunto de un conjunto y cuyo rango sea un subconjunto de un conjunto será un conjunto, ya que el producto cartesiano es un conjunto (siendo una subclase de ), y la Separación prevé la existencia de . En NFU, algunas relaciones con alcance global (como igualdad y subconjunto) se pueden implementar como conjuntos. En NFU, tenga en cuenta que y son tres tipos inferiores que en (un tipo inferior si se utiliza un par ordenado de nivel de tipo). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B=\left\{\left(a,b\right):a\in A\wedge b\in B\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(A\cup B\right)}$ ${\displaystyle \left\{\left(x,y\right)\in A\times B:xRy\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy}$

Propiedades y tipos de relaciones.

Una relación binaria es: ${\displaystyle R}$

• Reflexivo sipara todosen el campo de. ${\displaystyle xRx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$
• Simétrico si. ${\displaystyle \forall x,y\,(xRy\to yRx)}$
• Transitiva si. ${\displaystyle \forall x,y,z\,(xRy\wedge yRz\rightarrow xRz)}$
• Antisimétrico si. ${\displaystyle \forall x,y\,(xRy\wedge yRx\rightarrow x=y)}$
• Bien fundamentado si por cada conjuntoque cumple con el campo de,cuya preimagen bajono cumple con. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \ \exists x\in S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$
• Extensional si para cada en el campo de , si y solo si y tienen la misma preimagen debajo . ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$

Las relaciones que tienen ciertas combinaciones de las propiedades anteriores tienen nombres estándar. Una relación binaria es: ${\displaystyle R}$

• Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva. ${\displaystyle R}$
• Un orden parcial es reflexivo, antisimétrico y transitivo. ${\displaystyle R}$
• Un orden lineal si es un orden parcial y para cada en el campo de , o o . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx}$
• Un si bien ordenado es un orden lineal y bien fundamentado. ${\displaystyle R}$
• Una imagen establecida está bien fundada y es extensional, y el campo de cualquiera de los dos es igual al cierre hacia abajo de uno de sus miembros (llamado su elemento superior ), o está vacío. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Funciones

Una relación funcional es un predicado binario tal que dicha relación ( predicado ) se implementa como una relación (conjunto) exactamente como se describe en la sección anterior. Entonces el predicado es implementado por el conjunto . Una relación es una función si y sólo si. Por lo tanto, es posible definir la función de valor como el objeto único tal que  – es decir: está relacionado con tal que la relación se mantiene entre y  – o como el objeto único tal que . La presencia en ambas teorías de predicados funcionales que no son conjuntos hace que sea útil permitir la notación tanto para conjuntos como para predicados funcionales importantes. Mientras no se cuantifiquen las funciones en este último sentido, todos esos usos son, en principio, eliminables. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(xFy\wedge xFz\to y=z\right).}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left\{\left(x,y\right):xFy\right\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(\left(x,y\right)\in F\wedge \left(x,z\right)\in F\to y=z\right).}$ ${\displaystyle F\!\left(x\right)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xFy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)\in F}$ ${\displaystyle F\!\left(x\right)}$ ${\displaystyle F}$

Fuera de la teoría formal de conjuntos, normalmente especificamos una función en términos de su dominio y codominio, como en la frase "Sea una función". El dominio de una función es simplemente su dominio como relación, pero aún no hemos definido el codominio de una función. Para ello introducimos la terminología de que una función es de a si su dominio es igual y su rango está contenido en . De esta manera, toda función es una función desde su dominio hasta su rango, y una función desde hasta también es una función desde hasta para cualquier conjunto que contenga . ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$

De hecho, no importa qué conjunto consideremos el codominio de una función, la función no cambia como conjunto ya que, por definición, es solo un conjunto de pares ordenados. Es decir, una función no determina su codominio según nuestra definición. Si esto no le resulta atractivo, entonces puede definir una función como el par ordenado , donde es una relación funcional y su codominio, pero no adoptamos este enfoque en este artículo (de manera más elegante, si primero se definen tripletas ordenadas, por ejemplo como - entonces se podría definir una función como la tripleta ordenada para incluir también el dominio). Tenga en cuenta que existe el mismo problema para las relaciones: fuera de la teoría formal de conjuntos solemos decir "Sea una relación binaria", pero formalmente es un conjunto de pares ordenados tales que y . ${\displaystyle (f,B)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(x,(y,z))}$ ${\displaystyle (f,A,B)}$ ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{dom}}\,R\subseteq A}$ ${\displaystyle {\text{ran}}\,R\subseteq B}$

En NFU, tiene el mismo tipo que y es tres tipos superior a (un tipo superior, si se utiliza un par ordenado de nivel de tipo). Para resolver este problema, se podría definir como para cualquier conjunto , pero es más conveniente escribirlo como . Entonces, si es un conjunto y hay alguna relación funcional, el Axioma de Reemplazo asegura que es un conjunto en ZFC . En NFU, ahora tienen el mismo tipo y son dos tipos superiores a (el mismo tipo, si se utiliza un par ordenado de nivel de tipo). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F\!\left(x\right)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\!\left(x\right)}$ ${\displaystyle F\left[A\right]}$ ${\displaystyle \left\{y:\exists x\,\left(x\in A\wedge y=F\!\left(x\right)\right)\right\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\{F\!\left(x\right):x\in A\right\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\left[A\right]}$ ${\displaystyle F\left[A\right]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\left[A\right]}$

La función tal que no está configurada en ZFC porque es "demasiado grande". Sin embargo, es un conjunto en NFU. La función (predicado) tal que no es ni una función ni un conjunto en ninguna de las teorías; en ZFC, esto es cierto porque dicho conjunto sería demasiado grande y, en NFU, esto es cierto porque su definición no estaría estratificada . Además, se puede demostrar que no existe en NFU (ver la resolución de la paradoja de Cantor en New Foundations ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\!\left(x\right)=x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\!\left(x\right)=\left\{x\right\}}$ ${\displaystyle S}$

Operaciones sobre funciones.

