Relación inversa

Inversión del orden de los elementos de una relación binaria

En matemáticas , el inverso de una relación binaria es la relación que ocurre cuando se cambia el orden de los elementos en la relación. Por ejemplo, el inverso de la relación 'hijo de' es la relación 'padre de'. En términos formales, si y son conjuntos y es una relación de a entonces la relación está definida de modo que si y solo si En la notación de constructor de conjuntos , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle yL^{\operatorname {T} }x}$ ${\displaystyle xLy.}$

${\displaystyle L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.}$

Dado que una relación puede representarse mediante una matriz lógica , y la matriz lógica de la relación inversa es la transpuesta de la original, la relación inversa ^{[1] [2] [3] [4]} también se denomina relación transpuesta . ^[5] También se la ha denominado opuesta o dual de la relación original, ^[6] la inversa de la relación original, ^{[7] [8] [9] [10]} o la recíproca de la relación ^[11]. ${\displaystyle L^{\circ }}$ ${\displaystyle L.}$

Otras notaciones para la relación inversa incluyen o ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },}$ ${\displaystyle L^{\vee }.}$

La notación es análoga a la de una función inversa . Aunque muchas funciones no tienen una inversa, cada relación tiene una única inversa. La operación unaria que asigna una relación a la relación inversa es una involución , por lo que induce la estructura de un semigrupo con involución en las relaciones binarias en un conjunto o, de manera más general, induce una categoría de daga en la categoría de relaciones como se detalla a continuación. Como operación unaria , tomar la inversa (a veces llamada conversión o transposición ) ^{[ cita requerida ]} conmuta con las operaciones relacionadas con el orden del cálculo de relaciones, es decir, conmuta con unión, intersección y complemento.

Ejemplos

Para las relaciones de orden habituales (quizás estrictas o parciales) , el recíproco es el orden "opuesto" ingenuamente esperado, por ejemplo, ${\displaystyle {\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.}$

Una relación puede representarse mediante una matriz lógica como $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Entonces la relación inversa está representada por su matriz transpuesta : $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Las relaciones de parentesco inversas se denominan: " es hijo de " tiene inverso " es padre de " " es sobrino o sobrina de " tiene inverso " es tío o tía de ". La relación " es hermano o hermana de " es su propia inverso, ya que es una relación simétrica. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Propiedades

En el monoide de endorrelaciones binarias en un conjunto (siendo la operación binaria sobre relaciones la composición de relaciones ), la relación inversa no satisface la definición de inversa de la teoría de grupos, es decir, si es una relación arbitraria sobre entonces no es igual a la relación identidad sobre en general. La relación inversa sí satisface los axiomas (más débiles) de un semigrupo con involución : y ^[12] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L\circ L^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L}$ ${\displaystyle (L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.}$

Dado que generalmente se pueden considerar relaciones entre diferentes conjuntos (que forman una categoría en lugar de un monoide, a saber, la categoría de relaciones Rel ), en este contexto la relación inversa se ajusta a los axiomas de una categoría de daga (también conocida como categoría con involución). ^[12] Una relación igual a su inversa es una relación simétrica ; en el lenguaje de las categorías de daga, es autoadjunta .

Además, el semigrupo de endorrelaciones en un conjunto es también una estructura parcialmente ordenada (con inclusión de relaciones como conjuntos), y en realidad un cuanto involutivo . De manera similar, la categoría de relaciones heterogéneas , Rel , también es una categoría ordenada. ^[12]

En el cálculo de relaciones , la conversión (la operación unaria de tomar la relación inversa) conmuta con otras operaciones binarias de unión e intersección. La conversión también conmuta con la operación unaria de complementación , así como con la toma de suprema e ínfima. La conversión también es compatible con la ordenación de relaciones por inclusión. ^[5]

Si una relación es reflexiva , irreflexiva , simétrica , antisimétrica , asimétrica , transitiva , conexa , tricotómica , de orden parcial , de orden total , de orden débil estricto , de preorden total (orden débil) o una relación de equivalencia , su recíproca también lo es.

Inversas

Si representa la relación de identidad, entonces una relación puede tener una inversa como sigue: se llama ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

invertible a la derecha

Si existe una relación llamada ${\displaystyle X,}$inversa correcta dela que satisface ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R\circ X=I.}$

izquierda-invertible

Si existe una relación llamada ${\displaystyle Y,}$inversa izquierda dela que satisface ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle Y\circ R=I.}$

invertible

si es tanto invertible hacia la derecha como hacia la izquierda.

