Teoría de conjuntos positivos

Clase de teorías de conjuntos alternativos

En lógica matemática , la teoría de conjuntos positivos es el nombre de una clase de teorías de conjuntos alternativos en las que el axioma de comprensión es válido al menos para las fórmulas positivas (la clase más pequeña de fórmulas que contienen fórmulas de pertenencia atómica e igualdad y están cerradas bajo conjunción, disyunción, cuantificación existencial y universal). ${\displaystyle \phi }$

Por lo general, la motivación de estas teorías es topológica: los conjuntos son las clases que están cerradas bajo una determinada topología . Las condiciones de clausura para las diversas construcciones permitidas en la construcción de fórmulas positivas están fácilmente motivadas (y se puede justificar aún más el uso de cuantificadores universales acotados en conjuntos para obtener una comprensión positiva generalizada ): la justificación del cuantificador existencial parece requerir que la topología sea compacta .

Axiomas

La teoría de conjuntos de Olivier Esser consta de los siguientes axiomas: ^[1] ${\displaystyle \mathrm {GPK} _{\infty }^{+}}$

Extensionalidad

${\displaystyle \forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\to x=y)}$

Positivocomprensión

${\displaystyle \exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow \phi (y))}$

donde es una fórmula positiva . Una fórmula positiva utiliza solo las constantes lógicas pero no . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{\top ,\bot ,\land ,\lor ,\forall ,\exists ,=,\in \}}$ ${\displaystyle \{\to ,\neg \}}$

Cierre

${\displaystyle \exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow \forall z(\forall w(\phi (w)\rightarrow w\in z)\rightarrow y\in z))}$

donde es una fórmula. Es decir, para cada fórmula , la intersección de todos los conjuntos que contienen cada uno de tales que existen. Esto se llama el cierre de y se escribe en cualquiera de las diversas formas en que se pueden presentar los cierres topológicos. Esto se puede poner más brevemente si se permite el lenguaje de clases (cualquier condición en conjuntos que definen una clase como en NBG ): para cualquier clase C hay un conjunto que es la intersección de todos los conjuntos que contienen a C como subclase. Este es un principio razonable si los conjuntos se entienden como clases cerradas en una topología. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \{x\mid \phi (x)\}}$

Infinidad

El ordinal de von Neumann existe. Este no es un axioma de infinitud en el sentido usual; si la infinitud no se cumple, la clausura de existe y se tiene a sí misma como su único miembro adicional (es ciertamente infinita); el punto de este axioma es que no contiene elementos adicionales en absoluto, lo que impulsa la teoría desde la fuerza de la aritmética de segundo orden a la fuerza de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley con el ordinal de clase apropiado un cardinal débilmente compacto . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Propiedades interesantes

• El conjunto universal es un conjunto propio en esta teoría.
• Los conjuntos de esta teoría son las colecciones de conjuntos que están cerrados bajo una determinada topología en las clases.
• La teoría puede interpretar ZFC (restringiéndose a la clase de conjuntos bien fundados, que no es en sí misma un conjunto). De hecho, interpreta una teoría más fuerte ( teoría de conjuntos de Morse-Kelley con el ordinal de clase propio como un cardinal débilmente compacto ).

Véase también

• Nuevos fundamentos de Quine

Referencias

1. Holmes, M. Randall (21 de septiembre de 2021). "Teorías de conjuntos axiomáticos alternativos". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .

• Esser, Olivier (1999), "Sobre la consistencia de una teoría positiva"., Mathematical Logic Quarterly , 45 (1): 105–116, doi :10.1002/malq.19990450110, MR  1669902