Sean y sean funciones arbitrarias. La composición de y , , se define como el producto relativo , pero sólo si esto da como resultado una función tal que también sea una función, con , si el rango de es un subconjunto del dominio de . La inversa de , , se define como la inversa de si esta es una función. Dado cualquier conjunto , la función de identidad es el conjunto , y este es un conjunto tanto en ZFC como en NFU por diferentes razones. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\,|\,g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle \left(g\circ f\right)\!\left(x\right)=g\!\left(f\!\left(x\right)\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{\left(-1\right)}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i_{A}}$ ${\displaystyle \left\{\left(x,x\right)\mid x\in A\right\}}$

Tipos especiales de funciones

Una función es inyectiva (también llamada uno a uno ) si tiene una función inversa.

Una función de a es: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

• Inyección deasi las imágenes debajode miembros distintos deson miembros distintos de. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Suryección deasi el rango dees. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$
• La biyección deasies a la vez una inyección y una sobreyección. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$

Definir funciones como pares ordenados o triples ordenados tiene la ventaja de que no tenemos que introducir la terminología de ser una función "de a ", y que podemos hablar de "ser sobreyectiva" directamente en lugar de poder hablar únicamente de " siendo sobreyectivo sobre ". ${\displaystyle (f,B)}$ ${\displaystyle (f,A,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Tamaño de conjuntos

Tanto en ZFC como en NFU , dos conjuntos A y B son del mismo tamaño (o son equinuméreos ) si y solo si hay una biyección f de A a B. Esto se puede escribir como , pero tenga en cuenta que (por el momento) esto expresa una relación entre A y B en lugar de una relación entre objetos aún no definidos y . Denota esta relación por en contextos como la definición real de los cardenales donde incluso la apariencia de presuponer cardenales abstractos debe evitarse. ${\displaystyle |A|=|B|}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle A\sim B}$

De manera similar , defina como holding si y solo si hay una inyección de A a B. ${\displaystyle |A|\leq |B|}$

Es sencillo demostrar que la relación de equinumerosidad es una relación de equivalencia : la equinumerosidad de A con A es atestiguada por ; si f testigos , entonces testigos ; y si f testigos y g testigos , entonces testigos . ${\displaystyle i_{A}}$ ${\displaystyle |A|=|B|}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle |B|=|A|}$ ${\displaystyle |A|=|B|}$ ${\displaystyle |B|=|C|}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle |A|=|C|}$

Se puede demostrar que es un orden lineal en cardinales abstractos, pero no en conjuntos. La reflexividad es obvia y la transitividad está probada al igual que para la equinumeridad. El teorema de Schröder-Bernstein , demostrable en ZFC y NFU de forma totalmente estándar, establece que ${\displaystyle |A|\leq |B|}$

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\wedge |B|\leq |A|\rightarrow |A|=|B|}$

(esto establece antisimetría en los cardenales), y

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\vee |B|\leq |A|}$

se sigue de forma estándar en cualquiera de las teorías a partir del axioma de elección .

Conjuntos finitos y números naturales.

Los números naturales pueden considerarse como ordinales finitos o como cardinales finitos. Aquí considérelos como números cardinales finitos. Este es el primer lugar donde se hace evidente una diferencia importante entre las implementaciones en ZFC y NFU .

El Axioma del Infinito de ZFC nos dice que existe un conjunto A que contiene y contiene para cada uno . Este conjunto A no está determinado de forma única (se puede agrandar manteniendo esta propiedad de cierre): el conjunto N de números naturales es ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle y\cup \{y\}}$ ${\displaystyle y\in A}$

• ${\displaystyle \{x\in A\mid \forall B\,(\emptyset \in B\wedge \forall y\,(y\in B\rightarrow y\cup \{y\}\in B)\rightarrow x\in B)\}}$

que es la intersección de todos los conjuntos que contienen el conjunto vacío y están cerrados bajo la operación "sucesora" . ${\displaystyle y\mapsto y\cup \{y\}}$

En ZFC, un conjunto es finito si y solo si existe tal que : además, defina como este n para A finito . (Se puede demostrar que no hay dos números naturales distintos que tengan el mismo tamaño). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle |n|=|A|}$ ${\displaystyle |A|}$

Las operaciones habituales de la aritmética se pueden definir de forma recursiva y en un estilo muy similar a aquel en el que se define el propio conjunto de números naturales. Por ejemplo, + (la operación de suma de números naturales) se puede definir como el conjunto más pequeño que contiene para cada número natural y que contiene siempre que contiene . ${\displaystyle ((x,\emptyset ),x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ((x,y\cup \{y\}),z\cup \{z\})}$ ${\displaystyle ((x,y),z)}$

En NFU, no es obvio que se pueda utilizar este enfoque, ya que la operación sucesora no está estratificada y, por lo tanto, no se puede demostrar que el conjunto N como se definió anteriormente exista en NFU (es consistente que exista el conjunto de ordinales finitos de von Neumann en NFU, pero esto fortalece la teoría, ya que la existencia de este conjunto implica el Axioma de Conteo (para lo cual ver más abajo o el artículo Nuevos Fundamentos )). ${\displaystyle y\cup \{y\}}$

La definición estándar de números naturales, que en realidad es la definición teórica de conjuntos más antigua de números naturales , es como clases de equivalencia de conjuntos finitos bajo equinumerosidad. Esencialmente, la misma definición es apropiada para NFU (esta no es la definición habitual, pero los resultados son los mismos): define Fin , el conjunto de conjuntos finitos, como

${\displaystyle \{A\mid \forall F\,(\emptyset \in F\wedge \forall x,y\,(x\in F\rightarrow x\cup \{y\}\in F)\rightarrow A\in F)\}}$

Para cualquier conjunto , defina como . Defina N como el conjunto . ${\displaystyle A\in Fin}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle \{B\mid A\sim B\}}$ ${\displaystyle \{|A|\mid A\in Fin\}}$

El axioma del infinito de NFU se puede expresar como : esto es suficiente para establecer que cada número natural tiene un sucesor no vacío (el sucesor del ser para cualquiera ), lo cual es la parte difícil de demostrar que se satisfacen los axiomas aritméticos de Peano. ${\displaystyle V\not \in Fin}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle |A\cup \{x\}|}$ ${\displaystyle x\not \in A}$

