Notación de constructor de conjuntos

Uso de llaves para especificar conjuntos.

${\displaystyle \{n\mid \exists k\in \mathbb {Z} ,n=2k\}}$

El conjunto de todos los números enteros pares ,
expresado en notación de constructor de conjuntos.

En la teoría de conjuntos y sus aplicaciones a la lógica , las matemáticas y la informática , la notación constructora de conjuntos es una notación matemática para describir un conjunto enumerando sus elementos o indicando las propiedades que sus miembros deben satisfacer. ^[1]

Definir conjuntos por propiedades también se conoce como comprensión de conjuntos , abstracción de conjuntos o definición de la intensión de un conjunto .

Conjuntos definidos por enumeración

Un conjunto se puede describir directamente enumerando todos sus elementos entre llaves, como en los dos ejemplos siguientes:

• ${\displaystyle \{7,3,15,31\}}$es el conjunto que contiene los cuatro números 3, 7, 15 y 31, y nada más.
• ${\displaystyle \{a,c,b\}=\{a,b,c\}}$es el conjunto que contiene a , b y c , y nada más (no hay orden entre los elementos de un conjunto).

Esto a veces se denomina "método de lista" para especificar un conjunto. ^[2]

Cuando se desea denotar un conjunto que contiene elementos de una secuencia regular, se puede emplear una notación de puntos suspensivos , como se muestra en los siguientes ejemplos:

• ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,100\}}$es el conjunto de números enteros entre 1 y 100 inclusive.
• ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$es el conjunto de los números naturales .
• ${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}=\{0,1,-1,2,-2,\ldots \}}$es el conjunto de todos los números enteros.

No hay orden entre los elementos de un conjunto (esto explica y valida la igualdad del último ejemplo), pero con la notación de elipses, usamos una secuencia ordenada antes (o después) de la elipsis como un vehículo de notación conveniente para explicar qué elementos están en un conjunto. Se muestran los primeros elementos de la secuencia, luego las elipses indican que se debe aplicar la interpretación más simple para continuar la secuencia. Si no aparece ningún valor final a la derecha de las elipses, entonces la secuencia se considera ilimitada.

En general, denota el conjunto de todos los números naturales tales que . Otra notación para es la notación entre corchetes . Un caso especial sutil es , en el que es igual al conjunto vacío . De manera similar, denota el conjunto de todos para . ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle [0]=\{1,\dots ,0\}}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

En cada ejemplo anterior, cada conjunto se describe enumerando sus elementos. No todos los conjuntos se pueden describir de esta manera o, si se puede, su enumeración puede ser demasiado larga o complicada para ser útil. Por tanto, muchos conjuntos se definen por una propiedad que caracteriza a sus elementos. Esta caracterización se puede hacer de manera informal utilizando prosa general, como en el siguiente ejemplo.

• ${\displaystyle \{}$direcciones en Pine Street es el conjunto de todas las direcciones en Pine Street. ${\displaystyle \}}$

Sin embargo, el enfoque en prosa puede carecer de precisión o ser ambiguo. Por lo tanto, la notación constructora de conjuntos se utiliza a menudo con un predicado que caracteriza los elementos del conjunto que se define, como se describe en la siguiente sección.

Conjuntos definidos por un predicado

La notación de creación de conjuntos se puede utilizar para describir un conjunto definido por un predicado , es decir, una fórmula lógica que se evalúa como verdadera para un elemento del conjunto y como falsa en caso contrario. ^[3] De esta forma, la notación constructora de conjuntos tiene tres partes: una variable, dos puntos o separador de barra vertical y un predicado. Por tanto, hay una variable a la izquierda del separador y una regla a la derecha del mismo. Estas tres partes están contenidas entre llaves:

${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}$

o

${\displaystyle \{x:\Phi (x)\}.}$

La barra vertical (o dos puntos) es un separador que se puede leer como " tal que ", "para el cual" o "con la propiedad de que". La fórmula Φ( x ) se dice que es la regla o el predicado . Todos los valores de x para los cuales el predicado se cumple (es verdadero) pertenecen al conjunto que se está definiendo. Todos los valores de x para los cuales el predicado no se cumple no pertenecen al conjunto. Por tanto, es el conjunto de todos los valores de x que satisfacen la fórmula Φ . ^[4] Puede ser el conjunto vacío , si ningún valor de x satisface la fórmula. ${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}$

Especificación del dominio

Un dominio E puede aparecer a la izquierda de la barra vertical: ^[5]

${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\},}$

o uniéndolo al predicado:

