Estratificación (matemáticas)

La estratificación tiene varios usos en matemáticas.

En lógica matemática

En lógica matemática , la estratificación es cualquier asignación consistente de números a símbolos de predicados que garantice que exista una interpretación formal única de una teoría lógica. En concreto, decimos que un conjunto de cláusulas de la forma está estratificado si y sólo si existe una asignación de estratificación S que cumple las siguientes condiciones: ${\displaystyle Q_{1}\wedge \dots \wedge Q_{n}\wedge \neg Q_{n+1}\wedge \dots \wedge \neg Q_{n+m}\rightarrow P}$

1. Si un predicado P se deriva positivamente de un predicado Q (es decir, P es el principio de una regla y Q aparece positivamente en el cuerpo de la misma regla), entonces el número de estratificación de P debe ser mayor o igual que el número de estratificación. número de Q, en resumen . ${\displaystyle S(P)\geq S(Q)}$
2. Si un predicado P se deriva de un predicado negado Q (es decir, P es el principio de una regla y Q aparece negativamente en el cuerpo de la misma regla), entonces el número de estratificación de P debe ser mayor que el número de estratificación de Q. , en breve . ${\displaystyle S(P)>S(Q)}$

La noción de negación estratificada conduce a una semántica operativa muy efectiva para programas estratificados en términos del punto de fijación mínimo estratificado, que se obtiene aplicando iterativamente el operador de punto de fijación a cada estrato del programa, desde el más bajo hacia arriba. La estratificación no sólo es útil para garantizar una interpretación única de las teorías de la cláusula de Horn .

En una teoría de conjuntos específica

En New Foundations (NF) y teorías de conjuntos relacionadas, se dice que una fórmula en el lenguaje de la lógica de primer orden con igualdad y membresía está estratificada si y sólo si hay una función que envía cada variable que aparece (considerada como un elemento de sintaxis) a un número natural (esto funciona igualmente bien si se usan todos los números enteros) de tal manera que cualquier fórmula atómica que aparezca en satisfaga y cualquier fórmula atómica que aparezca en satisfaga . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x\in y}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma (x)+1=\sigma (y)}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma (x)=\sigma (y)}$

Resulta que es suficiente exigir que estas condiciones se cumplan sólo cuando ambas variables en una fórmula atómica están ligadas en el conjunto abstracto bajo consideración. Se dice que un conjunto abstracto que satisface esta condición más débil está débilmente estratificado . ${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$

La estratificación de Nuevos Fundamentos se generaliza fácilmente a lenguajes con más predicados y con construcciones de términos. Cada predicado primitivo necesita tener desplazamientos requeridos especificados entre valores de en sus argumentos (ligados) en una fórmula (débilmente) estratificada. En un lenguaje con construcciones de términos, a los términos mismos se les debe asignar valores según , con desplazamientos fijos de los valores de cada uno de sus argumentos (ligados) en una fórmula (débilmente) estratificada. Las construcciones de términos definidos se manejan claramente (posiblemente simplemente implícitamente) utilizando la teoría de las descripciones: a un término (la x tal que ) se le debe asignar el mismo valor que a la variable x. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\iota x.\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma }$

Una fórmula está estratificada si y sólo si es posible asignar tipos a todas las variables que aparecen en la fórmula de tal manera que tengan sentido en una versión TST de la teoría de tipos descrita en el artículo New Foundations , y esto probablemente sea la mejor manera de entender la estratificación de Nuevas Fundaciones en la práctica.

La noción de estratificación puede extenderse al cálculo lambda ; esto se encuentra en los artículos de Randall Holmes.

Una motivación para el uso de la estratificación es abordar la paradoja de Russell , la antinomia que se considera que ha socavado la obra central de Frege , Grundgesetze der Arithmetik (1902). Quine, Willard Van Orman (1963) [1961]. Desde un punto de vista lógico (2ª ed.). Nueva York: Harper & Row . pag. 90.LCCN 61-15277  .

En topología

En la teoría de la singularidad , hay un significado diferente de descomposición de un espacio topológico X en subconjuntos disjuntos, cada uno de los cuales es una variedad topológica (de modo que, en particular, una estratificación define una partición del espacio topológico). Esta no es una noción útil cuando no hay restricciones; pero cuando los diversos estratos están definidos por algún conjunto reconocible de condiciones (por ejemplo, estar localmente cerrados ) y encajan entre sí de manera manejable, esta idea se aplica a menudo en geometría. Hassler Whitney y René Thom fueron los primeros en definir las condiciones formales para la estratificación. Véase estratificación de Whitney y espacio topológicamente estratificado .

en estadística

Ver muestreo estratificado .