Las operaciones de aritmética se pueden definir en un estilo similar al estilo dado anteriormente (usando la definición de sucesor que se acaba de dar). También se pueden definir en una forma teórica de conjuntos naturales: si A y B son conjuntos finitos disjuntos, defina |A|+|B| como . Más formalmente, defina m+n para m y n en N como ${\displaystyle |A\cup B|}$

${\displaystyle \{A\mid \exists B,C\,(B\in m\wedge C\in n\wedge B\cap C=\emptyset \wedge A=B\cup C)\}}$

(Pero tenga en cuenta que este estilo de definición también es factible para los números ZFC, pero es más tortuoso: la forma de la definición NFU facilita las manipulaciones de conjuntos mientras que la forma de la definición ZFC facilita definiciones recursivas, pero cualquiera de las teorías respalda cualquier estilo de definición) .

Las dos implementaciones son bastante diferentes. En ZFC, elija un representante de cada cardinalidad finita (las clases de equivalencia en sí son demasiado grandes para ser conjuntos); en NFU las clases de equivalencia en sí mismas son conjuntos y, por lo tanto, son una opción obvia para que los objetos reemplacen las cardinalidades. Sin embargo, la aritmética de las dos teorías es idéntica: estos dos enfoques superficialmente diferentes implementan la misma abstracción.

Relaciones de equivalencia y particiones.

Una técnica general para implementar abstracciones en la teoría de conjuntos es el uso de clases de equivalencia. Si una relación de equivalencia R nos dice que los elementos de su campo A son similares en algún aspecto particular, entonces, para cualquier conjunto x , considere que el conjunto representa una abstracción del conjunto x respetando solo esas características (identifique elementos de A hasta R ) . ${\displaystyle [x]_{R}=\{y\in A\mid xRy\}}$

Para cualquier conjunto A , un conjunto es una partición de A si todos los elementos de P no están vacíos, dos elementos distintos de P son disjuntos y . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A=\bigcup P}$

Para toda relación de equivalencia R con el campo A , es una partición de A . Además, cada partición P de A determina una relación de equivalencia . ${\displaystyle \{[x]_{R}\mid x\in A\}}$ ${\displaystyle \{(x,y)\mid \exists A\in P\,(x\in A\wedge y\in A)\}}$

Esta técnica tiene limitaciones tanto en ZFC como en NFU . En ZFC, dado que el universo no es un conjunto, parece posible abstraer características sólo de elementos de dominios pequeños. Esto se puede evitar usando un truco de Dana Scott : si R es una relación de equivalencia en el universo, defínala como el conjunto de todos los y tales que y el rango de y es menor o igual al rango de cualquiera . Esto funciona porque los rangos son conjuntos. Por supuesto, todavía puede haber una clase adecuada de 's. En NFU, la principal dificultad es que es un tipo superior a x, por lo que, por ejemplo, el "mapa" no es en general una función (conjunto) (aunque sí es un conjunto). Esto se puede evitar mediante el uso del Axioma de Elección para seleccionar un representante de cada clase de equivalencia para reemplazar , que será del mismo tipo que x , o eligiendo un representante canónico si hay una manera de hacerlo sin invocar la Elección. (El uso de representantes tampoco es desconocido en ZFC). En NFU, el uso de construcciones de clases de equivalencia para abstraer propiedades de conjuntos generales es más común, como por ejemplo en las definiciones de número cardinal y ordinal a continuación. ${\displaystyle [x]_{R}}$ ${\displaystyle yRx}$ ${\displaystyle zRx}$ ${\displaystyle [x]_{R}}$ ${\displaystyle [x]_{R}}$ ${\displaystyle x\mapsto [x]_{R}}$ ${\displaystyle \{x\}\mapsto [x]_{R}}$ ${\displaystyle [x]_{R}}$

Números ordinales

Dos buenos ordenamientos son similares y se escriben en caso de que haya una biyección f desde el campo de hasta el campo de tal que para todos x e y . ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{2}}$ ${\displaystyle W_{1}\sim W_{2}}$ ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{2}}$ ${\displaystyle xW_{1}y\leftrightarrow f(x)W_{2}f(y)}$

Se demuestra que la similitud es una relación de equivalencia de la misma manera que se demostró anteriormente que la equinumeridad es una relación de equivalencia.

En New Foundations (NFU), el tipo de orden de un W bien ordenado es el conjunto de todos los bien ordenados que son similares a W . El conjunto de números ordinales es el conjunto de todos los tipos de orden de bien-ordenamiento.

Esto no funciona en ZFC porque las clases de equivalencia son demasiado grandes. Sería formalmente posible utilizar el truco de Scott para definir los ordinales esencialmente de la misma manera, pero se utiliza más comúnmente un recurso de von Neumann .

Para cualquier orden parcial , el orden parcial estricto correspondiente < se define como . Los órdenes lineales estrictos y los buenos ordenamientos estrictos se definen de manera similar. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \{(x,y)\mid x\leq y\wedge x\neq y\}}$

Se dice que un conjunto A es transitivo si : cada elemento de un elemento de A es también un elemento de A. Un ordinal (von Neumann) es un conjunto transitivo en el que la membresía es un orden estricto. ${\displaystyle \bigcup A\subseteq A}$

En ZFC, el tipo de orden de un W bien ordenado se define como el ordinal único de von Neumann que es equinumero con el campo de W y cuya membresía es isomorfa al ordenamiento estricto asociado con W. (La condición de equinumeridad distingue entre ordenamientos de pozos con campos de tamaño 0 y 1, cuyos ordenamientos de pozos estrictos asociados son indistinguibles).