${\displaystyle \{x\mid x\in E{\text{ and }}\Phi (x)\}\quad {\text{or}}\quad \{x\mid x\in E\land \Phi (x)\}.}$

El símbolo ∈ aquí denota pertenencia a un conjunto , mientras que el símbolo denota el operador lógico "y", conocido como conjunción lógica . Esta notación representa el conjunto de todos los valores de x que pertenecen a algún conjunto E dado para el cual el predicado es verdadero (consulte "Axioma de existencia de conjuntos" a continuación). Si es una conjunción , entonces a veces se escribe usando una coma en lugar del símbolo . ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi _{1}(x)\land \Phi _{2}(x)}$ ${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\}}$ ${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi _{1}(x),\Phi _{2}(x)\}}$ ${\displaystyle \land }$

En general, no es una buena idea considerar conjuntos sin definir un dominio del discurso , ya que éste representaría el subconjunto de todas las cosas posibles que pueden existir para las cuales el predicado es verdadero. Esto puede conducir fácilmente a contradicciones y paradojas. Por ejemplo, la paradoja de Russell muestra que la expresión, aunque aparentemente bien formada como expresión constructora de conjuntos, no puede definir un conjunto sin producir una contradicción. ^[6] ${\displaystyle \{x~|~x\not \in x\},}$

En los casos en que el conjunto E se desprende claramente del contexto, es posible que no se especifique explícitamente. Es común en la literatura que un autor indique el dominio con anticipación y luego no lo especifique en la notación del constructor de conjuntos. Por ejemplo, un autor puede decir algo como: "A menos que se indique lo contrario, las variables deben considerarse números naturales", aunque en contextos menos formales donde se puede asumir el dominio, a menudo es innecesaria una mención escrita.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran conjuntos particulares definidos mediante notación de generador de conjuntos mediante predicados. En cada caso, el dominio se especifica en el lado izquierdo de la barra vertical, mientras que la regla se especifica en el lado derecho.

• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x>0\}}$es el conjunto de todos los números reales estrictamente positivos , que pueden escribirse en notación de intervalo como . ${\displaystyle (0,\infty )}$
• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid |x|=1\}}$es el conjunto . Este conjunto también se puede definir como ; vea los predicados equivalentes que producen conjuntos iguales a continuación. ${\displaystyle \{-1,1\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}}$
• Para cada número entero m , podemos definir . Como ejemplo, y . ${\displaystyle G_{m}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq m\}=\{m,m+1,m+2,\ldots \}}$ ${\displaystyle G_{3}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq 3\}=\{3,4,5,\ldots \}}$ ${\displaystyle G_{-2}=\{-2,-1,0,\ldots \}}$
• ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid 0<y<f(x)\}}$ es el conjunto de pares de números reales tales que y es mayor que 0 y menor que f ( x ) , para una función dada f . Aquí el producto cartesiano denota el conjunto de pares ordenados de números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid (\exists k)[k\in \mathbb {N} \land n=2k]\}}$es el conjunto de todos los números naturales pares . El signo significa "y", lo que se conoce como conjunción lógica . El signo ∃ significa "existe", lo que se conoce como cuantificación existencial . Así, por ejemplo, se lee como "existe una x tal que P ( x ) ". ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (\exists x)P(x)}$
• ${\displaystyle \{n\mid (\exists k\in \mathbb {N} )[n=2k]\}}$es una variante notacional para el mismo conjunto de números pares naturales. No es necesario especificar que n es un número natural, ya que así lo implica la fórmula de la derecha.
• ${\displaystyle \{a\in \mathbb {R} \mid (\exists p\in \mathbb {Z} )(\exists q\in \mathbb {Z} )[q\not =0\land aq=p]\}}$es el conjunto de los números racionales ; es decir, números reales que se pueden escribir como la razón de dos números enteros .

Expresiones más complejas en el lado izquierdo de la notación.

Una extensión de la notación de creación de conjuntos reemplaza la variable única x con una expresión . Entonces, en lugar de , es posible que tengamos cuál debería leerse. ${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}$ ${\displaystyle \{f(x)\mid \Phi (x)\},}$

${\displaystyle \{f(x)\mid \Phi (x)\}=\{y\mid \exists x(y=f(x)\wedge \Phi (x))\}}$.

Por ejemplo:

• ${\displaystyle \{2n\mid n\in \mathbb {N} \}}$, donde es el conjunto de todos los números naturales, es el conjunto de todos los números naturales pares. ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle \{p/q\mid p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\}}$, donde es el conjunto de todos los números enteros, es el conjunto de todos los números racionales. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• ${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}}$es el conjunto de los números enteros impares.
• ${\displaystyle \{(t,2t+1)\mid t\in \mathbb {Z} \}}$ crea un conjunto de pares, donde cada par pone un número entero en correspondencia con un número entero impar.

