En la teoría de conjuntos , la paradoja de Cantor establece que no existe un conjunto de todas las cardinalidades . Esto se deriva del teorema de que no existe un número cardinal máximo . En términos informales, la paradoja es que la colección de todos los "tamaños infinitos" posibles no sólo es infinita, sino tan infinitamente grande que su propio tamaño infinito no puede ser ninguno de los tamaños infinitos de la colección. La dificultad se soluciona en la teoría axiomática de conjuntos declarando que esta colección no es un conjunto sino una clase propia ; en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel se deduce de esto y del axioma de limitación de tamaño que esta clase adecuada debe estar en biyección con la clase de todos los conjuntos. Por tanto, no sólo hay infinitos infinitos, sino que este infinito es mayor que cualquiera de los infinitos que enumera.
Esta paradoja lleva el nombre de Georg Cantor , a quien a menudo se le atribuye haberla identificado por primera vez en 1899 (o entre 1895 y 1897). Como muchas "paradojas", en realidad no es contradictoria sino simplemente indicativa de una intuición errónea, en este caso sobre la naturaleza del infinito y la noción de conjunto. Dicho de otra manera, es paradójico dentro de los límites de la ingenua teoría de conjuntos y, por lo tanto, demuestra que una axiomatización descuidada de esta teoría es inconsistente.
Para enunciar la paradoja es necesario entender que los números cardinales están totalmente ordenados , de modo que se puede hablar de que uno es mayor o menor que otro. Entonces la paradoja de Cantor es:
Este hecho es una consecuencia directa del teorema de Cantor sobre la cardinalidad del conjunto potencias de un conjunto.
Otra consecuencia del teorema de Cantor es que los números cardinales constituyen una clase propia . Es decir, no pueden agruparse todos como elementos de un único conjunto. He aquí un resultado algo más general.
Dado que los números cardinales están bien ordenados al indexarlos con los números ordinales (ver Número cardinal, definición formal ), esto también establece que no existe un número ordinal mayor; por el contrario, la última afirmación implica la paradoja de Cantor. Al aplicar esta indexación a la paradoja de Burali-Forti obtenemos otra prueba de que los números cardinales son una clase propia y no un conjunto, y (al menos en ZFC o en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel ) se deduce de esto que no es una biyección entre la clase de cardinales y la clase de todos los conjuntos. Dado que cada conjunto es un subconjunto de esta última clase, y cada cardinalidad es la cardinalidad de un conjunto (¡por definición!), esto intuitivamente significa que la "cardinalidad" de la colección de cardinales es mayor que la cardinalidad de cualquier conjunto: es más infinito que cualquier infinito verdadero. Ésta es la naturaleza paradójica de la "paradoja" de Cantor.
Si bien a Cantor se le atribuye generalmente el mérito de haber identificado por primera vez esta propiedad de los conjuntos cardinales, algunos matemáticos otorgan esta distinción a Bertrand Russell , quien definió un teorema similar en 1899 o 1901.