En ZFC no puede haber un conjunto de todos los ordinales. De hecho, los ordinales de von Neumann son una totalidad inconsistente en cualquier teoría de conjuntos: se puede demostrar con modestos supuestos teóricos de conjuntos que cada elemento de un ordinal de von Neumann es un ordinal de von Neumann y que los ordinales de von Neumann están estrictamente bien ordenados por composición. . De ello se deduce que la clase de ordinales de von Neumann sería un ordinal de von Neumann si fuera un conjunto: pero entonces sería un elemento en sí mismo, lo que contradice el hecho de que la pertenencia es un estricto buen ordenamiento de los ordinales de von Neumann.

La existencia de tipos de orden para todos los bien-ordenamientos no es un teorema de la teoría de conjuntos de Zermelo : requiere el axioma de reemplazo . Incluso el truco de Scott no puede usarse en la teoría de conjuntos de Zermelo sin un supuesto adicional (como el supuesto de que cada conjunto pertenece a un rango que es un conjunto, lo que no fortalece esencialmente la teoría de conjuntos de Zermelo pero no es un teorema de esa teoría).

En NFU, la colección de todos los ordinales es un conjunto por comprensión estratificada. La paradoja de Burali-Forti se elude de forma inesperada. Hay un orden natural en los ordinales definido por si y solo si algunos (y por lo tanto cualquiera) es similar a un segmento inicial de algunos (y por lo tanto cualquiera) . Además, se puede demostrar que este orden natural es un buen ordenamiento de los ordinales y, por lo tanto, debe tener un tipo de orden . Parecería que el tipo de orden de los ordinales menor que con el orden natural sería , contradiciendo el hecho de que es el tipo de orden de todo el orden natural en los ordinales (y por tanto no de ninguno de sus segmentos iniciales propios). Pero esto depende de la intuición (correcta en ZFC) de que el tipo de orden del orden natural en los ordinales es menor que el de cualquier ordinal . Esta afirmación no está estratificada, porque el tipo del segundo es cuatro mayor que el tipo del primero (dos mayor si se utiliza un par de niveles de tipo). La afirmación que es verdadera y demostrable en NFU es que el tipo de orden del orden natural en los ordinales es menor que para cualquier ordinal , donde está el tipo de orden de para cualquiera (es fácil demostrar que esto no depende de la elección de W; tenga en cuenta que T aumenta el tipo en uno). Así, el tipo de orden de los ordinales menor que el del orden natural es , y . Todos los usos de aquí se pueden reemplazar con si se usa un par de nivel de tipo. ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle W_{1}\in \alpha }$ ${\displaystyle W_{2}\in \beta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T^{4}(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(\alpha )}$ ${\displaystyle W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$ ${\displaystyle W\in \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle T^{4}(\Omega )}$ ${\displaystyle T^{4}(\Omega )<\Omega }$ ${\displaystyle T^{4}}$ ${\displaystyle T^{2}}$

Esto muestra que la operación T no es trivial, lo que tiene varias consecuencias. Se deduce inmediatamente que el mapa singleton no es un conjunto, ya que de lo contrario las restricciones de este mapa establecerían la similitud de W y para cualquier W bien ordenado . T es (externamente) biyectivo y preservador del orden. Por ello, el hecho establece que hay una "secuencia descendente" en los ordinales que no puede ser un conjunto. ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$ ${\displaystyle W^{\iota }}$ ${\displaystyle T^{4}(\Omega )<\Omega }$ ${\displaystyle \Omega >T(\Omega )>T^{2}(\Omega )\ldots }$

Los ordinales fijados por T se llaman ordinales cantorianos , y los ordinales que dominan sólo a los ordinales cantorianos (que fácilmente se demuestra que son cantorianos en sí mismos) se dice que son fuertemente cantorianos . No puede haber un conjunto de ordinales cantorianos ni un conjunto de ordinales fuertemente cantorianos.

Digresión: ordinales de von Neumann en NFU

Es posible razonar sobre los ordinales de von Neumann en NFU . Recuerde que un ordinal de von Neumann es un conjunto transitivo A tal que la restricción de pertenencia a A es un buen orden estricto. Esta es una condición bastante fuerte en el contexto de la NFU, ya que la relación de membresía implica una diferencia de tipo. Un ordinal A de von Neumann no es un ordinal en el sentido de NFU, pero pertenece a un ordinal que puede denominarse tipo de orden de (pertenencia a) A. Es fácil demostrar que el tipo de orden de un ordinal A de von Neumann es cantoriano: para cualquier W bien ordenado de tipo de orden , el buen ordenamiento inducido de los segmentos iniciales de W por inclusión tiene un tipo de orden (es un tipo superior, de ahí la aplicación de T): pero los tipos de orden del bien ordenamiento de un ordinal A de von Neumann por membresía y el buen ordenamiento de sus segmentos iniciales por inclusión son claramente los mismos porque los dos bien ordenamientos son en realidad la misma relación , por lo que el tipo de orden de A se fija bajo T. Además, el mismo argumento se aplica a cualquier ordinal más pequeño (que será el tipo de orden de un segmento inicial de A , también un ordinal de von Neumann), por lo que el tipo de orden de cualquier von Neumann ordinal es fuertemente cantoriano. ${\displaystyle \in \lceil A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(\alpha )}$

Los únicos ordinales de von Neumann que se puede demostrar que existen en NFU sin suposiciones adicionales son los finitos concretos. Sin embargo, la aplicación de un método de permutación puede convertir cualquier modelo de NFU en un modelo en el que cada ordinal fuertemente cantoriano sea el tipo de orden de un ordinal de von Neumann. Esto sugiere que el concepto "ordinal fuertemente cantoriano de NFU" podría ser un mejor análogo del "ordinal de ZFC" que el aparente análogo "ordinal de NFU".