Cuando las funciones inversas se pueden establecer explícitamente, la expresión de la izquierda se puede eliminar mediante una simple sustitución. Considere el ejemplo establecido . Haga la sustitución , es decir , luego reemplace t en la notación del generador de conjuntos para encontrar ${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle u=2t+1}$ ${\displaystyle t=(u-1)/2}$

${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}=\{u\mid (u-1)/2\in \mathbb {Z} \}.}$

Los predicados equivalentes producen conjuntos iguales

Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Los conjuntos definidos por la notación del constructor de conjuntos son iguales si y sólo si sus reglas del constructor de conjuntos, incluidos los especificadores de dominio, son equivalentes. Eso es

${\displaystyle \{x\in A\mid P(x)\}=\{x\in B\mid Q(x)\}}$

si y solo si

${\displaystyle (\forall t)[(t\in A\land P(t))\Leftrightarrow (t\in B\land Q(t))]}$.

Por lo tanto, para probar la igualdad de dos conjuntos definidos por la notación constructora de conjuntos, basta con probar la equivalencia de sus predicados, incluidos los calificadores de dominio.

Por ejemplo,

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}=\{x\in \mathbb {Q} \mid |x|=1\}}$

porque los dos predicados de la regla son lógicamente equivalentes:

${\displaystyle (x\in \mathbb {R} \land x^{2}=1)\Leftrightarrow (x\in \mathbb {Q} \land |x|=1).}$

Esta equivalencia se cumple porque, para cualquier número real x , tenemos si y sólo si x es un número racional con . En particular, ambos conjuntos son iguales al conjunto . ${\displaystyle x^{2}=1}$ ${\displaystyle |x|=1}$ ${\displaystyle \{-1,1\}}$

Establecer axioma de existencia

En muchas teorías de conjuntos formales, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la notación del constructor de conjuntos no forma parte de la sintaxis formal de la teoría. En cambio, existe un esquema de axioma de existencia de conjuntos , que establece que si E es un conjunto y Φ( x ) es una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos, entonces hay un conjunto Y cuyos miembros son exactamente los elementos de E que satisfacen Φ :

${\displaystyle (\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x\in Y\Leftrightarrow x\in E\land \Phi (x)].}$

El conjunto Y obtenido de este axioma es exactamente el conjunto descrito en la notación del constructor de conjuntos como . ${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\}}$

En lenguajes de programación

Una notación similar disponible en varios lenguajes de programación (en particular Python y Haskell ) es la comprensión de listas , que combina operaciones de mapa y filtro en una o más listas .

En Python, las llaves del constructor de conjuntos se reemplazan con corchetes, paréntesis o llaves, dando objetos de lista, generador y conjunto, respectivamente. Python utiliza una sintaxis basada en inglés. Haskell reemplaza las llaves del constructor de conjuntos con corchetes y usa símbolos, incluida la barra vertical estándar del constructor de conjuntos.

Lo mismo se puede lograr en Scala usando Sequence Comprehensions, donde la palabra clave "for" devuelve una lista de las variables obtenidas usando la palabra clave "yield". ^[7]

Considere estos ejemplos de notación de creación de conjuntos en algunos lenguajes de programación:

La notación del generador de conjuntos y la notación de comprensión de listas son instancias de una notación más general conocida como comprensión de mónadas , que permite operaciones similares a mapas/filtros sobre cualquier mónada con un elemento cero .

Ver también

• Glosario de teoría de conjuntos

Notas

1. Rosen, Kenneth (2007). Matemáticas discretas y sus aplicaciones (6ª ed.). Nueva York, Nueva York: McGraw-Hill. págs. 111-112. ISBN 978-0-07-288008-3.
2. Richard Aufmann, Vernon C. Barker y Joanne Lockwood, 2007, Álgebra intermedia con aplicaciones , Brooks Cole, p. 6.
3. Michael J Cullinan, 2012, Una transición a las matemáticas con pruebas , Jones & Bartlett, págs. 44 y siguientes.
4. Weisstein, Eric W. "Establecer". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
5. "Notación del generador de conjuntos". mathsisfun.com . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
6. Irvine, Andrés David; Deutsch, Harry (9 de octubre de 2016) [1995]. "La paradoja de Russell". Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Consultado el 6 de agosto de 2017 .
7. "Comprensión de secuencias". Escala . Consultado el 6 de agosto de 2017 .