Para una relación homogénea invertible coinciden todos los inversos derechos e izquierdos; este conjunto único se llama su ${\displaystyle R,}$inversa y se denota porEn este caso,se cumple.^{[5] : 79} ${\displaystyle R^{-1}.}$ ${\displaystyle R^{-1}=R^{\operatorname {T} }}$

Relación inversa de una función

Una función es invertible si y sólo si su relación inversa es una función, en cuyo caso la relación inversa es la función inversa.

La relación inversa de una función es la relación definida por la ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}\subseteq Y\times X}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.}$

No es necesariamente una función: una condición necesaria es que sea inyectiva , ya que else es multivaluada . Esta condición es suficiente para ser una función parcial , y es claro que then es una función (total) si y solo si es sobreyectiva . En ese caso, es decir si es biyectiva , puede llamarse la función inversa de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f.}$

Por ejemplo, la función tiene la función inversa ${\displaystyle f(x)=2x+2}$ ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.}$

Sin embargo, la función tiene la relación inversa , que no es una función, ya que es multivaluada. ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},}$

Composición con relación

Usando la composición de relaciones , la inversa puede ser compuesta con la relación original. Por ejemplo, la relación de subconjunto compuesta con su inversa es siempre la relación universal:

∀A ∀B ∅ ⊂ A ∩B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. De manera similar,

Para U = universo , A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B.

Consideremos ahora la relación de pertenencia al conjunto y su recíproca.

${\displaystyle A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .}$

Así pues, la composición opuesta es la relación universal. ${\displaystyle A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .}$ ${\displaystyle \in \ni }$

Las composiciones se utilizan para clasificar las relaciones según el tipo: para una relación Q , cuando la relación identidad en el rango de Q contiene Q ^T Q , entonces Q se llama univalente . Cuando la relación identidad en el dominio de Q está contenida en QQ ^T , entonces Q se llama total . Cuando Q es tanto univalente como total entonces es una función . Cuando Q ^T es univalente, entonces Q se denomina inyectiva . Cuando Q ^T es total, Q se denomina sobreyectiva . ^[13]

Si Q es univalente, entonces QQ ^T es una relación de equivalencia en el dominio de Q , ver Relación transitiva#Propiedades relacionadas .

Véase también

• Dualidad (teoría del orden)  : término del área matemática de la teoría del orden.
• Gráfico transpuesto  : gráfico dirigido con aristas invertidas

Referencias

1. Ernst Schröder , (1895), Algebra der Logik (Exakte Logik) Dritter Band, Algebra und Logik der Relative , Leibzig: BG Teubner vía Internet Archive Página 3 Konversion
2. Bertrand Russell (1903) Principios de las matemáticas, página 97 vía Internet Archive
3. CI Lewis (1918) Un estudio de la lógica simbólica, página 273 vía Internet Archive
4. Schmidt, Gunther (2010). Matemáticas relacionales. Cambridge: Cambridge University Press . pág. 39. ISBN. 978-0-521-76268-7.
5. Gunther Schmidt; Thomas Ströhlein (1993). Relaciones y gráficos: matemáticas discretas para científicos informáticos . Springer Berlin Heidelberg. págs. 9-10. ISBN 978-3-642-77970-1.
6. Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: algunos desarrollos vinculados a semigrupos y grupos . Kluwer Academic Publishers. p. 3. ISBN 978-1-4613-0267-4.
7. Daniel J. Velleman (2006). Cómo demostrarlo: un enfoque estructurado. Cambridge University Press. pág. 173. ISBN 978-1-139-45097-3.
8. Shlomo Sternberg; Lynn Loomis (2014). Cálculo avanzado . World Scientific Publishing Company. pág. 9. ISBN 978-9814583930.
9. Rosen, Kenneth H. (2017). Manual de matemáticas discretas y combinatorias. Rosen, Kenneth H., Shier, Douglas R., Goddard, Wayne. (Segunda edición). Boca Raton, FL. p. 43. ISBN 978-1-315-15648-4.OCLC 994604351  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
10. Gerard O'Regan (2016): Guía de matemáticas discretas: una introducción accesible a la historia, la teoría, la lógica y las aplicaciones ISBN 9783319445618 
11. Peter J. Freyd y Andre Scedrov (1990) Categorías, Alegorías, página 79, Holanda Septentrional ISBN 0-444-70368-3 
12. Joachim Lambek (2001). "Relaciones antiguas y nuevas". En Ewa Orłowska ; ​​Andrzej Szalas (eds.). Métodos relacionales para aplicaciones informáticas . Springer Science & Business Media. págs. 135–146. ISBN 978-3-7908-1365-4.
13. Gunther Schmidt y Michael Winter (2018) Topología relacional , Springer Lecture Notes in Mathematics #2208, página 8, ISBN 978-3-319-74450-6 

• Halmos, Paul R. (1974), Teoría de conjuntos ingenua , Springer, pág. 40, ISBN 978-0-387-90092-6