Numeros cardinales

Los números cardinales se definen en NFU de una manera que generaliza la definición de número natural: para cualquier conjunto A ,. ${\displaystyle |A|\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\left\{B\mid B\sim A\right\}}$

En ZFC , estas clases de equivalencia son demasiado grandes como es habitual. El truco de Scott podría usarse (y de hecho se usa en ZF ), generalmente se define como el tipo de orden más pequeño (aquí un ordinal de von Neumann) de un buen ordenamiento de A (que todo conjunto puede estar bien ordenado se desprende del axioma de Elección de la forma habitual en ambas teorías). ${\displaystyle |A|}$

El orden natural de los números cardinales se considera un buen orden: como se ha demostrado anteriormente, es reflexivo, antisimétrico (en los cardinales abstractos, que ahora están disponibles) y transitivo. Que es un orden lineal se desprende del axioma de elección: dos conjuntos bien ordenados y un segmento inicial de uno bien ordenado serán isomorfos al otro, por lo que un conjunto tendrá una cardinalidad menor que la del otro. Que se trata de un buen orden se desprende del axioma de elección de manera similar.

Con cada cardinal infinito, se asocian muchos tipos de órdenes por las razones habituales (en cualquiera de las teorías de conjuntos).

El teorema de Cantor muestra (en ambas teorías) que existen distinciones no triviales entre infinitos números cardinales. En ZFC , se demuestra que en NFU , la forma habitual del teorema de Cantor es falsa (considérese el caso A=V), pero el teorema de Cantor es un enunciado mal escrito. La forma correcta del teorema en NFU es , donde está el conjunto de subconjuntos de un elemento de A. muestra que hay "menos" singletons que conjuntos (ya se ha visto que la biyección obvia de a V no es un conjunto). En realidad, es demostrable en NFU + Choice que (donde señala la existencia de muchos cardenales intervinientes; ¡hay muchos, muchos elementos urinarios!). Defina una operación T de elevación de tipos en cardinales análoga a la operación T en ordinales: ; este es un endomorfismo externo de los cardinales, así como la operación T sobre ordinales es un endomorfismo externo de los ordinales. ${\displaystyle |A|<|P(A)|.}$ ${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$ ${\displaystyle P_{1}(A)}$ ${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$ ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$ ${\displaystyle P_{1}(V)}$ ${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|}$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle T(|A|)=|P_{1}(A)|}$

Un conjunto A se dice que es cantoriano por si acaso ; También se dice que el cardenal es cardenal cantoriano. Se dice que un conjunto A es fuertemente cantoriano (y su cardinal también lo es) en caso de que la restricción del mapa singleton a A ( ) sea un conjunto. Los buenos ordenamientos de conjuntos fuertemente cantorianos son siempre ordinales fuertemente cantorianos; esto no siempre es cierto para los buenos ordenamientos de conjuntos cantorianos (aunque el ordenamiento más corto de un conjunto cantoriano será cantoriano). Un conjunto cantoriano es un conjunto que satisface la forma habitual del teorema de Cantor. ${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|=T(|A|)}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$

Las operaciones de la aritmética cardinal se definen de forma motivada por la teoría de conjuntos en ambas teorías. . Se quisiera definir como , y se hace esto en ZFC , pero hay una obstrucción en NFU al usar el par de Kuratowski: se define como por el tipo de desplazamiento de 2 entre el par y sus proyecciones, lo que implica un tipo de desplazamiento de dos entre un producto cartesiano y sus factores. Es sencillo demostrar que el producto siempre existe (pero requiere atención porque la inversa de T no es total). ${\displaystyle |A|+|B|=\{C\cup D\mid C\sim A\wedge D\sim B\wedge C\cap D=\emptyset \}}$ ${\displaystyle |A|\cdot |B|}$ ${\displaystyle |A\times B|}$ ${\displaystyle |A|\cdot |B|}$ ${\displaystyle T^{-2}(|A\times B|)}$

Definir la operación exponencial sobre cardinales requiere T de manera esencial: si se definió como el conjunto de funciones de A a B , esta es tres tipos mayor que A o B , por lo que es razonable definirla para que sea del mismo tipo como A o B ( se reemplaza con pares de nivel de tipo). Un efecto de esto es que la operación exponencial es parcial: por ejemplo, no está definida. En ZFC se define como sin dificultad. ${\displaystyle B^{A}}$ ${\displaystyle |B|^{|A|}}$ ${\displaystyle T^{-3}(|B^{A}|)}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle T^{-3}}$ ${\displaystyle 2^{|V|}}$ ${\displaystyle |B|^{|A|}}$ ${\displaystyle |B^{A}|}$

La operación exponencial es total y se comporta exactamente como se espera en los cardinales cantorianos, ya que T fija dichos cardinales y es fácil demostrar que un espacio funcional entre conjuntos cantorianos es cantoriano (al igual que los conjuntos potencia, los productos cartesianos y otros constructores de tipos habituales). Esto ofrece un mayor estímulo a la opinión de que las cardinalidades "estándar" en NFU son las cardinalidades cantorianas (de hecho, las fuertemente cantorianas), del mismo modo que los ordinales "estándar" parecen ser los ordinales fuertemente cantorianos.

Ahora se pueden demostrar los teoremas habituales de la aritmética cardinal con el axioma de elección, incluidos . Del caso se puede derivar la existencia de un par ordenado a nivel de tipo: es igual a por si acaso , lo que sería atestiguado por una correspondencia uno a uno entre pares de Kuratowski y singletons dobles : redefinir como c tal que está asociado con Kuratowski : esta es una noción de par ordenado a nivel de tipo. ${\displaystyle \kappa \cdot \kappa =\kappa }$ ${\displaystyle |V|\cdot |V|=|V|}$ ${\displaystyle |V|\cdot |V|=T^{-2}(|V\times V|)}$ ${\displaystyle |V|}$ ${\displaystyle |V\times V|=T^{2}(|V|)=|P_{1}^{2}(V)|}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \{\{c\}\}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \{\{c\}\}}$ ${\displaystyle (a,b)}$

El axioma de conteo y subversión de la estratificación.

Entonces, hay dos implementaciones diferentes de los números naturales en NFU (aunque son los mismos en ZFC ): ordinales finitos y cardinales finitos. Cada uno de estos admite una operación T en NFU (básicamente la misma operación). Es fácil demostrar que es un número natural si n es un número natural en NFU + Infinito + Elección (y por lo tanto y el primer ordinal infinito son cantorianos) pero no es posible demostrar en esta teoría que . Sin embargo, el sentido común indica que esto debería ser cierto, por lo que puede adoptarse como un axioma: ${\displaystyle T(n)}$ ${\displaystyle |N|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T(n)=n}$

• Axioma de conteo de Rosser : Para cada número natural n ,. ${\displaystyle T(n)=n}$

Una consecuencia natural de este axioma (y de hecho de su formulación original) es

• ${\displaystyle |\{1,\ldots ,n\}|=n}$para cada número natural n .

Todo lo que se puede demostrar en NFU sin contar es . ${\displaystyle |\{1,\ldots ,n\}|=T^{2}(n)}$

Una consecuencia de Counting es que N es un conjunto fuertemente cantoriano (nuevamente, esta es una afirmación equivalente).

Propiedades de conjuntos fuertemente cantorianos

El tipo de cualquier variable restringida a un conjunto A fuertemente cantoriano puede aumentarse o disminuirse según se desee reemplazando las referencias a con referencias a (tipo de a elevado; esto presupone que se sabe que a es un conjunto; de lo contrario, se debe decir "el elemento de " para obtener este efecto) o (tipo de a reducido) donde para todos , por lo que no es necesario asignar tipos a dichas variables para fines de estratificación. ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \bigcup f(a)}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ ${\displaystyle f(a)=\{a\}}$ ${\displaystyle a\in A}$

Cualquier subconjunto de un conjunto fuertemente cantoriano es fuertemente cantoriano. El conjunto de poderes de un conjunto fuertemente cantoriano es fuertemente cantoriano. El producto cartesiano de dos conjuntos fuertemente cantorianos es fuertemente cantoriano.

Introducir el axioma de conteo significa que no es necesario asignar tipos a variables restringidas a N o a P ( N ), R (el conjunto de reales) o, de hecho, a cualquier conjunto jamás considerado en matemáticas clásicas fuera de la teoría de conjuntos.

No hay fenómenos análogos en ZFC . Consulte el artículo principal de New Foundations para conocer axiomas más sólidos que se pueden adjuntar a NFU para imponer el comportamiento "estándar" de objetos matemáticos familiares.

Sistemas numéricos familiares: racionales positivos, magnitudes y reales

Representar fracciones positivas como pares de números naturales positivos (se excluye el 0): se representa por el par . Para hacer , introduzca la relación definida por . Es demostrable que se trata de una relación de equivalencia: defina los números racionales positivos como clases de equivalencia de pares de números naturales positivos bajo esta relación. Las operaciones aritméticas con números racionales positivos y la relación de orden con números racionales positivos se definen igual que en la escuela primaria y se demuestra (con cierto esfuerzo) que tienen las propiedades esperadas. ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {r}{s}}\leftrightarrow ps=qr}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (p,q)\sim (r,s)\leftrightarrow ps=qr}$

Representar magnitudes (reales positivos) como segmentos iniciales propios no vacíos de los racionales positivos sin ningún elemento más grande. Las operaciones de suma y multiplicación de magnitudes se implementan mediante la suma elemento por elemento de los elementos racionales positivos de las magnitudes. El orden se implementa como inclusión establecida.

Representar números reales como diferencias de magnitudes: formalmente hablando, un número real es una clase de equivalencia de pares de magnitudes bajo la relación de equivalencia definida por . Las operaciones de suma y multiplicación de números reales se definen tal como uno esperaría de las reglas algebraicas para sumar y multiplicar diferencias. El tratamiento del orden también es como en álgebra elemental. ${\displaystyle m-n}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (m,n)\sim (r,s)\leftrightarrow m+s=n+r}$

Este es el boceto más breve de las construcciones. Tenga en cuenta que las construcciones son exactamente iguales en ZFC y NFU , excepto por la diferencia en las construcciones de los números naturales: dado que todas las variables están restringidas a conjuntos fuertemente cantorianos, no hay necesidad de preocuparse por las restricciones de estratificación. Sin el axioma de conteo, podría ser necesario introducir algunas aplicaciones de T en una discusión completa de estas construcciones.

Operaciones sobre familias indexadas de conjuntos.

En esta clase de construcciones parece que ZFC tiene una ventaja sobre NFU : aunque las construcciones son claramente factibles en NFU , son más complicadas que en ZFC por razones que tienen que ver con la estratificación.

A lo largo de esta sección se supone un par ordenado a nivel de tipo. Definir como . La definición de la n -tupla general utilizando el par de Kuratowski es más complicada, ya que es necesario mantener iguales los tipos de todas las proyecciones, y el desplazamiento de tipo entre la n -tupla y sus proyecciones aumenta a medida que n aumenta. Aquí, la n -tupla tiene el mismo tipo que cada una de sus proyecciones. ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle (x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$

Los productos cartesianos generales se definen de manera similar: ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=A_{1}\times (A_{2}\times \ldots \times A_{n})}$

Las definiciones son las mismas en ZFC pero sin preocuparse por la estratificación (la agrupación dada aquí es opuesta a la que se usa más habitualmente, pero esto se corrige fácilmente).

Consideremos ahora el producto cartesiano infinito . En ZFC, esto se define como el conjunto de todas las funciones f con dominio I tal que (donde A se entiende implícitamente como una función que lleva cada i a ). ${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

En NFU, esto requiere atención al tipo. Dado un conjunto I y una función valorada A cuyo valor en in está escrito , defina como el conjunto de todas las funciones f con dominio I tal que : observe que está estratificada debido a nuestra convención de que A es una función con valores en los índices únicos . Tenga en cuenta que las familias de conjuntos más grandes (que no pueden indexarse ​​mediante conjuntos de singleton) no tendrán productos cartesianos según esta definición. Tenga en cuenta además que los conjuntos son del mismo tipo que el conjunto de índices I (ya que un tipo es superior a sus elementos); el producto, como un conjunto de funciones con dominio I (por lo tanto, del mismo tipo que I ) es un tipo superior (asumiendo un par ordenado de nivel de tipo). ${\displaystyle \{i\}}$ ${\displaystyle P_{1}(I)}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$ ${\displaystyle f(i)\in A_{i}=A(\{i\})}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Consideremos ahora el producto de los cardinales de estos conjuntos. La cardinalidad | | es un tipo superior a los cardinales , por lo que la definición correcta del producto infinito de cardinales es (debido a que la inversa de T no es total, es posible que esto no exista). ${\displaystyle \Pi _{i\in I}|A_{i}|}$ ${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle |A_{i}|}$ ${\displaystyle T^{-1}(|\Pi _{i\in I}A_{i}|)}$

Repita esto para uniones disjuntas de familias de conjuntos y sumas de familias de cardinales. Nuevamente, sea A una función de valores establecidos con dominio : escribir para . La unión disjunta es el conjunto . Este conjunto es del mismo tipo que los conjuntos . ${\displaystyle P_{1}(I)}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A(\{i\})}$ ${\displaystyle \Sigma _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Por tanto, la definición correcta de suma es , ya que no existe ningún tipo de desplazamiento. ${\displaystyle \Sigma _{i\in I}|A_{i}|}$ ${\displaystyle |\Sigma _{i\in I}A_{i}|}$

Es posible ampliar estas definiciones para manejar conjuntos de índices que no sean conjuntos de singleton, pero esto introduce un nivel de tipo adicional y no es necesario para la mayoría de los propósitos.

En ZFC, defina la unión disjunta como , donde se abrevia . ${\displaystyle \Sigma _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A(i)}$

Se pueden utilizar métodos de permutación para mostrar una coherencia relativa con NFU de la afirmación de que para cada conjunto A fuertemente cantoriano hay un conjunto I del mismo tamaño cuyos elementos son autosingelenos: para cada i en I. ${\displaystyle i=\{i\}}$

La jerarquía acumulativa

En ZFC , defina la jerarquía acumulativa como la secuencia indexada ordinal de conjuntos que satisfacen las siguientes condiciones :; ; para ordinales límite . Este es un ejemplo de construcción por recursividad transfinita . Se dice que el rango de un conjunto A es si y sólo si . La existencia de los rangos como conjuntos depende del axioma de reemplazo en cada paso límite (la jerarquía no se puede construir en la teoría de conjuntos de Zermelo ); Según el axioma de fundación, todo conjunto pertenece a algún rango. ${\displaystyle V_{0}=\emptyset }$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}=P(V_{\alpha })}$ ${\displaystyle V_{\lambda }=\bigcup \{V_{\beta }\mid \beta <\lambda \}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\in V_{\alpha +1}-V_{\alpha }}$

El cardenal se llama . ${\displaystyle |P(V_{\omega +\alpha })|}$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$

Esta construcción no se puede llevar a cabo en NFU porque la operación del conjunto de potencia no es una función establecida en NFU ( es un tipo superior a A para fines de estratificación). ${\displaystyle P(A)}$

La secuencia de cardinales se puede implementar en NFU. Recuerde que se define como , donde es un conjunto conveniente de tamaño 2 y . Sea el conjunto más pequeño de cardinales que contiene (la cardinalidad del conjunto de números naturales), contiene al cardinal siempre que contiene , y que está cerrado bajo suprema de conjuntos de cardinales. ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ ${\displaystyle 2^{|A|}}$ ${\displaystyle T^{-1}(|\{0,1\}^{A}|)}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle |\{0,1\}^{A}|=|P(A)|}$ ${\displaystyle \beth }$ ${\displaystyle |N|}$ ${\displaystyle 2^{|A|}}$ ${\displaystyle |A|}$

Una convención para la indexación ordinal de cualquier ordenamiento correcto se define como el elemento x del campo de tal que el tipo de orden de la restricción de a sea ; luego defina como el elemento con índice en el orden natural de los elementos de . El cardinal es el elemento con índice en el orden natural de todos los cardinales infinitos (lo cual es un buen orden, ver arriba). Tenga en cuenta lo que se desprende inmediatamente de esta definición. En todas estas construcciones, observe que el tipo de índice es dos veces mayor (con par ordenado a nivel de tipo) que el tipo de . ${\displaystyle W_{\alpha }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{y\mid yWx\}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beth }$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \aleph _{0}=|N|}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle W_{\alpha }}$

Cada conjunto A de ZFC tiene un cierre transitivo (la intersección de todos los conjuntos transitivos que contiene A ). Según el axioma de fundación, la restricción de la relación de membresía a la clausura transitiva de A es una relación bien fundada . La relación está vacía o tiene A como elemento superior, por lo que esta relación es una imagen establecida . Se puede demostrar en ZFC que cada imagen establecida es isomorfa a alguna . ${\displaystyle TC(A)}$ ${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$ ${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$

Esto sugiere que (un segmento inicial de) la jerarquía acumulativa se puede estudiar considerando las clases de isomorfismo de imágenes establecidas. Estas clases de isomorfismo son conjuntos y forman un conjunto en NFU . Existe una relación de conjunto natural análoga a la membresía en clases de isomorfismo de imágenes de conjunto: si es una imagen de conjunto, escriba para su clase de isomorfismo y defina como si es la clase de isomorfismo de la restricción de y al cierre hacia abajo de uno de los elementos. de la preimagen bajo y del elemento superior de y . La relación E es una relación de conjunto y es sencillo demostrar que está bien fundada y es extensional. Si la definición de E es confusa, se puede deducir de la observación de que es inducida precisamente por la relación que se mantiene entre la imagen del conjunto asociada con A y la imagen del conjunto asociada con B en la teoría de conjuntos habitual. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle [x]E[y]}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle A\in B}$

Hay una operación T en clases de isomorfismo de imágenes establecidas análoga a la operación T en ordinales: si x es una imagen establecida, también lo es . Definir como . Es fácil ver eso . ${\displaystyle x^{\iota }=\{(\{a\},\{b\})\mid (a,b)\in x\}}$ ${\displaystyle T([x])}$ ${\displaystyle [x^{\iota }]}$ ${\displaystyle [x]E[y]\leftrightarrow T([x])=T([y])}$

Un axioma de extensionalidad para esta teoría de conjuntos simulada se deriva de la extensionalidad de E. De su fundamentación se sigue un axioma de fundamentación. Queda la cuestión de qué comprensión puede tener el axioma E. Considere cualquier colección de imágenes establecidas (colección de imágenes establecidas cuyos campos están compuestos enteramente por singletons). Dado que cada uno es un tipo superior a x (usando un par ordenado a nivel de tipo), reemplazar cada elemento del campo de cada uno en la colección da como resultado una colección de imágenes establecidas isomorfas a la colección original pero con sus campos separados. La unión de estas imágenes establecidas con un nuevo elemento superior produce una imagen establecida cuyo tipo de isomorfismo tendrá como preimágenes bajo E exactamente los elementos de la colección original. Es decir, para cualquier colección de tipos de isomorfismo , existe un tipo de isomorfismo cuya preimagen bajo E es exactamente esta colección. ${\displaystyle \{x^{\iota }\mid x\in S\}}$ ${\displaystyle x^{\iota }}$ ${\displaystyle \{a\}}$ ${\displaystyle x^{\iota }}$ ${\displaystyle (x,\{a\})}$ ${\displaystyle [x^{\iota }]=T([x])}$ ${\displaystyle [y]}$

En particular, habrá un tipo de isomorfismo [v] cuya preimagen bajo E es la colección de todos los T [ x ] (incluido T [ v ]). Dado que T [ v ] E v y E están bien fundamentados, . Esto se parece a la resolución de la paradoja de Burali-Forti discutida anteriormente y en el artículo Nuevas Fundaciones , y es de hecho la resolución local de la paradoja de Mirimanoff del conjunto de todos los conjuntos bien fundados. ${\displaystyle T[v]\neq v}$

Hay rangos de clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos, del mismo modo que hay rangos de conjuntos en la teoría de conjuntos habitual. Para cualquier colección de imágenes establecidas A , defina S ( A ) como el conjunto de todas las clases de isomorfismo de imágenes establecidas cuya preimagen bajo E es un subconjunto de A; llame a A un conjunto "completo" si cada subconjunto de A es una preimagen bajo E. La colección de "rangos" es la colección más pequeña que contiene el conjunto vacío y cerrado bajo la operación S (que es una especie de construcción de conjunto de potencias) y bajo uniones de sus subcolecciones. Es sencillo demostrar (al igual que en la teoría de conjuntos habitual) que los rangos están bien ordenados por inclusión y, por lo tanto, los rangos tienen un índice en este buen orden: refiérase al rango con índice como . Es demostrable que para rangos completos . La unión de los rangos completos (que será el primer rango incompleto) con la relación E parece un segmento inicial del universo de la teoría de conjuntos estilo Zermelo (no necesariamente como el universo completo de ZFC porque puede no ser lo suficientemente grande) . Es demostrable que si es el primer rango incompleto, entonces es un rango completo y por lo tanto . Por lo tanto, hay un "rango de la jerarquía acumulativa" con un "automorfismo externo" T que mueve el rango hacia abajo, exactamente la condición en un modelo no estándar de un rango en la jerarquía acumulativa bajo el cual se construye un modelo de NFU en el artículo New Foundations. . Hay detalles técnicos por verificar, pero hay una interpretación no sólo de un fragmento de ZFC sino de la propia NFU en esta estructura, definida como : esta "relación" no es una relación establecida sino que tiene el mismo tipo de desplazamiento entre sus argumentos que la relación de membresía habitual . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R_{\alpha }}$ ${\displaystyle |R_{\alpha }|=\beth _{\alpha }}$ ${\displaystyle R_{\alpha }}$ ${\displaystyle R_{\alpha }}$ ${\displaystyle R_{T(\alpha )}}$ ${\displaystyle T(\alpha )<\alpha }$ ${\displaystyle [x]\in _{NFU}[y]}$ ${\displaystyle T([x])E[y]\wedge [y]\in R_{T(\alpha )+1}}$ ${\displaystyle E_{NFU}}$ ${\displaystyle \in }$

Así pues, hay una construcción natural dentro de NFU de la jerarquía acumulativa de conjuntos que internaliza la construcción natural de un modelo de NFU en la teoría de conjuntos al estilo de Zermelo.

Según el axioma de conjuntos cantorianos descrito en el artículo New Foundations , la parte fuertemente cantoriana del conjunto de clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos con la relación E como membresía se convierte en un modelo (clase adecuada) de ZFC (en el que hay n - cardinales de Mahlo para cada  n ; esta extensión de NFU es estrictamente más fuerte que ZFC). Este es un modelo de clases adecuado porque las clases de isomorfismo fuertemente cantoriano no forman un conjunto.

Los métodos de permutación se pueden utilizar para crear a partir de cualquier modelo de NFU un modelo en el que cada tipo de isomorfismo fuertemente cantoriano de imágenes de conjuntos se realice en realidad como la restricción de la verdadera relación de pertenencia al cierre transitivo de un conjunto.

Ver también

• Teoría de conjuntos axiomáticos

Referencias

• Keith Devlin , 1994. La alegría de los decorados , 2ª ed. Springer-Verlag.
• Holmes, Randall, 1998. Teoría de conjuntos elemental con un conjunto universal . Academia-Bruylant. El editor ha consentido gentilmente en permitir la difusión de esta introducción a NFU a través de la web. Los derechos de autor están reservados.
• Potter, Michael, 2004. Teoría de conjuntos y su filosofía , 2ª ed. Universidad de Oxford. Prensa.
• Suppes, Patrick, 1972. Teoría de conjuntos axiomática . Dover.
• Tourlakis, George, 2003. Conferencias sobre lógica y teoría de conjuntos, vol. 2 . Universidad de Cambridge. Prensa.

enlaces externos

• Metamath: un sitio web dedicado a una derivación continua de las matemáticas a partir de los axiomas de ZFC y la lógica de primer orden .
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford :
  • Los nuevos fundamentos de Quine, por Thomas Forster.
  • Teorías de conjuntos axiomáticos alternativos, por Randall Holmes.
• Randall Holmes: Página de inicio de nuevos fundamentos